Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

10Lentes, imágenes y el ojo

Toda imagen nítida — en el sensor de un móvil, en una pantalla de cine o en el fondo de tu propio ojo — sale del mismo truco: un medio transparente curvado desvía los rayos por refracción (Capítulo 3) de modo que todos los rayos que salen de un punto vuelven a encontrarse en otro. Este capítulo domestica el truco: una lente, tres rayos, una fórmula — y después lo aplica a las cámaras, a las gafas y a la lente viva que está leyendo esta frase.

10.1 Lentes convergentes y divergentes

Definición 10.1 (Lente delgada)

Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies, al menos una de ellas curva. Si es más gruesa en el centro que en el borde, es convergente: los rayos paralelos se desvían unos hacia otros; si es más gruesa en el borde, es divergente: los rayos se separan. Una lente delgada tiene un grosor despreciable: la dibujamos como un segmento con puntas de flecha hacia fuera (convergente) o hacia dentro (divergente). Su centro OO es el centro óptico; la recta perpendicular que pasa por OO, el eje principal.

Definición 10.2 (Focos y distancia focal)

Los rayos que llegan paralelos al eje de una lente convergente cortan todos el eje en un mismo punto situado detrás de ella, el foco imagen F′F'; simétricamente, los rayos que salen del foco objeto FF (delante, con OF=OF′OF = OF') emergen paralelos al eje. La distancia focal f′=OF′‾f' = \overline{OF'} es positiva para una lente convergente; a través de una lente divergente, los rayos paralelos salen como si vinieran de un punto F′F' situado delante de la lente: f′<0f' < 0.

Definición 10.3 (Potencia óptica)

La potencia óptica de una lente de distancia focal f′f' (en metros) es C=1/f′C = 1/f', medida en dioptrías (símbolo D): 1 D=1 m−11~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}; las lentes divergentes tienen C<0C < 0. Los ópticos recetan en dioptrías: las potencias ópticas de lentes delgadas en contacto simplemente se suman (admitido aquí; deducido en el volumen del primer año).

Ejemplo 10.4 (Leer una receta)

Una lente con f′=0.50 mf' = 0.50\,\mathrm{m} tiene C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D: convergente. Una receta de −4.0-4.0 D significa f′=−0.25 mf' = -0.25\,\mathrm{m}: divergente, de 25 cm25\,\mathrm{cm} de distancia focal.

10.2 Construir la imagen

Método 10.5 (Los tres rayos de construcción)

Sea ABAB un objeto perpendicular al eje en AA. De todos los rayos que salen de la punta BB, hay tres cuyo camino se conoce:

  1. el rayo que pasa por el centro óptico OO sigue recto;
  2. el rayo paralelo al eje sale pasando por F′F';
  3. el rayo que pasa por FF sale paralelo al eje.

Bastan dos cualesquiera: su intersección es el punto imagen B′B', y la imagen A′B′A'B' queda perpendicular al eje en A′A'. Si los rayos salientes divergen, sus prolongaciones hacia atrás (a trazos) se cortan en un punto imagen virtual.

Los tres rayos de construcción: objeto AB más allá de F, imagen A'B' real e invertida (aquí OA = -2f': del mismo tamaño, = -1).
Los tres rayos de construcción: objeto ABAB más allá de FF, imagen A′B′A'B' real e invertida (aquí OA‾=−2f′\overline{OA} = -2f': del mismo tamaño, γ=−1\gamma = -1).

Definición 10.6 (Imágenes reales y virtuales)

Una imagen es real cuando los rayos salientes pasan realmente por ella: una pantalla puesta ahí la recoge; es virtual cuando solo se cortan sus prolongaciones hacia atrás: ninguna pantalla la recoge, pero un ojo que mire a través de la lente la ve perfectamente. Una lente convergente da una imagen real e invertida de cualquier objeto situado más allá de FF; si el objeto se desliza dentro de la distancia focal, la imagen pasa a ser virtual, derecha y aumentada.

Objeto dentro de la distancia focal (la disposición de la lupa): las prolongaciones hacia atrás construyen una imagen A'B' virtual, derecha y aumentada.
Objeto dentro de la distancia focal (la disposición de la lupa): las prolongaciones hacia atrás construyen una imagen A′B′A'B' virtual, derecha y aumentada.

10.3 Una sola fórmula: la relación de conjugación

Las construcciones muestran dónde está la imagen; una fórmula la calcula. Se orienta el eje en el sentido de la luz y se usan medidas algebraicas: OA‾\overline{OA} es la coordenada de AA respecto de OO (negativa para un objeto real situado delante); las alturas AB‾\overline{AB} se cuentan positivas hacia arriba.

Teorema 10.7 (Relación de conjugación de las lentes delgadas)

A través de una lente delgada de distancia focal f′f', un punto objeto AA del eje forma su imagen en el punto A′A' con

1OA′‾−1OA‾=1f′=C.\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 10.8

La relación se sigue de la ley de Snell aplicada a los rayos próximos al eje; la deducción — y los límites del modelo de lente delgada — se hacen honradamente en el volumen del primer año.

Definición 10.9 (Aumento)

El aumento de la imagen es

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾.\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .

∣γ∣\abs{\gamma} compara los tamaños y su signo, las orientaciones (γ<0\gamma < 0: invertida); el signo de OA′‾\overline{OA'} indica la naturaleza (positivo: real, detrás de la lente; negativo: virtual, delante).

Ejemplo 10.10 (La fórmula en acción)

Un objeto está 30 cm30\,\mathrm{cm} delante de una lente convergente con f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm}: OA‾=−30 cm\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}, luego

1OA′‾=110−130=115,OA′‾=+15 cm,γ=15−30=−0.50:\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}, \qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm}, \qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :

una imagen real 15 cm15\,\mathrm{cm} detrás de la lente, invertida y de tamaño mitad — exactamente lo que dibujan los tres rayos.

10.4 El ojo

Definición 10.11 (El ojo como sistema óptico)

Ópticamente, el ojo es una lente convergente frente a una pantalla: la córnea y el cristalino actúan como una sola lente convergente de distancia focal ajustable; la retina, a unos 17 mm17\,\mathrm{mm} por detrás, es la pantalla fija. El enfoque se consigue apretando la lente, no desplazándola como en una cámara: la acomodación es el cambio de f′f' que producen los músculos ciliares. El punto más próximo que se ve nítido con la acomodación al máximo es el punto próximo — unos 25 cm25\,\mathrm{cm} para el ojo normal — y el más lejano, en reposo, el punto remoto (el infinito para el ojo normal).

La acomodación: para enfocar sobre la misma retina un objeto cercano, el cristalino se abomba — su potencia óptica aumenta. La acomodación: para enfocar sobre la misma retina un objeto cercano, el cristalino se abomba — su potencia óptica aumenta.
La acomodación: para enfocar sobre la misma retina un objeto cercano, el cristalino se abomba — su potencia óptica aumenta.

Ejemplo 10.12 (La potencia óptica de tu ojo)

La retina está en OA′‾=+0.017 m\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}. Objeto lejano (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0): C=1/0.017≈59C = 1/0.017 \approx 59 D. Punto próximo (OA‾=−0.25 m\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}): C=1/0.017+1/0.25≈63C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Leer cuesta unas 44 D: el ojo es una lente de 5959 D con un ajuste fino incorporado de +4+4 D.

10.5 Defectos, correcciones y la lupa

Definición 10.13 (Miopía e hipermetropía)

Un ojo miope (corto de vista) es demasiado convergente para su longitud: los rayos paralelos se enfocan delante de la retina, los objetos lejanos se ven borrosos y el punto remoto queda a distancia finita; se corrige con una lente divergente en las gafas. Un ojo hipermétrope no converge lo suficiente: los objetos cercanos se enfocarían detrás de la retina y el punto próximo se aleja; se corrige con una lente convergente. La edad endurece el cristalino (presbicia) y encoge la acomodación — mismo remedio: gafas de lectura.

Ejemplo 10.14 (Recetar para un miope)

Un ojo miope tiene su punto remoto a 50 cm50\,\mathrm{cm}: la lente correctora debe mostrar los objetos lejanos en el punto remoto — objeto en el infinito e imagen en OA′‾=−0.50 m\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m} (virtual, por delante). Entonces 1/f′=1/OA′‾1/f' = 1/\overline{OA'}: f′=−0.50 mf' = -0.50\,\mathrm{m}, C=−2.0C = -2.0 D; el ojo relajado mira esa imagen virtual y la ve nítida.

Un ojo miope enfoca los rayos paralelos antes de la retina (punto rojo); una lente divergente deposita el foco sobre la retina. Un ojo miope enfoca los rayos paralelos antes de la retina (punto rojo); una lente divergente deposita el foco sobre la retina.
Un ojo miope enfoca los rayos paralelos antes de la retina (punto rojo); una lente divergente deposita el foco sobre la retina.

Definición 10.15 (La lupa)

Una lupa es una lente convergente de distancia focal corta usada con el objeto dentro de la distancia focal: la imagen es virtual, derecha y aumentada (Definición 10.6), y el ojo la observa cómodamente desde lejos.

Ejemplo 10.16 (La lupa del joyero)

Lupa con f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm} y piedra a 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm}: 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20, luego OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm} y γ=(−20)/(−4.0)=+5.0\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0: una imagen virtual y derecha, cinco veces mayor, a unos cómodos 20 cm20\,\mathrm{cm} de la lente.

10.6 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Calcula las potencias ópticas para f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}, −20 cm-20\,\mathrm{cm} y 4.0 mm4.0\,\mathrm{mm}, y después la distancia focal de una lente de +8.0+8.0 D.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D; 1/(−0.20)=−5.01/(-0.20) = -5.0 D; 1/0.0040=+2501/0.0040 = +250 D. Una lente de +8.0+8.0 D: f′=1/8.0=0.125 m=12.5 cmf' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}.

Ejercicio 10.2 ★

Una lente es más gruesa en los bordes que en el centro. ¿Convergente o divergente? ¿Puede servir de lupa? ¿Qué ves al sostenerla sobre una página impresa?

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

Divergente (f′<0f' < 0). No: para cualquier distancia dd del objeto, γ=f′/(f′−d)\gamma = f'/(f' - d) (demostrado en el Ejercicio 10.15) queda entre 00 y 11 — la imagen es siempre virtual, derecha y reducida. El texto se ve derecho y encogido, nunca aumentado.

Ejercicio 10.3 ★

Una lente convergente tiene f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm}; un objeto está 20 cm20\,\mathrm{cm} delante de ella. Construye la imagen con dos de los tres rayos y comprueba después su posición y su tamaño con la relación de conjugación.

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

El objeto está en 2f′2f'; el rayo central y el paralelo se cortan 20 cm20\,\mathrm{cm} detrás de la lente. Comprobación: 1/OA′‾=1/10−1/20=1/201/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20, luego OA′‾=+20 cm\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm} y γ=20/(−20)=−1\gamma = 20/(-20) = -1: real, invertida y del mismo tamaño — tal como se dibuja.

Ejercicio 10.4 ★

Un objeto está 24 cm24\,\mathrm{cm} delante de una lente convergente con f′=8.0 cmf' = 8.0\,\mathrm{cm}. Calcula OA′‾\overline{OA'} y γ\gamma, y describe la imagen (naturaleza, orientación, tamaño).

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

1/OA′‾=1/8.0−1/24=1/121/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12: OA′‾=+12 cm\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}, γ=12/(−24)=−0.50\gamma = 12/(-24) = -0.50. Imagen real 12 cm12\,\mathrm{cm} detrás de la lente, invertida y de tamaño mitad.

Ejercicio 10.5 ★

En el ojo: ¿qué forma la lente convergente? ¿Qué hace de pantalla? ¿Qué cambia durante la acomodación — y qué no puede cambiar? Define el punto próximo del ojo normal.

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

La córnea y el cristalino forman la lente convergente; la retina es la pantalla. La acomodación cambia la distancia focal (la potencia óptica) del cristalino; la distancia entre la lente y la retina no puede cambiar. Punto próximo: el punto más cercano que se ve nítido con la acomodación al máximo — 25 cm25\,\mathrm{cm} para el ojo normal.

Ejercicio 10.6 ★★

El objetivo de una cámara tiene f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}. ¿Dónde está el sensor cuando está enfocado en un paisaje lejano? Calcula la distancia objetivo-sensor para un sujeto situado a 3.0 m3.0\,\mathrm{m} y el recorrido entre las dos posiciones.

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

Paisaje: el sensor en el plano focal, a 50 mm50\,\mathrm{mm} del objetivo. A 3.0 m3.0\,\mathrm{m}: 1/OA′‾=1/50−1/3000=59/30001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000, luego OA′‾≈50.8 mm\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}. Recorrido: unos 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm}.

Ejercicio 10.7 ★★

Una lupa tiene f′=6.0 cmf' = 6.0\,\mathrm{cm}; un sello está 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} por debajo de ella. ¿Posición, naturaleza, orientación y aumento de la imagen?

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

1/OA′‾=1/6.0−1/5.0=−1/301/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30: OA′‾=−30 cm\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm} — virtual, derecha, con γ=(−30)/(−5.0)=+6.0\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0: seis veces el sello, 30 cm30\,\mathrm{cm} por encima de la lente.

Ejercicio 10.8 ★★

Un objeto y una pantalla están enfrentados; una lente convergente colocada entre ellos da una imagen nítida cuando los dos están a 40 cm40\,\mathrm{cm} de la lente. Calcula f′f' y γ\gamma. ¿Por qué esta imagen simétrica tiene que ser exactamente del mismo tamaño que el objeto?

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

1/f′=1/40+1/40=1/201/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20: f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}; γ=40/(−40)=−1\gamma = 40/(-40) = -1. La simetría obliga a ∣OA′‾∣=∣OA‾∣\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}, luego ∣γ∣=1\abs{\gamma} = 1; la imagen es real e invertida, así que γ=−1\gamma = -1: exactamente del mismo tamaño.

Ejercicio 10.9 ★★

Un objeto está 50 cm50\,\mathrm{cm} delante de una lente divergente con f′=−25 cmf' = -25\,\mathrm{cm}. Calcula OA′‾\overline{OA'} y γ\gamma; describe la imagen. ¿Por qué los ojos de un miope se ven algo más pequeños a través de sus gafas?

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

1/OA′‾=−1/25−1/50=−3/501/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50: OA′‾≈−16.7 cm\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}, γ=(−16.7)/(−50)=+0.33\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33: virtual, derecha y de un tercio del tamaño. Las gafas de un miope son divergentes: todo lo que se ve a través de ellas — incluidos, desde fuera, los ojos de quien las lleva — aparece reducido.

Ejercicio 10.10 ★★

Un ojo miope tiene su punto remoto a 40 cm40\,\mathrm{cm}. ¿Qué potencia óptica debe tener la lente correctora, y dónde coloca la imagen de una montaña lejana? ¿Por qué se ve entonces la montaña sin esfuerzo?

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Imagen del infinito en el punto remoto: f′=−0.40 mf' = -0.40\,\mathrm{m}, luego C=−2.5C = -2.5 D. La imagen de la montaña queda 40 cm40\,\mathrm{cm} delante de la lente — justo en el punto remoto, que el ojo relajado ve nítido con acomodación nula.

Ejercicio 10.11 ★★

Un lector présbita tiene su punto próximo a 80 cm80\,\mathrm{cm} pero quiere leer a 25 cm25\,\mathrm{cm}: las gafas tienen que formar, de una página situada a 25 cm25\,\mathrm{cm}, una página virtual a 80 cm80\,\mathrm{cm}. Calcula la potencia óptica necesaria.

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

C=1/OA′‾−1/OA‾=1/(−0.80)−1/(−0.25)=−1.25+4.00=+2.75C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25) = -1.25 + 4.00 = +2.75 D.

Ejercicio 10.12 ★★★

Un proyector tiene que lanzar la imagen de una diapositiva, con un aumento γ=−50\gamma = -50, sobre una pantalla situada a 5.1 m5.1\,\mathrm{m} de la diapositiva.

  1. Halla OA‾\overline{OA} y OA′‾\overline{OA'}, sabiendo que OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}.
  2. Deduce la distancia focal del objetivo de proyección.
  3. ¿Qué altura tiene la imagen de una diapositiva de 24 mm24\,\mathrm{mm} de alto?
Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

1. De γ=OA′‾/OA‾=−50\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50 sale OA′‾=−50 OA‾\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}; con OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}, −51 OA‾=5.1 m-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}: OA‾=−0.10 m\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m} y OA′‾=+5.0 m\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}.

2. 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.21/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2: f′≈9.8 cmf' \approx 9.8\,\mathrm{cm}.

3. 50×24 mm=1.2 m50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}, invertida — por eso las diapositivas se colocan del revés.

Ejercicio 10.13 ★★★

La retina está 17 mm17\,\mathrm{mm} por detrás de la lente del ojo.

  1. Calcula la potencia óptica del ojo enfocado en el infinito y después en el punto próximo normal (25 cm25\,\mathrm{cm}). Deduce la amplitud de acomodación del ojo normal.
  2. Un ojo de más edad tiene su punto próximo a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}. Calcula su amplitud y la fracción de la amplitud normal que le queda.
Solución

Solución de Ejercicio 10.13.

1. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D. Amplitud: 1/0.25=4.01/0.25 = 4.0 D.

2. Amplitud =1/1.0=1.0= 1/1.0 = 1.0 D: le queda una cuarta parte (25 %25\,\%) de las 4.04.0 D del ojo normal.

Ejercicio 10.14 ★★★

Una lupa vendida como “×3\times 3” tiene su distancia focal dada por 3=0.25/f′3 = 0.25/f' (f′f' en metros).

  1. Calcula f′f'.
  2. ¿Dónde tiene que estar un objeto para que su imagen virtual quede 25 cm25\,\mathrm{cm} delante de la lente? Calcula γ\gamma y compáralo con el ×3\times 3 anunciado.
Solución

Solución de Ejercicio 10.14.

1. f′=0.25/3≈0.083 m=8.3 cmf' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}.

2. OA′‾=−25 cm\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}: 1/OA‾=−1/25−3/25=−4/251/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25, luego OA‾=−6.25 cm\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm} y γ=(−25)/(−6.25)=+4.0\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0 — mejor que el ×3\times 3 anunciado, que supone la imagen en el infinito; acercarla al punto próximo gana una unidad.

Ejercicio 10.15 ★★★

Un objeto real está a una distancia d>0d > 0 delante de una lente convergente (OA‾=−d\overline{OA} = -d, f′>0f' > 0). Demuestra que OA′‾=f′dd−f′\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'} y γ=f′f′−d\gamma = \frac{f'}{f' - d}. Deduce: la imagen es real e invertida cuando d>f′d > f'; virtual, derecha y aumentada (γ>1\gamma > 1) cuando 0<d<f′0 < d < f' — toda lente convergente es una lupa si se usa suficientemente cerca.

Solución

Solución de Ejercicio 10.15.

1/OA′‾=1/f′−1/d=(d−f′)/(f′d)1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd), luego OA′‾=f′d/(d−f′)\overline{OA'} = f'd/(d - f') y γ=OA′‾/(−d)=f′/(f′−d)\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d). Si d>f′d > f': OA′‾>0\overline{OA'} > 0 (real) y γ<0\gamma < 0 (invertida). Si 0<d<f′0 < d < f': OA′‾<0\overline{OA'} < 0 (virtual) y γ=f′/(f′−d)>1\gamma = f'/(f' - d) > 1: derecha y aumentada — la disposición de la lupa.

10.7 Problema: una fórmula, tres instrumentos

Problema 10.1

Problema de fin de semana — la misma relación de conjugación enfoca una cámara, receta unas gafas de lectura, diseña una lupa y mide el zum que llevas en el ojo

Un fotógrafo mueve un objetivo de 50 mm50\,\mathrm{mm}, una abuela sujeta el periódico con el brazo estirado, un joyero se inclina sobre un diamante: una sola línea de álgebra, 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f' (Teorema 10.7), gobierna los tres oficios — y después el propio ojo.

Parte I — Una sola fórmula. Una lente convergente tiene f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}.

  1. Objeto a 60 cm60\,\mathrm{cm}: calcula OA′‾\overline{OA'} y γ\gamma; describe la imagen.
  2. Mueve el objeto a 30 cm30\,\mathrm{cm}; recalcula. ¿Qué se ha intercambiado respecto de la pregunta 1? (Los caminos de la luz son reversibles.)
  3. Muévelo a 10 cm10\,\mathrm{cm}, dentro de f′f': recalcula y describe.
  4. Resume: cuando el objeto se acerca desde muy lejos hasta FF, y después lo rebasa, ¿cómo se mueve la imagen y cómo cambia de naturaleza?
  5. Demuestra que un objeto muy lejano (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0) forma siempre su imagen en el plano focal: OA′‾=f′\overline{OA'} = f'.

Parte II — El fotógrafo. Un objetivo tiene f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm}; el sensor, de 24 mm24\,\mathrm{mm} de alto, se puede desplazar respecto del objetivo.

  1. ¿Dónde está el sensor cuando se enfoca un paisaje lejano?
  2. Ahora un rostro a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcula la nueva distancia objetivo-sensor y el recorrido desde la posición del paisaje.
  3. El mecanismo permite como mucho 55 mm55\,\mathrm{mm} de distancia objetivo-sensor. Calcula la distancia mínima de enfoque.
  4. En ese enfoque más próximo, calcula γ\gamma. ¿Cabe en el sensor la imagen de un rostro de 20 cm20\,\mathrm{cm}?
  5. El “macro” a tamaño real significa γ=−1\gamma = -1: ¿dónde deben estar entonces el objeto y el sensor, y por qué exige eso un objetivo especial?

Parte III — La abuela. Con la edad, el punto próximo se aleja: el de la abuela está a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}.

  1. Explica lo del periódico con el brazo estirado.
  2. Para leer a 25 cm25\,\mathrm{cm}, sus gafas tienen que convertir una página situada a 25 cm25\,\mathrm{cm} en una imagen virtual a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: calcula la potencia óptica necesaria.
  3. Calcula γ\gamma. La imagen es cuatro veces mayor y, sin embargo, no parece mayor: explícalo comparando tamaños y distancias.
  4. Demuestra que el texto solo se ve nítido entre 25 cm25\,\mathrm{cm} y f′≈33 cmf' \approx 33\,\mathrm{cm}. ¿Y un objeto lejano visto a través de las gafas?
  5. Deduce en una frase por qué existen las lentes bifocales.

Parte IV — El joyero y el zum del propio ojo. La lupa del joyero tiene f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm}; su punto próximo está a 25 cm25\,\mathrm{cm}; su retina, 17 mm17\,\mathrm{mm} por detrás de la lente de su ojo.

  1. Una piedra 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} bajo la lupa: ¿posición, naturaleza, aumento?
  2. ¿Dónde tiene que estar la piedra para que su imagen caiga en su punto próximo, y cuánto vale entonces γ\gamma?
  3. ¿Por qué los joyeros experimentados colocan en cambio la piedra exactamente en FF (imagen en el infinito)?
  4. Ahora el ojo solo: calcula su potencia óptica mirando un objeto lejano y después uno a 25 cm25\,\mathrm{cm}: ¿cuántas dioptrías de acomodación?
  5. Convierte las dos potencias ópticas en distancias focales: ¿en cuánto, en milímetros y en porcentaje, cambia el ojo su propia distancia focal — el zum que la cámara hacía con desplazamiento y la abuela con +3+3 D?
Solución

Solución de Problema 10.1.

1. 1/OA′‾=1/20−1/60=1/301/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30: OA′‾=+30 cm\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}, γ=−0.50\gamma = -0.50 — real, invertida y de tamaño mitad.

2. OA′‾=+60 cm\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}, γ=−2\gamma = -2: las posiciones 30 cm30\,\mathrm{cm} y 60 cm60\,\mathrm{cm} han intercambiado sus papeles y los aumentos son inversos — la luz recorrida al revés sigue el mismo camino.

3. 1/OA′‾=1/20−1/10=−1/201/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, γ=+2\gamma = +2 — virtual, derecha y del doble de tamaño.

4. Desde el infinito, la imagen empieza en el plano focal; a medida que el objeto se acerca a FF, la imagen real e invertida se aleja hasta el infinito y crece; dentro de f′f' pasa a ser virtual, derecha y aumentada, delante de la lente.

5. 1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0 deja 1/OA′‾=1/f′1/\overline{OA'} = 1/f': OA′‾=f′\overline{OA'} = f', el plano focal.

6. En el plano focal, 50 mm50\,\mathrm{mm} detrás del objetivo.

7. 1/OA′‾=1/50−1/1000=19/10001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000: OA′‾≈52.6 mm\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}; recorrido ≈2.6 mm\approx 2.6\,\mathrm{mm}.

8. 1/OA‾=1/55−1/50=−1/5501/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550: distancia mínima de enfoque 550 mm550\,\mathrm{mm} = 55 cm55\,\mathrm{cm}.

9. γ=55/(−550)=−0.10\gamma = 55/(-550) = -0.10: el rostro forma una imagen de 20 mm20\,\mathrm{mm}, justo dentro del sensor de 24 mm24\,\mathrm{mm}.

10. γ=−1\gamma = -1 obliga a OA′‾=−OA‾\overline{OA'} = -\overline{OA}, luego 2/OA′‾=1/f′2/\overline{OA'} = 1/f': objeto a 100 mm100\,\mathrm{mm} (=2f′= 2f') por delante y sensor a 100 mm100\,\mathrm{mm} por detrás — el doble del tiro del paisaje, muy por encima del mecanismo de 55 mm55\,\mathrm{mm}; los objetivos macro aportan ese recorrido de más.

11. Todo lo que esté más cerca que su punto próximo (1.0 m1.0\,\mathrm{m}) sale borroso: estirar los brazos acerca la página lo más posible a 1.0 m1.0\,\mathrm{m} — nítida, aunque pequeña.

12. C=1/(−1.0)−1/(−0.25)=−1.0+4.0=+3.0C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0 D.

13. γ=(−1.0)/(−0.25)=+4.0\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0: cuatro veces mayor, pero cuatro veces más lejos — el mismo tamaño angular; lo que se gana no es tamaño, sino nitidez, porque ahora la imagen queda en su punto próximo.

14. Para ver nítido hace falta que la imagen quede más allá de 1.0 m1.0\,\mathrm{m}: desde la página a 25 cm25\,\mathrm{cm} (imagen a 1.0 m1.0\,\mathrm{m}) hasta la página en f′=1/3.0≈0.33 mf' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m} (imagen en el infinito). Un objeto lejano forma su imagen 33 cm33\,\mathrm{cm} detrás de las gafas — una imagen real que el ojo no puede aprovechar: el mundo lejano se ve borroso.

15. De ahí las bifocales: la potencia de lectura en la mitad inferior de la lente y ninguna (o la corrección de lejos) en la superior.

16. 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, virtual, derecha, γ=+5.0\gamma = +5.0.

17. 1/OA‾=−1/25−1/5.0=−6/251/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25: OA‾≈−4.2 cm\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}; γ=(−25)/(−25/6)=+6.0\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0.

18. Piedra en FF: imagen en el infinito, observada con acomodación nula — horas de examen sin fatiga visual.

19. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D: unas 44 D de acomodación.

20. f′=1/58.8≈17.0 mmf' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm} frente a 1/62.8≈15.9 mm1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}: unos 1.1 mm1.1\,\mathrm{mm}, en torno al 6 %6\,\% — el zum incorporado que la cámara imitaba con 2.6 mm2.6\,\mathrm{mm} de recorrido y que la abuela remendaba con +3+3 D.