Física de secundaria · Grades 10–12

12Circuitos eléctricos y potencia

Acciona un interruptor: una lámpara se enciende, porque un generador situado a muchos kilómetros empuja carga por un lazo de cobre que pasa por tu pared. Los cursos anteriores cartografiaron el circuito — intensidad, tensión, ley de Ohm. Este capítulo lo vuelve a abrir con el libro de cuentas del Capítulo 9: qué cobra el contador, por qué se ponen incandescentes los hilos finos y por qué la red de transporte trabaja a $400\,\mathrm{kV}$ .

12.1 La carga en movimiento

Definición 12.1 (Intensidad de corriente y culombio)

Una corriente eléctrica es un flujo ordenado de carga (de electrones, en un metal). Su intensidad $I$ , en amperios ( $\mathrm{A}$ ), es la carga que atraviesa por segundo una sección del hilo: una corriente constante $I$ que circula durante un tiempo $t$ transporta la carga

q = I\,t ,

en culombios ( $\mathrm{C}$ ), con $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . La carga elemental vale $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . La intensidad se mide con un amperímetro, intercalado en serie.

Ejemplo 12.2 (El rayo frente al móvil)

Un rayo lleva unos $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ durante unos $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ . Tu móvil, a $2.0\,\mathrm{A}$ , mueve esa misma carga cada $1.5$ segundos.

Definición 12.3 (Tensión y voltio)

La tensión $U$ entre dos puntos de un circuito, en voltios ( $\mathrm{V}$ ), es la energía intercambiada por unidad de carga que viaja entre ellos: $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ , de modo que una carga $q$ que atraviesa un dispositivo bajo una tensión $U$ intercambia con él la energía $E = qU$ . Se mide con un voltímetro, conectado en paralelo.

Proposición 12.4 (Leyes de los circuitos)

En un circuito que funciona en régimen estacionario:

ley de los nudos: las intensidades que llegan a un nudo suman lo mismo que las que salen de él;
ley de las mallas en serie: las tensiones se suman a lo largo de un camino: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
ley del paralelo: dos ramas que unen los mismos dos puntos soportan la misma tensión.

Demostración. En régimen estacionario la carga no se acumula en ningún sitio, así que lo que entra en un nudo sale de él. La energía por culombio es aditiva a lo largo de un camino y depende únicamente de sus extremos — no de la rama que se tome entre ellos. ∎

12.2 La ley de Ohm y las asociaciones de resistencias

Definición 12.5 (Resistencia)

La resistencia de un conductor es el cociente $R = U/I$ entre la tensión en sus extremos y la intensidad que lo atraviesa, medida en ohmios ( $\Omega$ ): $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Proposición 12.6 (Ley de Ohm)

Para un conductor metálico mantenido a temperatura fija, $R$ es constante: la tensión y la intensidad son proporcionales,

U = R\,I .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 12.7

Es una ley experimental, no universal: un diodo, el filamento de una lámpara o tu propia piel no la cumplen. Por qué la cumplen los metales se deduce en los volúmenes universitarios.

Proposición 12.8 (Resistencias en serie y en paralelo)

Dos resistencias en serie equivalen a una sola resistencia $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ; dos en paralelo, a una resistencia $R_{\text{p}}$ dada por

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{es decir}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

Demostración. En serie: la misma $I$ atraviesa las dos y las tensiones se suman (Proposición 12.4), luego $U = (R_1 + R_2)\,I$ . En paralelo: las dos están bajo la misma $U$ y las intensidades se suman, luego $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ . ∎

En serie (izquierda): una sola intensidad, las tensiones se suman. En paralelo (derecha): una sola tensión, las intensidades se suman.

Ejemplo 12.9 (Resistencia equivalente)

$R_1 = 100\,\Omega$ y $R_2 = 150\,\Omega$ : en serie, $250\,\Omega$ ; en paralelo, $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — menos que cualquiera de las dos: la corriente dispone de un segundo camino.

12.3 Energía y potencia en un circuito

Proposición 12.10 (Potencia eléctrica)

Un dispositivo sometido a una tensión $U$ y atravesado por una intensidad $I$ recibe energía al ritmo

P = U\,I , \qquad\text{es decir}\quad E = U\,I\,t \ \text{en un tiempo } t .

Demostración. En un tiempo $t$ atraviesa el dispositivo la carga $q = It$ (Definición 12.1) y cada culombio le entrega $U$ julios (Definición 12.3): $E = qU = UIt$ . ∎

Proposición 12.11 (Potencia en una resistencia)

Una resistencia $R$ recorrida por una intensidad $I$ disipa

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .

Demostración. Basta sustituir la ley de Ohm en $P = UI$ : $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ . ∎

Ejemplo 12.12 (Leer una placa de características)

Un hervidor marcado “ $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ ” consume $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ y tiene una resistencia $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ . Funcionando $150\,\mathrm{s}$ gasta $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — unos dos céntimos.

Observación 12.13 (Julios y kilovatios-hora)

El contador cuenta kilovatios-hora (Definición 9.17): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Los julios son la unidad del físico; los kilovatios-hora ponen precio a las facturas.

Potencias de los electrodomésticos en un eje logarítmico: todo lo que calienta (en rojo) vive un factor diez por encima de todo lo que calcula o alumbra (en azul).

12.4 El efecto Joule: de la tostadora a la torre de alta tensión

Definición 12.14 (Efecto Joule)

La disipación $P = RI^2$ que convierte energía eléctrica en calor en toda resistencia es el efecto Joule. Las estufas, los hervidores, las tostadoras y las bombillas de antaño son resistencias por diseño; un fusible es un hilo fino calibrado para fundirse — abriendo el circuito — cuando la intensidad supera su valor nominal.

Ejemplo 12.15 (Por qué las torres van a tensión alta)

Un pueblo necesita $P = 100\,\mathrm{kW}$ por una línea de resistencia $R_\ell = 5.0\,\Omega$ . Entregada a $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ y la línea derrocha $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — el doble de lo entregado: absurdo. A $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ y $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ . Cuarenta veces menos intensidad, $1600$ veces menos pérdida.

El suministro del : subir U con P = UI fijo encoge I, y la pérdida cae con I2. — El suministro del Ejemplo 12.15: subir $U$ con $P = UI$ fijo encoge $I$ , y la pérdida cae con $I^2$ .

Observación 12.16 (La regla de hierro de la red)

A potencia entregada fija $P = UI$ , la pérdida de línea $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ cae como el cuadrado de la tensión de transporte. De ahí la receta: transformar hacia arriba ( $400\,\mathrm{kV}$ ) para viajar y hacia abajo ( $230\,\mathrm{V}$ ) para convivir con ella.

Observación 12.17 (Seguridad doméstica)

Una línea de $230\,\mathrm{V}$ protegida con un fusible de $16\,\mathrm{A}$ alimenta como mucho $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : dos hervidores a la vez funden el fusible — que es, por diseño, el eslabón más fino y débil, mucho más barato que un incendio dentro de la pared.

12.5 Los generadores reales: la fuerza electromotriz

Definición 12.18 (Fem y resistencia interna)

Una pila convierte energía química en energía eléctrica. Su fuerza electromotriz (fem) $\mathcal{E}$ , en voltios, es la energía que entrega a cada culombio que la atraviesa; su resistencia interna $r$ da cuenta del efecto Joule dentro de su propia química. Modelo: una fuente ideal $\mathcal{E}$ en serie con $r$ (la $\mathcal{E}$ caligráfica: $E$ es la energía).

Proposición 12.19 (Tensión en bornes)

Una pila que entrega una intensidad $I$ presenta en sus bornes

U = \mathcal{E} - r\,I .

Demostración. La química suministra $\mathcal{E}I$ , la resistencia interna se come $rI^2$ y el circuito recibe $UI$ : la conservación de la energía (Capítulo 9) da $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ . ∎

Ejemplo 12.20 (Una pila con carga)

Una pila ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 1.0\,\Omega$ ) alimenta una bombilla de resistencia $R = 8.0\,\Omega$ . El lazo cumple $\mathcal{E} = rI + RI$ , luego $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ y $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : la bombilla recibe $8.0\,\mathrm{W}$ mientras la pila derrocha $1.0\,\mathrm{W}$ en calentarse.

Característica de descarga de la pila del : los puntos medidos caen sobre la recta U = E - rI, de pendiente -r = -1.0\, V/ A. — Característica de descarga de la pila del Ejemplo 12.20: los puntos medidos caen sobre la recta $U = \mathcal{E} - rI$ , de pendiente $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Observación 12.21 (Los receptores)

Un motor o una batería que se carga recorren la conversión al revés: absorben bajo $U = \mathcal{E}' + r'I$ , convierten $\mathcal{E}'I$ en movimiento o en química y pierden $r'I^2$ . Los generadores empujan; los receptores empujan en contra.

Ejemplo 12.22 (Rendimiento de una pila)

El rendimiento (Definición 9.12) de la descarga anterior: lo útil, $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ , de los $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ suministrados, luego $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — y baja a medida que sube la intensidad: las pilas que trabajan mucho se calientan.

12.6 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

La batería de un móvil se carga con una intensidad constante de $2.0\,\mathrm{A}$ durante $90\,\mathrm{min}$ . ¿Qué carga pasa por el cable, en culombios? ¿A cuántas cargas elementales equivale ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ . Número de cargas elementales: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ .

Ejercicio 12.2 ★

Una resistencia de $220\,\Omega$ sometida a $12\,\mathrm{V}$ : ¿qué intensidad circula? Una resistencia calefactora consume $0.50\,\mathrm{A}$ a $230\,\mathrm{V}$ : ¿qué resistencia tiene?

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ .

Ejercicio 12.3 ★

Calcula la resistencia equivalente de $R_1 = 120\,\Omega$ y $R_2 = 60\,\Omega$ en serie y después en paralelo. ¿Cuál es menor que las dos, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

En serie: $120 + 60 = 180\,\Omega$ . En paralelo: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — menor que las dos: la misma tensión, pero la corriente dispone de un segundo camino, así que hay más intensidad total y menos resistencia.

Ejercicio 12.4 ★

Una plancha de viaje consume $8.7\,\mathrm{A}$ a $230\,\mathrm{V}$ . Calcula su potencia y después la energía que gasta en $4.0\,\mathrm{min}$ , en julios y en kilovatios-hora.

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ . En $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Ejercicio 12.5 ★

El cargador de un portátil entrega $60\,\mathrm{W}$ durante $5.0\,\mathrm{h}$ al día: ¿energía diaria en kilovatios-hora y en julios, y coste a $0.25$ euros el $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Coste: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euros al día.

Ejercicio 12.6 ★★

Una estufa eléctrica está marcada como $1200\,\mathrm{W}$ a $230\,\mathrm{V}$ .

Calcula su resistencia y la intensidad que consume.
Enchufada (con la misma resistencia) a una red de $115\,\mathrm{V}$ , ¿qué potencia entrega? ¿Por qué no la mitad?

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ .

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : la cuarta parte, no la mitad, porque reducir $U$ a la mitad reduce también $I$ a la mitad, y $P = UI \propto U^2$ .

Ejercicio 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ y $R_2 = 20\,\Omega$ en serie bajo $12\,\mathrm{V}$ . Calcula la intensidad, la tensión en cada resistencia y la potencia disipada en cada una; comprueba que las potencias suman $UI$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ , luego $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ . $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ , $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (suman $12\,\mathrm{V}$ ); $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ , $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : en total $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ , como debía ser.

Ejercicio 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ y $R_2 = 30\,\Omega$ en paralelo bajo $12\,\mathrm{V}$ . Calcula la intensidad de cada rama, la intensidad total y la resistencia equivalente de dos maneras.

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ , en total $I = 0.60\,\mathrm{A}$ . Equivalente: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ , y en efecto $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ .

Ejercicio 12.9 ★★

Una pila entrega $U = 5.5\,\mathrm{V}$ con $I = 0.50\,\mathrm{A}$ y $U = 4.0\,\mathrm{V}$ con $I = 2.0\,\mathrm{A}$ . Halla su fem $\mathcal{E}$ y su resistencia interna $r$ , y después la intensidad de cortocircuito $\mathcal{E}/r$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ y $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; restando, $1.5\,r = 1.5$ , luego $r = 1.0\,\Omega$ y $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ . Cortocircuito: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ .

Ejercicio 12.10 ★★

Una línea de cocina de $230\,\mathrm{V}$ está protegida por un fusible de $16\,\mathrm{A}$ . Funcionan a la vez un hervidor de $2.2\,\mathrm{kW}$ y una tostadora de $1.0\,\mathrm{kW}$ : ¿aguanta el fusible? Alguien añade una estufa de $1.5\,\mathrm{kW}$ : demuestra que se funde.

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

Hervidor $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ , tostadora $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : en total $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ , el fusible aguanta. Estufa $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : en total $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ , se funde (o, lo que es lo mismo, $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ ).

Ejercicio 12.11 ★★

Un taller necesita $10\,\mathrm{kW}$ a través de un cable de alimentación de resistencia $2.0\,\Omega$ . Calcula la intensidad y la pérdida por efecto Joule si la potencia se entrega a $200\,\mathrm{V}$ y después a $4.0\,\mathrm{kV}$ . Compara las dos pérdidas y explica el cociente.

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

A $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ , pérdida $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — la mitad de lo entregado. A $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$ , pérdida $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ . Cociente $400 = 20^2$ : veinte veces la tensión significa veinte veces menos intensidad, y la pérdida va con $I^2$ .

Ejercicio 12.12 ★★★

Usando las tres a la vez, enumera todas las resistencias equivalentes distintas que se pueden formar con tres resistencias iguales de $60\,\Omega$ (serie, paralelo, mixtas); calcula cada una.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Cuatro montajes: las tres en serie, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; las tres en paralelo, $60/3 = 20\,\Omega$ ; una en serie con dos en paralelo, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; una en paralelo con dos en serie, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ .

Ejercicio 12.13 ★★★

Una pila ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ , $r = 1.5\,\Omega$ ) alimenta una resistencia $R = 6.0\,\Omega$ .

Calcula $I$ , $U$ , la potencia útil en $R$ , la potencia perdida en $r$ y el rendimiento.
Demuestra que la potencia recibida por una $R$ variable, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , es máxima cuando $R = r$ (pista: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), y calcula ese máximo.

Solución

Solución de Ejercicio 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; potencia útil $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; perdida $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ .

2. Por la pista, $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ; el corchete es mínimo ( $= 4r$ ) exactamente cuando $R = r$ , luego $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 12.14 ★★★

Un hervidor de $2.2\,\mathrm{kW}$ y rendimiento $0.90$ lleva $1.0\,\mathrm{kg}$ de agua de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a la ebullición (calentar agua cuesta $4180\,\mathrm{J}$ por kilogramo y grado). Calcula el calor necesario, la energía eléctrica consumida, el tiempo de calentamiento y el coste a $0.25$ euros el $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.14.

Calor: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Eléctrica: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Tiempo: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ , menos de tres minutos. Coste: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , unos $2.6$ céntimos.

Ejercicio 12.15 ★★★

Una batería de coche: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ , $r = 0.020\,\Omega$ , capacidad $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ .

Convierte la capacidad a culombios y estima la energía almacenada ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) en julios y en kilovatios-hora.
El motor de arranque consume $150\,\mathrm{A}$ : calcula la tensión en bornes, la potencia entregada y la potencia perdida dentro.
Explica por qué los faros se atenúan mientras arranca el motor.

Solución

Solución de Ejercicio 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; entregada $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; perdida $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ .

3. Los faros están conectados a los bornes: mientras arranca, la tensión en bornes cae de $12.7$ a $9.7\,\mathrm{V}$ , así que reciben menos potencia y se atenúan.

12.7 Problema: de la presa a la tostadora

Problema 12.1

Problema de fin de semana — el viaje de mil kilómetros de un kilovatio-hora, del agua que cae al pan que se tuesta, con la factura completa del trayecto

Una presa de montaña retiene agua $200\,\mathrm{m}$ por encima de sus turbinas, que se tragan $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — por segundo; la turbina y el alternador convierten con un rendimiento $0.90$ . Por una línea de resistencia total $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ de ida y vuelta), la central alimenta una ciudad donde tu tostadora de $900\,\mathrm{W}$ espera a $230\,\mathrm{V}$ . El alternador entrega $20\,\mathrm{kV}$ ; los transformadores (rendimiento $0.99$ cada uno) convierten las tensiones a voluntad. La electricidad se vende a $0.25$ euros el $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Parte I — En la presa.

¿Cuánta energía potencial libera cada segundo el agua que cae? Deduce la potencia disponible para las turbinas.
¿Qué potencia eléctrica sale del alternador?
A $20\,\mathrm{kV}$ directamente desde el alternador, ¿qué intensidad circula?
Calcula la pérdida por efecto Joule $R_\ell I^2$ con esa intensidad y compárala con lo que produce la central. Concluye.
La potencia de la ciudad $P = UI$ la fija la demanda. ¿Cuál es la única manera de encoger $I$ , y qué dispositivo lo hace?

Parte II — En la línea.

Un transformador, tratado como ideal en esta pregunta, eleva los $88\,\mathrm{MW}$ a $400\,\mathrm{kV}$ : ¿qué intensidad circula ahora?
Calcula la nueva pérdida de línea, en megavatios.
¿Qué fracción de la producción de la central se pierde en la línea?
Demuestra que la fracción perdida vale $R_\ell P/U^2$ y comprueba que explica el factor entre las preguntas 4 y 7.
Calcula la caída de tensión $R_\ell I$ a lo largo de la línea a $400\,\mathrm{kV}$ . ¿Es coherente con la pregunta 8?

Parte III — En la cocina.

Convierte $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ a julios; ¿qué multiplica el contador?
Calcula la intensidad y la resistencia de la tostadora a $230\,\mathrm{V}$ .
Tres minutos de tostada: la energía en julios y en kilovatios-hora, y su precio.
La tostadora disipa $RI^2$ : explica en una frase por qué la misma fórmula es la pérdida en la línea y el producto en la cocina.
La tostadora comparte un fusible de $16\,\mathrm{A}$ con un hervidor de $2.2\,\mathrm{kW}$ : ¿aguanta el fusible? Se suma una estufa de $2.0\,\mathrm{kW}$ : ¿y ahora?

Parte IV — La auditoría.

La instalación de la propia casa, de resistencia $0.05\,\Omega$ , lleva los $13.5\,\mathrm{A}$ de la pregunta 15: calcula la pérdida y su fracción sobre los aproximadamente $3.1\,\mathrm{kW}$ entregados.
Encadena los rendimientos (turbina-alternador, transformador elevador, línea, transformador reductor e instalación de la casa) en un único rendimiento global de la red.
¿Cuántos kilogramos (y cuántos metros cúbicos) de agua de la presa tienen que caer para que llegue un kilovatio-hora a tu tostadora?
Evalúa la fracción perdida $R_\ell P/U^2$ de la pregunta 9 con $U = 20\,\mathrm{kV}$ . ¿Qué significa un valor mayor que $1$ ?
El remate — el precio de la distancia: en dos frases, ¿qué le cuesta a la montaña un kilovatio-hora tostado, qué fracción muere por el camino y qué único truco lo hace posible?

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. Cada segundo, $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : potencia disponible $98\,\mathrm{MW}$ .

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ .

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ .

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — siete veces lo que produce la central: transportar a $20\,\mathrm{kV}$ es imposible.

5. Con $P = UI$ fijo, lo único que encoge $I$ es subir $U$ : un transformador.

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ .

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : un $1.8\,\%$ aproximadamente.

9. Fracción $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : de $20\,\mathrm{kV}$ a $400\,\mathrm{kV}$ cae en un factor $20^2 = 400$ , y en efecto $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : un $1.8\,\%$ de $400\,\mathrm{kV}$ , la misma fracción de la pregunta 8, ya que $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ .

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : el contador multiplica la potencia consumida por el tiempo que se consume, y va sumando.

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ .

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : alrededor de $1.1$ céntimos.

14. La física de $RI^2$ es idéntica; lo único que cambia es el propósito — en la línea el calor sobra, y en la tostadora el calor es el producto.

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : aguanta. Estufa $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : en total $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ , el fusible se funde.

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : $9.1/3100 \approx 0.3\,\%$ de la potencia entregada — despreciable en cables cortos.

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ .

18. Un kilovatio-hora tostado necesita $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ aguas arriba: $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , unos $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ de agua.

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ . Una “fracción” mayor que $1$ significa que la línea disiparía más de lo que transporta: a esa tensión el suministro, sencillamente, no puede darse.

20. Un kilovatio-hora tostado le cuesta a la montaña unas dos toneladas — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — de agua cayendo $200\,\mathrm{m}$ , y cerca del $14\,\%$ de la energía muere por el camino, sobre todo en las turbinas y los transformadores (menos del $2\,\%$ en $1000\,\mathrm{km}$ de línea). El único truco que hace posible el viaje es el transformador: elevar a $400\,\mathrm{kV}$ divide la intensidad entre $20$ y la pérdida por efecto Joule entre $400$ .

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