Física de secundaria · Grades 10–12

21El sonido y la acústica

Pulsa la cuerda grave de una guitarra: la habitación se llena de un la grave y, sin embargo, hasta tu oído no ha viajado más que aire comprimido y estirado. Este capítulo sigue ese patrón — su velocidad, cómo la frecuencia se convierte en tono y la potencia en sonoridad, y por qué una misma nota suena distinta en cada instrumento.

21.1 El sonido es una onda de presión

Definición 21.1 (Onda sonora)

Una onda sonora es una onda mecánica de presión (Capítulo 20): una superficie que vibra crea compresiones (una ligera sobrepresión) y rarefacciones (una depresión) que viajan. Las porciones de aire oscilan a lo largo de la dirección de propagación (el sonido es longitudinal) y hace falta un medio: una campana bajo una campana de vacío enmudece (Capítulo 8).

Un altavoz impulsa una onda longitudinal: las porciones de aire se agolpan en compresiones separadas una longitud de onda = v/f. — Un altavoz impulsa una onda longitudinal: las porciones de aire se agolpan en compresiones separadas una longitud de onda $\lambda = v/f$ .

Proposición 21.2 (Velocidad del sonido)

El sonido viaja a unos $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , a $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua y a $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el acero: cuanto más rígido es el medio, más rápido.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 21.3 (El aire caliente es más rápido)

Son valores medidos; predecirlos se hace en el volumen del primer año. El sonido se acelera en aire más caliente ( $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) — de ahí que los instrumentos de viento se desafinen a medida que la sala se calienta.

Ejemplo 21.4 (Los tamaños de los sonidos)

La relación $\lambda = v/f$ le pone tamaño a cualquier sonido: en el aire, un retumbo de $20\,\mathrm{Hz}$ abarca $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — un edificio — y un siseo de $20\,\mathrm{kHz}$ cabe en $1.7\,\mathrm{cm}$ ; los del tamaño de un metro se doblan con facilidad al rodear puertas y esquinas.

21.2 Tono, sonoridad y el oído

Definición 21.5 (Tono y sonoridad)

El tono es la percepción de la frecuencia: cuanto mayor es $f$ , más aguda es la nota; el la de afinación es de $440\,\mathrm{Hz}$ , y duplicar $f$ sube la nota una octava. La sonoridad es la percepción de la amplitud: cuanto mayor es la oscilación de presión, más fuerte suena; amplificar cambia la sonoridad, no el tono.

Observación 21.6 (La ventana del oído)

La audición abarca de unos $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$ (Capítulo 8); por debajo están los infrasonidos y por encima, los ultrasonidos — los murciélagos a $50\,\mathrm{kHz}$ y las sondas médicas en megahercios. Un piano solo toma una muestra del centro: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$ .

21.3 La intensidad sonora y la escala de decibelios

Definición 21.7 (Intensidad sonora)

La intensidad sonora $I$ es la potencia acústica que atraviesa un metro cuadrado encarado a la onda: $I = P/S$ , en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . El sonido audible más débil está en torno a $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; el dolor empieza cerca de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Proposición 21.8 (Atenuación con la inversa del cuadrado)

Una fuente pequeña que radia una potencia $P$ por igual en todas direcciones da, a la distancia $r$ , $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ : duplicar la distancia divide la intensidad entre cuatro.

Demostración. Toda la potencia $P$ atraviesa la esfera de área $4\pi r^2$ ; basta dividir. ∎

Definición 21.9 (Nivel sonoro)

El oído abarca doce potencias de diez, así que las intensidades se dan en escala logarítmica. El nivel sonoro de $I$ es

L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},

en decibelios ( $\mathrm{dB}$ ): umbral de audición $0\,\mathrm{dB}$ , dolor cerca de $120\,\mathrm{dB}$ .

Proposición 21.10 (Aritmética de los decibelios)

Multiplicar $I$ por $k$ añade $10\log_{10}k$ decibelios. En particular, $\times 10$ añade $10\,\mathrm{dB}$ ; $\times 2$ añade $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ ; $N$ fuentes idénticas e incoherentes suman intensidades, nunca niveles, y dan $L_1 + 10\log_{10}N$ ; y duplicar la distancia a una fuente pequeña ( $I$ dividida entre cuatro) quita unos $6.0\,\mathrm{dB}$ .

Demostración. $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; para la distancia, la Proposición 21.8 con $k = 1/4$ . ∎

Método 21.11 (Trabajar en decibelios)

$L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; y al revés: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
Nunca se suman niveles: hay que pasar a intensidades, sumar y volver — o usar $+3\,\mathrm{dB}$ por cada duplicación y $+10\,\mathrm{dB}$ por cada factor diez.
Cada duplicación de la distancia a una fuente pequeña cuesta $6\,\mathrm{dB}$ .

Una escalera de niveles cotidianos: cada escalón de 20\, dB es un salto de intensidad de cien veces; más allá de 85\, dB (zona roja) la exposición daña la audición. — Una escalera de niveles cotidianos: cada escalón de $20\,\mathrm{dB}$ es un salto de intensidad de cien veces; más allá de $85\,\mathrm{dB}$ (zona roja) la exposición daña la audición.

Observación 21.12 (El daño auditivo)

La pérdida de audición es una dosis: $85\,\mathrm{dB}$ son seguros durante ocho horas, y cada $3\,\mathrm{dB}$ de más — una duplicación de la intensidad — reduce a la mitad el tiempo seguro; las células ciliadas perdidas no vuelven a crecer.

21.4 Timbre y armónicos

Definición 21.13 (Armónicos)

Un sonido periódico de frecuencia $f_1$ — el fundamental — es en general una suma de sinusoides de frecuencias $f_n = n f_1$ , con $n = 1, 2, 3, \dots$ , sus armónicos. Un sonido reducido a su fundamental es un sonido puro, como el de un diapasón.

Definición 21.14 (Espectro y timbre)

El espectro de un sonido es el diagrama de barras de sus armónicos: una barra por cada $f_n$ , cuya longitud mide la intensidad de ese armónico. El oído escucha $f_1$ como el tono y la mezcla de intensidades como el timbre — el color del sonido: dos instrumentos que tocan la misma nota comparten $f_1$ y solo se diferencian en sus espectros.

El mismo la (220\, Hz): formas de onda (arriba) y espectros (abajo) — el mismo fundamental y el mismo tono; la escalera de armónicos del violín es su timbre. — El mismo la ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): formas de onda (arriba) y espectros (abajo) — el mismo fundamental y el mismo tono; la escalera de armónicos del violín es su timbre.

Ejemplo 21.15 (Por qué reconoces quién llama)

El la de una flauta es casi un sonido puro; un violín que frote esos mismos $220\,\mathrm{Hz}$ añade armónicos intensos en $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ . El mismo tono y la misma sonoridad y, sin embargo, nadie los confunde: una voz también es un espectro que te sabes de memoria.

21.5 La cuerda que vibra

Definición 21.16 (Onda estacionaria)

Una onda confinada entre los extremos fijos de una cuerda puede asentarse en una onda estacionaria: una oscilación en el sitio, con puntos inmóviles — los nodos — alternando con puntos de oscilación máxima — los vientres. Ya no viaja nada; la cuerda vibra con un patrón fijo.

Proposición 21.17 (Modos de una cuerda)

Una cuerda de longitud $L$ , fija por los dos extremos y que transporta ondas de velocidad $v$ , vibra de forma estable solo con patrones en los que cabe un número entero $n$ de semilongitudes de onda entre los nodos impuestos por los extremos:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots

El modo más bajo, $f_1 = v/(2L)$ , es el fundamental; los demás son exactamente sus armónicos.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 21.18 (Dónde vive la demostración honrada)

Que las ondas confinadas elijan exactamente estos modos se sigue de superponer la onda con sus reflexiones, un cálculo que se hace en el volumen del primer año. La geometría convence: los dos extremos tienen que quedarse quietos, así que ha de caber un número entero de semilongitudes de onda.

Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: en L caben n semilongitudes de onda, así que _n = 2L/n y f_n = nf_1. — Los tres primeros modos de una cuerda fija por los dos extremos: en $L$ caben $n$ semilongitudes de onda, así que $\lambda_n = 2L/n$ y $f_n = nf_1$ .

Ejemplo 21.19 (La cuerda la de un violín)

La cuerda la de un violín mide $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ y suena a $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ : las ondas la recorren a $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fijada por la tensión y la masa, y afinada con la clavija. Apoyar un dedo acorta $L$ y sube a la vez todas las $f_n$ : el espectro entero se desliza hacia arriba.

Observación 21.20 (Por qué se diferencian los instrumentos)

La manera de excitar la cuerda — pulsada, frotada, percutida — fija cuánto hay de cada modo, y la caja amplifica unos armónicos más que otros; la excitación y la caja juntas fijan el espectro, de modo que el mismo $f_1$ sale de una guitarra, de un violín y de un piano sonando cada uno como él mismo.

21.6 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

En el aire ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), halla la longitud de onda de (a) una nota grave de $55\,\mathrm{Hz}$ ; (b) un pitido de $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; (c) un chirrido de $15\,\mathrm{kHz}$ . Compara la mayor con la menor.

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

$\lambda = v/f$ : (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (b) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$ . Cociente $15000/55 \approx 270$ .

Ejercicio 21.2 ★

Clasifica como infrasonido, sonido audible o ultrasonido: $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$ . De los audibles, ¿cuál suena más grave?

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

Infrasonido: $8\,\mathrm{Hz}$ . Audibles: $100\,\mathrm{Hz}$ y $15\,\mathrm{kHz}$ . Ultrasonidos: $40\,\mathrm{kHz}$ y $3\,\mathrm{MHz}$ . El más grave: $100\,\mathrm{Hz}$ (menor frecuencia).

Ejercicio 21.3 ★

Un operario golpea un raíl a $1.0\,\mathrm{km}$ . Calcula los tiempos de viaje por el acero y por el aire. ¿Qué oye alguien con una oreja pegada al raíl?

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Acero: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; aire: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ . Dos golpes separados $2.7\,\mathrm{s}$ — primero el del raíl.

Ejercicio 21.4 ★

(a) ¿El nivel sonoro para $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? (b) ¿La intensidad a $60\,\mathrm{dB}$ ? (c) Nombra un sonido cotidiano cercano a cada nivel.

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$ . (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (c) $70\,\mathrm{dB}$ : un aspirador; $60\,\mathrm{dB}$ : una conversación.

Ejercicio 21.5 ★

La cuerda sol de un violín suena a $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ : da sus tres armónicos siguientes. ¿Por qué un silbido de $12\,\mathrm{kHz}$ , por rico que sea en la fuente, llega al oído como un sonido puro?

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$ . Sus armónicos superiores ( $n \ge 2$ ) empiezan en $24\,\mathrm{kHz}$ , por encima del techo audible: solo se oye el fundamental de $12\,\mathrm{kHz}$ .

Ejercicio 21.6 ★★

Una sirena radia $P = 0.50\,\mathrm{W}$ por igual en todas direcciones. Calcula la intensidad y el nivel sonoro a $5.0\,\mathrm{m}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$ .

Ejercicio 21.7 ★★

Un violín solo da $68\,\mathrm{dB}$ en tu butaca. ¿Qué nivel dan dos? ¿Y cuatro? ¿Cuántos violines harían falta para llegar a $78\,\mathrm{dB}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

Dos: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; cuatro: $74\,\mathrm{dB}$ . Para $+10\,\mathrm{dB}$ hace falta $\times 10$ en intensidad: $10$ violines.

Ejercicio 21.8 ★★

El nivel es de $95\,\mathrm{dB}$ a $2.0\,\mathrm{m}$ de un altavoz pequeño. Predice el nivel a $8.0\,\mathrm{m}$ : ¿está por debajo de la marca de $85\,\mathrm{dB}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

$r \times 4$ : $I$ dividida entre $16$ , luego $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$ . Sí — justo por debajo de la marca de $85\,\mathrm{dB}$ .

Ejercicio 21.9 ★★

Una nota de $440\,\mathrm{Hz}$ pasa del aire al agua. Calcula su longitud de onda en cada medio. El buceador oye el mismo tono: ¿qué magnitud fija la fuente y cuál se ajusta?

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

Aire: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; agua: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$ . La fuente fija la frecuencia; la longitud de onda $\lambda = v/f$ se ajusta al medio.

Ejercicio 21.10 ★★

Un espectro muestra picos en $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de alturas decrecientes: ¿cuál es el fundamental? Otro instrumento toca esa misma nota con la misma sonoridad: ¿qué es igual en su espectro y qué es distinto?

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (la separación entre picos). Igual: las posiciones de las barras, $nf_1$ (el mismo tono), y la intensidad total; distinto: las alturas de las barras — la mezcla que forma el timbre.

Ejercicio 21.11 ★★

Una cuerda de guitarra de $65.0\,\mathrm{cm}$ suena a $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Halla la velocidad de la onda y después las longitudes vibrantes que dan la octava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) y la quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Octava: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; quinta: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

Ejercicio 21.12 ★★★

Una sonda médica envía ultrasonidos de $5.0\,\mathrm{MHz}$ a un tejido blando ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): ¿la longitud de onda? Vuelven ecos al cabo de $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ y $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ desde las dos paredes de un órgano: halla sus profundidades y el grosor del órgano.

Solución

Solución de Ejercicio 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$ . Profundidad $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ y $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; grosor $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 21.13 ★★★

Un escenario al aire libre produce $110\,\mathrm{dB}$ a $3.0\,\mathrm{m}$ . Tratándolo como una fuente pequeña, ¿a qué distancia baja el nivel a $85\,\mathrm{dB}$ ? Da dos razones por las que la distancia real es distinta.

Solución

Solución de Ejercicio 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ significa $I$ dividida entre $10^{2.5} \approx 316$ , luego $r$ multiplicada por $\sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$ . Los recintos reales son distintos: las reflexiones del suelo y de las paredes suman intensidad, mientras que el aire y el público la absorben (y el escenario no es una fuente puntual isótropa).

Ejercicio 21.14 ★★★

Halla el cociente entre el umbral de dolor ( $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) e $I_0$ . Tomando el tímpano como $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ , calcula la potencia recibida en cada umbral; comenta lo que esto dice del oído como detector.

Solución

Solución de Ejercicio 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$ . Tímpano $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : potencia recibida $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ en el umbral y $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ en el dolor — el oído detecta decenas de attovatios y sigue funcionando con un billón de veces más: un detector con doce décadas de intervalo dinámico.

Ejercicio 21.15 ★★★

Cada altavoz idéntico de un festival da por sí solo $80\,\mathrm{dB}$ en la mesa de mezclas. ¿Qué nivel dan $2$ ? ¿Y $10$ ? ¿Y $100$ ? ¿Qué cuesta cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional — y qué dice esto de las carreras de sonoridad?

Solución

Solución de Ejercicio 21.15.

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$ . Cada $10\,\mathrm{dB}$ adicional cuesta diez veces más altavoces: las carreras de sonoridad son exponencialmente caras (y peligrosas mucho antes de ganarse).

21.7 Problema: el taller del luthier

Problema 21.1

Problema de fin de semana — el taller del luthier: una cuerda de guitarra repartida traste a traste, sus armónicos afinados hasta un timbre, un recital mantenido por debajo de la línea de peligro y una caza por ultrasonidos de un defecto en la madera

Un luthier está terminando una guitarra. Su cuerda la tiene una longitud vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ y debe sonar a $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Toma $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para el sonido en el aire y admite $f_1 = v/(2L)$ (Proposición 21.17), siendo $v$ la velocidad de la onda en la cuerda.

Parte I — Repartir el diapasón.

Calcula la velocidad $v$ de la onda en la cuerda.
Calcula la longitud de onda del fundamental en la cuerda y después la longitud de onda del sonido de $110\,\mathrm{Hz}$ en el aire. ¿Por qué son distintas con la misma frecuencia?
La octava ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): ¿qué longitud vibrante la da? ¿Dónde tiene que ir el traste duodécimo, como fracción de $L$ ?
La quinta ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): ¿qué longitud vibrante la da?
Cada traste sube la nota un semitono, un factor $2^{1/12}$ . Comprueba con logaritmos cuántos semitonos separan $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; ¿longitud en el primer traste?

Parte II — Armónicos y timbre.

Enumera los cinco primeros armónicos de la cuerda la al aire.
El la de un violinista suena a $440\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué armónico de la cuerda de guitarra es, y qué intervalo musical lo separa del fundamental? ¿Y los $330\,\mathrm{Hz}$ ?
El luthier pulsa cerca del puente y después sobre el diapasón: el mismo tono, distinto color. Explícalo con los espectros.
Un toque suave en el punto medio mientras se pulsa impone allí un nodo. ¿Qué armónicos sobreviven, y qué tono se oye?
¿Cuántos armónicos de la cuerda al aire caen, en principio, dentro del intervalo audible?

Parte III — El recital. En el primer concierto de la guitarra, cada instrumento radia una potencia acústica $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ como fuente pequeña, por igual en todas direcciones.

Calcula la intensidad a $r = 3.0\,\mathrm{m}$ de un instrumento.
Deduce allí el nivel sonoro.
Toca un cuarteto: ¿qué nivel dan cuatro instrumentos así en el mismo sitio? ¿Por qué no es cuatro veces el nivel?
Tocan doce instrumentos: ¿cuál es el nivel a $3.0\,\mathrm{m}$ ?
¿A qué distancia tiene que sentarse un oyente para que el conjunto baje a $85\,\mathrm{dB}$ ?
Regla de seguridad: $85\,\mathrm{dB}$ son seguros durante ocho horas, y cada $3\,\mathrm{dB}$ reduce a la mitad el tiempo seguro. ¿Cuánto puede quedarse sin riesgo el oyente de primera fila de la pregunta 14?

Parte IV — El defecto de la madera. Antes de barnizar, el luthier explora una pieza de mástil de $45\,\mathrm{mm}$ de grosor con un comprobador de $2.0\,\mathrm{MHz}$ ; en esta madera toma $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calcula la longitud de onda del ultrasonido en la madera. ¿Por qué la onda que caza defectos tiene que ser ultrasónica y no audible?
Calcula el retraso del eco de la cara posterior de la pieza.
Llega un eco al cabo de $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ¿a qué profundidad está el defecto?
Escribe la ficha del taller: velocidad de la onda en la cuerda, longitudes del traste duodécimo y del primero, distancia de escucha segura y profundidad del defecto.

Solución

Solución de Problema 21.1.

1. $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. En la cuerda, $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; en el aire, $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$ . La misma $f$ , pero $\lambda = v/f$ y las velocidades de la onda son distintas.

3. $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : el traste duodécimo va en el punto medio, a $L/2$ del puente.

4. $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

5. $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ semitonos — doce trastes por octava. Primer traste: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$ .

6. $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$ .

7. $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : el cuarto armónico, dos octavas por encima. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : el tercer armónico, una octava más una quinta.

8. La posición de la pulsación fija la mezcla de modos: cerca del puente los armónicos agudos son intensos (espectro brillante) y sobre el diapasón domina el fundamental (sonido dulce). El mismo $f_1$ , luego el mismo tono — distinto espectro, distinto timbre.

9. Solo sobreviven los armónicos que tienen un nodo en el punto medio: los pares, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$ , …El tono salta una octava, hasta $220\,\mathrm{Hz}$ .

10. $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$ , luego $181$ armónicos.

11. $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0) \approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

12. $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$ .

13. $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$ . Los niveles son logaritmos: lo que se suma son las intensidades, no los niveles.

14. $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$ .

15. Objetivo $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ con $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ : $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$ .

16. $88\,\mathrm{dB}$ son $+3\,\mathrm{dB}$ sobre el límite de las ocho horas: el tiempo seguro se reduce a la mitad una vez — cuatro horas. El recital cabe.

17. $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$ . Una onda solo se refleja en defectos de al menos una longitud de onda de tamaño: el sonido audible en la madera tiene $\lambda$ de decenas de centímetros y difracta alrededor de cualquier defecto pequeño.

18. $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

19. $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$ .

20. La ficha: $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en la cuerda; trastes en $32.5\,\mathrm{cm}$ (el duodécimo) y $61.4\,\mathrm{cm}$ (el primero); conjunto seguro más allá de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ ; defecto a $18\,\mathrm{mm}$ de profundidad — cuatro números, un capítulo.