Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

17El trabajo de una fuerza

Empuja un armario de un lado a otro de la habitación y habrás trabajado; empuja contra una pared toda la tarde y, diga lo que diga tu musculatura, la física cuenta cero. El trabajo es lo que una fuerza entrega a lo largo de un movimiento — energía en tránsito (Capítulo 9), pagada en julios. Este capítulo pone precio a las fuerzas del Capítulo 16 — tirones en ángulo, peso, rozamiento — y cronometra el ritmo del pago: la potencia.

17.1 El trabajo de una fuerza constante

Definición 17.1 (Trabajo de una fuerza constante)

Una fuerza constante F→\vect F aplicada a un objeto que se desplaza a lo largo de un segmento recto de AA a BB realiza el trabajo

WAB(F→)=F×AB×cos⁡θ,W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

donde FF es el módulo de la fuerza (en N\mathrm{N}), ABAB la longitud del desplazamiento (en m\mathrm{m}) y θ\theta el ángulo entre F→\vect F y AB→\vect{AB}. El trabajo se mide en julios (J\mathrm{J}): un julio es el trabajo de una fuerza de un newton a lo largo de un metro en su propia dirección.

Observación 17.2

F×AB×cos⁡θF \times AB \times \cos\theta es exactamente el producto escalar F→⋅AB→\vect F \cdot \vect{AB} del volumen de matemáticas de este año. Solo la componente Fcos⁡θF\cos\theta a lo largo del movimiento se gana algo.

Solo trabaja la proyección F de la fuerza sobre el desplazamiento: W_AB( F) = F × AB ×.
Solo trabaja la proyección Fcos⁡θF\cos\theta de la fuerza sobre el desplazamiento: WAB(F→)=F×AB×cos⁡θW_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta.

Ejemplo 17.3 (Maleta con correa)

Un viajero arrastra una maleta 300 m300\,\mathrm{m} por una terminal, tirando de la correa con F=40 NF = 40\,\mathrm{N} a θ=50∘\theta = 50{}^{\circ} del suelo: W=40×300×cos⁡50∘≈7.7 kJW = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}. Tirando en horizontal (θ=0\theta = 0) esa misma fuerza entregaría 12 kJ12\,\mathrm{kJ}: un tercio del tirón no levanta nada.

Definición 17.4 (Trabajo motor, resistente y nulo)

El signo de cos⁡θ\cos\theta clasifica toda fuerza en tres regímenes:

  • θ<90∘\theta < 90{}^{\circ}: W>0W > 0, el trabajo es motor — la fuerza alimenta de energía el movimiento;
  • θ=90∘\theta = 90{}^{\circ}: W=0W = 0, la fuerza no trabaja en absoluto, por grande que sea;
  • θ>90∘\theta > 90{}^{\circ}: W<0W < 0, el trabajo es resistente — la fuerza drena energía. El caso puro es un freno a 180∘180{}^{\circ}: 800 N800\,\mathrm{N} a lo largo de 45 m45\,\mathrm{m} le quitan a un coche 800×45×(−1)=−36 kJ800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}, que van a parar a unos discos calientes.
Los tres regímenes — motor, nulo y resistente — según el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (flecha roja). Los tres regímenes — motor, nulo y resistente — según el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (flecha roja). Los tres regímenes — motor, nulo y resistente — según el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (flecha roja).
Los tres regímenes — motor, nulo y resistente — según el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (flecha roja).

17.2 El trabajo del peso

Proposición 17.5 (Trabajo del peso)

Cuando un objeto de masa mm va de AA (altitud zAz_A) a BB (altitud zBz_B) por cualquier camino formado por segmentos rectos, su peso P→\vect P realiza el trabajo

WAB(P→)=mg (zA−zB)=± mgh,W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

donde h=∣zA−zB∣h = \abs{z_A - z_B} es el desnivel: +mgh+mgh al bajar y −mgh-mgh al subir — solo cuenta el desnivel, no la ruta.

Demostración. Sobre un segmento recto ABAB, el peso (de módulo mgmg, dirigido verticalmente hacia abajo) forma un ángulo θ\theta con AB→\vect{AB}, y ABcos⁡θAB\cos\theta es precisamente la proyección del desplazamiento sobre la vertical descendente: zA−zBz_A - z_B. Por tanto W=mg×ABcos⁡θ=mg (zA−zB)W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B). A lo largo de una cadena de segmentos los trabajos se suman y los desniveles se telescopan: mg(zA−zC)+mg(zC−zB)=mg(zA−zB)mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B). ∎

Proposición 17.6 (Cualquier camino)

La misma fórmula vale a lo largo de cualquier camino curvo de AA a BB.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 17.7

Es verosímil — una curva se parece tanto como se quiera a una línea quebrada de muchos segmentos cortos —, pero hacer honrado ese “tanto como se quiera” es cálculo infinitesimal, y se hace en el Capítulo 29.

Recto (azul) o serpenteante (verde), todo camino de A a B baja el mismo h: el peso realiza +mgh en los dos.
Recto (azul) o serpenteante (verde), todo camino de AA a BB baja el mismo hh: el peso realiza +mgh+mgh en los dos.

Ejemplo 17.8 (Excursionista)

Un excursionista de 78 kg78\,\mathrm{kg} (mochila incluida) sube 450 m450\,\mathrm{m}, por el sendero que sea: W(P→)=−78×9.81×450≈−344 kJW(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}, y exactamente +344 kJ+344\,\mathrm{kJ} a la bajada, con los rodeos que sean.

17.3 El trabajo del rozamiento

Proposición 17.9 (Trabajo del rozamiento de deslizamiento)

Una fuerza de rozamiento de módulo constante ff, opuesta al movimiento en todo instante, realiza el trabajo W=−fLW = -fL a lo largo de un camino de longitud total LL: siempre resistente y proporcional a la longitud del camino recorrido — no al desplazamiento.

Demostración. En cada trocito recto la fuerza forma 180∘180{}^{\circ} con el movimiento y aporta −f×(su longitud)-f \times (\text{su longitud}); los trocitos suman −fL-fL. Un camino curvo se trocea igual, con el paso al límite admitido como en el caso del peso (Observación 17.7). ∎

Observación 17.10 (Rozamiento frente a peso: la gran divisoria)

El trabajo del peso se olvida del camino; el del rozamiento es un peaje por metro. En un viaje de ida y vuelta el peso da cero neto — lo que cobra en la subida lo devuelve en la bajada —, mientras que el rozamiento cobra −fL-fL en cada tramo y no devuelve nada: el trabajo del peso se puede almacenar y recuperar (energía potencial, Capítulo 18) y el del rozamiento se pierde como calor.

Ejemplo 17.11 (Ida y vuelta)

Una caja desliza 5.0 m5.0\,\mathrm{m} por un suelo y 5.0 m5.0\,\mathrm{m} de vuelta, contra f=60 Nf = 60\,\mathrm{N}: el rozamiento realiza −60×10=−600 J-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J} aunque la caja acabe donde empezó. El peso y la fuerza normal, perpendiculares al movimiento: cero en todo momento.

Observación 17.12 (¿Y un muelle?)

Un muelle tira más cuanto más estirado está: su fuerza no es constante y la Definición 17.1 no se le aplica. Su trabajo exige cortar el estiramiento en pasos infinitesimales y sumar — cálculo infinitesimal, servido en el Capítulo 29.

17.4 La potencia

Definición 17.13 (Potencia)

La potencia de una fuerza es el ritmo al que trabaja, P=W/ΔtP = W/\Delta t, en vatios (W=J/s\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}) — el mismo vatio del Capítulo 12. Una unidad anterior al SI sobrevive en las placas de los motores: el caballo de vapor, 1 CV=736 W1\,\mathrm{CV} = 736\,\mathrm{W}.

Proposición 17.14 (Potencia a velocidad constante)

Si el objeto se mueve con rapidez constante vv, una fuerza constante F→\vect F que forme un ángulo θ\theta con el movimiento entrega la potencia P=Fvcos⁡θP = F v \cos\theta — en particular, P=FvP = Fv para una fuerza en la dirección del movimiento.

Demostración. En un tiempo Δt\Delta t el objeto recorre d=v Δtd = v\,\Delta t, de modo que W=F×v Δt×cos⁡θW = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta; basta dividir entre Δt\Delta t. ∎

Ejemplo 17.15 (Grúa)

Una grúa iza un palé de 600 kg600\,\mathrm{kg} a 0.90 m/s0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s} constantes: la fuerza del cable iguala al peso, mg=5.89×103 Nmg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, luego P=Fv=5890×0.90≈5.3 kW≈7.2 CVP = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{CV} — un tiro de siete caballos dentro de una caja de acero.

Método 17.16 (Subir con menos fuerza: el zigzag)

Para subir una carga una altura hh con una fuerza limitada:

  1. La factura está fijada: por la Proposición 17.5, cualquier ruta hasta arriba cuesta el trabajo mghmgh.
  2. Estira el camino: sobre una rampa de longitud LL, la fuerza necesaria (a velocidad constante y sin contar el rozamiento) es F=mgh/LF = mgh/L — el doble de longitud, la mitad de fuerza.
  3. Paga el recargo: el rozamiento cobra por metro (Proposición 17.9) y añade fLfL.

Las carreteras de montaña zigzaguean por el paso 2: la misma altura, menos fuerza, el mismo trabajo.

Subir 1200\, kg una altura h = 300\, m: el producto F × L = mgh = 3.53\, MJ está fijado, así que la carretera cambia longitud por fuerza (véase el ).
Subir 1200 kg1200\,\mathrm{kg} una altura h=300 mh = 300\,\mathrm{m}: el producto F×L=mgh=3.53 MJF \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ} está fijado, así que la carretera cambia longitud por fuerza (véase el Ejercicio 17.12).

17.5 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Una fuerza constante F=40 NF = 40\,\mathrm{N} actúa a lo largo de un desplazamiento recto de 50 m50\,\mathrm{m}: calcula su trabajo para θ=0∘\theta = 0{}^{\circ}, 60∘60{}^{\circ}, 90∘90{}^{\circ} y 120∘120{}^{\circ}.

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

W=40×50×cos⁡θW = 40 \times 50 \times \cos\theta: +2000 J+2000\,\mathrm{J}; +1000 J+1000\,\mathrm{J}; 00; −1000 J-1000\,\mathrm{J}.

Ejercicio 17.2 ★

Una caja de herramientas de 12 kg12\,\mathrm{kg} se baja 2.5 m2.5\,\mathrm{m} desde una furgoneta y, más tarde, se vuelve a subir. ¿Trabajo de su peso en cada caso?

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

mgh=12×9.81×2.5=294 Jmgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}: al bajarla, +294 J+294\,\mathrm{J} (el peso acompaña el descenso); al subirla, −294 J-294\,\mathrm{J}.

Ejercicio 17.3 ★

¿Motor, resistente o nulo? (a) el peso de una manzana que cae; (b) el peso de una pelota que sube; (c) la fuerza normal sobre una caja que desliza; (d) el rozamiento sobre una bicicleta que frena; (e) la tensión de la cuerda sobre la masa de un péndulo que oscila.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

(a) motor; (b) resistente; (c) nulo (perpendicular); (d) resistente; (e) nulo — la tensión de la cuerda se mantiene perpendicular al movimiento de la masa.

Ejercicio 17.4 ★

Una grúa sube 600 kg600\,\mathrm{kg} una altura de 25 m25\,\mathrm{m} a velocidad constante. ¿Trabajo de la fuerza que iza y del peso? ¿Cuánto suman, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

A velocidad constante, la fuerza que iza vale mg=5.89×103 Nmg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, luego Wlift=5886×25≈+147 kJW_{\text{lift}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ} y W(P→)=−147 kJW(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}. Suman cero: a velocidad constante las fuerzas se equilibran (Capítulo 16), así que sus trabajos se cancelan.

Ejercicio 17.5 ★

El motor de una escalera mecánica realiza 90 kJ90\,\mathrm{kJ} de trabajo cada minuto. ¿Su potencia en vatios? ¿Y en caballos de vapor?

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

P=9.0×104/60=1.5 kWP = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}; 1500/736≈2.0 CV1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{CV}.

Ejercicio 17.6 ★★

Un trineo es remolcado 200 m200\,\mathrm{m} por una cuerda de tensión 120 N120\,\mathrm{N} a 30∘30{}^{\circ} por encima de la nieve; el rozamiento vale 45 N45\,\mathrm{N}. ¿Trabajo de cada una de las cuatro fuerzas (cuerda, rozamiento, peso y normal) y total?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

Cuerda: 120×200×cos⁡30∘≈+20.8 kJ120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}; rozamiento: −45×200=−9.0 kJ-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}; peso y fuerza normal, perpendiculares: 00. Total +11.8 kJ+11.8\,\mathrm{kJ}: el trineo gana velocidad.

Ejercicio 17.7 ★★

Un ciclista rueda a 25 km/h25\,\mathrm{km}/\mathrm{h} constantes contra una resistencia total de 18 N18\,\mathrm{N}. ¿Potencia entregada? ¿Trabajo realizado en una hora?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

v=25/3.6=6.94 m/sv = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; P=Fv=18×6.94≈125 WP = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}. En una hora, W=P Δt=125×3600=450 kJW = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ} (o, lo que es lo mismo, 18×25 000 m18 \times 25\,000\,\mathrm{m}).

Ejercicio 17.8 ★★

Un esquiador de 65 kg65\,\mathrm{kg} desciende 120 m120\,\mathrm{m} de desnivel, por una pendiente fuerte de 800 m800\,\mathrm{m} o por una pista suave de 1500 m1500\,\mathrm{m}; el rozamiento sobre los esquís vale 30 N30\,\mathrm{N} en las dos. ¿Trabajo del peso y del rozamiento en cada ruta? ¿Qué trabajo depende de la ruta?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

Peso, en las dos rutas: +65×9.81×120≈+76.5 kJ+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ} (solo cuenta el desnivel). Rozamiento: −30×800=−24 kJ-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ} en la pendiente y −30×1500=−45 kJ-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ} en la pista. Solo al rozamiento le importa la ruta.

Ejercicio 17.9 ★★

Una caja de 20 kg20\,\mathrm{kg} se empuja 4.0 m4.0\,\mathrm{m} rampa arriba, con una inclinación de 25∘25{}^{\circ}, a velocidad constante y contra 30 N30\,\mathrm{N} de rozamiento. Calcula los trabajos del peso y del rozamiento y, a partir de la velocidad constante, el trabajo y el módulo del empujón, paralelo a la rampa.

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

Desnivel h=4.0sin⁡25∘=1.69 mh = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}: W(P→)=−20×9.81×1.69≈−332 JW(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}; Wf=−30×4.0=−120 JW_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}. A velocidad constante, el trabajo total es nulo, así que Wpush=+452 JW_{\text{push}} = +452\,\mathrm{J} y F=452/4.0≈113 NF = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}.

Ejercicio 17.10 ★★

Un coche circula a 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} con su motor entregando 50 kW50\,\mathrm{kW} a las ruedas. ¿Contra qué fuerza resistente total pelea?

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

v=130/3.6=36.1 m/sv = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; a velocidad constante, F=P/v=5.0×104/36.1≈1.4 kNF = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}.

Ejercicio 17.11 ★★

Un caballo de sirga remolca una barcaza a 1.0 m/s1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, con la cuerda de tensión 800 N800\,\mathrm{N} formando 20∘20{}^{\circ} con el camino de sirga. Calcula la potencia del caballo, en vatios y en caballos de vapor. Coméntalo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

P=Fvcos⁡θ=800×1.0×cos⁡20∘≈752 WP = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}; en caballos de vapor, 752/736≈1.02752/736 \approx 1.02 — casi exactamente lo que sostiene un caballo fuerte, que es la comparación sobre la que Watt construyó su unidad.

Ejercicio 17.12 ★★★

Un coche de 1200 kg1200\,\mathrm{kg} sube h=300 mh = 300\,\mathrm{m} hasta un puerto, por una pista recta del 20 %20\,\% de pendiente o por una carretera en zigzag del 6 %6\,\% (pendiente =sin⁡α= \sin\alpha). Despreciando el rozamiento y a velocidad constante, calcula para cada ruta la longitud, la fuerza necesaria a lo largo de la pendiente y su trabajo. Concluye en una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

Longitudes L=h/pendienteL = h/\text{pendiente}: 1500 m1500\,\mathrm{m} y 5000 m5000\,\mathrm{m}. Fuerzas F=mg×pendienteF = mg \times \text{pendiente}: 1200×9.81×0.20≈2.35 kN1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN} y 0.71 kN0.71\,\mathrm{kN}. Trabajos FLFL: 2354×1500≈3.53 MJ2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} y 706×5000≈3.53 MJ706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} — los dos valen mghmgh: la carretera cambia fuerza por longitud, nunca trabajo.

Ejercicio 17.13 ★★★

Un cabrestante sube 250 kg250\,\mathrm{kg} de tejas 15 m15\,\mathrm{m} por un andamio a 0.40 m/s0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} constantes. Calcula el trabajo de la fuerza del cable, la duración, la potencia mecánica (dos veces: como W/ΔtW/\Delta t y como FvFv) y la potencia eléctrica consumida con un rendimiento del motor del 70 %70\,\%.

Solución

Solución de Ejercicio 17.13.

F=mg=2.45×103 NF = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}; W=2453×15≈36.8 kJW = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}; Δt=15/0.40=37.5 s\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}; P=36800/37.5≈981 W=2453×0.40P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40 (FvFv coincide); eléctrica: 981/0.70≈1.4 kW981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}.

Ejercicio 17.14 ★★★

Un armario se desliza contra f=140 Nf = 140\,\mathrm{N} de rozamiento de una esquina de una habitación a la opuesta: recto por la diagonal de 6.0 m6.0\,\mathrm{m}, o bien 3.6 m3.6\,\mathrm{m} y después 4.8 m4.8\,\mathrm{m} pegado a las paredes. ¿Trabajo del rozamiento en cada ruta, y después en una ida y vuelta por la diagonal? ¿Qué hace el peso en ese viaje de ida y vuelta, y qué diferencia profunda entre las dos fuerzas queda al descubierto?

Solución

Solución de Ejercicio 17.14.

Diagonal: −140×6.0=−840 J-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}; por las paredes: −140×8.4≈−1.18 kJ-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}; ida y vuelta: −140×12=−1.68 kJ-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}. El peso realiza un trabajo nulo en la ida y vuelta (no hay desnivel neto). El trabajo del rozamiento depende del camino y no devuelve nunca nada; el del peso depende solo de los extremos (Observación 17.10).

Ejercicio 17.15 ★★★

Un ciclista (80 kg80\,\mathrm{kg} con la bicicleta) sube un puerto: 600 m600\,\mathrm{m} de desnivel a lo largo de 12 km12\,\mathrm{km} de carretera, a 15 km/h15\,\mathrm{km}/\mathrm{h} constantes, contra 14 N14\,\mathrm{N} de resistencia del aire y de rodadura. Calcula el trabajo aportado contra la gravedad, contra el rozamiento y en total; la duración de la subida; y la potencia media, en vatios y en caballos de vapor.

Solución

Solución de Ejercicio 17.15.

Gravedad: 80×9.81×600≈471 kJ80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}; rozamiento: 14×12000=168 kJ14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}; total 639 kJ639\,\mathrm{kJ}. v=4.17 m/sv = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, luego Δt=12000/4.17=2880 s=48 min\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min} y P=6.39×105/2880≈222 W≈0.30 CVP = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{CV} — un buen aficionado, un tercio de caballo.

17.6 Problema: la jornada del mudancero

Problema 17.1

Problema de fin de semana — la física paga por julio: un día de arrastrar, izar y tomar curvas de herradura, que termina con el humillante descubrimiento de lo que opina un hervidor del trabajo honrado

Una cuadrilla de mudanzas vacía un almacén, sube la carga a un piso de un tercero y después conduce la furgoneta hasta un pueblo en lo alto de una colina. Cada tarea se tasa en julios; el hervidor de la cocina auditará la jornada. Cajas: 30 kg30\,\mathrm{kg}.

Parte I — Por el suelo del almacén. Una caja se empuja con una fuerza horizontal F=110 NF = 110\,\mathrm{N} a lo largo de d=8.0 md = 8.0\,\mathrm{m}; el rozamiento de deslizamiento vale f=95 Nf = 95\,\mathrm{N}.

  1. Calcula el trabajo del empujón.
  2. Calcula el trabajo del rozamiento, el del peso y el de la fuerza normal (justifica los ceros).
  3. ¿Trabajo total sobre la caja y significado de su signo (la caja partía del reposo)? ¿Qué empujón mantendría constante la velocidad (Capítulo 16)?
  4. A la esquina opuesta se puede llegar por la diagonal de 10.0 m10.0\,\mathrm{m} o pegado a dos paredes (6.0 m6.0\,\mathrm{m} y después 8.0 m8.0\,\mathrm{m}). ¿Trabajo del rozamiento en cada ruta?
  5. En una ida y vuelta por la diagonal, calcula el trabajo del rozamiento y el del peso. ¿Qué fuerza devuelve el dinero?

Parte II — Hasta el tercer piso (h=9.0 mh = 9.0\,\mathrm{m}).

  1. Calcula el trabajo del peso de una caja subida al piso. ¿Qué trabajo tiene que aportar como mínimo la cuadrilla?
  2. Si la sube por las escaleras un mudancero de 70 kg70\,\mathrm{kg}, la gravedad cobra por el mudancero y por la caja: ¿trabajo total contra la gravedad y fracción realmente invertida en la caja?
  3. Una rampa para carretilla mide 30 m30\,\mathrm{m} para el mismo desnivel de 9.0 m9.0\,\mathrm{m}, con 40 N40\,\mathrm{N} de rozamiento de rodadura. A velocidad constante, calcula el empujón necesario a lo largo de la rampa y su trabajo.
  4. Compara la rampa con una izada vertical directa: fuerza necesaria y trabajo realizado. ¿Qué compra la rampa, y a qué precio?
  5. Un aparejo de cuerda y polea sube la caja a 0.50 m/s0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. ¿Duración y potencia mecánica?
  6. Recupera esa potencia como P=FvP = Fv. El motor del aparejo tiene un rendimiento del 60 %60\,\%: ¿potencia eléctrica consumida?

Parte III — La carretera en zigzag. La furgoneta cargada (3500 kg3500\,\mathrm{kg}) tiene que llegar a un pueblo 240 m240\,\mathrm{m} por encima del valle: por una pista recta de 1.0 km1.0\,\mathrm{km} al 24 %24\,\% de pendiente, o por una carretera asfaltada de 8.0 km8.0\,\mathrm{km} al 3.0 %3.0\,\% (pendiente =sin⁡α= \sin\alpha).

  1. Comprueba que las dos rutas suben los mismos 240 m240\,\mathrm{m}.
  2. A velocidad constante y despreciando el rozamiento, calcula la fuerza motriz necesaria en cada ruta.
  3. ¿Trabajo de la fuerza motriz en cada ruta? Compáralo con mghmgh.
  4. La resistencia a la rodadura vale 400 N400\,\mathrm{N} en las dos: calcula el trabajo adicional de cada ruta. ¿Qué cuesta la comodidad del zigzag?
  5. A 36 km/h36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}, calcula la potencia del motor necesaria en cada ruta (en kW\mathrm{kW} y en CV\mathrm{CV}). ¿Por qué zigzaguean las carreteras?

Parte IV — El libro de cuentas del día.

  1. La cuadrilla arrastra 6060 cajas por el suelo (con el empujón de la pregunta 1) e iza las 6060 los 9.0 m9.0\,\mathrm{m} (pregunta 6). ¿Trabajo mecánico total entregado a las cajas?
  2. Añade el propio cuerpo del que sube por la escalera: 2020 subidas con 70 kg70\,\mathrm{kg} (las devoluciones de la bajada van a unas rodillas calientes, no al libro de cuentas). ¿Total del día?
  3. La cuadrilla trabajó 8.08.0 horas: ¿potencia mecánica media? ¿Cuánto tardaría un hervidor de 2.0 kW2.0\,\mathrm{kW} en gastar esa misma energía?
  4. Final: di en dos frases qué paga el julio — y qué no (la pared empujada toda la tarde, la caja sostenida inmóvil) — y por qué los mudanceros tienen cabrestantes, rampas y carreteras en zigzag en lugar de músculos más grandes.
Solución

Solución de Problema 17.1.

1. W=110×8.0=+880 JW = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}.

2. Rozamiento: −95×8.0=−760 J-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}. El peso y la fuerza normal son perpendiculares al movimiento: cero cada uno.

3. Total +120 J+120\,\mathrm{J}: trabajo motor neto, la caja acelera. Un empujón de 95 N95\,\mathrm{N} equilibraría el rozamiento — fuerza neta nula, velocidad constante y trabajo total nulo.

4. Diagonal: −95×10.0=−950 J-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}; por las paredes: −95×14.0=−1.33 kJ-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}: el rozamiento cobra por metro.

5. Rozamiento: −95×20.0=−1.9 kJ-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}; peso: 00 (no hay desnivel neto). Solo el peso devuelve.

6. W(P→)=−30×9.81×9.0=−2.65 kJW(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}; la cuadrilla tiene que aportar al menos +2.65 kJ+2.65\,\mathrm{kJ}.

7. (70+30)×9.81×9.0=8.83 kJ(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}; a la caja le corresponde 2.65/8.83≈30 %2.65/8.83 \approx 30\,\% — cargar es, sobre todo, transportarse a uno mismo.

8. sin⁡α=9.0/30=0.30\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30: F=mgsin⁡α+f=88.3+40=128 NF = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}; W=128×30=3.85 kJW = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ} (=2.65+1.2= 2.65 + 1.2).

9. Izada vertical: F=mg=294 NF = mg = 294\,\mathrm{N}, W=2.65 kJW = 2.65\,\mathrm{kJ}. La rampa compra una fuerza menor (128128 frente a 294 N294\,\mathrm{N}) al precio de más trabajo: el peaje de 1.2 kJ1.2\,\mathrm{kJ} del rozamiento.

10. Δt=9.0/0.50=18 s\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}; P=2649/18≈147 WP = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}.

11. P=Fv=294×0.50=147 WP = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W} — lo mismo. Eléctrica: 147/0.60≈245 W147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}.

12. 1000×0.24=240 m1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m} y 8000×0.030=240 m8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}: la misma cima.

13. F=mg×pendienteF = mg \times \text{pendiente}: pista, 3500×9.81×0.24≈8.2 kN3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}; carretera, ≈1.0 kN\approx 1.0\,\mathrm{kN}.

14. 8240×1000≈8.24 MJ8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} y 1030×8000≈8.24 MJ1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} — los dos valen mgh=3500×9.81×240mgh = 3500 \times 9.81 \times 240.

15. Resistencia a la rodadura: 400×1000=0.40 MJ400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ} frente a 400×8000=3.2 MJ400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}: la comodidad de la carretera suave cuesta 2.8 MJ2.8\,\mathrm{MJ} de rozamiento adicional.

16. v=10 m/sv = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Carretera: (1030+400)×10=14.3 kW≈19 CV(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{CV}; pista: (8240+400)×10=86.4 kW≈117 CV(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{CV} — fuera del alcance de una furgoneta cargada. Las carreteras zigzaguean para que motores (y neumáticos) modestos puedan subir: el mismo trabajo, repartido en fino.

17. Por caja: 880+2649=3.53 kJ880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}; para 6060 cajas, 60×3529≈212 kJ60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}.

18. Escaleras: 20×70×9.81×9.0≈124 kJ20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}. Total del día ≈336 kJ=0.34 MJ\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}.

19. P=3.36×105/28800≈12 WP = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}. El hervidor: 3.36×105/2000=168 s3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s} — menos de tres minutos para el trabajo de toda la jornada.

20. El julio paga la fuerza entregada a lo largo de un movimiento — y no paga nada por la pared empujada ni por la caja sostenida, por agotadoras que sean (los músculos queman energía química aunque el trabajo mecánico sea nulo). Como la potencia humana es de unas pocas decenas de vatios, los mudanceros dejan que las máquinas remodelen la fuerza — cabrestante, rampa, zigzag — mientras la factura mghmgh no cambia nunca.

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