Física de secundaria · Grades 10–12

34El mundo cuántico: fotones y niveles de energía

Una lámpara de infrarrojos puede bañarte la piel toda la tarde sin dejarte marca; diez minutos de sol de alta montaña dejan una quemadura. La lámpara entrega muchísima más energía — pero no es la energía lo que marca la piel. La luz, como muestra este capítulo, llega en granos, y solo un grano que golpee con suficiente fuerza hace química: un grano ultravioleta rompe un enlace que mil millones de granos infrarrojos solo calientan. Sigue los granos y se abre un siglo entero: metales que sueltan electrones, átomos que cantan en líneas espectrales, electrones que interfieren como ondas.

34.1 La luz llega en granos: el fotón

Definición 34.1 (El fotón)

La luz de frecuencia $\nu$ intercambia energía con la materia solo en granos enteros llamados fotones, cada uno de energía

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},

donde $h$ es la constante de Planck (Planck, 1900; Einstein, 1905) y $\lambda$ la longitud de onda en el vacío. La intensidad de un haz mide el número de fotones por segundo; la energía de cada grano la fija únicamente la frecuencia.

Notación 34.2 (El electronvoltio)

La física atómica usa el electronvoltio, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : la energía que gana una carga elemental al atravesar $1\,\mathrm{V}$ (Capítulo 14). Muy cómodo: $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ .

Una sola escala para la familia electromagnética (): longitud de onda (arriba) y energía por fotón hc/ (en azul), desde los granos de radio de un microelectronvoltio hasta los granos gamma de MeV del — y aun así, un puntero de 1.0\, mW vierte 3 × 1015 granos por segundo: la luz cotidiana fluye tan lisa como la arena que se derrama. — Una sola escala para la familia electromagnética (Capítulo 22): longitud de onda (arriba) y energía por fotón $hc/\lambda$ (en azul), desde los granos de radio de un microelectronvoltio hasta los granos gamma de $\mathrm{MeV}$ del Capítulo 19 — y aun así, un puntero de $1.0\,\mathrm{mW}$ vierte $3 \times 10^{15}$ granos por segundo: la luz cotidiana fluye tan lisa como la arena que se derrama.

34.2 El efecto fotoeléctrico

Ilumina una placa metálica limpia en el vacío y saltan electrones — el efecto fotoeléctrico. Sus reglas rompieron la física clásica.

Proposición 34.3 (Lo que muestra el experimento)

Para cada metal existe una frecuencia umbral $\nu_0$ :

por debajo de $\nu_0$ no sale ningún electrón, por intensa que sea la luz;
por encima de $\nu_0$ la emisión empieza sin retardo, por débil que sea;
la intensidad aumenta el número de electrones por segundo, no su energía cinética máxima; la frecuencia sí aumenta $E_{k,\max}$ .

Nada de esto encaja con una onda continua, que debería permitir la acumulación de carga con cualquier color — durante meses, con luz débil (Ejercicio 34.14) — y cuya intensidad debería fijar la energía de los electrones: las tres predicciones fallan.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Teorema 34.4 (Relación fotoeléctrica de Einstein)

Un electrón necesita al menos el trabajo de extracción $W_0$ del metal para escapar de su superficie. Un fotón es absorbido entero por un electrón, así que

h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{de donde } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.

Demostración. Contabilidad energética: entra $h\nu$ , se gasta $W_0$ en escapar y el resto es cinético — como mucho $h\nu - W_0$ , y menos para los electrones que parten de más adentro. Por debajo de $\nu_0$ ningún grano puede pagar el peaje de salida, por muchos que sean. ∎

Definición 34.5 (Potencial de frenado)

Para medir $E_{k,\max}$ se frena a los electrones con una tensión inversa (Capítulo 14); el potencial de frenado $U_s$ es la menor tensión que anula la corriente: los electrones más rápidos se quedan justo sin cruzar, luego $E_{k,\max} = e\,U_s$ .

E_k, = eU_s medida frente a la frecuencia (sodio): una recta de pendiente h que corta el eje en _0; extrapolada (a trazos), revela -W_0 en = 0. — $E_{k,\max} = eU_s$ medida frente a la frecuencia (sodio): una recta de pendiente $h$ que corta el eje en $\nu_0$ ; extrapolada (a trazos), revela $-W_0$ en $\nu = 0$ .

Método 34.6 (Medir la constante de Planck)

Ilumina una célula fotoeléctrica a través de filtros de longitud de onda conocida; calcula cada $\nu = c/\lambda$ ; anota cada potencial de frenado.
Representa $E_{k,\max} = eU_s$ frente a $\nu$ : Einstein promete la recta $h\nu - W_0$ .
Lee la pendiente: es $h$ ; las ordenadas en el origen dan $\nu_0$ y $-W_0$ .

34.3 Niveles de energía: por qué los átomos emiten líneas

Definición 34.7 (Niveles de energía)

La energía de un electrón ligado en un átomo está cuantizada: restringida a una escalera discreta de niveles de energía $E_1 < E_2 < \dots < 0$ , contados como negativos a partir del electrón libre. El peldaño más bajo es el estado fundamental y los demás son estados excitados; llegar a $0$ es la ionización.

Proposición 34.8 (La escalera del hidrógeno)

Los niveles de energía del átomo de hidrógeno son

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

de modo que $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , apiñándose hacia $0$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 34.9 (De dónde sale la escalera)

Por qué esos números es mecánica cuántica, reservada a los volúmenes universitarios — como también lo es la fórmula de De Broglie: la onda de materia del electrón (Definición 34.15, más abajo) debe cerrarse sobre sí misma alrededor del núcleo, y solo caben ciertas longitudes de onda — igual que una cuerda de guitarra, un átomo tiene un conjunto discreto de notas.

Teorema 34.10 (Fotón de una transición)

Un átomo cambia de nivel únicamente emitiendo o absorbiendo un fotón que se lleve exactamente la diferencia: al caer del nivel $p$ a otro más bajo $n$ emite $h\nu = E_p - E_n$ ; al subir de $n$ a $p$ absorbe esa misma energía.

Demostración. Conservación de la energía, grano a grano: el fotón es la única moneda que acepta la luz, y las cuentas del átomo tienen que cuadrar. ∎

Observación 34.11 (Los espectros de líneas, explicados)

Aquí está la respuesta que prometía el Capítulo 2: un gas caliente emite solo las frecuencias $(E_p - E_n)/h$ de su propia escalera — un código de barras de líneas brillantes — y un gas frío roba exactamente esas frecuencias a la luz blanca, imprimiendo las líneas oscuras de absorción correspondientes. Cada elemento tiene su propia escalera y, por tanto, su propio código de barras — así es como leemos la luz de las estrellas.

Ejemplo 34.12 (Las líneas visibles del hidrógeno)

Las transiciones que terminan en $n = 2$ caen en el visible. Con $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ : $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (rojo); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (azul verdoso); $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (violeta). Las transiciones a $n = 1$ superan los $10\,\mathrm{eV}$ : todas ultravioletas.

La escalera del hidrógeno, a escala: las líneas visibles terminan todas en n = 2; la caída al estado fundamental es ultravioleta lejano. — La escalera del hidrógeno, a escala: las líneas visibles terminan todas en $n = 2$ ; la caída al estado fundamental es ultravioleta lejano.

Observación 34.13 (Los láseres, en un suspiro)

Un fotón de energía exactamente $E_p - E_n$ que pase junto a un átomo excitado puede provocar que este emita un fotón idéntico — misma energía, misma dirección, al paso. Mantén más átomos arriba que abajo y un fotón se convierte en una avalancha de clones: la emisión estimulada — y un láser es poco más que eso.

34.4 Ondas de materia

Proposición 34.14 (Los electrones interfieren)

Envía electrones de uno en uno a través de una doble rendija (Capítulo 22): cada uno aterriza como un único punto nítido — una partícula. Pero, a medida que se acumulan miles, los puntos dibujan franjas de interferencia: cada electrón, él solo, pasa como una onda por las dos rendijas. Los cristales también difractan haces de electrones (Davisson y Germer, 1927).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Un electrón, un punto; miles, franjas. Dónde caerá el punto siguiente es aleatorio — como la desintegración de un núcleo () —, pero la onda fija la probabilidad: franja brillante, probable; oscura, casi nunca. El azar individual gobernado por una onda exacta: el corazón de la física cuántica. — Un electrón, un punto; miles, franjas. Dónde caerá el punto siguiente es aleatorio — como la desintegración de un núcleo (Capítulo 19) —, pero la onda fija la *probabilidad*: franja brillante, probable; oscura, casi nunca. El azar individual gobernado por una onda exacta: el corazón de la física cuántica.

Definición 34.15 (Longitud de onda de De Broglie)

Toda partícula de cantidad de movimiento $p = mv$ viaja como una onda de materia de longitud de onda de De Broglie

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 34.16 (Por qué tú nunca difractas)

Un electrón acelerado con $100\,\mathrm{V}$ tiene $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ y $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , luego $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — la separación de los átomos en un cristal, que por eso actúa como su doble rendija. Una pelota de tenis de $58\,\mathrm{g}$ a $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$ , unas $10^{19}$ veces menor que un núcleo — ninguna rendija la mostrará jamás formando franjas. $h$ es tan pequeña que la granularidad cuántica solo asoma a la escala del átomo.

Ejemplo 34.17 (El microscopio electrónico)

La difracción prohíbe resolver detalles mucho más pequeños que la longitud de onda empleada (Capítulo 22): la luz visible se detiene cerca de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Los electrones a $10\,\mathrm{kV}$ tienen $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — decenas de miles de veces más corta: los microscopios electrónicos fotografían virus, la maquinaria celular e incluso átomos sueltos. La onda de materia le regaló a la física un ojo nuevo.

34.5 Ejercicios

Ejercicio 34.1 ★

Un puntero láser verde emite $1.0\,\mathrm{mW}$ a $530\,\mathrm{nm}$ . Calcula la energía de un fotón en julios y en electronvoltios, y después los fotones por segundo.

Solución

Solución de Ejercicio 34.1.

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}$ . $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ fotones por segundo.

Ejercicio 34.2 ★

Una emisora de FM emite a $100\,\mathrm{MHz}$ . Calcula la energía de su fotón en $\mathrm{eV}$ y compárala con la de un fotón visible: ¿por qué es indetectable la granularidad de la radio?

Solución

Solución de Ejercicio 34.2.

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — unos cinco millones de veces menos que un fotón visible. Cualquier señal de radio detectable involucra tantísimos fotones por segundo que el flujo resulta perfectamente liso.

Ejercicio 34.3 ★

El cesio tiene $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$ . Calcula su frecuencia y su longitud de onda umbral. ¿Un láser rojo de $633\,\mathrm{nm}$ arranca electrones del cesio — y, si es así, con qué energía cinética máxima?

Solución

Solución de Ejercicio 34.3.

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$ . A $633\,\mathrm{nm}$ , $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$ : sí, por poco, con $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 34.4 ★

Usando $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ , calcula la energía y la longitud de onda del fotón emitido en la transición $3 \to 2$ del hidrógeno. ¿Su color?

Solución

Solución de Ejercicio 34.4.

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$ : la línea roja.

Ejercicio 34.5 ★

En la gráfica de $E_{k,\max}$ frente a $\nu$ del curso, lee la frecuencia umbral y el trabajo de extracción del sodio (en $\mathrm{eV}$ ); ¿qué constante es la pendiente?

Solución

Solución de Ejercicio 34.5.

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (la ordenada $-W_0$ ). La pendiente es la constante de Planck $h$ .

Ejercicio 34.6 ★★

Luz de longitud de onda $400\,\mathrm{nm}$ incide sobre potasio ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Calcula la energía del fotón, la energía cinética máxima de los electrones (en $\mathrm{eV}$ y en julios) y el potencial de frenado.

Solución

Solución de Ejercicio 34.6.

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$ ; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 34.7 ★★

Una célula fotoeléctrica se ilumina por encima del umbral. ¿Qué le ocurre (a) a la corriente y (b) al potencial de frenado cuando se duplica la intensidad a frecuencia fija? ¿Y cuando se sube la frecuencia? ¿Qué hecho contradice la imagen ondulatoria, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 34.7.

Al duplicar la intensidad: la corriente se duplica (el doble de fotones) y $U_s$ no cambia (la misma energía por fotón). Al subir la frecuencia: $U_s$ sube, pues $E_{k,\max} = h\nu - W_0$ . La imagen ondulatoria ata la energía de los electrones a la intensidad y no a la frecuencia — exactamente lo que no se observa.

Ejercicio 34.8 ★★

¿Qué energía mínima de fotón ioniza un átomo de hidrógeno desde su estado fundamental? ¿Y desde $n = 2$ ? Calcula ambas longitudes de onda umbral y nombra sus dominios espectrales.

Solución

Solución de Ejercicio 34.8.

Desde $n = 1$ : $13.6\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$ , ultravioleta lejano. Desde $n = 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$ , ultravioleta cercano.

Ejercicio 34.9 ★★

Luz blanca atraviesa un frasco de hidrógeno frío (todos los átomos en el estado fundamental). Explica por qué el espectro transmitido no muestra ninguna línea oscura en el visible y, sin embargo, las líneas de absorción de Balmer sí aparecen en los espectros de las estrellas calientes.

Solución

Solución de Ejercicio 34.9.

Desde el estado fundamental, el salto más pequeño cuesta $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ( $122\,\mathrm{nm}$ ): todas las líneas de absorción son ultravioletas y ninguna es visible. En la atmósfera caliente de una estrella, los choques mantienen algunos átomos en $n = 2$ , desde donde sí pueden absorberse los fotones visibles de Balmer ( $1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$ ).

Ejercicio 34.10 ★★

Calcula la longitud de onda de De Broglie de (a) un electrón acelerado con $100\,\mathrm{V}$ y (b) una mosca de $0.10\,\mathrm{g}$ a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Compara cada una con el tamaño de un átomo ( $\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ); concluye.

Solución

Solución de Ejercicio 34.10.

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — del tamaño de un átomo: los cristales la difractan. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ veces menor que un átomo: la onda de la mosca es invisible para siempre.

Ejercicio 34.11 ★★

Un ojo adaptado a la oscuridad responde a unos $90$ fotones de luz de $505\,\mathrm{nm}$ . Calcula esa energía, compárala con la energía cinética de un mosquito de $2.5\,\mathrm{mg}$ que vuela a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e interpreta el cociente.

Solución

Solución de Ejercicio 34.11.

Un fotón: $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; noventa: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ . El mosquito: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ veces más. El ojo trabaja a un centenar de granos del límite absoluto: casi un contador de fotones.

Ejercicio 34.12 ★★★

Una célula fotoeléctrica da $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ a $405\,\mathrm{nm}$ y $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ a $546\,\mathrm{nm}$ . A partir de estos dos puntos, mide $h$ y después el trabajo de extracción en $\mathrm{eV}$ . ¿Cuál de los metales de este capítulo es el cátodo?

Solución

Solución de Ejercicio 34.12.

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$ : cesio.

Ejercicio 34.13 ★★★

Una lámpara de hidrógeno muestra líneas a $486\,\mathrm{nm}$ y $434\,\mathrm{nm}$ . Convierte cada una en energía de fotón e identifica las dos transiciones emparejándolas con diferencias de los niveles $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 34.13.

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$ : transición $4 \to 2$ . $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$ : transición $5 \to 2$ .

Ejercicio 34.14 ★★★

Estimación clásica del retardo: luz débil de intensidad $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ incide sobre potasio ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Si un átomo recogiera únicamente la energía que atraviesa su sección transversal (de radio $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), ¿cuánto tardaría en reunir $W_0$ ? Compáralo con el retardo observado (inferior a $10^{-9}\,\mathrm{s}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 34.14.

Sección transversal $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ , potencia recogida $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — cuatro meses, frente a menos de un nanosegundo observado. La energía no puede estar repartida por el frente de onda: viaja concentrada, en granos.

Ejercicio 34.15 ★★★

En un microscopio electrónico los electrones se aceleran con $5.0\,\mathrm{kV}$ . Calcula su longitud de onda de De Broglie, compárala con la de la luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ) y explica, mediante la difracción (Capítulo 22), por qué eso compra resolución.

Solución

Solución de Ejercicio 34.15.

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — unas $3 \times 10^{4}$ veces más corta que $550\,\mathrm{nm}$ . La difracción difumina los detalles menores que $\sim\lambda$ , así que encoger $\lambda$ en $10^4$ compra $10^4$ en resolución.

34.6 Problema: El laboratorio de física del panel solar

Problema 34.1

Problema de fin de semana — el laboratorio de física del panel solar: los $10^{21}$ granos que se bebe un tejado cada segundo, una célula fotoeléctrica que mide la constante de Planck, una lámpara de hidrógeno leída línea a línea — un fin de semana, una $h$

Tu clase instrumenta durante un fin de semana el panel solar del tejado del instituto. Datos: irradiancia solar al mediodía, $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; longitud de onda solar media, $550\,\mathrm{nm}$ ; superficie del panel, $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ , con un rendimiento del $20\,\%$ ; el día entrega el equivalente de $5.0\,\mathrm{h}$ de sol pleno.

Parte I — Contabilidad de fotones.

Calcula la energía de un fotón solar medio, en julios y en electronvoltios.
Deduce el número de fotones que golpean el panel por segundo al mediodía.
Calcula la potencia eléctrica del panel al mediodía y después la energía producida a lo largo del día, en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
La corriente del panel parece perfectamente lisa. Usando la pregunta 2, explica por qué la llegada grano a grano es invisible.
La luz del Sol transporta más energía infrarroja que ultravioleta y, sin embargo, solo la ultravioleta quema la piel (enlaces de $\sim 3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Explícalo en términos de granos.

Parte II — Medir $h$ con la célula del equipo. La célula fotoeléctrica del equipo tiene un cátodo desconocido. Los filtros dan:

$\lambda$ ( $\mathrm{nm}$ )	365	405	436	546
$U_s$ ( $\mathrm{V}$ )	1.50	1.16	0.94	0.37

¿Qué mide el potencial de frenado? Relaciona $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ y $h$ .
Convierte las cuatro longitudes de onda en frecuencias (en $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
¿Por qué debería salir una recta al representar $eU_s$ frente a $\nu$ ? Comprueba la alineación de los puntos.
A partir de los puntos extremos, calcula la pendiente: tu $h$ medida.
Deduce el trabajo de extracción del cátodo (en $\mathrm{eV}$ ), su frecuencia umbral y su longitud de onda umbral.
¿Qué parte de la luz solar podría arrancar electrones de este cátodo — y qué mitad del espectro le resulta inútil?
Compara tu $h$ con $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : ¿error relativo en porcentaje?

Parte III — La lámpara de calibración de hidrógeno. La escala de longitudes de onda del equipo se comprueba con una lámpara de hidrógeno, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Calcula $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ y $E_5$ .
Calcula las energías de los fotones de las transiciones $3 \to 2$ , $4 \to 2$ y $5 \to 2$ .
Deduce las tres longitudes de onda y da el color de cada línea.
¿Por qué emite la lámpara líneas y no un arcoíris continuo? En una frase, nombrando la idea clave.
¿Podría el hidrógeno de la lámpara absorber luz de $500\,\mathrm{nm}$ ? Justifícalo con la escalera.

Parte IV — Inspeccionar las células: la onda del electrón. Las microgrietas de una célula quedan muy por debajo del alcance de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ de los microscopios ópticos; el microscopio electrónico de barrido del laboratorio funciona a $10\,\mathrm{kV}$ .

Calcula la rapidez de los electrones; comprueba que se mantiene por debajo de $0.25\,c$ (fórmula clásica).
Calcula su cantidad de movimiento y su longitud de onda de De Broglie.
La resolución escala con la longitud de onda: calcula la ganancia respecto de la luz verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); concluye con las dos cifras del fin de semana — tu $h$ y esta ganancia.

Solución

Solución de Problema 34.1.

1. $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} = 3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$ .

2. $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ fotones por segundo.

3. $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$ ; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ( $3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ).

4. Con $10^{21}$ granos por segundo, el parpadeo estadístico es fantásticamente pequeño: la granularidad se promedia y da una corriente perfectamente lisa, igual que la arena vertida deprisa se derrama como el agua.

5. El daño necesita un grano de $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ : los granos ultravioletas cumplen, los infrarrojos ( $\sim 0.1\,\mathrm{eV}$ ) no lo hacen jamás — el número no sustituye a la fuerza de cada grano.

6. $U_s$ es la tensión inversa que detiene justo a los electrones más rápidos: $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$ .

7. $\nu = c/\lambda$ : $8.22$ , $7.41$ , $6.88$ y $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

8. $eU_s = h\nu - W_0$ es afín en $\nu$ con pendiente $h$ . Pendientes sucesivas: $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ y $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ por $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — los tres puntos se alinean.

9. $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19} \times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ .

10. A $546\,\mathrm{nm}$ : $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} = 3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$ .

11. Solo arranca electrones lo que tiene $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$ : el visible del violeta al rojo y el ultravioleta. Todo el lado infrarrojo — aproximadamente la mitad de la energía del Sol — le resulta inútil a este cátodo.

12. $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\,\%$ — una medida de dos por mil de una constante universal, hecha en un laboratorio escolar.

13. $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$ .

14. $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ ; $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ .

15. $\lambda = 1240/E$ : $656\,\mathrm{nm}$ (rojo), $486\,\mathrm{nm}$ (azul verdoso), $434\,\mathrm{nm}$ (violeta).

16. Las energías del átomo están cuantizadas, así que solo puede emitir las diferencias discretas $E_p - E_n$ : una escalera produce líneas, no un arcoíris.

17. No: $500\,\mathrm{nm}$ son $2.48\,\mathrm{eV}$ , que no coinciden con ninguna diferencia de niveles (desde $E_2$ hacia arriba salen $1.89$ , $2.55$ , $2.86$ y $3.40\,\mathrm{eV}$ ; desde $E_1$ todo cuesta al menos $10.2\,\mathrm{eV}$ ) — el gas es transparente ahí.

18. $eU = \tfrac12 m_e v^2$ : $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — el tratamiento clásico es aceptable.

19. $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$ .

20. Ganancia $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}$ . Las dos cifras del fin de semana: $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , medida con un $0.2\,\%$ de error con unos filtros y un voltímetro, y un microscopio cuarenta y cinco mil veces más nítido porque los electrones ondulan.