Física de secundaria · Grades 10–12

25Las leyes de Newton

Cuela una báscula de baño en un ascensor. Cuando la cabina arranca hacia arriba, la aguja marca tres kilogramos de más; cerca del último piso marca de menos; entre ambas cosas, la pura verdad — a bordo no ha cambiado nada salvo el movimiento. Este capítulo enuncia las tres leyes que hay detrás de esa aguja y las forja en el método que gobierna toda la mecánica: elegir un sistema, dibujar sus fuerzas, proyectar $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 La cantidad de movimiento y la primera ley, hecha exacta

Definición 25.1 (Cantidad de movimiento)

La cantidad de movimiento de un cuerpo de masa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) que se mueve con velocidad $\vect v$ es el vector

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

la velocidad, ponderada por la masa; para un sistema, la suma vectorial sobre sus partes.

Definición 25.2 (Sistema de referencia inercial)

Un sistema de referencia inercial es aquel en el que todo cuerpo aislado — sin fuerzas, o con fuerzas que se compensan — se mueve en línea recta con velocidad constante (Capítulo 6). El suelo lo es con excelente aproximación, y también cualquier cabina en movimiento rectilíneo uniforme sobre él; un tren que frena o un tiovivo que gira, no: allí el equipaje suelto acelera sin que nadie lo empuje.

Teorema 25.3 (Primera ley de Newton)

En un sistema inercial, la cantidad de movimiento de un sistema aislado no cambia: $\vect p$ es constante, es decir, $d\vect p/dt = \vect 0$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 25.4 (La inercia, afinada dos veces)

El principio de inercia del Capítulo 6, mejorado dos veces: dice dónde vale — define los sistemas inerciales como aquellos en los que vale — y protege un vector, $m\vect v$ , cuya contabilidad rinde sus frutos al final del capítulo.

25.2 La segunda ley de Newton

Teorema 25.5 (Segunda ley de Newton)

En un sistema inercial, la fuerza resultante sobre un cuerpo es igual a la rapidez de variación de su cantidad de movimiento; con masa constante, como $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 25.6 (Una ley de la naturaleza, y su unidad)

No hay demostración: es una ley de la naturaleza, contrastada con el experimento durante tres siglos. El curso pasado (Capítulo 16) dio su sombra, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; la derivada (Capítulo 24) la vuelve exacta en cada instante — su letra pequeña espera en el volumen del primer año de universidad. La fuerza recibe una unidad, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; y un cuerpo sometido únicamente a su peso obedece $m\vect a = m\vect g$ : toda masa cae con $\vect a = \vect g$ , y $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — las dos lecturas son una sola.

Ejemplo 25.7 (Fuerza media, sin necesidad de detalles)

Un coche de $1300\,\mathrm{kg}$ pasa del reposo a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en $8.0\,\mathrm{s}$ : sea cual sea la historia instante a instante, la fuerza resultante media vale $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — la cantidad de movimiento convierte una pregunta sobre fuerzas en una contabilidad de antes y después.

25.3 La tercera ley de Newton

Teorema 25.8 (Tercera ley de Newton)

Si un cuerpo $A$ ejerce una fuerza $\vect F_{A \to B}$ sobre un cuerpo $B$ , entonces $B$ ejerce sobre $A$ la fuerza $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : misma línea de acción, mismo módulo, sentidos opuestos — en todo instante, sea cual sea el movimiento, por contacto o a distancia.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 25.9 (El libro, la mesa y la Tierra)

Un libro reposa sobre una mesa: dos interacciones, dos pares. Gravitatoria: la Tierra tira del libro hacia abajo ( $\vect P$ ), el libro tira de la Tierra hacia arriba. De contacto: la mesa empuja el libro hacia arriba ( $\vect N$ ), el libro aprieta la mesa hacia abajo. Andar es el mismo trato: empujas el suelo hacia atrás; su reacción es la única fuerza que te impulsa hacia adelante.

Un libro, dos interacciones, cuatro flechas: el par gravitatorio (la Tierra tira del libro, el libro tira de la Tierra) y el par de contacto (la mesa empuja el libro, el libro aprieta la mesa). P y N no son compañeras: actúan sobre el mismo libro — y se anulan solo porque su aceleración es nula. — Un libro, dos interacciones, cuatro flechas: el par gravitatorio (la Tierra tira del libro, el libro tira de la Tierra) y el par de contacto (la mesa empuja el libro, el libro aprieta la mesa). $\vect P$ y $\vect N$ no son compañeras: actúan sobre el mismo libro — y se anulan solo porque su aceleración es nula.

25.4 El método: elegir, dibujar, proyectar

Método 25.10 (Resolver un problema de dinámica)

Sistema: nombra el cuerpo (o el conjunto de cuerpos) que se estudia.
Referencia: elige un sistema inercial y unos ejes adaptados al movimiento — ejes del plano inclinado, o la base de Frenet para una curva (Capítulo 24).
Inventario: enumera todas las fuerzas — el peso, luego una fuerza por contacto, nada más — y dibuja el diagrama de fuerzas: un punto, una flecha por fuerza.
Proyectar: escribe $\sum \vect F = m\vect a$ y proyéctala sobre cada eje.
Resolver y comprobar: unidades, signos, casos límite ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

Definición 25.11 (Reacción normal y rozamiento)

Una superficie actúa sobre un cuerpo mediante dos componentes: la reacción normal $\vect N$ , perpendicular a la superficie, y el rozamiento $\vect f$ , tangencial. La experiencia da las leyes del rozamiento: mientras el cuerpo no desliza, el rozamiento estático se ajusta solo hasta un techo, $f_s \leq \mu_s N$ ; una vez que desliza, el rozamiento cinético vale $f_k = \mu_k N$ , opuesto al deslizamiento. Los coeficientes de rozamiento $\mu_s$ y $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) dependen solo de los dos materiales.

Ejemplo 25.12 (El plano inclinado, dos veces)

Un bloque desliza por una pendiente de ángulo $\alpha$ ; ejes: $x$ pendiente abajo, $y$ perpendicular. Sobre $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Sobre $x$ , sin rozamiento: $ma = mg\sin\alpha$ , luego $a = g\sin\alpha$ — sin masa; con $\alpha = 30^\circ$ , $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Con rozamiento cinético: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; para $\mu_k = 0.20$ , $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Y de entrada se quedó quieto solo mientras el rozamiento estático necesario cupo bajo su techo: $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

Diagrama de fuerzas sobre el plano inclinado: el peso P, la reacción normal N y el rozamiento f pendiente arriba para un bloque que desliza hacia abajo. Los ejes paralelo y perpendicular a la pendiente descomponen P en mg y mg (a trazos). — Diagrama de fuerzas sobre el plano inclinado: el peso $\vect P$ , la reacción normal $\vect N$ y el rozamiento $\vect f$ pendiente arriba para un bloque que desliza hacia abajo. Los ejes paralelo y perpendicular a la pendiente descomponen $\vect P$ en $mg\sin\alpha$ y $mg\cos\alpha$ (a trazos).

Definición 25.13 (Peso aparente)

El peso aparente de un cuerpo es la reacción normal entre él y su soporte — lo que marca una báscula colocada debajo.

Ejemplo 25.14 (El ascensor)

Un pasajero de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor de aceleración vertical $a_z$ (positiva hacia arriba): $N - mg = ma_z$ , luego $N = m(g + a_z)$ . Arrancando hacia arriba con $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ , pesado; frenando cerca del último piso: $582\,\mathrm{N}$ , ligero; en marcha uniforme: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — la primera ley; en caída libre, $a_z = -g$ : $N = 0$ , la ingravidez sobre una báscula.

Ejemplo 25.15 (Dos bloques y una polea)

Un bloque $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin rozamiento está unido por una cuerda ligera, a través de una polea ideal, a un bloque colgante $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . La cuerda transmite la misma tensión $T$ en ambos extremos; los bloques comparten un único módulo de la aceleración $a$ . Una segunda ley para cada uno, a lo largo de su movimiento: $m_1 a = T$ y $m_2 a = m_2 g - T$ , de donde $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — menor que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ , como tiene que ser para que $m_2$ acelere hacia abajo.

Dos bloques, una cuerda ligera, una polea ideal: la misma tensión T tira de los dos extremos y los bloques comparten un único módulo de la aceleración — una segunda ley para cada uno, dos ecuaciones, dos incógnitas. — Dos bloques, una cuerda ligera, una polea ideal: la misma tensión $T$ tira de los dos extremos y los bloques comparten un único módulo de la aceleración — una segunda ley para cada uno, dos ecuaciones, dos incógnitas.

Ejemplo 25.16 (La curva sin peralte)

Un coche de masa $m$ toma una curva sin peralte de radio $R$ a rapidez constante $v$ . En la base de Frenet (Capítulo 24) la aceleración es puramente normal, $a_N = v^2/R$ , dirigida al centro. En vertical, $N = mg$ ; en horizontal, la única fuerza centrípeta disponible es el rozamiento estático de la calzada sobre los neumáticos: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , luego $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , sea cual sea la masa. Para $R = 90\,\mathrm{m}$ y calzada seca ( $\mu_s = 0.70$ ): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); sobre hielo el techo se desploma — el Ejercicio 25.13 peralta la carretera y el Ejercicio 25.10 hace oscilar la misma proyección en un hilo.

Un coche en una curva sin peralte a rapidez constante: desde arriba (izquierda) la velocidad es tangente y la fuerza resultante apunta al centro; desde atrás (derecha) N equilibra a P, y el rozamiento estático lateral de la calzada es toda la fuerza centrípeta. — Un coche en una curva sin peralte a rapidez constante: desde arriba (izquierda) la velocidad es tangente y la fuerza resultante apunta al centro; desde atrás (derecha) $\vect N$ equilibra a $\vect P$ , y el rozamiento estático lateral de la calzada es toda la fuerza centrípeta.

25.5 Sistemas aislados: la cantidad de movimiento se conserva

Proposición 25.17 (Conservación de la cantidad de movimiento)

Para dos cuerpos cuyas fuerzas exteriores son nulas o se compensan, la cantidad de movimiento total $\vect p_1 + \vect p_2$ es constante, sean cuales sean las fuerzas que ejercen el uno sobre el otro.

Demostración. Sumemos las dos segundas leyes: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{ext}}$ : el par interno se cancela por la tercera ley, y $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ por hipótesis. ∎

Ejemplo 25.18 (El retroceso)

Una patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ en reposo sobre hielo liso lanza horizontalmente un balón medicinal de $4.0\,\mathrm{kg}$ a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Antes: $\vect p = \vect 0$ ; después: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , luego $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — se desliza hacia atrás. Nada exterior la empujó: fue el balón (tercera ley), y las cuentas siguen dando cero.

Observación 25.19 (Cómo empuja un cohete sobre nada)

Un cohete es una máquina de lanzar masa. Cada segundo sus motores arrojan hacia atrás una tanda de gas; el gas se lleva cantidad de movimiento hacia atrás, así que el cohete gana la misma cantidad hacia adelante — un empuje sostenido, aproximadamente la masa expulsada por segundo multiplicada por la velocidad de eyección. El cohete empuja sobre sus propios gases, no sobre el aire: funciona mejor en el vacío.

25.6 Ejercicios

Ejercicio 25.1 ★

Calcula la cantidad de movimiento de (a) un velocista de $70\,\mathrm{kg}$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) un coche de $1300\,\mathrm{kg}$ a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) una bala de $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ordénalas. ¿Por qué la más rápida queda la última?

Solución

Solución de Ejercicio 25.1.

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Coche $>$ velocista $>$ bala: cinco órdenes de magnitud de masa son más de lo que la rapidez puede comprar.

Ejercicio 25.2 ★

Un pasajero de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor. ¿Qué marca cuando la cabina (a) acelera hacia arriba a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) sube a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes; (c) acelera hacia abajo a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? ¿Qué ley resuelve el caso (b)?

Solución

Solución de Ejercicio 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$ , luego $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — la primera ley: velocidad constante, fuerzas que se compensan; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

Ejercicio 25.3 ★

Se suelta un bloque en una pendiente sin rozamiento de ángulo $30^\circ$ . Calcula su aceleración y después su rapidez tras deslizar $3.0\,\mathrm{m}$ . ¿Dónde se ha ido la masa?

Solución

Solución de Ejercicio 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La masa se cancela entre $ma$ y $mg\sin\alpha$ .

Ejercicio 25.4 ★

Una pelota de tenis de $58\,\mathrm{g}$ llega a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y es devuelta a lo largo de la misma línea a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; el contacto dura $5.0\,\mathrm{ms}$ . Calcula la variación de la cantidad de movimiento y la fuerza media de las cuerdas; compara esa fuerza con el peso de la pelota.

Solución

Solución de Ejercicio 25.4.

La inversión del sentido: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — unas $800$ veces los $0.57\,\mathrm{N}$ del peso, y por eso durante el contacto la gravedad se desprecia.

Ejercicio 25.5 ★

Un libro reposa sobre una mesa. Nombra las dos fuerzas que actúan sobre el libro y, para cada una, su compañera de acción–reacción (¿sobre qué cuerpo? ¿en qué sentido?). ¿Por qué el peso del libro y el empuje de la mesa no son compañeras entre sí?

Solución

Solución de Ejercicio 25.5.

Peso (la Tierra sobre el libro, hacia abajo): compañera = el libro tira de la Tierra, hacia arriba. Reacción normal (la mesa sobre el libro, hacia arriba): compañera = el libro aprieta la mesa, hacia abajo. El peso y la normal actúan sobre el mismo cuerpo y pertenecen a dos interacciones distintas — aquí son iguales solo porque $\vect a = \vect 0$ .

Ejercicio 25.6 ★★

Una caja de $50\,\mathrm{kg}$ descansa sobre un suelo horizontal, $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ . (a) ¿Qué empuje horizontal la pone justo en marcha? (b) Si se mantiene ese empuje, ¿cuál es su aceleración? (c) ¿Qué empuje la mantiene a velocidad constante?

Solución

Solución de Ejercicio 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

Ejercicio 25.7 ★★

La misma caja se coloca sobre una rampa de inclinación regulable ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ ). (a) ¿A qué ángulo empieza a deslizar? (b) A $30^\circ$ , calcula su aceleración. (c) Una vez iniciado el movimiento al ángulo del apartado (a), ¿sigue acelerando? ¿Por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 25.7.

(a) Desliza cuando $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Sí: una vez en deslizamiento, el rozamiento cae a $\mu_k < \mu_s$ , luego $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

Ejercicio 25.8 ★★

Un bloque de $3.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin rozamiento está unido, a través de una polea ideal, a un bloque colgante de $2.0\,\mathrm{kg}$ . Calcula la aceleración y la tensión. ¿Por qué la tensión tenía que salir menor que el peso colgante?

Solución

Solución de Ejercicio 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . El bloque colgante acelera hacia abajo, así que la fuerza resultante sobre él apunta hacia abajo: $T$ tiene que quedarse por debajo de $m_2 g$ .

Ejercicio 25.9 ★★

Una curva de radio $50\,\mathrm{m}$ no tiene peralte. Calcula la rapidez máxima de un coche para $\mu_s = 0.70$ (seco) y $0.40$ (mojado), en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ¿Por qué la respuesta vale igual para una motocicleta que para un camión?

Solución

Solución de Ejercicio 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : en seco, $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; mojado, $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Tanto $mv^2/R$ como $\mu_s mg$ llevan $m$ : se cancela.

Ejercicio 25.10 ★★

Una masa de $0.30\,\mathrm{kg}$ colgada de un hilo de $1.2\,\mathrm{m}$ describe una circunferencia horizontal, manteniendo el hilo un ángulo constante de $25^\circ$ con la vertical (un péndulo cónico). Proyecta la segunda ley en vertical y después a lo largo del radio: calcula la tensión y la rapidez.

Solución

Solución de Ejercicio 25.10.

En vertical: $T\cos\theta = mg$ , luego $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . Radio $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; en la dirección radial: $T\sin\theta = mv^2/R$ , luego $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 25.11 ★★

Un paquete de $5.0\,\mathrm{kg}$ viaja sobre una báscula en un montacargas; las lecturas:

fase	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
báscula ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

Calcula la aceleración en cada fase y describe un trayecto posible. ¿Podría el montacargas haber estado bajando todo el tiempo?

Solución

Solución de Ejercicio 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ con $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Por ejemplo, un trayecto de subida: acelerar, marcha uniforme, frenar. Sí: si ya venía bajando, las mismas lecturas significan frenar, marcha uniforme y volver a acelerar hacia abajo — la báscula marca la aceleración, no la velocidad.

Ejercicio 25.12 ★★★

Una patinadora de $60\,\mathrm{kg}$ en reposo sobre hielo liso lanza horizontalmente un balón de $4.0\,\mathrm{kg}$ . (a) El balón sale a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ respecto del suelo: ¿cuál es su rapidez de retroceso? (b) Los $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se miden ahora respecto de ella: recalcula ambas rapideces. (c) ¿Qué fuerza la empujó hacia atrás?

Solución

Solución de Ejercicio 25.12.

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) El balón va a $8.0 + V$ respecto del suelo: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , luego $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y el balón vuela a $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) El empuje del balón sobre sus manos — la compañera de tercera ley de su lanzamiento.

Ejercicio 25.13 ★★★

Una curva de autopista de radio $80\,\mathrm{m}$ se diseña para $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sin ninguna ayuda del rozamiento. Demuestra que la calzada debe peraltarse con el ángulo $\theta$ dado por $\tan\theta = v^2/(gR)$ y calcúlalo. ¿Qué debe hacer el rozamiento con un coche que tome la curva más despacio — o más deprisa?

Solución

Solución de Ejercicio 25.13.

Sin rozamiento: $N\cos\theta = mg$ (vertical) y $N\sin\theta = mv^2/R$ (radial); dividiendo, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ . Más despacio: el coche tiende a resbalar peralte abajo y el rozamiento debe apuntar pendiente arriba; más deprisa: al revés.

Ejercicio 25.14 ★★★

Los motores de un cohete expulsan $250\,\mathrm{kg}$ de gas por segundo a $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) ¿Cuánta cantidad de movimiento se marcha por segundo — qué empuje devuelven los gases? (b) El cohete tiene una masa de $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ en el encendido: ¿su peso?, ¿su aceleración en el despegue? (c) ¿Por qué el motor funciona igual de bien en el vacío?

Solución

Solución de Ejercicio 25.14.

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada segundo: empuje $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Empuja sobre sus propios gases (tercera ley), no sobre el aire.

Ejercicio 25.15 ★★★

Un bloque de $4.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) está unido, a través de una polea ideal, a una masa colgante $m_2$ . (a) ¿Qué $m_2$ mínima pone en marcha el movimiento? (b) Para $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ , calcula la aceleración y la tensión. (c) Comprueba que $\mu_k = 0$ recupera la fórmula sin rozamiento del Ejercicio 25.8.

Solución

Solución de Ejercicio 25.15.

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (c) Con $\mu_k = 0$ queda $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : la fórmula del Ejercicio 25.8.

25.7 Problema: El teleférico

Problema 25.1

Problema de fin de semana — certificar el teleférico: la tensión que la pendiente exige en reposo, el recargo del arranque, el alivio sobre el pilono, el precio de una parada de emergencia — y la única cifra que el cartel de la cabina puede prometer

Un teleférico de montaña — cabina más carro, masa en vacío $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rueda sobre un cable portador inclinado $\alpha = 30^\circ$ , arrastrado por un cable tractor paralelo a la pendiente con tensión $\vect T$ . El rozamiento de rodadura es despreciable; el suelo de la cabina se mantiene horizontal en todo momento. La cabina admite $25$ pasajeros de masa media $80\,\mathrm{kg}$ ; tú eres la ingeniera encargada de la certificación. Salvo indicación contraria, la cabina va llena: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — En reposo sobre la pendiente.

Elige el sistema; explica por qué el sistema de referencia de la montaña sirve como sistema inercial; inventaría las tres fuerzas, con sus direcciones.
¿Qué ley gobierna la espera? Proyéctala a lo largo de la pendiente y perpendicularmente a ella para expresar $T$ y la reacción normal $N$ del cable portador.
Calcula $T$ y $N$ .
Recalcula $T$ para la cabina vacía. ¿Por qué $T$ es proporcional a la masa total?
El cable tractor se rompe y los frenos fallan: demuestra que la aceleración de la caída es $g \sin\alpha$ , con carga o sin ella, y calcúlala.

Parte II — El arranque. El torno acelera la cabina llena a $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pendiente arriba hasta alcanzar la marcha de crucero $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Expresa y calcula la tensión $T'$ durante esta fase.
¿En qué fracción eleva el arranque la tensión por encima de su valor en reposo?
¿Cuánto dura la fase y a lo largo de qué distancia?
Una pasajera de $80\,\mathrm{kg}$ va de pie sobre el suelo horizontal. Proyecta la segunda ley en vertical para expresar y calcular su peso aparente; compáralo con $mg$ .
¿Qué fuerza la acelera horizontalmente y cuánto vale? ¿Por qué se inclinan los pasajeros?

Parte III — Sobre el pilono. A $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes, el cable portador se curva sobre un pilono de apoyo siguiendo un arco de circunferencia vertical de radio $R = 40\,\mathrm{m}$ ; en la cresta la velocidad es horizontal.

En la base de Frenet en la cresta (Capítulo 24), da las dos componentes de la aceleración, con sus valores.
Proyecta la segunda ley sobre la normal para expresar y calcular la reacción normal $N'$ del cable sobre el carro.
La misma pregunta para el peso aparente de la pasajera en la cresta: ¿en qué fracción es más ligera?
¿A qué rapidez se anularía $N'$ ? Compárala con la rapidez de crucero y comenta.
¿Qué fuerza ejerce el carro sobre el cable al pasar el pilono — qué ley lo dice, con qué módulo y qué sentido?

Parte IV — Frenada, un salto y el cartel.

En el tramo horizontal de llegada, una parada de emergencia lleva la cabina llena de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ al reposo en $1.5\,\mathrm{s}$ : lee $\sum \vect F = d\vect p/dt$ como un promedio sobre la parada para calcular la fuerza de frenado.
¿Qué fuerza horizontal debe detener a una pasajera de $80\,\mathrm{kg}$ , y puede proporcionarla el rozamiento estático entre el calzado y el suelo ( $\mu_s = 0.40$ )? Concluye.
En el andén, con los frenos sueltos, la cabina vacía cuelga libre e inmóvil; el último pasajero ( $80\,\mathrm{kg}$ ) salta horizontalmente a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ respecto de la cabina. Calcula la rapidez de retroceso de la cabina y la rapidez del pasajero respecto del suelo.
En una frase: ¿qué dispositivo de propulsión vive de este principio de retroceso, y qué fija su empuje?
Certificación. El cable tractor rompe a $100\,\mathrm{kN}$ ; la normativa limita la tensión de servicio a la quinta parte de ese valor. Demuestra que el peor caso encontrado más arriba es el arranque, deduce la masa total máxima e imprime el cartel: ¿cuántos pasajeros de $80\,\mathrm{kg}$ pueden viajar? Comprueba el coeficiente de seguridad.

Solución

Solución de Problema 25.1.

1. Sistema: cabina $+$ carro ( $+$ pasajeros). La montaña está fija al suelo, inercial con excelente aproximación. Fuerzas: el peso $M\vect g$ (hacia abajo), la reacción normal $\vect N$ del cable portador (perpendicular a él) y la tensión $\vect T$ del cable tractor (pendiente arriba).

2. En reposo, la primera ley: $\sum \vect F = \vect 0$ . A lo largo de la pendiente: $T = Mg\sin\alpha$ ; perpendicularmente: $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. En vacío: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . Todas las fuerzas del equilibrio son proporcionales a $M$ , así que $T$ también.

5. A lo largo de la pendiente, $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ se cancela, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pendiente abajo.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\,\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. Componente vertical de $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , luego $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ frente a $mg = 785\,\mathrm{N}$ : un $3\,\%$ más pesada.

10. El rozamiento estático del suelo, horizontal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . Al inclinarse, el empuje total del suelo le pasa por el centro de masas y así no la vuelca.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (rapidez constante); $a_n = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigida al centro — verticalmente hacia abajo en la cresta.

12. Eje normal (positivo hacia abajo): $Mg - N' = Mv^2/R$ , luego $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : más ligera en $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\,\%$ .

14. $N' = 0$ cuando $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — más del triple de la marcha de crucero: el carro va sobre el cable con un amplio margen.

15. Por la tercera ley de Newton: $35.6\,\mathrm{kN}$ , apretando hacia abajo sobre el cable (y por tanto sobre el pilono) — algo menos que el peso en reposo, aliviado por el vuelo curvo.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , opuesta al movimiento ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; el techo vale $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : los pies solos resbalan — hay que agarrarse a la barra.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; el pasajero se mueve a $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ respecto del suelo.

19. El cohete: su empuje queda fijado por la masa expulsada por segundo multiplicada por la velocidad de eyección respecto de él.

20. La mayor tensión encontrada es la del arranque, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (en reposo sale $Mg\sin\alpha$ , y en la cresta aún menos). Límite: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , luego $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : carga útil $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , es decir, $20$ pasajeros de $80\,\mathrm{kg}$ (no $25$ ). Cartel: 20 personas; entonces $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ y el coeficiente de seguridad vale $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .