Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

13Las interacciones fundamentales

Frota un globo contra el pelo y recogerá trocitos de papel — venciendo, con unos pocos centímetros cuadrados de goma, al tirón gravitatorio del planeta entero. Esa victoria tan fácil es la razón de que los átomos se sostengan y de que los núcleos pesados acaben por romperse (Capítulo 19). El universo funciona con exactamente cuatro interacciones; este capítulo las presenta, las pesa unas contra otras y asigna a cada una su planta.

13.1 La materia, del quark a las galaxias

Definición 13.1 (La escalera de las estructuras)

La materia se construye por plantas, cada una ensamblada con la de abajo: tres quarks (puntuales, de menos de 10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) se unen en un nucleón — protón o neutrón, de unos 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}; los nucleones se apiñan en un núcleo (de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} a 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}); un núcleo más su nube de electrones es un átomo (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}); los átomos se unen en moléculas y cristales (de 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} en adelante), que se ensamblan en objetos cotidianos (1 m1\,\mathrm{m}), planetas (107 m10^{7}\,\mathrm{m}), sistemas planetarios (1011 m10^{11}\,\mathrm{m}), galaxias (1021 m10^{21}\,\mathrm{m}) y el universo observable (1026 m10^{26}\,\mathrm{m}).

Definición 13.2 (Las cuatro interacciones)

Una interacción fundamental es una fuerza que no se reduce a otras fuerzas; hay exactamente cuatro: la gravitación, la interacción electromagnética, la interacción fuerte y la interacción débil.

Observación 13.3

Las plantas están separadas por vacíos: un átomo es 10510^{5} veces más ancho que su núcleo — si se agranda el núcleo hasta una canica de 1 cm1\,\mathrm{cm}, la nube de electrones mide un kilómetro. Algo tiene que mantener unidas esas plantas tan poco pobladas, y casi nunca es la gravedad.

La escalera de las estructuras en un eje de potencias de diez: cuarenta y cuatro décadas separan el quark del universo observable. Tamaños en metros.
La escalera de las estructuras en un eje de potencias de diez: cuarenta y cuatro décadas separan el quark del universo observable. Tamaños en metros.

13.2 La carga eléctrica

Definición 13.4 (Carga eléctrica)

La carga eléctrica es la propiedad de la materia sobre la que actúa la interacción electromagnética, igual que la masa es la propiedad sobre la que actúa la gravitación. Se mide en culombios (C\mathrm{C}) y viene en dos signos, positivo y negativo, que se cancelan al sumarse; las cargas del mismo signo se repelen y las de signos distintos se atraen.

Definición 13.5 (Carga elemental)

La carga es granulada: toda carga observada es un múltiplo entero de la carga elemental e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. El protón lleva +e+e, el electrón −e-e y el neutrón 00; una carga qq contiene N=∣q∣/eN = \abs{q}/e cargas elementales.

Proposición 13.6 (Conservación de la carga)

La carga total de un sistema aislado no cambia nunca: la carga no se crea ni se destruye, solo se transfiere — en la práctica, mediante electrones, los portadores más ligeros.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 13.7

Nunca se ha observado ninguna violación; la razón profunda, una simetría del electromagnetismo, se da en los volúmenes universitarios.

Definición 13.8 (Electrización por frotamiento y por contacto)

Frotar dos aislantes arranca electrones de uno y los deposita en el otro, dejando cargas opuestas de igual módulo (electrización por frotamiento); tocar un objeto neutro con uno cargado reparte la carga (electrización por contacto). Solo se mueven los electrones; la carga total se conserva.

Ejemplo 13.9 (Contar electrones)

Un globo frotado contra el pelo adquiere q=−1.6×10−8 Cq = -1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}: ha ganado N=1.6×10−8/1.6×10−19=1.0×1011N = 1.6 \times 10^{-8} / 1.6 \times 10^{-19} = 1.0 \times 10^{11} electrones, y el pelo queda con exactamente +1.6×10−8 C+1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}.

13.3 La ley de Coulomb

Teorema 13.10 (Ley de Coulomb)

Dos cargas puntuales q1q_1 y q2q_2 separadas una distancia dd ejercen una sobre otra fuerzas dirigidas según la recta que las une, de módulos iguales y sentidos opuestos — repulsivas si los signos son iguales y atractivas si son distintos — con

F=k ∣q1q2∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.F = k\,\frac{\abs{q_1 q_2}}{d^{2}}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 13.11

Coulomb estableció la ley en 1785 midiendo el retorcimiento de una fina fibra de torsión; por qué el exponente es exactamente 22 se responde en los volúmenes universitarios.

Las cargas del mismo signo se repelen (izquierda) y las de signos distintos se atraen (derecha); las dos fuerzas tienen siempre módulos iguales y sentidos opuestos. Las cargas del mismo signo se repelen (izquierda) y las de signos distintos se atraen (derecha); las dos fuerzas tienen siempre módulos iguales y sentidos opuestos.
Las cargas del mismo signo se repelen (izquierda) y las de signos distintos se atraen (derecha); las dos fuerzas tienen siempre módulos iguales y sentidos opuestos.

Observación 13.12 (Un gemelo formal de la gravitación)

La ley de Coulomb es, símbolo a símbolo, la ley de gravitación universal (Capítulo 4) con cargas en lugar de masas:

fuentemasa mmcarga qq
leyF=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{\abs{q_1 q_2}}{d^2}
[1.5ex] constanteG=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}
signosiempre atractivaatractiva o repulsiva

Las dos diferencias gobiernan todo lo que sigue: la electricidad es abrumadoramente más fuerte, y solo ella puede cancelarse a sí misma.

Ejemplo 13.13 (Dos protones, las dos fuerzas a la vez)

Dos protones (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}) están a d=1.0×10−15 md = 1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} — vecinos dentro de un núcleo. Repulsión eléctrica:

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times \frac{(1.60 \times 10^{-19})^{2}}{(1.0 \times 10^{-15})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}

— el peso de una maleta de 2323 kg, soportado por una partícula de 10−2710^{-27} kilogramos. Atracción gravitatoria: FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/(1.0×10−15)2≈1.9×10−34 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^{2} / (1.0 \times 10^{-15})^{2} \approx 1.9 \times 10^{-34}\,\mathrm{N}. El cociente FE/FG=ke2/(Gmp2)≈1.2×1036F_E / F_G = k e^{2} / (G m_p^{2}) \approx 1.2 \times 10^{36} no depende de la distancia (d2d^{2} se cancela): entre partículas elementales, la gravedad es 103610^{36} veces demasiado débil para contar — a cualquier distancia.

13.4 Las interacciones fuerte y débil

El ejemplo deja un escándalo: un núcleo de helio sostiene dos protones que se repelen con decenas de newtons — y sin embargo el helio existe.

Definición 13.14 (La interacción fuerte)

La interacción fuerte liga los quarks en nucleones y los nucleones en núcleos. A 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} es atractiva y mucho más intensa que la repulsión eléctrica (miles de newtons entre nucleones); más allá de unos pocos 10−1510^{-15} metros se desvanece: su alcance es de unos 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Agarra por igual a protones y neutrones e ignora la carga.

El tira y afloja dentro de un núcleo: a 10-15 m la atracción fuerte (miles de newtons) le gana a la repulsión eléctrica.
El tira y afloja dentro de un núcleo: a 10−1510^{-15} m la atracción fuerte (miles de newtons) le gana a la repulsión eléctrica.

Observación 13.15 (Por qué existen los núcleos — y por qué los pesados ceden)

Las dos fuerzas del núcleo escalan de forma distinta. El pegamento fuerte es de corto alcance: un nucleón solo se liga a sus pocos vecinos situados dentro de 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. La repulsión eléctrica es de largo alcance: cada protón empuja a todos los demás protones. A medida que los núcleos crecen, la repulsión se acumula más deprisa que el pegamento: los núcleos pesados necesitan neutrones de más (pegamento sin carga) y, más allá de unos 8080 protones, ni siquiera eso basta — los núcleos más pesados viven de prestado (Capítulo 19).

Definición 13.16 (La interacción débil)

La interacción débil, de alcance aún más corto, permite que un neutrón se convierta en protón (y al revés): es ella la que impulsa la radiactividad β\beta del Capítulo 19.

13.5 Quién manda en cada planta

Método 13.17 (Auditar una escala)

Para saber qué interacción manda en una estructura de tamaño dd, hay que mirar el alcance y la cancelación:

  1. d≤10−14 md \leq 10^{-14}\,\mathrm{m}: manda la interacción fuerte — le gana a la repulsión eléctrica, y la gravedad queda 103610^{36} veces fuera.
  2. del átomo a las montañas (de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} a 104 m10^{4}\,\mathrm{m}): la fuerza fuerte queda fuera de alcance; manda la interacción electromagnética — enlaces, cohesión, rozamiento, contacto.
  3. planetas y más allá (d≥106 md \geq 10^{6}\,\mathrm{m}): la materia es neutra con una precisión fantástica, así que la electricidad se cancela a sí misma; la masa tiene un solo signo y siempre se suma — manda la gravitación en el cielo.

La interacción débil no ocupa ninguna planta: no liga nada, pero arbitra las transformaciones (la desintegración β\beta).

Quién manda dónde: la fuerte en los núcleos, la electromagnética del átomo a las montañas y la gravitación en los planetas y más allá. Tamaños en metros.
Quién manda dónde: la fuerte en los núcleos, la electromagnética del átomo a las montañas y la gravitación en los planetas y más allá. Tamaños en metros.

13.6 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Da el orden de magnitud de cada tamaño y su planta en la escalera: protón 1.7×10−15 m1.7 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}; molécula de agua 2.8×10−10 m2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; grano de arena 2×10−4 m2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}; Tierra 1.3×107 m1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}; Vía Láctea 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}.

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

Protón: 10−1510^{-15} (planta del nucleón); molécula de agua: 10−1010^{-10} (planta de la molécula — una molécula suelta tiene tamaño atómico); arena: 10−410^{-4} (materia cotidiana); Tierra: 10710^{7} (planeta); Vía Láctea: 102110^{21} (galaxia). Todo en metros.

Ejercicio 13.2 ★

Un globo frotado contra el pelo lleva q=−4.8×10−9 Cq = -4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}. ¿Ha ganado o ha perdido electrones, y cuántos? ¿Qué carga queda después en el pelo, y qué ley lo dice?

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

Carga negativa: ha ganado N=4.8×10−9/1.6×10−19=3.0×1010N = 4.8 \times 10^{-9}/1.6 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{10} electrones. El pelo queda con +4.8×10−9 C+4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}, por la conservación de la carga (Proposición 13.6).

Ejercicio 13.3 ★

Las cargas q1=2.0×10−6 Cq_1 = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} y q2=−3.0×10−6 Cq_2 = -3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} están a 30 cm30\,\mathrm{cm}. Calcula la fuerza; ¿atractiva o repulsiva? Compara las fuerzas sobre q1q_1 y sobre q2q_2.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

F=8.99×109×2.0×10−6×3.0×10−60.302=5.39×10−20.090≈0.60 NF = 8.99 \times 10^{9} \times \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.30^2} = \dfrac{5.39 \times 10^{-2}}{0.090} \approx 0.60\,\mathrm{N}, atractiva (signos distintos). Las dos fuerzas tienen el mismo módulo y sentidos opuestos.

Ejercicio 13.4 ★

Dos cargas se atraen con una fuerza F0F_0. ¿En qué se convierte si se duplica la distancia; si la distancia se divide entre 33; si se duplica una carga; si se duplican las dos cargas y la distancia?

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

F0/4F_0/4; 9F09F_0; 2F02F_0; F0F_0 (numerador ×4\times 4, denominador ×4\times 4).

Ejercicio 13.5 ★

Nombra la interacción responsable de: (a) la Luna orbitando la Tierra; (b) la cohesión de un cristal de sal; (c) la cohesión de un núcleo de helio; (d) la desintegración β\beta del carbono-14; (e) el globo del Ejercicio 13.2 pegado a una pared.

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

(a) la gravitación; (b) la electromagnética; (c) la fuerte; (d) la débil; (e) la electromagnética.

Ejercicio 13.6 ★★

Los dos protones de un núcleo de helio están a d=2.0×10−15 md = 2.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calcula su repulsión eléctrica, su atracción gravitatoria y el cociente. ¿Qué mantiene entero el núcleo?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(2.0×10−15)2=2.30×10−28/4.0×10−30≈58 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2/(2.0 \times 10^{-15})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/4.0 \times 10^{-30} \approx 58\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/4.0×10−30≈4.7×10−35 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/4.0 \times 10^{-30} \approx 4.7 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}. Cociente FE/FG≈1.2×1036F_E/F_G \approx 1.2 \times 10^{36}. Lo que sostiene el núcleo es la interacción fuerte; la gravedad es irrelevante.

Ejercicio 13.7 ★★

En un átomo de hidrógeno, el electrón (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) está a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} del protón (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calcula las fuerzas eléctrica y gravitatoria entre ellos y su cociente. ¿Qué mantiene unidos a los átomos?

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

FE=2.30×10−28/(5.3×10−11)2=2.30×10−28/2.81×10−21≈8.2×10−8 NF_E = 2.30 \times 10^{-28}/(5.3 \times 10^{-11})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/2.81 \times 10^{-21} \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/2.81×10−21≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / 2.81 \times 10^{-21} \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Cociente ≈2.3×1039\approx 2.3 \times 10^{39}: lo que mantiene unidos a los átomos es la interacción electromagnética.

Ejercicio 13.8 ★★

La esfera A lleva qA=8.0×10−9 Cq_A = 8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}; una esfera B idéntica está neutra. Se ponen en contacto y después se separan 10 cm10\,\mathrm{cm}. ¿Qué carga lleva cada una (comprueba la conservación de la carga)? Calcula la fuerza entre ellas — ¿atractiva o repulsiva?

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

Por contacto la carga se reparte: qA=qB=4.0×10−9 Cq_A = q_B = 4.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C} (el total sigue siendo 8.0×10−9 C8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}). Entonces F=8.99×109×(4.0×10−9)2/0.102=1.4×10−5 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (4.0 \times 10^{-9})^2/0.10^2 = 1.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}, repulsiva (signos iguales).

Ejercicio 13.9 ★★

Dos cargas iguales q=1.0×10−6 Cq = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} se repelen con 0.90 N0.90\,\mathrm{N}: ¿a qué distancia están? ¿Dónde baja la fuerza a 0.10 N0.10\,\mathrm{N}?

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

d=kq2/F=8.99×109×1.0×10−12/0.90≈0.10 md = \sqrt{k q^2/F} = \sqrt{8.99 \times 10^{9} \times 1.0 \times 10^{-12}/0.90} \approx 0.10\,\mathrm{m}. Una fuerza 99 veces menor exige una distancia 33 veces mayor: d=0.30 md = 0.30\,\mathrm{m}.

Ejercicio 13.10 ★★

Dos protones de moléculas vecinas están a d=1.0×10−10 md = 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Calcula su repulsión eléctrica. ¿Qué aporta la interacción fuerte a esa distancia? ¿Qué interacción liga las moléculas?

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

F=2.30×10−28/(1.0×10−10)2=2.3×10−8 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.0 \times 10^{-10})^2 = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}. La interacción fuerte no aporta nada: 10−1010^{-10} m es 10510^{5} veces su alcance. Las moléculas están ligadas por la interacción electromagnética.

Ejercicio 13.11 ★★

Cada una de dos monedas contiene unos 102310^{23} electrones. Pasa un electrón de cada millón de una a la otra y sepáralas 1.0 m1.0\,\mathrm{m}. Calcula la carga de cada moneda y después la fuerza. ¿Al peso de qué masa equivale? Concluye sobre la neutralidad de la materia cotidiana.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

q=1023/106×1.6×10−19=1.6×10−2 Cq = 10^{23}/10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{C} en cada moneda. F=8.99×109×(1.6×10−2)2/1.02≈2.3×106 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-2})^2/1.0^2 \approx 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N} — el peso de 2.3×106/9.81≈2.3×105 kg2.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 2.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}, un tren de mercancías cargado, a partir de un millonésimo de los electrones. La materia cotidiana tiene que ser (y es) neutra con mucha más precisión que una parte en un millón.

Ejercicio 13.12 ★★★

Un núcleo de uranio tiene un diámetro de 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} y 9292 protones. Calcula la repulsión entre dos protones situados en extremos opuestos. ¿Puede la interacción fuerte ligar esa pareja? ¿Por qué no? ¿Cuántas parejas de protones que se repelen hay? ¿Por qué los núcleos pesados necesitan neutrones de más, y por qué a partir de cierto tamaño ni siquiera los neutrones pueden salvarlos?

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2=2.30×10−28/1.96×10−28≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/1.96 \times 10^{-28} \approx 1.2\,\mathrm{N} — enorme todavía a esta escala. No: están a 1414 veces el alcance fuerte; cada protón solo está pegado a sus vecinos más próximos. Parejas: 92×912=4186\frac{92 \times 91}{2} = 4186, y todas se repelen a cualquier distancia, mientras que el pegamento no crece con el tamaño. Los neutrones añaden atracción sin repulsión y separan a los protones; pero la repulsión crece con el cuadrado del número de protones y el pegamento solo con el número de vecinos, así que más allá de unos 8080 protones ningún presupuesto de neutrones cuadra las cuentas — esos núcleos se desintegran (Capítulo 19).

Ejercicio 13.13 ★★★

Dos bolitas de masa 1.0 g1.0\,\mathrm{g} cuelgan de hilos de 50 cm50\,\mathrm{cm} atados al mismo punto. Al darles la misma carga qq, se separan 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm}. Cada bolita está en equilibrio bajo su peso, la tensión del hilo y la fuerza eléctrica: demuestra que F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta (θ\theta: ángulo del hilo con la vertical) y que aquí tan⁡θ≈0.060\tan\theta \approx 0.060. Calcula FF, después qq y después el número de cargas elementales desplazadas.

Solución

Solución de Ejercicio 13.13.

Equilibrio: en vertical Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg y en horizontal Tsin⁡θ=FT\sin\theta = F, luego F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta. Aquí sin⁡θ=3.0/50=0.060\sin\theta = 3.0/50 = 0.060 y, para ángulos pequeños, tan⁡θ≈sin⁡θ=0.060\tan\theta \approx \sin\theta = 0.060. Entonces F=1.0×10−3×9.81×0.060≈5.9×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-3} \times 9.81 \times 0.060 \approx 5.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}; q=dF/k=0.060×5.9×10−4/8.99×109≈1.54×10−8 Cq = d\sqrt{F/k} = 0.060 \times \sqrt{5.9 \times 10^{-4}/8.99 \times 10^{9}} \approx 1.54 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}; N=1.54×10−8/1.6×10−19≈9.6×1010N = 1.54 \times 10^{-8}/1.6 \times 10^{-19} \approx 9.6 \times 10^{10} cargas elementales.

Ejercicio 13.14 ★★★

Datos: ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distancia Tierra–Luna d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Calcula la fuerza gravitatoria Tierra–Luna. Se apaga la gravedad: ¿qué cargas +Q+Q en la Tierra y −Q-Q en la Luna mantendrían la misma atracción? ¿A cuántos electrones equivale QQ, y cuánto pesan (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})? Coméntalo.

Solución

Solución de Ejercicio 13.14.

F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2=2.93×1037/1.47×1017≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22} / (3.84 \times 10^{8})^2 = 2.93 \times 10^{37}/1.47 \times 10^{17} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}. Imponiendo kQ2/d2=FkQ^2/d^2 = F: Q=dF/k=3.84×108×2.0×1020/8.99×109≈5.7×1013 CQ = d\sqrt{F/k} = 3.84 \times 10^{8} \times \sqrt{2.0 \times 10^{20}/8.99 \times 10^{9}} \approx 5.7 \times 10^{13}\,\mathrm{C}. Eso son N=5.7×1013/1.6×10−19≈3.6×1032N = 5.7 \times 10^{13}/1.6 \times 10^{-19} \approx 3.6 \times 10^{32} electrones, de masa 3.6×1032×9.11×10−31≈3.2×102 kg3.6 \times 10^{32} \times 9.11 \times 10^{-31} \approx 3.2 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}: unos pocos cientos de kilogramos de electrones podrían hacer el trabajo de los 7.35×1022 kg7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg} de la Luna — la fuerza de la electricidad y la debilidad de la gravedad en un solo número.

Ejercicio 13.15 ★★★

En un cristal de sal, los iones Na+^{+} y Cl−^{-} (cargas ±e\pm e) están a d=2.8×10−10 md = 2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; un ion Cl−^{-} tiene una masa de 5.9×10−26 kg5.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Calcula la fuerza entre iones vecinos y el peso de un ion Cl−^{-}; da el cociente. Explica después cómo gana la gravedad a gran escala — ninguna montaña supera los 104 m10^{4}\,\mathrm{m} — aunque cada enlace le gane por quince órdenes de magnitud.

Solución

Solución de Ejercicio 13.15.

F=2.30×10−28/(2.8×10−10)2=2.30×10−28/7.84×10−20≈2.9×10−9 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(2.8 \times 10^{-10})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/7.84 \times 10^{-20} \approx 2.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}; peso P=5.9×10−26×9.81≈5.8×10−25 NP = 5.9 \times 10^{-26} \times 9.81 \approx 5.8 \times 10^{-25}\,\mathrm{N}; cociente F/P≈5×1015F/P \approx 5 \times 10^{15}. Cada enlace tiene una intensidad fija, pero el peso crece con toda la masa que hay encima: si se apila roca, la carga sobre la capa inferior crece sin límite y sus enlaces no. Hacia los 104 m10^{4}\,\mathrm{m} de roca, la carga aplasta los enlaces eléctricos — la gravedad gana no por su intensidad por partícula, sino porque se suma cuando la carga se cancela.

13.7 Problema: la auditoría de las cuatro fuerzas

Problema 13.1

Problema de fin de semana — por qué el mundo ni se derrumba ni se desintegra: las cuatro interacciones auditadas planta por planta, hasta la neutralidad de la materia con dos partes en 101810^{18}

Los átomos no implosionan, los núcleos casi siempre aguantan y la Luna ni se estrella ni se escapa; este problema audita a quién corresponde el mérito. Datos: e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}, G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}, mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distancia Tierra–Luna 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}.

Parte I — La escalera.

  1. Enumera las plantas de la escalera del quark a la galaxia, con un orden de magnitud de tamaño cada una.
  2. Maqueta a escala: el núcleo se convierte en una canica de 1 cm1\,\mathrm{cm}; ¿cuánto mide entonces el átomo?
  3. ¿Qué fracción del volumen de un átomo ocupa su núcleo?
  4. Un cabello tiene 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m} de grosor. ¿Cuántos átomos lo abarcan?
  5. ¿Cuántas potencias de diez hay del techo del quark (10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) a una galaxia (1021 m10^{21}\,\mathrm{m})?

Parte II — La planta eléctrica.

  1. En un átomo de hidrógeno, el electrón está a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} del protón: calcula la fuerza eléctrica entre ellos.
  2. Calcula la fuerza gravitatoria entre ellos y el cociente de las dos. ¿Cuál mantiene unido el átomo?
  3. ¿Qué cambia si se apaga la gravedad dentro de los átomos? ¿Y si se apaga la electricidad?
  4. ¿Por qué las fuerzas de “contacto” de la vida diaria — el suelo que empuja tus pies, el rozamiento — son electromagnéticas disfrazadas?
  5. Cada una de dos monedas contiene unos 102310^{23} electrones. Pasa un electrón de cada mil millones de una a la otra y sepáralas 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcula las cargas y la fuerza. ¿Conclusión?
  6. ¿Qué interacción manda en las plantas de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} a 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, y por qué no compite la interacción fuerte?

Parte III — La planta nuclear.

  1. Dos protones están a 1.0×10−15 m1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} dentro de un núcleo: calcula su repulsión eléctrica.
  2. Sin nada que lo frene, ¿qué aceleración le daría esa fuerza a un protón? Compárala con gg.
  3. Enumera las tres propiedades que necesita la interacción fuerte para explicar por qué existen los núcleos, por qué también agarra a los neutrones y por qué los núcleos son diminutos.
  4. En un núcleo de uranio (diámetro 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}, 9292 protones), calcula la repulsión entre dos protones situados en extremos opuestos. ¿Puede la interacción fuerte ligar directamente esa pareja? Explica por qué la repulsión gana a medida que crecen los núcleos y para qué sirven los neutrones.
  5. En una frase, como se prometió: ¿qué hace la interacción débil?

Parte IV — La planta astronómica y el veredicto.

  1. Calcula la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna.
  2. La Tierra contiene unos 1.8×10511.8 \times 10^{51} protones (y otros tantos electrones), y la Luna unos 2.2×10492.2 \times 10^{49}. ¿Qué fracción ff de la carga protónica de cada cuerpo, dejada sin cancelar, haría que la fuerza eléctrica igualase a la gravitatoria?
  3. ¿Por qué manda en la astronomía la gravitación, la endeble de la pregunta 7? Dos razones.
  4. Veredicto — una frase por planta (núcleo, del átomo a la montaña, planeta y más allá): ¿qué la mantiene unida? Responde después al título: ¿por qué el mundo ni se derrumba ni se desintegra?
Solución

Solución de Problema 13.1.

1. Quark <10−18 m< 10^{-18}\,\mathrm{m}; nucleón 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}; núcleo de 10−1510^{-15} a 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}; átomo 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}; molécula 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m}; objeto cotidiano 1 m1\,\mathrm{m}; planeta 107 m10^{7}\,\mathrm{m}; sistema planetario 1011 m10^{11}\,\mathrm{m}; galaxia 1021 m10^{21}\,\mathrm{m}.

2. Factor de escala 10510^{5}: el átomo mide 1 cm×105=1 km1\,\mathrm{cm} \times 10^{5} = 1\,\mathrm{km}.

3. (10−15/10−10)3=10−15(10^{-15}/10^{-10})^3 = 10^{-15}: la materia está vacía en un 99.999 999 999 999 9 %99.999\,999\,999\,999\,9\,\%.

4. 7×10−5/10−10=7×1057 \times 10^{-5}/10^{-10} = 7 \times 10^{5} átomos — alrededor de un millón a lo ancho de un cabello.

5. De 10−1810^{-18} a 102110^{21}: 3939 potencias de diez.

6. FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}.

7. FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31}/(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}; cociente FE/FG≈2.3×1039F_E/F_G \approx 2.3 \times 10^{39}. La electricidad sostiene el átomo; la gravedad es una espectadora.

8. Sin gravedad: no cambia nada medible (está 103910^{39} por debajo). Sin electricidad: ni átomos, ni moléculas, ni materia alguna.

9. El “contacto” es la repulsión eléctrica entre las nubes de electrones de los átomos cuando se acercan a unos 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}: nada se toca nunca. La reacción del suelo y el rozamiento son la ley de Coulomb al por mayor.

10. q=1023×10−9×1.6×10−19=1.6×10−5 Cq = 10^{23} \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{C} en cada una; F=8.99×109×(1.6×10−5)2≈2.3 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-5})^2 \approx 2.3\,\mathrm{N} — una fuerza perfectamente visible a partir de un electrón de cada mil millones. La materia cotidiana es neutra con mucha más precisión que 10−910^{-9}.

11. La interacción electromagnética. La fuerza fuerte queda fuera de alcance más allá de unos 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m} — 10410^{4} veces menos que un solo átomo.

12. F=8.99×109×(1.60×10−19)2/(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (1.0 \times 10^{-15})^2 \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}.

13. a=F/mp=230/1.67×10−27≈1.4×1029 m/s2a = F/m_p = 230/1.67 \times 10^{-27} \approx 1.4 \times 10^{29}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, unas 1.4×10281.4 \times 10^{28} veces gg: ninguna fuerza cotidiana se le acerca.

14. Más intensa que 230 N230\,\mathrm{N} a 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (los núcleos existen); actuando por igual sobre protones y neutrones, ciega a la carga (los neutrones también quedan agarrados); y de alcance en torno a 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (los núcleos siguen siendo diminutos — el pegamento no llega más lejos).

15. F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 \approx 1.2\,\mathrm{N}. No: están a 1414 veces el alcance. La repulsión actúa sobre todas las 92×912=4186\frac{92\times91}{2} = 4186 parejas de protones; el pegamento solo liga a los vecinos más próximos, así que crecer favorece a la repulsión. Los neutrones añaden pegamento y separación sin añadir repulsión — hasta que, más allá de unos 8080 protones, ninguna mezcla cuadra y el núcleo se desintegra.

16. La interacción débil convierte un neutrón en protón (y al revés), lo que produce la desintegración β\beta — transforma; no liga nunca.

17. F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}/(3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

18. QE=1.8×1051×1.6×10−19=2.9×1032 CQ_E = 1.8 \times 10^{51} \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^{32}\,\mathrm{C} y QM=3.5×1030 CQ_M = 3.5 \times 10^{30}\,\mathrm{C}. Igualar las fuerzas exige f2 k QEQM=GMEMMf^2\,k\,Q_E Q_M = G M_E M_M:

f=2.93×10378.99×109×2.9×1032×3.5×1030=3.2×10−36≈1.8×10−18:f = \sqrt{\frac{2.93 \times 10^{37}}{8.99 \times 10^{9} \times 2.9 \times 10^{32} \times 3.5 \times 10^{30}}} = \sqrt{3.2 \times 10^{-36}} \approx 1.8 \times 10^{-18} :

un desequilibrio de dos partes en 101810^{18} bastaría para cancelar la gravedad.

19. La carga viene en dos signos y se cancela (la pregunta 18 muestra con qué perfección), de modo que la fuerza más intensa se apaga a sí misma a gran escala; la masa tiene un solo signo, se suma para siempre y nada la apantalla.

20. Núcleo: la interacción fuerte puede más que la repulsión de los protones a 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Del átomo a la montaña: la interacción electromagnética liga los electrones a los núcleos y los átomos entre sí. Planeta y más allá: la gravitación, sin oposición una vez que la carga se cancela, sostiene planetas, órbitas y galaxias. El mundo no se derrumba porque cada planta está apuntalada por un ligante más rígido que la carga, y no se desintegra porque la materia es neutra hasta unas 10−1810^{-18} partes — así que cada escala tiene exactamente una fuerza al mando, y es atractiva donde tiene que serlo.