Física de secundaria · Grades 10–12

27Satélites y movimiento planetario

La antena parabólica del balcón está atornillada y, sin embargo, se pasa el día mirando a un punto fijo del cielo, $36\,000\,\mathrm{km}$ más arriba; la estación espacial cruza el cielo del atardecer en unos minutos; una constelación de relojes voladores le dice a tu teléfono dónde estás. Ninguna de estas máquinas lleva un motor encendido: todas se limitan a caer. Este capítulo calcula a qué rapidez y a qué altura debe caer cada una — y después pesa planetas con la misma ley.

27.1 Caer alrededor de la Tierra

Todo descansa sobre la ley medida antes (Capítulo 4): la Tierra, de masa $M$ , atrae a un satélite de masa $m$ cuyo centro dista $r$ del suyo con una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra y de módulo

F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Ojo con lo que es $r$ : la distancia entre centros. Un satélite a la altura $h$ tiene $r = R + h$ , con $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ el radio terrestre — olvidarse de la $R$ es el error clásico de este capítulo.

Observación 27.1 (El cañón de Newton, revisitado)

Disparada horizontalmente, una bala de cañón cae al suelo; más deprisa, cae más lejos; a la rapidez justa, el suelo se curva y se aparta exactamente tan rápido como la bala cae, y la caída se cierra sobre sí misma: una órbita. Un satélite no necesita motor — solo la rapidez lateral adecuada.

El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa, la bala cae más lejos (naranja); hacia los 7.9\, km/ s su caída iguala la curvatura de la Tierra y entra en órbita (azul); aún más deprisa, escapa (rojo). — El cañón de Newton: disparada cada vez más deprisa, la bala cae más lejos (naranja); hacia los $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ su caída iguala la curvatura de la Tierra y entra en órbita (azul); aún más deprisa, escapa (rojo).

27.2 La órbita circular: una rapidez, un periodo

Teorema 27.2 (Rapidez orbital)

Un satélite en órbita circular uniforme de radio $r$ alrededor de un cuerpo de masa $M$ recorre su trayectoria a la rapidez

v = \sqrt{\frac{G M}{r}},

que no depende de la masa del satélite.

Demostración. La gravedad es la única fuerza, así que la segunda ley de Newton (Teorema 25.5) se lee $m\vect a = \vect F$ ; proyectémosla en la base de Frenet (Definición 24.13). La fuerza apunta al centro: su componente tangencial es nula, luego la rapidez es constante; su componente normal es todo el $GmM/r^2$ , y el movimiento circular tiene $a_n = v^2/r$ (Teorema 24.12). Por tanto $m v^2/r = GmM/r^2$ y — dividiendo por $m$ — $v^2 = GM/r$ . ∎

Todo el mecanismo de una órbita: velocidad tangente, fuerza hacia el centro — la gravedad nunca frena al satélite, solo curva su camino, para siempre.

Proposición 27.3 (Periodo orbital)

El satélite completa su órbita en el periodo

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.

Demostración. Una vuelta es la circunferencia $2\pi r$ a rapidez constante; sustituyendo $v = \sqrt{GM/r}$ : $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ . ∎

Ni $v$ ni $T$ contienen $m$ : un tornillo que se suelta de la estación espacial orbita justo a su lado. Y ambos decrecen con $r$ : cuanto más alta es la órbita, más lento va el satélite, en rapidez ( $v \propto 1/\sqrt r$ ) y en ángulo ( $T \propto r^{3/2}$ ).

Ejemplo 27.4 (La estación espacial)

La Estación Espacial Internacional vuela a la altura $h \approx 400\,\mathrm{km}$ , luego $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ; con $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ : una vuelta al planeta cada hora y media, y unos dieciséis amaneceres al día para los astronautas.

Ejemplo 27.5 (La Luna cae como la manzana)

La Luna, a $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , orbita en $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , luego $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — exactamente $g/60^2$ , y la Luna está a $60$ radios terrestres: el tirón que hace caer la manzana curva la Luna, debilitado por el inverso del cuadrado. Cada segundo la Luna “cae” alrededor de $1.4\,\mathrm{mm}$ hacia nosotros, y su kilómetro lateral se la lleva alrededor — la comprobación que hizo Newton en 1666.

27.3 Las leyes de Kepler

Newton no adivinó el inverso del cuadrado: lo extrajo de tres regularidades que Johannes Kepler destiló, entre 1609 y 1619, a partir de veinte años de posiciones planetarias a simple vista tomadas por Tycho Brahe — los mejores datos del mundo anterior al telescopio.

Definición 27.6 (Elipse)

Una elipse es el conjunto de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos, los focos, tienen suma constante; la mitad de su diámetro mayor es el semieje mayor $a$ , y la circunferencia es el caso en que los focos se confunden. Los puntos de la órbita de un planeta más cercano y más lejano del Sol son su perihelio y su afelio.

Teorema 27.7 (Leyes de Kepler)

Para los planetas que orbitan el Sol (de masa $M$ ):

cada órbita es una elipse con el Sol en uno de sus focos;
el segmento Sol–planeta barre áreas iguales en tiempos iguales;
el cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del semieje mayor es el mismo para todos los planetas: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

Las mismas leyes gobiernan cualquier familia de satélites en torno a cualquier cuerpo central, siendo $M$ la masa central.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 27.8 (Lo que podemos demostrar este curso)

Para una órbita circular la tercera ley es nuestra: elevando al cuadrado la Proposición 27.3 sale $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — una única constante para todos los satélites del mismo centro. Que las elipses, las áreas iguales y el $a$ general se siguen del inverso del cuadrado se demuestra, con más cálculo, en el volumen del primer año de universidad. Mientras tanto, la segunda ley puede leerse: el planeta va más rápido en el perihelio, donde el corto segmento que barre tiene que darse prisa.

La segunda ley de Kepler: en un mes cerca del perihelio P el planeta barre un sector corto y ancho; cerca del afelio A, uno largo y estrecho — áreas iguales: se apresura cuando está cerca y remolonea cuando está lejos. — La segunda ley de Kepler: en un mes cerca del perihelio $P$ el planeta barre un sector corto y ancho; cerca del afelio $A$ , uno largo y estrecho — áreas iguales: se apresura cuando está cerca y remolonea cuando está lejos.

Los ocho planetas en ejes logarítmicos: una recta de pendiente 3/2, es decir, T2 a3 — la tercera ley de Kepler, que en estas unidades (unidades astronómicas, años) se lee sencillamente T2 = a3. — Los ocho planetas en ejes logarítmicos: una recta de pendiente $3/2$ , es decir, $T^2 \propto a^3$ — la tercera ley de Kepler, que en estas unidades (unidades astronómicas, años) se lee sencillamente $T^2 = a^3$ .

27.4 Las órbitas en acción

Definición 27.9 (Órbita geoestacionaria)

Un satélite es geoestacionario cuando queda colgado sobre un punto fijo del suelo. Su órbita debe ser circular, ecuatorial y de periodo un día sidéreo, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ( $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$ ): el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta respecto de las estrellas. (El día de $24\,\mathrm{h}$ es respecto del Sol, hacia el cual la Tierra también avanza un grado al día.)

Ejemplo 27.10 (La altura geoestacionaria)

La tercera ley de Kepler, leída al revés, dicta el radio: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = \left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — una altura $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ , recorrida a $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Todo repetidor que “se queda quieto” se sitúa en esta única circunferencia sobre el ecuador — no hay otra.

Ejemplo 27.11 (La constelación de navegación)

Los sistemas de navegación por satélite hacen volar una treintena de satélites a $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (altura $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$ ), donde la Proposición 27.3 da $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : medio día sidéreo, así que cada satélite vuelve a recorrer su traza sobre el suelo un día tras otro. Tu receptor compara los tiempos de llegada de sus señales de reloj con unas órbitas conocidas al metro.

Método 27.12 (Pesar un mundo a partir de su satélite)

Para medir la masa de un planeta o de una estrella: busca cualquier satélite suyo (una luna, una sonda, un planeta), mide el radio $r$ y el periodo $T$ de su órbita e invierte la tercera ley:

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.

Esto pesa únicamente el cuerpo central — la masa del satélite se canceló en el Teorema 27.2. Todas las masas de la tabla de datos se han obtenido así: la de la Tierra a partir de la Luna, la del Sol a partir de la propia órbita terrestre.

Observación 27.13 (Más alto es más lento — pero cuesta más)

Como $v = \sqrt{GM/r}$ , la Luna se arrastra a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ mientras la estación corre a $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Y sin embargo la órbita más alta es la más cara: trepar contra la gravedad almacena energía potencial (la cuenta se salda en el Capítulo 29), y la ganancia en $E_p$ pesa más que la pérdida en $E_k$ . Por eso un cohete quema hacia adelante para alcanzar una órbita más alta y más lenta — y un satélite frenado por el aire enrarecido cae en espiral hacia abajo y se acelera.

Observación 27.14 (Tabla de datos)

Salvo indicación contraria: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; Tierra: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , día sidéreo $86\,164\,\mathrm{s}$ ; órbita de la Luna: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ; Sol: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; distancia Tierra–Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; un año $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; Marte: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

27.5 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

Un satélite de $1000\,\mathrm{kg}$ está sobre la plataforma de lanzamiento y después vuela a $400\,\mathrm{km}$ de altura. Calcula la atracción terrestre en ambos lugares: ¿qué porcentaje sobrevive allá arriba — y por qué flotan sus ocupantes?

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

En la plataforma: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . A $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — todavía el $89\,\%$ del valor en el suelo. Sus ocupantes flotan porque caen junto con la estación, no porque la gravedad haya desaparecido.

Ejercicio 27.2 ★

Para un satélite (teórico) que rozara la superficie terrestre ( $r = R$ ), calcula la rapidez orbital y el periodo. Compáralo con la bala de cañón de Newton (Observación 27.1).

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$ . Exactamente los $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la bala de cañón: una órbita rasante es el disparo de Newton.

Ejercicio 27.3 ★

Se traslada un satélite de una órbita circular de radio $r$ a otra de radio $2r$ . ¿Por qué factor cambian su rapidez y su periodo? ¿Dependen las respuestas de su masa?

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$ : dividida entre $\sqrt 2 \approx 1.41$ . $T \propto r^{3/2}$ : multiplicado por $2^{3/2} \approx 2.8$ . Ninguno de los dos contiene $m$ : no.

Ejercicio 27.4 ★

Rehaz los números de la estación: a partir de $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , calcula $v$ , $T$ y el número de órbitas completadas en $24\,\mathrm{h}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ ; $86\,400/5546 \approx 15.6$ órbitas al día.

Ejercicio 27.5 ★

Enuncia las tres leyes de Kepler. ¿En qué punto de su elipse muy estirada va más rápido un cometa, y qué ley lo dice? ¿Depende el periodo de un satélite de su propia masa?

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

Elipses con el Sol en un foco; áreas iguales en tiempos iguales; $T^2/a^3$ idéntico para todos los planetas. Más rápido en el perihelio, por la segunda ley (el corto segmento que barre tiene que barrer deprisa). No: la masa del satélite se cancela — solo entra la masa central.

Ejercicio 27.6 ★★

Pesa la Tierra: a partir del radio y del periodo de la órbita lunar (tabla de datos), calcula la masa terrestre y compárala con el valor de la tabla.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — a menos de un $1\,\%$ de $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ .

Ejercicio 27.7 ★★

Una empresa propone un satélite suspendido permanentemente sobre París (latitud $49^\circ$ norte). A partir de la dirección de la gravedad, explica por qué toda órbita circular está centrada en el centro de la Tierra; concluye que la propuesta es imposible. ¿Dónde sí puede quedarse colgado un satélite?

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

La gravedad apunta al centro de la Tierra y, en un movimiento circular, la fuerza resultante apunta al centro de la circunferencia: los dos centros coinciden. Una circunferencia sobre el paralelo de París está centrada en el eje, no en el centro terrestre — imposible. Quedarse colgado solo funciona allí donde el paralelo es un círculo máximo centrado en el centro: sobre el ecuador.

Ejercicio 27.8 ★★

Fobos gira alrededor de Marte a $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ en $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$ . Deduce la masa de Marte; compárala con la tabla de datos.

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — el Marte de la tabla de datos.

Ejercicio 27.9 ★★

Marte orbita el Sol con $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ en $687\,\mathrm{d}$ . Calcula $T^2/a^3$ para Marte y para la Tierra (tabla de datos), comprueba la tercera ley de Kepler y deduce la masa del Sol.

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

Tierra: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ . Marte: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — iguales, como exige la tercera ley. Entonces $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Ejercicio 27.10 ★★

La comprobación lunar de Newton: a partir de la tabla de datos, calcula la rapidez de la Luna y su aceleración centrípeta $a = v^2/r$ . Demuestra que es igual a $g/60^2$ y di por qué eso convenció a Newton de que una sola ley gobierna la manzana y la Luna.

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . La Luna está a $60$ radios terrestres y su caída es $60^2$ veces más débil que la de la manzana: exactamente el inverso del cuadrado — una sola ley para las dos.

Ejercicio 27.11 ★★

En unidades solares (unidades astronómicas, años) la tercera ley de Kepler se lee $T^2 = a^3$ : la recta de la gráfica logarítmica del curso. Sitúa en ella el asteroide Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$ , y el cometa Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$ : calcula ambos periodos. Halley pasó por el perihelio por última vez en 1986 — ¿cuándo se le espera de vuelta?

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{años}$ . Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{años}$ , así que el próximo perihelio cae hacia $1986 + 75 \approx 2061$ .

Ejercicio 27.12 ★★★

El aire enrarecido roza la estación y, sin embargo, su rapidez aumenta a medida que pierde altura. Calcula $v$ a las alturas de $400\,\mathrm{km}$ y $350\,\mathrm{km}$ y resuelve después la paradoja: el rozamiento frena — ¿de dónde sale la rapidez de más?

Solución

Solución de Ejercicio 27.12.

A $400\,\mathrm{km}$ : $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a $350\,\mathrm{km}$ ( $r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . El rozamiento sí drena energía mecánica — la órbita se encoge; pero durante la bajada el trabajo de la gravedad devuelve con creces la rapidez que se lleva el aire: $E_m$ baja mientras $E_k$ sube.

Ejercicio 27.13 ★★★

Un telescopio descubre un exoplaneta que gira en torno a su estrella a $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ cada $3.50\,\mathrm{d}$ . Pesa la estrella, en kilogramos y en soles. ¿Qué masa — la de la estrella o la del planeta — no puede obtenerse así, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ soles. La masa del planeta queda fuera de alcance: se canceló en las ecuaciones de la órbita.

Ejercicio 27.14 ★★★

Unos colonos marcianos quieren un repetidor “areoestacionario” sobre su base. Marte gira respecto de las estrellas en $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$ : calcula el radio de la órbita y la altura sobre la superficie marciana (tabla de datos).

Solución

Solución de Ejercicio 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ : $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$ , luego $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ y $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ sobre el suelo marciano.

Ejercicio 27.15 ★★★

El cometa Halley pasa por el perihelio a $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ moviéndose a $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; el afelio está a $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ . En ambos extremos la velocidad es perpendicular al segmento Sol–cometa, y la segunda ley de Kepler obliga entonces a que $r_p v_p = r_a v_a$ (triángulos barridos iguales, de área $\tfrac12 r v\,\Delta t$ ). Deduce la rapidez en el afelio y comenta el cociente.

Solución

Solución de Ejercicio 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Como $r_a/r_p \approx 60$ , el cometa está $60$ veces más lejos y va $60$ veces más lento: se pasa décadas remoloneando en la oscuridad y semanas esprintando junto al Sol.

27.6 Problema: Una plaza sobre el ecuador

Problema 27.1

Problema de fin de semana — colocar un satélite sobre el ecuador: por qué la única plaza de aparcamiento del cielo es una circunferencia a $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, cómo se compara con la estación que corre por debajo y cómo la misma ley pesa Júpiter de camino

Una empresa de telecomunicaciones quiere un repetidor al que sus antenas de tierra, atornilladas una sola vez, no tengan que perseguir nunca: un satélite geoestacionario. Tú eres la analista de la misión; usa la tabla de datos. Para la Parte IV: Ío, la luna de Júpiter, orbita a $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $T = 1.77\,\mathrm{d}$ , y Júpiter gira respecto de las estrellas en $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ .

Parte I — Las reglas para quedarse quieto.

El satélite debe permanecer sobre un punto fijo del suelo. ¿Cuál debe ser su periodo — y por qué el día sidéreo de $86\,164\,\mathrm{s}$ y no $24\,\mathrm{h}$ ?
En un movimiento circular la fuerza resultante apunta al centro de la circunferencia; aquí la única fuerza es la gravedad. Deduce que el centro de toda órbita circular es el centro de la Tierra.
Una circunferencia suspendida sobre la latitud de París estaría centrada en el eje terrestre, al norte del centro. Concluye: ¿en qué plano debe estar una órbita geoestacionaria?
Escribe la segunda ley de Newton en la base de Frenet para una órbita circular de radio $r$ y deduce $v = \sqrt{GM/r}$ .
Deduce $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ y reescríbelo como la tercera ley de Kepler, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

Parte II — La única circunferencia que sirve.

Despeja $r$ en la tercera ley y calcula el radio geoestacionario.
Deduce la altura sobre el suelo.
Calcula la rapidez orbital a partir de $v = 2\pi r/T$ .
Compruébala con $v = \sqrt{GM/r}$ .
El satélite de la empresa tiene una masa de $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; el de una rival pesa el doble. Compara sus radios geoestacionarios y di qué cambia la masa de más en el lanzamiento.

Parte III — La estación, más abajo.

La estación espacial vuela a $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : calcula su rapidez.
Calcula su periodo, en segundos y en minutos.
¿Cuántas órbitas completa en $24\,\mathrm{h}$ — aproximadamente cuántos amaneceres contemplan los astronautas al día?
Calcula el cociente de radios $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}}$ y comprueba que el cociente de periodos es ese número elevado a $3/2$ , como exige la tercera ley de Kepler.
¿Qué satélite se mueve más deprisa, y cuál costó más energía por kilogramo colocar? Reconcilia ambas cosas en una frase.

Parte IV — Pesar Júpiter de paso.

A partir de la tercera ley de Kepler aplicada a Ío, expresa la masa de Júpiter $M_J$ en función de $G$ , $r$ y $T$ .
Calcula $M_J$ .
¿A cuántas masas terrestres equivale? ¿Aproximadamente qué fracción de la masa del Sol?
Un repetidor “joviestacionario” debería quedar colgado sobre un punto de las nubes de Júpiter: calcula el radio de su órbita; compáralo con el de Ío.
Informe al consejo, en dos frases: la altura donde la empresa debe aparcar su repetidor y la masa de Júpiter que esa misma ley ha entregado gratis.

Solución

Solución de Problema 27.1.

1. $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ : el suelo gira con la Tierra respecto de las estrellas una vez por día sidéreo; el día de $24\,\mathrm{h}$ añade el grado diario que la Tierra avanza alrededor del Sol.

2. La fuerza resultante de un movimiento circular apunta al centro de la circunferencia; la única fuerza, la gravedad, apunta al centro de la Tierra: los dos centros son el mismo punto.

3. Una circunferencia suspendida sobre París estaría centrada en el eje, al norte del centro — excluido por el apartado 2. La órbita debe estar en el plano ecuatorial.

4. Componente normal de la segunda ley de Newton: $m v^2/r = GmM/r^2$ , luego $v = \sqrt{GM/r}$ ( $m$ se cancela).

5. $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ ; elevando al cuadrado, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

6. $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

7. $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ .

8. $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coherente.

10. Radios idénticos: la masa se canceló en el apartado 4. El satélite más pesado solo cambia la factura del lanzamiento — más combustible para la misma órbita.

11. $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92.4\,\mathrm{min}$ .

13. $86\,400/5546 \approx 15.6$ órbitas: unos $16$ amaneceres al día.

14. $r_{\text{geo}}/r_{\text{EEI}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6} = 6.23$ ; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — la tercera ley de Kepler, verificada sobre la marcha.

15. La estación va más deprisa ( $7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ frente a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) y, aun así, el geoestacionario costó más energía por kilogramo: la subida en energía potencial pesa más que la pérdida de rapidez.

16. $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$ .

17. $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ .

18. $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ Tierras — y alrededor de $1/1000$ del Sol.

19. $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) = 4.11 \times 10^{24}$ , $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Ío, a $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , vuela $2.6$ veces más alto y va derivando por el cielo de Júpiter.

20. Aparca el repetidor en la circunferencia ecuatorial de $35\,800\,\mathrm{km}$ de altura, donde viaja a $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y no se sale nunca de la puntería de la antena; y esa misma ley, alimentada con el mes de Ío, ha pesado Júpiter en $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ Tierras — gratis.