Física de secundaria · Grades 10–12

30Circuitos RC y RL

Pulsa el disparador de una cámara hasta la mitad: un zumbido agudo sube durante dos segundos, una luz se pone verde — y solo entonces disparará el flash, soltando en un milisegundo lo que ha tardado dos segundos en reunir. Este capítulo presenta los dos componentes que le dan a un circuito memoria y reloj — el condensador y la bobina — y las primeras ecuaciones diferenciales de la física, comprobables con las derivadas de este curso.

30.1 El condensador

Definición 30.1 (Condensador y capacidad)

Un condensador es un par de placas metálicas enfrentadas separadas por un aislante delgado. Conectadas a un generador, las placas adquieren cargas opuestas $+q$ y $-q$ — un campo eléctrico llena el hueco (Capítulo 14) — y la tensión $u$ entre las placas es proporcional a la carga almacenada:

q = C\,u .

La constante $C$ es la capacidad, en faradios ( $\mathrm{F}$ ): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ .

Ejemplo 30.2 (Órdenes de magnitud)

Un faradio es enorme — un culombio aparcado por voltio. Los cerámicos de los circuitos de radio: de $\mathrm{pF}$ a $\mathrm{nF}$ ; los electrolíticos de las fuentes de alimentación y de los flashes: de $\text{µ}\mathrm{F}$ a $\mathrm{mF}$ ; los supercondensadores: miles de faradios.

Proposición 30.3 (Corriente hacia un condensador)

La corriente que llega a la placa de un condensador es la rapidez con la que crece su carga:

i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

donde las minúsculas señalan magnitudes variables en el tiempo ( $U$ , $I$ se reservan para las constantes, Capítulo 12).

Demostración. La corriente es la carga entregada por segundo (Definición 12.1): sobre un intervalo cada vez más pequeño, $i$ es la derivada de $q$ ; y $q = Cu$ con $C$ constante da $C\,du/dt$ . ∎

Observación 30.4 (Dos consecuencias)

Si $u$ es constante, $i = 0$ : un condensador cargado no deja pasar ninguna corriente continua. Y $u$ no puede dar nunca un salto — un escalón exigiría una corriente infinita: la tensión del condensador es la memoria del circuito.

30.2 Cargar un condensador: el circuito RC

Una sola malla — generador $\mathcal{E}$ (Definición 12.18), interruptor, resistor y condensador descargado: se cierra $K$ en $t = 0$ .

El circuito RC de carga: al cerrar K, el generador empuja carga a través de R hasta las placas de C. — El circuito RC de carga: al cerrar $K$ , el generador empuja carga a través de $R$ hasta las placas de $C$ .

Teorema 30.5 (Ley de carga del circuito RC)

Tras cerrarse el interruptor, la tensión del condensador obedece la ecuación siguiente y, a partir de $u(0) = 0$ , resulta:

RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

Demostración. Las tensiones a lo largo de la malla se suman (Proposición 12.4): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ en todo instante; sustitúyase $i = C\,du/dt$ (Proposición 30.3). Ahora verifiquemos la candidata: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , luego $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$ , cierto para toda $t$ ; y $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$ . Que ninguna otra curva encaja a la vez con la ecuación y con el arranque se demuestra en el curso de matemáticas de este año, al tratar las ecuaciones diferenciales. ∎

Definición 30.6 (Constante de tiempo)

La constante de tiempo de un circuito RC es $\tau = RC$ . Unidades: $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — el tempo propio del circuito.

Método 30.7 (Leer $\tau$ en la curva)

Tres lecturas equivalentes, directamente sobre la gráfica:

tangente en el origen: $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , así que la tangente inicial corta la asíntota en $t = \tau$ ;
63 %: $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
95 %: $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — cargado, a efectos prácticos ( $5\tau$ : $99\,\%$ ).

Proposición 30.8 (Descarga)

Un condensador cargado a $U_0$ y cerrado únicamente sobre un resistor $R$ obedece $RC\,du/dt + u = 0$ y sigue

u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— queda el $37\,\%$ en $\tau$ y el $5\,\%$ en $3\tau$ .

Demostración. La misma ley de mallas, sin generador; y de nuevo por sustitución: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$ , con $u(0) = U_0$ . ∎

Carga (azul, desde u = 0 hacia E) y descarga (rojo, desde U_0 = E). Las dos tangentes iniciales cortan su asíntota en t =; el 63\,\% está hecho en y el 95\,\% en 3. — Carga (azul, desde $u = 0$ hacia $\mathcal{E}$ ) y descarga (rojo, desde $U_0 = \mathcal{E}$ ). Las dos tangentes iniciales cortan su asíntota en $t = \tau$ ; el $63\,\%$ está hecho en $\tau$ y el $95\,\%$ en $3\tau$ .

Ejemplo 30.9 (Los números de un flash)

Un flash fotográfico carga $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ a través de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ , así que la luz de “listo” — cableada para saltar al $95\,\%$ — espera $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : el zumbido del enganche. Al dispararse a través de los meros $0.50\,\Omega$ del tubo de descarga, el mismo condensador se vacía con $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : dos mil veces más rápido para salir que para entrar.

30.3 La bobina: autoinducción y circuito RL

Definición 30.10 (Bobina y autoinducción)

Una bobina es un arrollamiento de hilo: su corriente enhebra sus propias espiras con un campo magnético (Capítulo 15); y cada vez que este cambia, aparece una tensión entre los bornes de la bobina:

u = L\,\frac{di}{dt} .

La constante $L$ es la autoinducción, en henrios ( $\mathrm{H}$ ): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 30.11 (La bobina se resiste al cambio)

Por qué una corriente variable genera una tensión — la inducción — se deduce en los volúmenes universitarios; aquí tomamos la ley y su carácter: la bobina se opone a los cambios de su corriente. Gemelas en espejo: la $u$ de un condensador no puede saltar; la $i$ de una bobina, tampoco.

El circuito RL: tras cerrarse K, la bobina deja subir la corriente solo a su propio ritmo = L/R. — El circuito RL: tras cerrarse $K$ , la bobina deja subir la corriente solo a su propio ritmo $\tau = L/R$ .

Proposición 30.12 (Subida de la corriente en un circuito RL)

Al cerrar el interruptor sobre un generador $\mathcal{E}$ , un resistor $R$ y una bobina $L$ en serie, resulta $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ , es decir,

\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{resuelta por}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

Demostración. De nuevo la ley de mallas; y es la misma ecuación que en el Teorema 30.5 con $u \to i$ , $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ y $RC \to L/R$ — la misma sustitución verifica la solución, y todas las lecturas del Método 30.7 se trasladan sin cambios. ∎

Ejemplo 30.13 (Un electroimán se despierta)

La bobina de un relé, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ y $R = 6.0\,\Omega$ , sobre una alimentación de $12\,\mathrm{V}$ : corriente final $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$ , al ritmo $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — despierto en $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$ .

Observación 30.14 (La chispa al abrir)

Abre un interruptor sobre una bobina en servicio y la $i$ tiene que desplomarse a cero en una fracción de milisegundo: $di/dt$ es enorme y $u = L\,di/dt$ alcanza cientos o miles de voltios — una chispa salta el contacto. La bobina de encendido de un coche lo hace a propósito, miles de veces por minuto.

30.4 Energía almacenada

Proposición 30.15 (Energía en un condensador, energía en una bobina)

Un condensador $C$ cargado a la tensión $u$ y una bobina $L$ recorrida por una corriente $i$ almacenan

E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2 .

Demostración. Depositar una carga pequeña $dq$ sobre unas placas que ya están a la tensión $u$ cuesta $u\,dq$ (Definición 12.3); apilando los costes, el total es el área bajo la recta $u = q/C$ — el triángulo de abajo —, luego $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$ . El mismo triángulo para la bobina (subir $i$ en $di$ cuesta $Li\,di$ ) da $E_L = \tfrac12 Li^2$ . ∎

Cada rebanada dq cuesta u\,dq; la carga entera cuesta el área del triángulo, E_C = 1/2 q_0 u_0 — los primeros culombios embarcan a tensión baja. — Cada rebanada $dq$ cuesta $u\,dq$ ; la carga entera cuesta el área del triángulo, $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — los primeros culombios embarcan a tensión baja.

Ejemplo 30.16 (Órdenes de magnitud de la energía)

El condensador del flash del Ejemplo 30.9: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ . Un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — lo que da una pila AA. Una bobina de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$ . Menos de lo que guardan las pilas — pero liberable en un milisegundo.

Observación 30.17 (Para qué sirven los dos guardianes del tiempo)

Entrar despacio y salir deprisa es lo que mueve el flash de la cámara y el desfibrilador. El retardo $\tau = RC$ hace funcionar los circuitos temporizadores: limpiaparabrisas intermitentes, balizas que parpadean, luces de escalera. Un condensador colocado en paralelo con una alimentación alisa la tensión ( $u$ no puede saltar); una bobina en serie alisa la corriente ( $i$ no puede saltar). Y bobina más condensador juntos forman un oscilador (Capítulo 31).

30.5 Ejercicios

Ejercicio 30.1 ★

Un condensador de $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ se carga a $12\,\mathrm{V}$ : ¿qué carga alberga? ¿Qué tensión pondría $2.0\,\mathrm{mC}$ en $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$ .

Ejercicio 30.2 ★

Reparte $47\,\mathrm{pF}$ , $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ y $10\,\mathrm{F}$ entre un alisador de fuente de alimentación, un sintonizador de radio y un supercondensador; calcula la energía del último a $2.7\,\mathrm{V}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$47\,\mathrm{pF}$ : sintonizador de radio; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : alisador; $10\,\mathrm{F}$ : supercondensador. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 30.3 ★

La tensión entre los bornes de un condensador de $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ sube de forma uniforme de $0$ a $5.0\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$ : ¿qué corriente entra? ¿Y qué corriente una vez que la tensión se queda quieta, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}$ . Después, $i = C\,du/dt = 0$ : un condensador cargado es un circuito abierto — no deja pasar corriente continua.

Ejercicio 30.4 ★

Calcula $\tau$ para $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ , y después para $L = 0.10\,\mathrm{H}$ y $R = 50\,\Omega$ . Comprueba, unidad a unidad, que ambas combinaciones son segundos.

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$ .

Ejercicio 30.5 ★

Un condensador se carga hacia $6.0\,\mathrm{V}$ y pasa por $3.8\,\mathrm{V}$ en $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Deduce la constante de tiempo; ¿cuándo está la carga hecha al $95\,\%$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

$3.8/6.0 = 0.63$ , luego $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ; el $95\,\%$ en $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 30.6 ★★

Un circuito RC: $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Calcula $\tau$ , $u(\tau)$ , $u(3\tau)$ y la corriente en el instante en que se cierra el interruptor.

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (condensador descargado: todo $\mathcal{E}$ cae en $R$ ).

Ejercicio 30.7 ★★

Verifica por sustitución que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ satisface $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ ; ¿qué codifican físicamente su valor en $t = 0$ y su límite para $t$ grande?

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ , luego $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ . $u(0) = 0$ : el condensador arranca descargado; $u \to \mathcal{E}$ : plenamente cargado, la corriente se ha detenido.

Ejercicio 30.8 ★★

Un condensador de $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $12\,\mathrm{V}$ se descarga a través de $47\,\mathrm{k}\Omega$ : calcula $\tau$ , $u(\tau)$ y el tiempo que tarda $u$ en bajar de $0.60\,\mathrm{V}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ; $0.60\,\mathrm{V}$ es el $5\,\%$ , que se alcanza en $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 30.9 ★★

La corriente en una bobina de $0.50\,\mathrm{H}$ sube de forma uniforme de $0$ a $2.0\,\mathrm{A}$ en $40\,\mathrm{ms}$ : ¿qué tensión aparece entre sus bornes? Con $u = L\,di/dt$ , ¿por qué salta la chispa al abrir un interruptor sobre una bobina y no al cerrarlo?

Solución

Solución de Ejercicio 30.9.

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$ . Al cerrar, $i$ sube al ritmo propio del circuito y $di/dt$ es modesta; al abrir, se obliga a $i$ a anularse casi instantáneamente, $di/dt$ es enorme y $u$ alcanza valores capaces de hacer saltar la chispa.

Ejercicio 30.10 ★★

El relé del Ejemplo 30.13: verifica por sustitución que $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ satisface $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ y calcula después $i(\tau)$ e $i(3\tau)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.10.

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$ , luego $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$ . $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$ .

Ejercicio 30.11 ★★

Demuestra que $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ y deduce que la tangente en el origen corta la asíntota en $t = \tau$ . Sobre una curva registrada que da $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ , con $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : halla $C$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.11.

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , luego $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : la tangente $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ alcanza $\mathcal{E}$ en $t = \tau$ . $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

Ejercicio 30.12 ★★★

Ordena por energía almacenada, calculando cada una: un supercondensador de $3000\,\mathrm{F}$ a $2.7\,\mathrm{V}$ ; un condensador de flash, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $300\,\mathrm{V}$ ; una bobina de $10\,\mathrm{mH}$ a $10\,\mathrm{A}$ ; una pila AA ( $E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ). ¿Qué ofrecen los tres primeros que la pila no puede dar?

Solución

Solución de Ejercicio 30.12.

Supercondensador, $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; flash, $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ ; bobina, $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$ . Pila ( $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) $>$ supercondensador $\gg$ flash $\gg$ bobina — pero los tres pueden soltar su energía en milisegundos: potencia, no energía.

Ejercicio 30.13 ★★★

Un temporizador de escalera mantiene la luz encendida mientras $u < 0.63\,\mathcal{E}$ entre los bornes de su condensador en carga, y se apaga en $t = \tau$ . Diseña la luz para que dure $5.0\,\mathrm{s}$ usando $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : ¿qué $R$ ? Para un umbral $0.50\,\mathcal{E}$ , demuestra que el retardo vale $\tau \ln 2$ y calcúlalo.

Solución

Solución de Ejercicio 30.13.

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$ , luego $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$ . De $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ sale $e^{-t/\tau} = 0.50$ , es decir, $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 30.14 ★★★

Un condensador de $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ alisa una alimentación: entre dos recargas, él solo alimenta una carga que consume $0.50\,\mathrm{A}$ durante $10\,\mathrm{ms}$ . A partir de $i = C\,du/dt$ , calcula la caída de tensión y después la capacidad que la mantiene por debajo de $0.50\,\mathrm{V}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.14.

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}$ . Hace falta $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$ .

Ejercicio 30.15 ★★★

Una bobina de encendido, $L = 0.80\,\mathrm{H}$ , lleva $2.0\,\mathrm{A}$ cuando el ruptor la corta en aproximadamente $1.0\,\mathrm{ms}$ . Estima la tensión de la bobina durante el corte y la energía de la chispa; ¿por qué una interrupción lenta no da chispa?

Solución

Solución de Ejercicio 30.15.

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$ ; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$ . Si se corta despacio, $di/dt$ se mantiene pequeña, $u$ se queda en unos pocos voltios: no hay chispa.

30.6 Problema: El flash de la cámara

Problema 30.1

Problema de fin de semana — el flash de la cámara: dos segundos de zumbido, un milisegundo de gloria y el primo de pared que reinicia corazones — una sola exponencial los gobierna a todos

Un flash compacto almacena energía en un condensador $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ , cargado a través de $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ desde un convertidor modelizado como un generador ideal $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ ; la luz de “listo” salta al $95\,\%$ de la tensión final. Al dispararse, el condensador solo ve el tubo de descarga, $R_f = 0.50\,\Omega$ . Datos: una pila AA entrega $1.5\,\mathrm{V}$ y $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

Parte I — El depósito.

Calcula la carga del condensador a $300\,\mathrm{V}$ .
¿A cuántas cargas elementales equivale?
Calcula la energía almacenada $E_C$ .
La pila AA alberga $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ y, por tanto, unos $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . ¿Cuántas veces la energía del condensador es eso?
Entonces, ¿para qué molestarse con el condensador? Una frase, usando la palabra “potencia”.

Parte II — La espera del verde.

Escribe la ley de mallas y conviértela en la ecuación diferencial de $u(t)$ .
Verifica por sustitución que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ la resuelve partiendo de $u(0) = 0$ .
Calcula la constante de tiempo $\tau$ .
¿Al cabo de cuánto tiempo se pone verde la luz de listo, y a qué tensión? Reconoce el zumbido de dos segundos.
Calcula la corriente inicial de carga; ¿por qué se apaga después?

Parte III — El milisegundo de gloria.

Escribe la ley de descarga $u(t)$ a través del tubo y calcula la nueva constante de tiempo $\tau'$ .
Calcula la corriente máxima por el tubo.
Calcula la potencia máxima; compárala con la de un hervidor de $2.2\,\mathrm{kW}$ .
Tomando el destello por terminado en $3\tau'$ , da su duración y su potencia media.
Forma el cociente entre el tiempo de carga y el tiempo de destello: el mismo condensador, la misma carga — ¿qué ha cambiado, y en qué convierte eso a un condensador: en un depósito de energía o en una palanca de potencia?

Parte IV — El primo de la pared. Un desfibrilador debe entregar $E_C = 200\,\mathrm{J}$ a $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ; el tórax y las palas presentan unos $50\,\Omega$ .

Calcula la capacidad necesaria.
Calcula la carga almacenada.
Calcula la constante de tiempo del choque y su duración ( $3\tau$ ); compárala con la del flash.
Calcula la corriente máxima y la potencia máxima en el paciente.
El circuito de recarga debe dejar el aparato listo (al $95\,\%$ ) en $6.0\,\mathrm{s}$ : halla la resistencia de carga necesaria y la corriente inicial de carga — las cifras que encargaría un proyectista.

Solución

Solución de Problema 30.1.

1. $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$ .

2. $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$ .

3. $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ .

4. $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ veces.

5. La pila almacena de sobra pero entrega despacio; el condensador convierte una energía modesta en una potencia enorme.

6. $\mathcal{E} = Ri + u$ con $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ .

7. $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ para toda $t$ , y $u(0) = 0$ .

8. $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ .

9. En $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ , $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — el zumbido de dos segundos.

10. $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ; a medida que $u$ sube, el resto $\mathcal{E} - u$ que cae en $R$ se encoge, así que $i = (\mathcal{E}-u)/R$ se apaga.

11. $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ con $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ .

12. $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$ .

13. $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — unos $80$ hervidores a la vez.

14. Duración $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ; potencia media $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$ .

15. $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$ . Lo único que ha cambiado es la resistencia ( $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ a la entrada, $0.50\,\Omega$ a la salida): una palanca de potencia.

16. $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

17. $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}$ .

18. $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$ , duración $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — unas veinte veces la del flash.

19. $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$ .

20. De $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ sale $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ , luego $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ e $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — listo en seis segundos, con una décima de amperio.