Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

35Relatividad especial: la dilatación del tiempo

Todo satélite GPS lleva un reloj atómico bueno hasta un segundo en tres millones de años — y antes del lanzamiento los ingenieros lo desafinan a propósito: si se le dejara ser honrado, adelantaría 38 millonésimas de segundo al día y, para mañana por la tarde, tu teléfono te situaría a once kilómetros de donde estás. El reloj no tiene la culpa — el tiempo mismo transcurre de otra manera para lo que se mueve y para lo que está quieto: este capítulo sigue a Einstein desde un hecho testarudo hasta esa conclusión.

35.1 Una velocidad que se niega a sumarse

Las velocidades dependen del sistema de referencia y se componen por adición (Capítulo 5): una pasajera que camina a 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} hacia la cabecera de un tren que va a 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} pasa ante el observador de la vía a 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Definición 35.1 (Sistema inercial)

Un sistema inercial es un sistema de referencia (Capítulo 5) en el que un cuerpo libre de fuerzas mantiene una velocidad constante: el suelo, con muy buena aproximación, y todo sistema en movimiento rectilíneo uniforme respecto de él.

Llevemos la regla al extremo: el haz del faro del tren debería pasar ante el observador del suelo a c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. En 1887, Michelson y Morley compararon la velocidad de la luz a lo largo y a través de la carrera orbital de 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} de la Tierra, a la caza de esas diferencias; con una precisión exquisita no encontraron ninguna — el mismo cc en todas las direcciones y en todas las estaciones. Einstein, en 1905, se creyó el experimento y reconstruyó el tiempo y el espacio a su alrededor, sobre dos postulados que se juzgan por sus consecuencias — puestas a prueba durante un siglo sin un solo fallo.

Teorema 35.2 (Los postulados de la relatividad especial)

  1. Principio de relatividad: las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los sistemas inerciales; ninguno está “verdaderamente en reposo”.
  2. Invariancia de cc: la luz en el vacío viaja a c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} en todos los sistemas inerciales, sea cual sea el movimiento de la fuente o del observador.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

35.2 Adiós al “mismo instante”

Proposición 35.3 (Relatividad de la simultaneidad)

Dos sucesos simultáneos en un sistema inercial no lo son, en general, en otro: el “ahora, en todas partes” depende del sistema de referencia.

Demostración. El tren de Einstein. Dos rayos caen sobre los dos extremos de un tren en marcha y chamuscan la vía. El observador del andén MM, a mitad de camino entre las dos marcas, recibe los dos destellos a la vez; cada uno recorrió la misma distancia a la misma velocidad cc, luego los impactos fueron simultáneos. El pasajero M′M', en el centro del tren, va al encuentro del destello delantero, que le llega primero; pero en su sistema los dos destellos también recorrieron distancias iguales (medio tren) a la misma velocidad cc — ¡segundo postulado! —, luego el impacto delantero ocurrió antes. Cada veredicto es correcto en su propio sistema; el desacuerdo, de nanosegundos para un tren, es la razón de que nadie se hubiera dado cuenta. ∎

El tren de Einstein: los destellos de A y B llegan juntos a M; M' va al encuentro del de B, lo recibe primero — y concluye que ese cayó antes.
El tren de Einstein: los destellos de AA y BB llegan juntos a MM; M′M' va al encuentro del de BB, lo recibe primero — y concluye que ese cayó antes.

35.3 El reloj de luz y el factor γ\gamma

Definición 35.4 (Suceso, tiempo propio)

Un suceso es algo que ocurre en un lugar y en un instante — un tic, un destello, una desintegración. Cuando un mismo reloj está presente en dos sucesos, el intervalo que marca entre ellos es el tiempo propio Δt0\Delta t_0. Un sistema en el que ese reloj se mueve mide un intervalo Δt\Delta t en general distinto.

Teorema 35.5 (Dilatación del tiempo)

Un reloj que se mueve a velocidad constante vv por un sistema inercial se mide allí como atrasado: entre dos sucesos que ocurren en el reloj,

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

Demostración. Construyamos el reloj más sencillo imaginable: dos espejos enfrentados a distancia LL, con un fotón rebotando entre ellos; un viaje de ida y vuelta es un tic y, en reposo, un tic dura Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c. Atornillemos ahora el reloj a una nave que cruza a velocidad vv, con los espejos perpendiculares al movimiento, y cronometremos un tic desde el suelo: mientras el fotón sube, los espejos se deslizan lateralmente, así que el fotón vuela por un camino inclinado — dos movimientos a la vez, como el proyectil del Capítulo 24. Si el tic dura Δt\Delta t, cada medio tic avanza v Δt/2v\,\Delta t/2 en horizontal y LL en vertical; y — paso crucial — el segundo postulado fija en cc la velocidad del fotón respecto del suelo, así que el medio camino inclinado mide c Δt/2c\,\Delta t/2. Pitágoras:

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

Y cualquier reloj que viaje a su lado — un reloj de pulsera, un latido, un núcleo que se desintegra — tiene que mantenerse al paso, o la comparación delataría el movimiento de la nave y violaría el primer postulado. ∎

El reloj de luz. En reposo el fotón sube L; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma c — así que el tic tiene por fuerza que durar más. El reloj de luz. En reposo el fotón sube L; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma c — así que el tic tiene por fuerza que durar más.
El reloj de luz. En reposo el fotón sube LL; desde el suelo vuela por la hipotenusa a la misma cc — así que el tic tiene por fuerza que durar más.

Ejemplo 35.6 (Gamma en números)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

No pasa nada durante páginas y después pasa todo: γ\gamma se abraza al 11 hasta un tercio de la velocidad de la luz, supera el 22 cerca de 0.9c0.9c y se dispara cuando v→cv \to c.

= 1/√1 - v2/c2: indistinguible de 1 a velocidades cotidianas, y divergente en la asíntota v = c — la velocidad que ningún cuerpo con masa alcanza.
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}: indistinguible de 11 a velocidades cotidianas, y divergente en la asíntota v=cv = c — la velocidad que ningún cuerpo con masa alcanza.

Observación 35.7 (Por qué la vida diaria nunca se enteró)

Para v≪cv \ll c, escribamos x=v2/c2x = v^2/c^2: como (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 y (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x, sale γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2). Un coche a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} tiene γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} (un segundo perdido por cada cuatro millones de años conduciendo); un reactor alcanza 3.5×10−133.5 \times 10^{-13}, un segundo por cada noventa mil años de vuelo. Nuestros relojes eran, sencillamente, demasiado bastos.

35.4 El veredicto del experimento

Ejemplo 35.8 (Los muones llegan al suelo)

Los rayos cósmicos que golpean la alta atmósfera crean muones — partículas de vida corta, de vida media propia Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — a unos 15 km15\,\mathrm{km} de altura y moviéndose a casi cc. Sin relatividad, un muón recorre c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} por vida media: el descenso ocupa unas 2323 vidas medias, y la fracción superviviente e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} debería hacer rarísimos los muones a nivel del mar. Y sin embargo los detectores cuentan alrededor de uno por centímetro cuadrado y por minuto. La dilatación del tiempo lo resuelve: al llegar con γ≈30\gamma \approx 30, los muones viven 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} según nuestros relojes — alcance ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}, la atmósfera entera.

El viaje del muón: una vida media clásica se extingue 660\, m por debajo de la altura de nacimiento; la vida media dilatada abarca toda la atmósfera.
El viaje del muón: una vida media clásica se extingue 660 m660\,\mathrm{m} por debajo de la altura de nacimiento; la vida media dilatada abarca toda la atmósfera.

Las confirmaciones se acumulan. En 1971, Hafele y Keating pasearon relojes atómicos de cesio (Capítulo 28) alrededor del mundo en aviones de línea; al aterrizar diferían de los relojes de tierra en las fracciones de microsegundo predichas. Los aceleradores cuentan a diario con la dilatación, con sus partículas impulsadas hasta γ\gamma de varios miles sobreviviendo a vueltas que clásicamente nunca podrían completar. Y el GPS es un experimento permanente con factura.

Observación 35.9 (La factura relativista del GPS)

Un satélite GPS orbita a unos 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, así que la relatividad especial atrasa su reloj unos 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} al día. La gravedad, más débil en altura, actúa en sentido contrario y gana: la relatividad general (la teoría de la gravitación de Einstein, contada en los volúmenes universitarios) lo adelanta unos 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} al día; en neto, 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} de adelanto al día. El posicionamiento convierte lecturas de reloj en distancias a la velocidad cc: un día sin corregir emborronaría las posiciones en c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} — de ahí los relojes desafinados del primer párrafo.

Proposición 35.10 (Contracción de las longitudes)

Un cuerpo de longitud L0L_0 en su propio sistema en reposo se mide más corto a lo largo de su dirección de movimiento en un sistema en el que se mueve a velocidad vv: L=L0/γL = L_0/\gamma.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 35.11 (La versión que cuenta el muón)

La contracción de las longitudes es la otra cara de la dilatación del tiempo (deducida honradamente en los volúmenes universitarios): el reloj del muón marcha con normalidad en su propio sistema, pero la atmósfera que se le viene encima está contraída a 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}, que se cruzan de sobra dentro de 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — los dos sistemas coinciden en que el muón llega al suelo.

35.5 Masa, energía y el mundo clásico recuperado

Teorema 35.12 (Equivalencia masa–energía)

Un cuerpo de masa mm posee, solo por su masa, la energía

E=mc2.E = m c^2 .

La masa es una forma concentrada de energía; y la energía, a su vez, tiene masa.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 35.13 (Dónde te la has encontrado)

Este es el libro de cuentas que hay detrás de la energía nuclear (Capítulo 33): el defecto de masa de una reacción, multiplicado por c2c^2, es la energía liberada. Un gramo de masa son 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — la producción de un día entero de una central grande. La deducción honrada pertenece a los volúmenes universitarios; los reactores y las estrellas funcionan con ella de todas formas.

Observación 35.14 (Newton no se equivocaba)

Pon v≪cv \ll c: γ→1\gamma \to 1, los tiempos coinciden, las longitudes se descontraen y la simultaneidad se vuelve absoluta — reaparece, intacta, la mecánica de los tres últimos cursos, como el límite de baja velocidad. La relatividad no demolió a Newton; dibujó la frontera de su imperio. Así es como crece la física: refinando teorías, y devolviendo cada nueva la anterior como caso límite.

35.6 Ejercicios

Ejercicio 35.1 ★

Calcula γ\gamma, con tres cifras significativas, para v=0.1cv = 0.1c, 0.6c0.6c, 0.8c0.8c y 0.995c0.995c.

Solución

Solución de Ejercicio 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}: 1.011.01 (0.1c0.1c); 1.251.25 (0.6c0.6c); 1.671.67 (0.8c0.8c); 10.010.0 (0.995c0.995c).

Ejercicio 35.2 ★

Una nave navega a 0.6c0.6c; su metrónomo bate cada 10.0 s10.0\,\mathrm{s} según el reloj de la nave. ¿Qué intervalo mide el suelo? ¿Cuál es el tiempo propio, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25, así que el suelo mide 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}. Los 10.0 s10.0\,\mathrm{s} de la nave son el tiempo propio: el metrónomo (un solo reloj) está presente en los dos golpes.

Ejercicio 35.3 ★

¿A qué velocidad (como fracción de cc) vale γ=2\gamma = 2? ¿Y γ=10\gamma = 10?

Solución

Solución de Ejercicio 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}: γ=2\gamma = 2 da v=0.866cv = 0.866c; γ=10\gamma = 10 da v=0.995cv = 0.995c.

Ejercicio 35.4 ★

Un coche circula a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. Calcula v/cv/c y después γ−1\gamma - 1 (Observación 35.7); ¿cuánto tiene que circular para que su reloj se retrase 1 s1\,\mathrm{s}?

Solución

Solución de Ejercicio 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7}; γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}. Pierde un segundo al cabo de 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} — unos cuatro millones de años de conducción.

Ejercicio 35.5 ★

En el experimento del tren de Einstein, explica — citando el postulado empleado — por qué el pasajero concluye que el impacto delantero llegó primero, y por qué ninguno de los dos observadores se equivoca.

Solución

Solución de Ejercicio 35.5.

El pasajero va al encuentro del destello delantero, así que le llega primero; por el segundo postulado, ambos destellos viajan a la misma cc sobre las mismas distancias de medio tren en su sistema, luego una llegada anterior significa un impacto anterior. La simultaneidad depende del sistema de referencia: cada veredicto es correcto en el suyo.

Ejercicio 35.6 ★★

Los piones cargados viven Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. Un haz sale de un acelerador a 0.99c0.99c. Calcula γ\gamma, la vida media en el laboratorio, el alcance clásico v Δt0v\,\Delta t_0 y el alcance medio real.

Solución

Solución de Ejercicio 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09; vida media en el laboratorio, 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}. Alcance clásico, 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}; real, 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}.

Ejercicio 35.7 ★★

En la curva de γ\gamma, lee las velocidades que dan γ=1.5\gamma = 1.5 y γ=3\gamma = 3 (compruébalo con un cálculo). ¿Qué dice la asíntota vertical en v=cv = c sobre acelerar un cuerpo con masa?

Solución

Solución de Ejercicio 35.7.

γ=1.5\gamma = 1.5 en v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c; γ=3\gamma = 3 en ≈0.94c\approx 0.94c. La asíntota: γ\gamma (y el coste energético de seguir acelerando) diverge cuando v→cv \to c — ningún esfuerzo finito lleva un cuerpo con masa a la velocidad de la luz.

Ejercicio 35.8 ★★

Un reloj de luz tiene los espejos separados L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}. Calcula su tic en reposo y después su tic medido desde el suelo cuando navega a 0.8c0.8c.

Solución

Solución de Ejercicio 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}; a 0.8c0.8c, γ=5/3\gamma = 5/3, luego Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

Ejercicio 35.9 ★★

¿Quién mide el tiempo propio entre: (a) dos tics de un reloj de pulsera — quien lo lleva o quien pasa a su lado? (b) el nacimiento y la desintegración de un muón — el muón o el laboratorio? (c) la salida de la Tierra y la llegada a Marte — la piloto o el control de la misión?

Solución

Solución de Ejercicio 35.9.

El tiempo propio pertenece al reloj presente en los dos sucesos: (a) quien lo lleva; (b) el muón; (c) la piloto — solo la nave está a la vez en la salida y en la llegada.

Ejercicio 35.10 ★★

La estación espacial orbita a 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}. Calcula γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2 y después cuánto se retrasa el reloj de una astronauta respecto de un reloj de tierra al cabo de seis meses (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}).

Solución

Solución de Ejercicio 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}; a lo largo de 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} la astronauta se retrasa 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} — unos cinco milisegundos más joven.

Ejercicio 35.11 ★★

Calcula el contenido energético E=mc2E = mc^2 de 1.0 g1.0\,\mathrm{g} de materia. Compáralo con la producción diaria de una central de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} y con los 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} de energía cinética de un coche a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Solución

Solución de Ejercicio 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}. Una central de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} entrega 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} al día — un gramo es un día de su producción — y 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}: cien millones de coches lanzados.

Ejercicio 35.12 ★★★

Demuestra, a partir de γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}, que v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}; deduce la velocidad de los muones con γ=30\gamma = 30, con cinco cifras significativas en unidades de cc.

Solución

Solución de Ejercicio 35.12.

Elevando al cuadrado e invirtiendo: γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1, luego v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2 y, por tanto, v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}. Para γ=30\gamma = 30: v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

Ejercicio 35.13 ★★★

Vuelve a contar el viaje del muón desde su propio sistema: ¿qué grosor tiene la atmósfera con γ=30\gamma = 30, cuánto tarda en desfilar a 0.99944c0.99944c y cabe eso dentro de una sola vida media propia?

Solución

Solución de Ejercicio 35.13.

Grosor contraído, L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}; tiempo de desfile, 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. Los dos sistemas coinciden en que el muón llega al suelo — uno se lo achaca a una vida media estirada y el otro, a una atmósfera encogida.

Ejercicio 35.14 ★★★

Un acelerador lineal empuja electrones hasta γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} a lo largo de un tubo de 3.2 km3.2\,\mathrm{km}. ¿Cuánto dura el viaje en el laboratorio? ¿Y en el sistema del electrón, y cuánto “mide” allí el tubo?

Solución

Solución de Ejercicio 35.14.

Laboratorio: 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (rapidez ≈c\approx c). Sistema del electrón: el tubo queda contraído a 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}, recorrido en 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}.

Ejercicio 35.15 ★★★

Próxima Centauri está a 4.24.2 años luz (un año luz es la distancia que recorre la luz en un año). Una sonda viaja hasta allí a 0.9c0.9c: ¿cuánto dura el viaje en el calendario terrestre y en el reloj de la sonda?

Solución

Solución de Ejercicio 35.15.

Tierra: 4.2/0.9≈4.7 an~os4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{años}. Con γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29, el reloj de la sonda registra 4.7/2.29≈2.0 an~os4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{años}.

35.7 Problema: El muón y la gemela

Problema 35.1

Problema de fin de semana — el viaje del muón y la gemela de la astronauta: una partícula que sobrevive a su reloj, un reloj de luz reconstruido, una viajera más joven que su gemela y la contabilidad que mantiene honrado al GPS

Datos: vida media propia del muón Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}; muones nacidos a unos 15 km15\,\mathrm{km} de altura a casi cc; flujo a nivel del mar de alrededor de un muón por cm2\mathrm{cm}^{2} y por minuto; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Parte I — La llegada imposible del muón.

  1. Sin relatividad, ¿qué distancia recorre un muón en una vida media?
  2. ¿Cuántas vidas medias ocupa entonces el descenso de 15 km15\,\mathrm{km}?
  3. Tras nn vidas medias sobrevive una fracción e−n\mathrm{e}^{-n}: estímala, enfréntala al flujo medido y dicta sentencia sobre la física clásica en una frase.
  4. Estos muones llegan de hecho con γ≈30\gamma \approx 30. Calcula su vida media medida desde el suelo y el alcance resultante.
  5. Calcula su velocidad, usando v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}, con cinco cifras significativas en unidades de cc.

Parte II — El reloj de luz, reconstruido. Un reloj de luz (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) viaja en una nave a v=0.6cv = 0.6c.

  1. Calcula el tic Δt0\Delta t_0 que se lee a bordo.
  2. Visto desde el suelo, un tic dura Δt\Delta t: da el avance horizontal por medio tic, la subida vertical del fotón y — nombrando el postulado que lo fija — la longitud del medio camino inclinado.
  3. Aplica Pitágoras al triángulo del medio tic y despeja Δt\Delta t, demostrando que Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
  4. Calcula γ\gamma y Δt\Delta t numéricamente.
  5. ¿Qué observador mide el tiempo propio entre dos tics? Justifícalo a partir de la definición.

Parte III — La viajera y su gemela. Una astronauta deja a su gemela en la Tierra para hacer un viaje de ida y vuelta a 0.8c0.8c; los relojes terrestres cronometran el viaje entero en 10.0 años.

  1. Calcula γ\gamma a 0.8c0.8c (fracción exacta y después decimal).
  2. ¿Cuánto tiempo transcurre en el reloj de la astronauta?
  3. ¿A qué distancia (en el sistema de la Tierra, en años luz) estaba el punto de retorno?
  4. ¿Cuál es la diferencia de edad en el reencuentro, y cuál de las dos gemelas es la más joven?
  5. “Pero el movimiento es relativo — ¡la astronauta podría afirmar que fue la Tierra la que viajó!” Resuelve la objeción en una frase.

Parte IV — La factura del GPS. Un satélite GPS orbita con radio r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m} y periodo T=12 hT = 12\,\mathrm{h}.

  1. Calcula su rapidez orbital v=2πr/Tv = 2\pi r/T.
  2. Calcula γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2.
  3. Deduce, en microsegundos, cuánto se retrasa el reloj del satélite respecto de los relojes de tierra en un día (86 400 s86\,400\,\mathrm{s}).
  4. Si solo esta deriva quedara sin corregir, las posiciones errarían en c×c \times (deriva): calcula el error al cabo de un día.
  5. La gravedad, más débil en altura, hace adelantar el reloj 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} al día (relatividad general): calcula la deriva neta y el error diario de posición en kilómetros — la cifra que obliga a los ingenieros a desafinar todos los relojes GPS.
Solución

Solución de Problema 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}.

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 vidas medias.

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}: debería llegar menos de un muón de cada diez mil millones y, sin embargo, el flujo es de uno por cm2\mathrm{cm}^{2} y por minuto — el cielo contradice de plano la física clásica.

4. Vida media desde el suelo, 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}; alcance ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}: la llegada queda explicada.

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

7. En horizontal, v Δt/2v\,\Delta t/2; en vertical, LL; y el medio camino inclinado mide c Δt/2c\,\Delta t/2 porque el segundo postulado fija en cc la velocidad del fotón también en el sistema del suelo.

8. (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 da Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2, luego Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0.

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25; Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

10. El de la nave: su único reloj está presente en los dos tics y, por tanto, marca el tiempo propio; el suelo necesita dos relojes sincronizados.

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67.

12. 10.0/(5/3)=6.0 an~os10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{años}.

13. Ida de 5.0 an~os5.0\,\mathrm{años} a 0.8c0.8c: 4.04.0 años luz.

14. 10.0−6.0=4.0 an~os10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{años}: la astronauta es cuatro años más joven que su gemela.

15. La situación no es simétrica: solo la astronauta da media vuelta — acelera y cambia de sistema inercial, mientras que la gemela terrestre se queda en uno solo —, así que solo su reloj registra el tiempo más corto.

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}.

18. 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} de atraso al día.

19. c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} de error de posición al día.

20. Deriva neta, 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} de adelanto al día; error, c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} al día — la factura relativista que todo reloj GPS paga por adelantado, desafinado en tierra para que marche exacto en órbita.

Aquí termina la física del instituto — no la física. En los volúmenes universitarios, la mecánica regresa armada con el cálculo; la electricidad y el magnetismo se revelan como una sola estructura en la que la luz, y la propia relatividad, llevaban escondidas desde el principio; y el mundo cuántico, apenas entrevisto en el capítulo anterior, se convierte en una teoría de la materia que funciona. Cada teoría estará obligada, como la relatividad, a devolverte como caso límite lo que ahora sabes. Llévatelo contigo: es la parte que no va a cambiar.