Física de secundaria · Grades 10–12

31Oscilaciones eléctricas libres: RLC

Gira el pesado dial de una radio de desván y las emisoras desfilan ante la aguja: una voz, unos violines, ruido, otra voz. Detrás del panel no hay ningún motor ni ningún ordenador — una bobina, un condensador cuyas placas intercaladas hace girar el dial y un buen trozo de hilo de antena. Este capítulo conecta cara a cara los dos depósitos de energía del capítulo anterior (Capítulo 30) y encuentra el péndulo más rápido jamás construido: carga que va y viene, hasta millones de veces por segundo, al tempo que elige el dial.

31.1 Un péndulo eléctrico: el circuito LC

Carga un condensador $C$ a una tensión $U_0$ — sus placas albergan entonces $\pm Q_0$ con $Q_0 = C U_0$ — y en $t = 0$ conéctalo a una bobina ideal $L$ , de resistencia nula. No hay ningún generador en la malla: pase lo que pase a partir de ahora, el circuito lo hace por su cuenta.

El circuito LC: un condensador cargado a Q_0, un interruptor y una bobina ideal. Al cerrar K, la carga se derrama a través de la bobina — y la bobina, que detesta los cambios, no la dejará detenerse. — El circuito LC: un condensador cargado a $Q_0$ , un interruptor y una bobina ideal. Al cerrar $K$ , la carga se derrama a través de la bobina — y la bobina, que detesta los cambios, no la dejará detenerse.

Proposición 31.1 (La ecuación del circuito LC)

En la malla LC ideal, la carga $q(t)$ de la placa superior obedece

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

Demostración. A lo largo de la malla las tensiones suman cero (Proposición 12.4): $u_L + u_C = 0$ . El condensador da $u_C = q/C$ y la bobina, $u_L = L\,di/dt$ (Definición 30.10), con $i = dq/dt$ contando la carga que llega a la placa superior (Proposición 30.3); sustitúyase. ∎

Teorema 31.2 (Oscilaciones libres del circuito LC)

Soltado en $t = 0$ con $q(0) = Q_0$ e $i(0) = 0$ , el circuito oscila:

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

con una corriente máxima $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ .

Demostración. Verifiquémoslo por sustitución. Derivando, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — la $i(t)$ del enunciado — y, otra vez, $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , que es igual a $-q/(LC)$ exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , es decir, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Y $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ . Que ninguna otra función encaja con la ecuación y con el arranque se admite aquí, igual que en el caso del resorte (Observación 28.9). ∎

Definición 31.3 (Periodo y frecuencia propios)

El periodo propio de un circuito LC es $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; su frecuencia propia es

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

Comprobación dimensional: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ y $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , así que $LC$ lleva $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ es un tiempo, como tiene que ser.

Ejemplo 31.4 (Primeros números)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ con $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , luego $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ y $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — un tono audible. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ con $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — una frecuencia de radio. Solo el producto $LC$ fija el tempo.

Observación 31.5 (Un cuarto de periodo desfasados)

La corriente va desfasada un cuarto de periodo respecto de la carga: $i = 0$ cuando $q = \pm Q_0$ (placas llenas, el flujo se invierte) e $i = \pm I_0$ cuando $q = 0$ (placas vacías, flujo a tope) — exactamente el péndulo, inmóvil en los extremos y rapidísimo abajo.

Carga y corriente del circuito LC libre: la corriente alcanza su máximo cada vez que la carga pasa por cero, un cuarto de periodo desfasada.

31.2 El vals de la energía

Proposición 31.6 (Conservación de la energía almacenada)

En el circuito LC ideal, la energía total almacenada (Proposición 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

es constante: enteramente en el condensador cuando $q = \pm Q_0$ y enteramente en la bobina cuando $i = \pm I_0$ .

Demostración. Derivemos: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ por la Proposición 31.1. Su valor se lee en $t = 0$ (todo en el condensador) y también en el instante en que todo es corriente, $q = 0$ — de donde $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ , recuperando $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ solo con la energía. ∎

Un periodo del vals: la energía se trasvasa de las placas a la bobina y vuelta dos veces por periodo, con la suma clavada en Q_02/2C — la mismísima figura del oscilador masa–resorte, con otras etiquetas. — Un periodo del vals: la energía se trasvasa de las placas a la bobina y vuelta dos veces por periodo, con la suma clavada en $Q_0^2/2C$ — la mismísima figura del oscilador masa–resorte, con otras etiquetas.

Ejemplo 31.7 (El vals, medido)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ y conectado a $L = 10\,\mathrm{mH}$ : energía $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , periodo $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ y una corriente máxima $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ alcanzada un cuarto de periodo ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) después de cerrarse el interruptor.

31.3 Circuitos reales: oscilaciones amortiguadas

Toda bobina real está bobinada con hilo resistivo: la malla honrada es un circuito RLC serie, y la resistencia le pasa impuestos al vals.

Definición 31.8 (Regímenes seudoperiódico y aperiódico)

En un circuito RLC serie, el resistor disipa energía por efecto Joule (Capítulo 12): las oscilaciones libres son amortiguadas. Dos regímenes, legibles en un osciloscopio:

seudoperiódico ( $R$ pequeña): el circuito sigue oscilando dentro de una envolvente que se encoge, con un tiempo de repetición — el seudoperiodo — próximo a $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ cuando el amortiguamiento es débil;
aperiódico ( $R$ grande): la carga vuelve reptando a cero sin pasarse nunca — ninguna oscilación.

El espejo exacto del oscilador mecánico amortiguado (Definición 28.12).

Los dos destinos de un circuito RLC real: oscilaciones que se apagan dentro de una envolvente exponencial (a trazos), o una vuelta reptando a cero sin oscilar. Con amortiguamiento débil, el seudoperiodo se queda en T_0. — Los dos destinos de un circuito RLC real: oscilaciones que se apagan dentro de una envolvente exponencial (a trazos), o una vuelta reptando a cero sin oscilar. Con amortiguamiento débil, el seudoperiodo se queda en $\approx T_0$ .

Observación 31.9 (Mantener las oscilaciones)

Para mantener viva la amplitud, hay que aportarle al circuito exactamente la energía que quema la resistencia, una vez por ciclo y al paso de la oscilación: un amplificador hace por la malla RLC lo que el empujón del escape hace por el péndulo (Capítulo 28). Todo reloj de cuarzo y todo emisor de radio son osciladores mantenidos de este tipo, funcionando a su frecuencia propia $f_0$ .

31.4 El gemelo mecánico

Proposición 31.10 (El diccionario eléctrico–mecánico)

La ecuación LC es la ecuación masa–resorte (Proposición 28.8) palabra por palabra:

circuito LC		móvil sobre un resorte
[2pt] carga $q$	$\longleftrightarrow$	posición $x$
corriente $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	velocidad $v = dx/dt$
autoinducción $L$	$\longleftrightarrow$	masa $m$
inversa de la capacidad $1/C$	$\longleftrightarrow$	constante elástica $k$
resistencia $R$	$\longleftrightarrow$	rozamiento
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

La misma ecuación, las mismas soluciones: todo resultado sobre cualquiera de los dos osciladores se traduce al instante al otro idioma.

Demostración. Compárese la Proposición 31.1 con $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : sustituir $q \to x$ , $L \to m$ , $1/C \to k$ convierte una en la otra, y $LC \to m/k$ convierte $2\pi\sqrt{LC}$ en $2\pi\sqrt{m/k}$ . ∎

Ejemplo 31.11 (Sintonizar una radio)

Una antena introduce un susurro de todas las emisoras en la malla LC, pero solo la que emite cerca de $f_0$ empuja al paso y se amplifica — la resonancia (Definición 28.13). El dial hace girar las placas de un condensador variable: cambiar $C$ desplaza $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , y la aguja va entregando al auricular una emisora cada vez. Del lado del emisor, un oscilador mantenido (Observación 31.9) fija la frecuencia de emisión; en un reloj de pulsera, un cristal de cuarzo — un gemelo mecánico de una rigidez asombrosa — desempeña el mismo papel.

31.5 Ejercicios

Ejercicio 31.1 ★

Calcula $T_0$ y $f_0$ para (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ . ¿Por qué factor difieren las frecuencias?

Solución

Solución de Ejercicio 31.1.

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ . (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — un factor $\sqrt{10^5} \approx 316$ .

Ejercicio 31.2 ★

Usando $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ y $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , demuestra unidad a unidad que $\sqrt{LC}$ es un tiempo. ¿Por qué el $2\pi$ no cambia nada?

Solución

Solución de Ejercicio 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , así que $\sqrt{LC}$ va en segundos. El $2\pi$ es un número puro — no tiene dimensión que cambiar.

Ejercicio 31.3 ★

Un condensador de $470\,\mathrm{nF}$ se carga a $6.0\,\mathrm{V}$ . Calcula $Q_0$ y la energía almacenada; describe, sin cálculos, qué ocurre a continuación cuando se conecta a una bobina ideal.

Solución

Solución de Ejercicio 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ . La carga oscila a $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , la corriente va desfasada un cuarto de periodo y la energía se trasvasa entre las placas y la bobina, con el total constante.

Ejercicio 31.4 ★

Un circuito LC sigue $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ en microculombios, con $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ . Lee $Q_0$ ; calcula $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ y la corriente máxima $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (el coseno es plano en $t=0$ ); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ .

Ejercicio 31.5 ★

¿En qué instantes del ciclo está la energía enteramente en el condensador? ¿Enteramente en la bobina? ¿Cuál es el momento mecánico correspondiente para un péndulo en cada caso?

Solución

Solución de Ejercicio 31.5.

Toda en el condensador cuando $q = \pm Q_0$ e $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …): los extremos del péndulo. Toda en la bobina cuando $q = 0$ e $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …): el punto más bajo y más rápido del péndulo.

Ejercicio 31.6 ★★

Verifica por sustitución que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisface $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exactamente cuando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , luego $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ para toda $t$ exactamente cuando $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , es decir, $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Ejercicio 31.7 ★★

Una emisora de onda larga emite a $198\,\mathrm{kHz}$ . Con $C = 220\,\mathrm{pF}$ , ¿qué autoinducción la sintoniza?

Solución

Solución de Ejercicio 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ .

Ejercicio 31.8 ★★

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ cargado a $10\,\mathrm{V}$ se descarga sobre $L = 10\,\mathrm{mH}$ . Calcula la energía almacenada, la corriente máxima (por conservación de la energía) y el instante en que se alcanza por primera vez.

Solución

Solución de Ejercicio 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; de $\tfrac12 LI_0^2 = E$ sale $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ , alcanzada por primera vez en $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ .

Ejercicio 31.9 ★★

Explica por qué $E_C$ y $E_L$ oscilan a la frecuencia $2f_0$ y no a $f_0$ . Demuestra que en $t = T_0/8$ (partiendo de $q = Q_0$ ) la energía se reparte exactamente por la mitad.

Solución

Solución de Ejercicio 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , y $\cos^2$ se repite cada media vuelta: dos llenados del condensador por periodo, de donde $2f_0$ . En $t = T_0/8$ la fase vale $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , luego $E_C = E_L = E/2$ .

Ejercicio 31.10 ★★

En el oscilograma de un circuito RLC débilmente amortiguado, dos máximos sucesivos marcan $4.0\,\mathrm{V}$ y después $3.0\,\mathrm{V}$ . Suponiendo que el cociente se mantiene constante, predice el sexto máximo después del de $4.0\,\mathrm{V}$ . ¿Qué fracción de la energía sobrevive a cada seudoperiodo? ¿Qué puedes decir del propio seudoperiodo?

Solución

Solución de Ejercicio 31.10.

Cociente $3.0/4.0 = 0.75$ por seudoperiodo: sexto máximo $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . La energía es proporcional al cuadrado de la amplitud: sobrevive el $0.75^2 \approx 56\,\%$ en cada periodo. El seudoperiodo se queda en $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : un amortiguamiento débil encoge la amplitud, pero apenas el tempo.

Ejercicio 31.11 ★★

Un circuito LC tiene $L = 0.50\,\mathrm{H}$ y $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Calcula $T_0$ ; después, usando el diccionario (Proposición 31.10), halla la constante elástica $k$ que le da a un móvil de $0.50\,\mathrm{kg}$ el mismo periodo, y compruébalo.

Solución

Solución de Ejercicio 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ . Por el diccionario: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; comprobación, $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — los mismos $20\,\mathrm{ms}$ .

Ejercicio 31.12 ★★★

Un sintonizador usa $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ y un condensador variable que barre $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ . Calcula las dos frecuencias extremas. Demuestra que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , de modo que multiplicar $C$ por diez solo divide la frecuencia entre $\sqrt{10} \approx 3.2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ . Con $L$ fija, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : multiplicar $C$ por diez solo divide $f_0$ entre $\sqrt{10} \approx 3.2$ — tal como sale.

Ejercicio 31.13 ★★★

Una bobina real hace que el circuito pierda un $5.0\,\%$ de su energía en cada seudoperiodo. ¿Al cabo de cuántos periodos se ha reducido la energía a la mitad? ¿Cuál es entonces la amplitud, como fracción de la inicial? A $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , ¿cuánto es eso en microsegundos?

Solución

Solución de Ejercicio 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , o sea, unos $14$ periodos. La amplitud es proporcional a $\sqrt{E}$ : baja a $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ de la inicial. A $1.0\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : unos $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Ejercicio 31.14 ★★★

El oscilador de un reloj almacena $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ y pierde un $2.0\,\%$ por ciclo a $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué potencia media debe suministrar el circuito de mantenimiento? ¿Por qué tiene que llegar el empujón al paso de la oscilación?

Solución

Solución de Ejercicio 31.14.

Pérdida por ciclo, $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , a $32\,768$ ciclos por segundo: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — menos de un microvatio, años con una pila de botón. Al paso, porque solo un empujón en la fase adecuada añade energía (resonancia); a destiempo, frenaría la oscilación.

Ejercicio 31.15 ★★★

Tras cada flanco de una señal cuadrada, el cableado de un experimentador “repica” a $25\,\mathrm{MHz}$ ; la autoinducción parásita ronda $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Estima la capacidad parásita responsable. ¿A qué régimen debería llevar el circuito un pequeño resistor añadido en serie, y por qué cura eso el repique?

Solución

Solución de Ejercicio 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ . El resistor debería llevar la malla al régimen aperiódico: la carga se asienta entonces sin pasarse — ni oscilación ni repique.

31.6 Problema: Construir una radio de galena

Problema 31.1

Problema de fin de semana — construir una radio de galena: una bobina, un condensador variable, un diodo y un auricular — sin pila, sin amplificador, y el informativo de la noche llega con la energía de la propia onda

Un kit del desván de los abuelos: una bobina $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ arrollada sobre un tubo de cartón, un condensador variable cuyas placas giran de $20\,\mathrm{pF}$ a $480\,\mathrm{pF}$ , un diodo de cristal, un auricular y $20\,\mathrm{m}$ de hilo de antena. Las emisoras que hay que captar emiten entre $530\,\mathrm{kHz}$ y $1700\,\mathrm{kHz}$ .

Parte I — La malla de sintonía.

El condensador, cargado, se deja descargar sobre la bobina: escribe la ley de mallas y conviértela en la ecuación diferencial de $q(t)$ .
Verifica por sustitución que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ la resuelve, siempre que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Comprueba por análisis dimensional que $\sqrt{LC}$ es un tiempo.
Con el dial en $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calcula $T_0$ y $f_0$ . ¿Queda la malla sintonizada dentro de la banda?
Halla la capacidad que sintoniza exactamente $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

Parte II — El condensador variable.

Calcula la capacidad necesaria para $530\,\mathrm{kHz}$ .
Calcula la capacidad necesaria para $1700\,\mathrm{kHz}$ .
Calcula las dos frecuencias que alcanza realmente el condensador de $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ del kit. ¿Cubre toda la banda?
Demuestra que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ con $L$ fija; ¿por qué factor debe cambiar $C$ para duplicar $f_0$ ?
Las placas se abren linealmente, así que $C$ baja de forma uniforme al girar el dial. Explica por qué entonces las emisoras se apiñan en un extremo del dial — y en cuál.

Parte III — Energía y amortiguamiento. Sintonizada a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ), la antena carga momentáneamente el condensador a $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ .

Calcula la carga $Q_0$ y la energía almacenada $E$ .
Calcula la corriente máxima $I_0$ usando la conservación de la energía.
La resistencia de la bobina disipa un $4.0\,\%$ de la energía almacenada por ciclo: ¿al cabo de cuántos ciclos se ha reducido la energía a la mitad?
¿Cuánto es eso en microsegundos? ¿Por qué este “repique” por sí solo no puede dar el informativo de la noche?
Explica por qué la onda que llega mantiene la malla oscilando solo cuando está sintonizada en esa emisora — y qué mantiene la oscilación en el emisor (Observación 31.9).

Parte IV — El gemelo mecánico.

Usando el diccionario (Proposición 31.10) con un móvil de masa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calcula la constante elástica $k$ del resorte que iguala el circuito sintonizado.
Un muelle rígido de coche tiene $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Comenta: ¿puede un sistema masa–resorte de sobremesa oscilar a megahercios?
Quédate en cambio con un $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ razonable: ¿qué masa oscila a $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
¿Qué objeto real es un oscilador mecánico así, ligerísimo y rígido hasta el extremo, y dónde te lo encontraste antes este curso (Capítulo 28)?
Hoja de características, en una frase: la banda que barre tu radio, la capacidad que elige $1.00\,\mathrm{MHz}$ , cuánto dura un repique solitario y qué es lo que, aun así, da el informativo.

Solución

Solución de Problema 31.1.

1. Ley de mallas: $u_L + u_C = 0$ , con $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ e $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ .

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , así que la ecuación queda $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ , cierto para toda $t$ exactamente cuando $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ es un tiempo.

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dentro de $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ .

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ .

6. La misma fórmula a $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ .

7. A $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ .

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — la banda entera, con margen por los dos extremos.

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; duplicar $f_0$ exige dividir $C$ entre $4$ .

10. Como $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , pasos iguales de $C$ mueven $f_0$ despacio cuando $C$ es grande y deprisa cuando es pequeña: una separación dada entre emisoras ocupa entonces poquísimo recorrido de dial — se apiñan en el extremo de frecuencias altas (el de $C$ pequeña).

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ .

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ .

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ ciclos.

14. A $1.00\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : el repique se reduce a la mitad en unos $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Un repique solitario muere en microsegundos; la música necesita que la malla se alimente sin parar.

15. La onda empuja millones de veces por segundo; solo cuando su frecuencia coincide con $f_0$ llegan los empujones al paso y amplifican la oscilación — la resonancia; las emisoras desintonizadas empujan tantas veces en contra como a favor. En el emisor, un amplificador devuelve cada ciclo la energía disipada: un oscilador mantenido.

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

17. Unas $10^8$ veces el muelle del coche: ningún sistema masa–resorte de sobremesa llega a los megahercios — las rigideces y las masas cotidianas son irremediablemente lentas.

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — unos pocos nanogramos, una mota de polvo.

19. Un cristal de cuarzo: una lámina ligerísima y rígida hasta el extremo que canta a su frecuencia propia — el guardián del tiempo que ya nos encontramos este curso.

20. Con $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ y $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ , la malla barre alrededor de $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ y cubre la banda; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ elige $1.00\,\mathrm{MHz}$ ; abandonado a sí mismo, el repique se reduce a la mitad en $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ , pero la propia onda de la emisora, resonando al paso, realimenta la malla — el informativo suena con la energía de la propia onda.