Física de secundaria · Grades 10–12

3Refracción de la luz

Mete una pajita en un vaso de agua: parece partida en la superficie. Las piscinas siempre son más hondas de lo que aparentan, los diamantes lanzan fuego de colores desde una piedra incolora, y la frase que estás leyendo probablemente cruzó un océano dentro de un hilo de vidrio más fino que un cabello. Una sola ley explica las cuatro cosas — una igualdad entre dos senos, hallada por Snell en 1621 tras quince siglos de físicos contemplando tablas de ángulos sin ver la pauta.

3.1 La reflexión: un recordatorio

En un medio transparente homogéneo, la luz se propaga en línea recta — los rayos del Capítulo 2. En la frontera entre dos medios, una parte de la luz rebota (reflexión) y otra parte pasa al otro lado (refracción). Ambas obedecen leyes geométricas exactas, enunciadas con un convenio: los ángulos se miden desde la normal, nunca desde la superficie.

Definición 3.1 (Normal y ángulo de incidencia)

En el punto donde un rayo encuentra una superficie, la normal es la recta perpendicular a la superficie en ese punto. El ángulo de incidencia $i_1$ es el ángulo entre el rayo incidente y la normal; los ángulos de reflexión y de refracción se miden desde la normal de la misma manera.

Proposición 3.2 (Ley de la reflexión)

El rayo reflejado está en el plano que contiene al rayo incidente y a la normal, al otro lado de la normal, y el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia:

i_1' = i_1 .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 3.3 (Leer bien los ángulos)

Un haz láser incide sobre un espejo “a $35^\circ$ ” — medidos desde la superficie del espejo, como suelen describirse los haces. El ángulo de incidencia es $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ , de modo que el rayo reflejado también sale a $55^\circ$ de la normal y el haz gira $180^\circ - 2 \times 55^\circ = 70^\circ$ . Olvidar el convenio de la normal es el error más frecuente de este capítulo; cuesta $90^\circ$ cada vez.

3.2 La refracción y el índice de refracción

Sujeta un lápiz dentro de un vaso medio lleno: parece roto en la superficie. La luz que viene de la parte sumergida cambia de dirección al salir del agua, así que el ojo — que da por supuestos los rayos rectos — reconstruye la punta donde no está.

Definición 3.4 (Refracción)

La refracción es el cambio de dirección de la luz al atravesar la frontera entre dos medios transparentes. El rayo en el segundo medio es el rayo refractado, y su ángulo respecto de la normal es el ángulo de refracción $i_2$ .

La refracción se produce porque la luz tiene velocidades distintas en medios distintos; cada material se caracteriza por cuánto frena a la luz.

Definición 3.5 (Índice de refracción)

El índice de refracción de un medio transparente es el cociente

n = \frac{c}{v},

donde $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ es la velocidad de la luz en el vacío y $v$ su velocidad en el medio. Como $v \leq c$ , el índice cumple $n \geq 1$ ; carece de unidad. Algunos valores útiles:

medio	aire	agua	plexiglás	vidrio	diamante
$n$	$1.0003$	$1.33$	$1.49$	$1.50$	$2.42$

Ejemplo 3.6 (Velocidad de la luz en el agua)

En el agua, $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.33} = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . En el diamante la luz se arrastra a $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — menos de la mitad de su velocidad en el vacío. Para el aire, $n = 1.0003$ cambia la velocidad en un $0.03\,\%$ : en este capítulo tratamos el aire como vacío y tomamos $n_{\text{air}} = 1.00$ .

Teorema 3.7 (Ley de Snell de la refracción)

El rayo refractado está en el plano del rayo incidente y la normal, al otro lado de la normal, y los ángulos de incidencia y de refracción cumplen

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 ,

donde $n_1$ y $n_2$ son los índices de refracción de los dos medios. El camino es reversible: la luz que recorre hacia atrás el rayo refractado sale por el rayo incidente.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 3.8

Las leyes de la reflexión y de la refracción se enuncian aquí como hechos experimentales. Se deducen honradamente en el volumen del primer año, donde la luz se trata como una onda: ambas leyes — y la propia fórmula $n = c/v$ — se siguen entonces de que la onda se frena en el medio más denso.

Rayos incidente (azul), reflejado (gris) y refractado (rojo). Todos los ángulos se miden desde la normal (a trazos); al entrar en el medio más denso (n_2 > n_1), el rayo se acerca hacia la normal. — Rayos incidente (azul), reflejado (gris) y refractado (rojo). Todos los ángulos se miden desde la normal (a trazos); al entrar en el medio más denso ( $n_2 > n_1$ ), el rayo se acerca *hacia* la normal.

Ejemplo 3.9 (Del aire al agua)

Un rayo llega a un estanque en calma con $i_1 = 30^\circ$ . Con $n_1 = 1.00$ y $n_2 = 1.33$ :

\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \frac{\sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.500}{1.33} = 0.376, \qquad i_2 = 22.1^\circ .

El rayo se acerca a la normal, como siempre que entra en un medio más lento ( $n_2 > n_1$ ). Al salir del agua, el mismo cálculo se recorre al revés y el rayo se aleja de la normal.

Método 3.10 (Resolver un problema de refracción)

Dibujar la superficie, la normal y el rayo; identificar $n_1$ (medio del rayo incidente) y $n_2$ .
Comprobar que los ángulos dados están medidos desde la normal; convertirlos si están medidos desde la superficie.
Escribir $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ y despejar el seno desconocido; obtener el ángulo con el arcoseno de la calculadora, como en el volumen de matemáticas.
Comprobación: el rayo se acerca a la normal si $n_2 > n_1$ y se aleja si $n_2 < n_1$ , y $\sin i_2$ debe salir entre $0$ y $1$ .

El experimento que hay detrás de la ley cabe en una mesa: un semidisco de plexiglás, un transportador y un láser. Las parejas de ángulos $(i_1, i_2)$ en bruto parecen irregulares — Ptolomeo las tabuló hacia el año 150 y concluyó erróneamente que $i_2$ era proporcional a $i_1$ . Si en cambio se representa seno frente a seno, los datos se enderezan en una recta que pasa por el origen con pendiente $n_1/n_2$ : esa recta es la ley de Snell.

Medidas de aire a agua para i_1 = 10 hasta 70: representados seno frente a seno, los datos se alinean en una recta que pasa por el origen con pendiente 1/1.33. — Medidas de aire a agua para $i_1 = 10^\circ$ hasta $70^\circ$ : representados seno frente a seno, los datos se alinean en una recta que pasa por el origen con pendiente $1/1.33$ .

Proposición 3.11 (Profundidad aparente)

Un objeto situado a una profundidad $d$ bajo el agua, visto desde arriba con ángulos pequeños, parece estar a la profundidad aparente

d' = \frac{d}{n} ,

donde $n$ es el índice del agua. Una piscina de $1.20\,\mathrm{m}$ de fondo solo parece tener $1.20/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ — causa clásica de zambullidas imprudentes.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 3.12

La fórmula se sigue de la ley de Snell aplicada a los rayos casi verticales que llegan al ojo; la deducción se hace en el volumen del primer año. La dirección del efecto no necesita fórmula: los rayos que salen del agua se alejan de la normal, así que el ojo los prolonga hacia atrás hasta un punto más alto que el objeto.

3.3 Dispersión: una ley por cada color

Un prisma convierte la luz solar blanca en un arcoíris, como mostraron los espectros del Capítulo 2. La refracción explica por qué: el índice de refracción de un medio no es exactamente el mismo para todos los colores.

Definición 3.13 (Dispersión)

Un medio es dispersivo cuando su índice de refracción depende de la longitud de onda de la luz. En el vidrio y en el agua, $n$ es ligeramente mayor para la luz azul (longitud de onda corta) que para la roja (longitud de onda larga) — de modo que el azul se desvía más.

Ejemplo 3.14 (Dos colores, una superficie)

Un haz de luz blanca incide sobre vidrio crown con $i_1 = 60^\circ$ . Para este vidrio, $n_{\text{red}} = 1.51$ y $n_{\text{blue}} = 1.53$ . La ley de Snell, una vez por color:

\sin i_{\text{red}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.51} = 0.574, \quad i_{\text{red}} = 35.0^\circ ; \qquad \sin i_{\text{blue}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.53} = 0.566, \quad i_{\text{blue}} = 34.5^\circ .

Una sola superficie separa la luz blanca medio grado — invisible en el cristal de una ventana —, pero un prisma refracta dos veces en el mismo sentido de giro, ensancha el abanico y, unos metros más allá, los colores están a centímetros unos de otros.

Observación 3.15

El arcoíris es el mismo cálculo hecho dentro de una gota de lluvia: la luz solar se refracta al entrar en la gota, se refleja en su pared posterior y vuelve a refractarse al salir. El índice del agua va de $1.331$ (rojo) a $1.343$ (azul), así que cada color sale con su propio ángulo — y no hay dos observadores que vean el mismo arcoíris.

3.4 La reflexión total interna

La ley de Snell esconde una trampa. Al pasar del agua al aire, el rayo refractado se aleja de la normal: $\sin i_2 = 1.33 \sin i_1 > \sin i_1$ . Si se aumenta $i_1$ , la fórmula exige enseguida $\sin i_2 > 1$ , cosa que ningún ángulo puede dar. La refracción, sencillamente, deja de producirse.

Definición 3.16 (Ángulo límite y reflexión total interna)

Sea luz que viaja por un medio de índice $n_1$ hacia un medio de índice menor $n_2 < n_1$ . El ángulo límite $i_c$ es el ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado sale rasante a la superficie ( $i_2 = 90^\circ$ ). Para $i_1 > i_c$ no existe rayo refractado: la superficie devuelve toda la luz al primer medio, siguiendo la ley de la reflexión. Esto es la reflexión total interna.

Proposición 3.17 (Fórmula del ángulo límite)

Para $n_1 > n_2$ ,

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Demostración. Basta poner $i_2 = 90^\circ$ en la ley de Snell: $n_1 \sin i_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2$ . Para $i_1 > i_c$ , la ley de Snell exigiría $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ : no existe ninguna dirección refractada. (Que entonces la luz se refleje entera — y no se absorba — es un hecho experimental, confirmado por la teoría ondulatoria del volumen del primer año.) ∎

Del agua hacia el aire, con incidencia creciente: refracción alejándose de la normal, después un rayo refractado rasante a la superficie en el ángulo límite y, por fin, reflexión total interna — la superficie se ha convertido en un espejo perfecto.

Ejemplo 3.18 (Tres ángulos límite)

Hacia el aire: para el agua, $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , luego $i_c = 48.8^\circ$ ; para el vidrio, $\sin i_c = 1/1.50$ , luego $i_c = 41.8^\circ$ ; para el diamante, $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , luego $i_c = 24.4^\circ$ . Cuanto mayor es el índice, más estrecho es el cono de escape: en el diamante, todo rayo que se desvíe más de $24.4^\circ$ de la normal a una faceta queda atrapado — el secreto de su brillo, diseccionado en el Problema 3.1.

3.5 Las fibras ópticas

La reflexión total interna convierte un hilo de vidrio en una tubería para la luz: un rayo que entra casi paralelo al eje golpea la pared muy por encima del ángulo límite, se refleja sin pérdidas y lo hace millones de veces por kilómetro sin fugarse.

Definición 3.19 (Fibra óptica)

Una fibra óptica es un hilo fino de vidrio formado por un núcleo de índice $n_1$ envuelto en un revestimiento de índice ligeramente menor $n_2 < n_1$ . La luz inyectada por un extremo viaja a lo largo del núcleo por reflexiones totales internas repetidas en la frontera entre el núcleo y el revestimiento.

Luz guiada por el núcleo de una fibra mediante reflexión total interna (los ángulos de rebote están muy exagerados: los rayos reales rozan la pared a más de 80 de la normal). — Luz guiada por el núcleo de una fibra mediante reflexión total interna (los ángulos de rebote están muy exagerados: los rayos reales rozan la pared a más de $80^\circ$ de la normal).

Ejemplo 3.20 (Una fibra con números)

Con $n_1 = 1.48$ y $n_2 = 1.46$ ,

\sin i_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986, \qquad i_c = 80.6^\circ :

solo se guían los rayos que se apartan menos de unos $9^\circ$ del eje — lo cual no es problema, porque así es exactamente como se inyecta la luz de un láser. Dentro del núcleo la luz viaja a $v = c/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : un pulso recorre una fibra de $100\,\mathrm{km}$ en medio milisegundo aproximadamente.

Observación 3.21 (Orden de magnitud de los enlaces de datos)

Los cables submarinos — haces de unas pocas decenas de fibras en el fondo del océano — transportan casi todo el tráfico intercontinental. Una sola fibra moderna lleva del orden de $10^{13}$ bits por segundo enviando muchas longitudes de onda a la vez; un cable entero alcanza $10^{14}$ bits por segundo, con un amplificador cada $80\,\mathrm{km}$ más o menos. Los satélites, en comparación, se ocupan de una pequeña fracción del uno por ciento del tráfico.

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

Un haz láser incide sobre un espejo plano a $25^\circ$ de la superficie del espejo. Da el ángulo de incidencia, el ángulo de reflexión y el ángulo entre los haces incidente y reflejado.

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

Los ángulos se miden desde la normal: el ángulo de incidencia es $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ , así que el ángulo de reflexión también vale $65^\circ$ . Los haces incidente y reflejado forman entre sí un ángulo de $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ .

Ejercicio 3.2 ★

Calcula la velocidad de la luz en el agua ( $n = 1.33$ ) y en el diamante ( $n = 2.42$ ).
En cierto sólido la luz viaja a $1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calcula su índice de refracción e identifica el material.

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

1. $v = c/n$ : en el agua, $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; en el diamante, $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} {1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$ : vidrio.

Ejercicio 3.3 ★

Un rayo que va por el aire incide sobre un bloque de vidrio ( $n = 1.50$ ) con $i_1 = 40^\circ$ . Calcula el ángulo de refracción. ¿Con qué ángulo debería llegar a la superficie un rayo que viajase dentro del vidrio para salir al aire a $40^\circ$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$ , luego $i_2 = 25.4^\circ$ . Por la reversibilidad de los caminos luminosos, un rayo que dentro del vidrio llegue a la superficie a $25.4^\circ$ sale al aire exactamente a $40^\circ$ .

Ejercicio 3.4 ★

La luz del Sol llega a la superficie de un lago a $55^\circ$ de la vertical. Calcula el ángulo del rayo refractado e indica si el rayo se acerca o se aleja de la normal — con la razón en una palabra.

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$ , luego $i_2 = 38.0^\circ$ . El rayo se acerca hacia la normal, porque el agua es el medio más lento ( $n_2 > n_1$ ).

Ejercicio 3.5 ★

Para identificar un líquido transparente se envía un rayo sobre su superficie con $i_1 = 45^\circ$ ; el rayo refractado se mide en $i_2 = 32^\circ$ . Calcula el índice de refracción e identifica el líquido con la tabla de la Definición 3.5.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530} = 1.33$ : el líquido es agua.

Ejercicio 3.6 ★★

Un semidisco de un plástico transparente da las medidas siguientes:

$i_1$	$20^\circ$	$30^\circ$	$40^\circ$	$50^\circ$	$60^\circ$
$i_2$	$13.5^\circ$	$19.5^\circ$	$25.5^\circ$	$31.0^\circ$	$35.5^\circ$

Calcula $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2}$ para cada pareja. ¿Qué observas?
Deduce el índice de refracción del plástico e identifícalo.
¿Por qué representar $\sin i_2$ frente a $\sin i_1$ es mejor prueba de la ley de Snell que representar $i_2$ frente a $i_1$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

1. Los cinco cocientes son

\frac{0.342}{0.233} = 1.47,\quad \frac{0.500}{0.334} = 1.50,\quad \frac{0.643}{0.431} = 1.49,\quad \frac{0.766}{0.515} = 1.49,\quad \frac{0.866}{0.581} = 1.49 :

constantes dentro del error de medida — la ley de Snell.

2. $n \approx 1.49$ : plexiglás.

3. La ley de Snell predice $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ : seno frente a seno, los datos deben alinearse en una recta que pase por el origen, cosa que una regla comprueba de un vistazo. Representando ángulo frente a ángulo, los datos caen sobre una curva; con ángulos pequeños esa curva se parece engañosamente a una recta, que es justo lo que engañó a Ptolomeo.

Ejercicio 3.7 ★★

Calcula el ángulo límite hacia el aire para el agua, el vidrio ( $n = 1.50$ ) y el diamante. Explica después, con la ley de Snell, por qué no hay ángulo límite para la luz que va del aire al agua.

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

$\sin i_c = n_2/n_1$ con $n_2 = 1.00$ : agua $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , $i_c = 48.8^\circ$ ; vidrio $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$ , $i_c = 41.8^\circ$ ; diamante $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , $i_c = 24.4^\circ$ .

Del aire al agua, $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$ para cualquier incidencia: siempre existe un ángulo refractado, así que nunca ocurre nada especial — la reflexión total interna exige $n_1 > n_2$ .

Ejercicio 3.8 ★★

Una piscina tiene $2.0\,\mathrm{m}$ de profundidad. ¿Qué profundidad percibe un bañista de pie en el borde?
Una garza vigila un pez que nada $40\,\mathrm{cm}$ por debajo de la superficie. ¿A qué profundidad parece estar el pez, y debe la garza picar por encima, sobre o por debajo de la imagen que ve?

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

1. $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33} = 1.5\,\mathrm{m}$ .

2. El pez parece estar a $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ : la imagen está por encima del pez, así que la garza debe picar por debajo de la imagen que ve. Las garzas, libres del peso de la ley de Snell, lo aprenden a base de ensayo y error.

Ejercicio 3.9 ★★

Un rayo incide sobre el cristal de una ventana ( $n = 1.50$ , caras paralelas) a $50^\circ$ .

Calcula el ángulo de refracción en la primera cara.
El rayo refractado llega a la segunda cara desde dentro, con el mismo ángulo. Calcula el ángulo de salida y compáralo con $50^\circ$ .
¿Qué le hace entonces un cristal grueso a la dirección y a la posición de un rayo que lo atraviesa?

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

1. $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50} = 0.511$ , luego $r = 30.7^\circ$ .

2. Del vidrio al aire a $30.7^\circ$ : $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$ , luego $i_2 = 50^\circ$ — el ángulo de salida es igual al de entrada.

3. Las dos refracciones se deshacen mutuamente: el rayo sale paralelo a su dirección original, solo desplazado lateralmente. Por eso un cristal no deforma la escena, únicamente la traslada de forma imperceptible.

Ejercicio 3.10 ★★

Luz blanca incide sobre un bloque de vidrio flint a $55^\circ$ . Para este vidrio, $n_{\text{red}} = 1.61$ y $n_{\text{blue}} = 1.66$ . Calcula los ángulos de refracción de los rayos rojo y azul y el ángulo entre ellos. ¿Qué color acaba más cerca de la normal?

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

$\sin 55^\circ = 0.819$ . Rojo: $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$ , $i_2 = 30.6^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$ , $i_2 = 29.6^\circ$ . Los dos colores quedan separados $1.0^\circ$ ; el azul, con índice mayor, se desvía más y acaba más cerca de la normal.

Ejercicio 3.11 ★★

Una fibra óptica tiene un núcleo de índice $1.48$ y un revestimiento de índice $1.46$ .

Calcula el ángulo límite en la frontera núcleo–revestimiento.
Un rayo guiado rebota exactamente en el ángulo límite. Demuestra que a lo largo de $1.0\,\mathrm{km}$ de fibra recta recorre unos $14\,\mathrm{m}$ más que un rayo que fuese recto por el eje.

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

1. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , luego $i_c = 80.6^\circ$ .

2. Un rayo a $i_c$ de la normal forma $90^\circ - i_c$ con el eje, de modo que su recorrido a lo largo de una longitud axial $L$ vale $\dfrac{L}{\sin i_c}$ :

1000\,\mathrm{m} \times \frac{1.48}{1.46} = 1013.7\,\mathrm{m},

unos $14\,\mathrm{m}$ más que el rayo axial.

Ejercicio 3.12 ★★★

El ojo de un buceador está $2.0\,\mathrm{m}$ por debajo de una superficie perfectamente en calma. Por la refracción, el buceador ve el cielo entero comprimido en un disco luminoso justo encima de él — la ventana de Snell.

Explica por qué la luz procedente del horizonte llega al ojo del buceador con el ángulo límite del agua, $48.8^\circ$ respecto de la vertical.
Calcula el radio del disco luminoso sobre la superficie, con la tangente en el triángulo rectángulo ojo–vertical–borde del disco.
¿Qué ve el buceador en la superficie fuera del disco?

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

1. La luz que llega rasante desde el horizonte tiene un $i_1$ próximo a $90^\circ$ ; se refracta hasta $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ , es decir $i_2 = 48.8^\circ$ — el ángulo límite, como exige la reversibilidad. Por tanto, los rayos de todo el cielo llegan al ojo dentro de un cono de semiángulo $48.8^\circ$ .

2. El borde del disco está donde ese cono corta la superficie:

r = d \tan i_c = 2.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 2.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 2.3\,\mathrm{m}.

3. Fuera del disco, la luz que viene de abajo llega a la superficie más allá del ángulo límite y se refleja totalmente: el buceador ve un espejo plateado que le muestra el fondo de la piscina.

Ejercicio 3.13 ★★★

Un prisma tiene ángulos de $30^\circ$ , $60^\circ$ y $90^\circ$ . Un haz fino de luz blanca entra perpendicular a uno de los lados contiguos al ángulo recto, lo atraviesa sin desviarse y llega a la cara larga desde dentro con $i_1 = 30^\circ$ . Para este vidrio, $n_{\text{red}} = 1.51$ y $n_{\text{blue}} = 1.53$ .

Calcula los ángulos de salida de los rayos rojo y azul y la anchura angular del abanico entre ambos.
Se sustituye el prisma por uno de $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ , de modo que el ángulo de incidencia interno pasa a ser $45^\circ$ . Demuestra que no sale nada de luz por la cara larga.

Solución

Solución de Ejercicio 3.13.

1. Rojo: $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$ , luego $i_2 = 49.0^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$ , luego $i_2 = 49.9^\circ$ . El haz blanco se abre en abanico a lo largo de $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ — un espectro de prisma con una sola refracción.

2. A $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (y $1.53 \times 0.707 = 1.08$ para el azul). No existe ángulo refractado para ninguno de los dos colores: el ángulo límite es $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ , así que la cara larga refleja totalmente el haz entero.

Ejercicio 3.14 ★★★

Los periscopios doblan la luz con prismas de vidrio $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ ( $n = 1.50$ ): el haz entra perpendicular a una cara corta y llega a la cara larga desde dentro a $45^\circ$ .

Demuestra que la cara larga actúa como espejo perfecto. ¿Por qué esto es mejor que un espejo metálico, que absorbe un pequeño porcentaje en cada reflexión?
El periscopio se inunda y la cara larga queda ahora en contacto con agua. Calcula el nuevo ángulo límite de la frontera vidrio–agua y demuestra que el espejo falla.
¿Con qué ángulo sale al agua la luz de la pregunta 2?

Solución

Solución de Ejercicio 3.14.

1. Ángulo límite vidrio–aire: $\sin i_c = 1/1.50$ , luego $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$ : el haz se refleja totalmente — el $100\,\%$ de la luz, sin recubrimiento que se deslustre. Un espejo metálico pierde un pequeño porcentaje en cada rebote, y un periscopio necesita dos.

2. Vidrio–agua: $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$ , luego $i_c = 62.5^\circ$ . Ahora $45^\circ < i_c$ : la incidencia queda por debajo del límite, casi toda la luz se refracta hacia el agua y el espejo — y con él la imagen — falla.

3. $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ = 1.128 \times 0.707 = 0.798$ , luego $i_2 = 52.9^\circ$ hacia el agua.

Ejercicio 3.15 ★★★

Un cable transatlántico tiende $6200\,\mathrm{km}$ de fibra (índice del núcleo $1.47$ ) entre Londres y Nueva York.

Calcula la velocidad de la luz en el núcleo y el tiempo de viaje de ida de un pulso.
Una onda de radio viaja a $c$ . ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia, y cuánto tiempo de ida y vuelta cuesta el vidrio de la fibra frente a la radio?
Algunas empresas financieras pagan fortunas por recortar milisegundos en este enlace. Propón dos maneras físicas distintas de hacer que la luz llegue antes.

Solución

Solución de Ejercicio 3.15.

1. $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , de modo que

t = \frac{6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 30.4\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

2. Radio: $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 20.7\,\mathrm{ms}$ . El vidrio cuesta $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ en cada sentido, unos $19\,\mathrm{ms}$ por ida y vuelta.

3. Bajar el índice — las fibras de núcleo hueco guían la luz por aire ( $n \approx 1.00$ ), y los enlaces de microondas por la atmósfera hacen lo mismo — o acortar el camino: un cable tendido más cerca de la ruta de círculo máximo entre las dos ciudades. Ambas cosas se venden de verdad, a tanto el milisegundo.

3.7 Problema: el diamante, la piscina y la fibra

Problema 3.1

Problema de fin de semana — las tres vidas de la ley de Snell: una piscina que miente sobre su profundidad, una piedra tallada para que la luz no pueda salir y los sesenta milisegundos de océano que hay bajo internet

Una igualdad de dos senos, tres carreras. En una piscina engaña a tus ojos sobre la profundidad y aprieta el cielo entero dentro de un círculo. En un diamante, llevada a su límite, se niega a dejar salir la luz — y los joyeros llevan siglos tallando piedras alrededor de esa negativa. Bajo el Atlántico guía pulsos láser dentro de una hebra de vidrio y fija el límite de velocidad de internet. Este problema recorre las tres vidas en orden, con la misma ley cada vez.

Parte I — Calentamiento.

Calcula la velocidad de la luz en el agua ( $n = 1.33$ ) y en el diamante ( $n = 2.42$ ). ¿En qué factor frena el diamante a la luz?
Un rayo que va por el aire incide sobre un estanque con $i_1 = 40^\circ$ . Calcula el ángulo de refracción.
Un rayo que va por el agua llega a la superficie desde abajo a $28.9^\circ$ . ¿Con qué ángulo sale al aire? Enuncia el principio que ilustra esto.
Calcula el ángulo límite de la frontera agua–aire y describe qué le ocurre a un rayo submarino que llegue a la superficie a $60^\circ$ .
El índice del aire es $1.0003$ . Calcula la velocidad de la luz en el aire y justifica la aproximación $n_{\text{air}} = 1.00$ usada en todo el capítulo.

Parte II — La piscina.

Una piscina tiene $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidad. Con la fórmula de la profundidad aparente (Proposición 3.11), calcula la profundidad que percibe una persona situada arriba.
Explica, con un esquema de dos rayos (descrito con palabras), por qué una moneda del fondo parece elevarse: ¿qué hacen los rayos que salen del agua y dónde sitúa el ojo su intersección?
El ojo de un buceador está a $3.0\,\mathrm{m}$ . Calcula el radio de la ventana de Snell — el disco luminoso a través del cual el buceador ve el cielo entero (Ejercicio 3.12).
Una lámpara del fondo envía rayos hacia arriba a $30^\circ$ , $45^\circ$ y $50^\circ$ de la vertical. Di, para cada rayo, si escapa y con qué ángulo, o qué ocurre en su lugar.
Un pescador con arpón apunta desde la orilla a un pez. ¿Debe lanzar por encima, sobre o por debajo de la imagen del pez — y el pez, al mirar hacia arriba, ve también desplazado al pescador?

Parte III — El diamante.

Calcula el ángulo límite del diamante ( $n = 2.42$ ) hacia el aire y compáralo con el del vidrio ( $n = 1.52$ ), que es $41.1^\circ$ .
Un rayo dentro de la piedra llega a una faceta a $30^\circ$ de su normal. ¿Qué ocurre en el diamante? ¿Y en la imitación de vidrio? Explica en una frase por qué la talla de un diamante, combinada con su ángulo límite diminuto, produce el destello.
El diamante también es muy dispersivo: $n_{\text{red}} = 2.41$ , $n_{\text{blue}} = 2.45$ . La luz blanca entra por una faceta a $45^\circ$ ; calcula el ángulo de refracción de cada color y la separación angular.
Más adelante, los rayos rojo y azul llegan ambos a una faceta de salida desde dentro a $17.0^\circ$ . Calcula los dos ángulos de salida y la separación del abanico emergente. Compárala con la separación en la entrada: ¿qué le ocurre a la dispersión cerca del ángulo límite?
Una gota de agua ( $n = 1.33$ ) cubre una faceta. Calcula el nuevo ángulo límite de la frontera diamante–agua, decide la suerte del rayo de $30^\circ$ de la pregunta 12 y explica por qué los joyeros mantienen los diamantes escrupulosamente limpios.

Parte IV — La fibra.

Una fibra tiene un núcleo de índice $1.48$ y un revestimiento de índice $1.46$ . Calcula el ángulo límite en la frontera núcleo–revestimiento.
Un hilo de vidrio desnudo en el aire tendría un ángulo límite de $42.5^\circ$ — en apariencia mucho mejor. Da dos razones por las que se usa igualmente el revestimiento. (Piensa en el polvo, en los arañazos y en lo que le haría a la reflexión total interna tocar la superficie.)
Calcula la velocidad de la luz en el núcleo y después el tiempo de viaje de ida de un pulso a lo largo de $6000\,\mathrm{km}$ de fibra.
Un rayo que rebota exactamente en el ángulo límite recorre $1/\sin i_c$ veces la longitud del eje. Calcula la distancia adicional en los $6000\,\mathrm{km}$ y el tiempo extra que cuesta.
El remate. Un par de fibras moderno transporta unos $10^{13}$ bits por segundo, y este libro ocupa unos $2.4 \times 10^8$ bits. Calcula el tiempo de ida y vuelta (el “ping”) a través del océano y el número de copias de este libro que la fibra mueve por segundo — y di después, en una frase, qué hace la ley de Snell por internet.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $v_{\text{water}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{diamond}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — el diamante frena la luz en el factor $n = 2.42$ .

2. $\sin i_2 = \sin 40^\circ / 1.33 = 0.643/1.33 = 0.483$ , luego $i_2 = 28.9^\circ$ .

3. $\sin i_2 = 1.33 \times \sin 28.9^\circ = 1.33 \times 0.483 = 0.643$ , luego $i_2 = 40^\circ$ : la luz vuelve por su camino — reversibilidad de los rayos luminosos.

4. $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , luego $i_c = 48.8^\circ$ . A $60^\circ > i_c$ , la ley de Snell exigiría $\sin i_2 = 1.33 \sin 60^\circ = 1.15 > 1$ : no hay rayo refractado; la superficie devuelve toda la luz hacia abajo.

5. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.0003 = 2.999 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : en el aire la luz es más lenta que en el vacío en un $0.03\,\%$ , muy por debajo de la precisión de nuestras medidas de ángulos, así que $n_{\text{air}} = 1.00$ es inofensivo.

6. $d' = 3.0\,\mathrm{m}/1.33 = 2.3\,\mathrm{m}$ : la piscina esconde $70\,\mathrm{cm}$ de sí misma.

7. Dos rayos que salen de la moneda se refractan en la superficie alejándose de la normal, de modo que divergen más bruscamente por encima del agua que por debajo. El ojo prolonga hacia atrás en línea recta los dos rayos emergentes; se cruzan por encima de la moneda, y en ese cruce sitúa el ojo la imagen.

8. $r = d \tan i_c = 3.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 3.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 3.4\,\mathrm{m}$ : un disco de unos $6.9\,\mathrm{m}$ de diámetro contiene el cielo entero.

9. A $30^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.500 = 0.665$ , el rayo sale a $41.7^\circ$ . A $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.707 = 0.940$ , sale a $70.1^\circ$ , casi rasante. A $50^\circ$ : $1.33 \times 0.766 = 1.02 > 1$ — reflexión total interna, el rayo se hunde de nuevo en la piscina.

10. La imagen está por encima del pez real (Proposición 3.11), así que hay que apuntar por debajo. Y sí: el pez también ve desplazado al pescador, apretado hacia la vertical dentro de la ventana de Snell — cada uno ve al otro donde el otro no está.

11. Diamante: $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , luego $i_c = 24.4^\circ$ , frente a $41.1^\circ$ del vidrio: el cono de escape del diamante no llega ni a la mitad de ancho.

12. En el diamante, $30^\circ > 24.4^\circ$ : reflexión total interna, el rayo se queda en la piedra. En el vidrio, $30^\circ < 41.1^\circ$ : el rayo se escapa por detrás. Las facetas de una talla brillante están inclinadas de modo que la luz que entra choque casi siempre con ellas más allá de $24.4^\circ$ y rebote hasta salir hacia arriba, hacia el ojo — una imitación de vidrio, con su ancho cono de escape, simplemente deja que la luz se le caiga.

13. $\sin 45^\circ = 0.707$ . Rojo: $0.707/2.41 = 0.293$ , luego $i_2 = 17.1^\circ$ . Azul: $0.707/2.45 = 0.289$ , luego $i_2 = 16.8^\circ$ . Separación en la entrada: unos $0.3^\circ$ .

14. $\sin 17.0^\circ = 0.292$ . Rojo: $\sin i_2 = 2.41 \times 0.292 = 0.705$ , luego $i_2 = 44.8^\circ$ . Azul: $\sin i_2 = 2.45 \times 0.292 = 0.716$ , luego $i_2 = 45.8^\circ$ . El abanico mide ahora $1.0^\circ$ : la refracción de salida, que trabaja cerca del ángulo límite, ha triplicado la separación de $0.3^\circ$ de la entrada. Ese chorro estirado de colores es el fuego del diamante.

15. Diamante–agua: $\sin i_c = 1.33/2.42 = 0.550$ , luego $i_c = 33.3^\circ$ . El rayo de $30^\circ$ , atrapado cuando la faceta daba al aire, ahora escapa ( $30^\circ < 33.3^\circ$ ) hacia la película de agua: cualquier gota, huella dactilar o capa de grasa sube el índice exterior, ensancha el cono de escape y drena el destello — de ahí la gamuza del joyero.

16. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , luego $i_c = 80.6^\circ$ .

17. La reflexión total interna ocurre en la superficie, así que la superficie debe mantenerse perfecta: en un hilo desnudo, cualquier mota de polvo, arañazo, gota de agua o dedo que la toque sube el índice exterior en ese punto y desangra la luz. El revestimiento entierra el espejo dentro de vidrio limpio, donde nada puede alcanzarlo — y, de regalo, protege mecánicamente el núcleo, fino como un cabello.

18. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , de modo que

t = \frac{6.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 29.6\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

19. Factor de camino $1/\sin i_c = 1.48/1.46 = 1.0137$ : en el peor caso, $6000\,\mathrm{km} \times 0.0137 \approx 82\,\mathrm{km}$ de vidrio adicional, que cuestan $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m} / 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.4\,\mathrm{ms}$ — el zigzag sale casi gratis.

20. Ping: $2 \times (29.6 + 0.4) \approx 60\,\mathrm{ms}$ . Caudal: $\dfrac{10^{13}}{2.4 \times 10^8} \approx 40\,000$ copias de este libro por segundo. En una frase: al atrapar la luz dentro del vidrio mediante la reflexión total interna, la ley de Snell lleva una biblioteca al otro lado del océano cada segundo, sesenta milisegundos de ida y vuelta.