Física de secundaria · Grades 10–12

17El trabajo de una fuerza

Empuja un armario de un lado a otro de la habitación y habrás trabajado; empuja contra una pared toda la tarde y, diga lo que diga tu musculatura, la física cuenta cero. El trabajo es lo que una fuerza entrega a lo largo de un movimiento — energía en tránsito (Capítulo 9), pagada en julios. Este capítulo pone precio a las fuerzas del Capítulo 16 — tirones en ángulo, peso, rozamiento — y cronometra el ritmo del pago: la potencia.

17.1 El trabajo de una fuerza constante

Definición 17.1 (Trabajo de una fuerza constante)

Una fuerza constante $\vect F$ aplicada a un objeto que se desplaza a lo largo de un segmento recto de $A$ a $B$ realiza el trabajo

W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

donde $F$ es el módulo de la fuerza (en $\mathrm{N}$ ), $AB$ la longitud del desplazamiento (en $\mathrm{m}$ ) y $\theta$ el ángulo entre $\vect F$ y $\vect{AB}$ . El trabajo se mide en julios ( $\mathrm{J}$ ): un julio es el trabajo de una fuerza de un newton a lo largo de un metro en su propia dirección.

Observación 17.2

$F \times AB \times \cos\theta$ es exactamente el producto escalar $\vect F \cdot \vect{AB}$ del volumen de matemáticas de este año. Solo la componente $F\cos\theta$ a lo largo del movimiento se gana algo.

Solo trabaja la proyección F de la fuerza sobre el desplazamiento: W_AB( F) = F × AB ×. — Solo trabaja la proyección $F\cos\theta$ de la fuerza sobre el desplazamiento: $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$ .

Ejemplo 17.3 (Maleta con correa)

Un viajero arrastra una maleta $300\,\mathrm{m}$ por una terminal, tirando de la correa con $F = 40\,\mathrm{N}$ a $\theta = 50{}^{\circ}$ del suelo: $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$ . Tirando en horizontal ( $\theta = 0$ ) esa misma fuerza entregaría $12\,\mathrm{kJ}$ : un tercio del tirón no levanta nada.

Definición 17.4 (Trabajo motor, resistente y nulo)

El signo de $\cos\theta$ clasifica toda fuerza en tres regímenes:

$\theta < 90{}^{\circ}$ : $W > 0$ , el trabajo es motor — la fuerza alimenta de energía el movimiento;
$\theta = 90{}^{\circ}$ : $W = 0$ , la fuerza no trabaja en absoluto, por grande que sea;
$\theta > 90{}^{\circ}$ : $W < 0$ , el trabajo es resistente — la fuerza drena energía. El caso puro es un freno a $180{}^{\circ}$ : $800\,\mathrm{N}$ a lo largo de $45\,\mathrm{m}$ le quitan a un coche $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ , que van a parar a unos discos calientes.

Los tres regímenes — motor, nulo y resistente — según el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (flecha roja).

17.2 El trabajo del peso

Proposición 17.5 (Trabajo del peso)

Cuando un objeto de masa $m$ va de $A$ (altitud $z_A$ ) a $B$ (altitud $z_B$ ) por cualquier camino formado por segmentos rectos, su peso $\vect P$ realiza el trabajo

W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

donde $h = \abs{z_A - z_B}$ es el desnivel: $+mgh$ al bajar y $-mgh$ al subir — solo cuenta el desnivel, no la ruta.

Demostración. Sobre un segmento recto $AB$ , el peso (de módulo $mg$ , dirigido verticalmente hacia abajo) forma un ángulo $\theta$ con $\vect{AB}$ , y $AB\cos\theta$ es precisamente la proyección del desplazamiento sobre la vertical descendente: $z_A - z_B$ . Por tanto $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$ . A lo largo de una cadena de segmentos los trabajos se suman y los desniveles se telescopan: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$ . ∎

Proposición 17.6 (Cualquier camino)

La misma fórmula vale a lo largo de cualquier camino curvo de $A$ a $B$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 17.7

Es verosímil — una curva se parece tanto como se quiera a una línea quebrada de muchos segmentos cortos —, pero hacer honrado ese “tanto como se quiera” es cálculo infinitesimal, y se hace en el Capítulo 29.

Recto (azul) o serpenteante (verde), todo camino de A a B baja el mismo h: el peso realiza +mgh en los dos. — Recto (azul) o serpenteante (verde), todo camino de $A$ a $B$ baja el mismo $h$ : el peso realiza $+mgh$ en los dos.

Ejemplo 17.8 (Excursionista)

Un excursionista de $78\,\mathrm{kg}$ (mochila incluida) sube $450\,\mathrm{m}$ , por el sendero que sea: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}$ , y exactamente $+344\,\mathrm{kJ}$ a la bajada, con los rodeos que sean.

17.3 El trabajo del rozamiento

Proposición 17.9 (Trabajo del rozamiento de deslizamiento)

Una fuerza de rozamiento de módulo constante $f$ , opuesta al movimiento en todo instante, realiza el trabajo $W = -fL$ a lo largo de un camino de longitud total $L$ : siempre resistente y proporcional a la longitud del camino recorrido — no al desplazamiento.

Demostración. En cada trocito recto la fuerza forma $180{}^{\circ}$ con el movimiento y aporta $-f \times (\text{su longitud})$ ; los trocitos suman $-fL$ . Un camino curvo se trocea igual, con el paso al límite admitido como en el caso del peso (Observación 17.7). ∎

Observación 17.10 (Rozamiento frente a peso: la gran divisoria)

El trabajo del peso se olvida del camino; el del rozamiento es un peaje por metro. En un viaje de ida y vuelta el peso da cero neto — lo que cobra en la subida lo devuelve en la bajada —, mientras que el rozamiento cobra $-fL$ en cada tramo y no devuelve nada: el trabajo del peso se puede almacenar y recuperar (energía potencial, Capítulo 18) y el del rozamiento se pierde como calor.

Ejemplo 17.11 (Ida y vuelta)

Una caja desliza $5.0\,\mathrm{m}$ por un suelo y $5.0\,\mathrm{m}$ de vuelta, contra $f = 60\,\mathrm{N}$ : el rozamiento realiza $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$ aunque la caja acabe donde empezó. El peso y la fuerza normal, perpendiculares al movimiento: cero en todo momento.

Observación 17.12 (¿Y un muelle?)

Un muelle tira más cuanto más estirado está: su fuerza no es constante y la Definición 17.1 no se le aplica. Su trabajo exige cortar el estiramiento en pasos infinitesimales y sumar — cálculo infinitesimal, servido en el Capítulo 29.

17.4 La potencia

Definición 17.13 (Potencia)

La potencia de una fuerza es el ritmo al que trabaja, $P = W/\Delta t$ , en vatios ( $\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$ ) — el mismo vatio del Capítulo 12. Una unidad anterior al SI sobrevive en las placas de los motores: el caballo de vapor, $1\,\mathrm{CV} = 736\,\mathrm{W}$ .

Proposición 17.14 (Potencia a velocidad constante)

Si el objeto se mueve con rapidez constante $v$ , una fuerza constante $\vect F$ que forme un ángulo $\theta$ con el movimiento entrega la potencia $P = F v \cos\theta$ — en particular, $P = Fv$ para una fuerza en la dirección del movimiento.

Demostración. En un tiempo $\Delta t$ el objeto recorre $d = v\,\Delta t$ , de modo que $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$ ; basta dividir entre $\Delta t$ . ∎

Ejemplo 17.15 (Grúa)

Una grúa iza un palé de $600\,\mathrm{kg}$ a $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes: la fuerza del cable iguala al peso, $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , luego $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{CV}$ — un tiro de siete caballos dentro de una caja de acero.

Método 17.16 (Subir con menos fuerza: el zigzag)

Para subir una carga una altura $h$ con una fuerza limitada:

La factura está fijada: por la Proposición 17.5, cualquier ruta hasta arriba cuesta el trabajo $mgh$ .
Estira el camino: sobre una rampa de longitud $L$ , la fuerza necesaria (a velocidad constante y sin contar el rozamiento) es $F = mgh/L$ — el doble de longitud, la mitad de fuerza.
Paga el recargo: el rozamiento cobra por metro (Proposición 17.9) y añade $fL$ .

Las carreteras de montaña zigzaguean por el paso 2: la misma altura, menos fuerza, el mismo trabajo.

Subir 1200\, kg una altura h = 300\, m: el producto F × L = mgh = 3.53\, MJ está fijado, así que la carretera cambia longitud por fuerza (véase el ). — Subir $1200\,\mathrm{kg}$ una altura $h = 300\,\mathrm{m}$ : el producto $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ está fijado, así que la carretera cambia longitud por fuerza (véase el Ejercicio 17.12).

17.5 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Una fuerza constante $F = 40\,\mathrm{N}$ actúa a lo largo de un desplazamiento recto de $50\,\mathrm{m}$ : calcula su trabajo para $\theta = 0{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ y $120{}^{\circ}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$ : $+2000\,\mathrm{J}$ ; $+1000\,\mathrm{J}$ ; $0$ ; $-1000\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 17.2 ★

Una caja de herramientas de $12\,\mathrm{kg}$ se baja $2.5\,\mathrm{m}$ desde una furgoneta y, más tarde, se vuelve a subir. ¿Trabajo de su peso en cada caso?

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$ : al bajarla, $+294\,\mathrm{J}$ (el peso acompaña el descenso); al subirla, $-294\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 17.3 ★

¿Motor, resistente o nulo? (a) el peso de una manzana que cae; (b) el peso de una pelota que sube; (c) la fuerza normal sobre una caja que desliza; (d) el rozamiento sobre una bicicleta que frena; (e) la tensión de la cuerda sobre la masa de un péndulo que oscila.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

(a) motor; (b) resistente; (c) nulo (perpendicular); (d) resistente; (e) nulo — la tensión de la cuerda se mantiene perpendicular al movimiento de la masa.

Ejercicio 17.4 ★

Una grúa sube $600\,\mathrm{kg}$ una altura de $25\,\mathrm{m}$ a velocidad constante. ¿Trabajo de la fuerza que iza y del peso? ¿Cuánto suman, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

A velocidad constante, la fuerza que iza vale $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , luego $W_{\text{lift}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ y $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$ . Suman cero: a velocidad constante las fuerzas se equilibran (Capítulo 16), así que sus trabajos se cancelan.

Ejercicio 17.5 ★

El motor de una escalera mecánica realiza $90\,\mathrm{kJ}$ de trabajo cada minuto. ¿Su potencia en vatios? ¿Y en caballos de vapor?

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{CV}$ .

Ejercicio 17.6 ★★

Un trineo es remolcado $200\,\mathrm{m}$ por una cuerda de tensión $120\,\mathrm{N}$ a $30{}^{\circ}$ por encima de la nieve; el rozamiento vale $45\,\mathrm{N}$ . ¿Trabajo de cada una de las cuatro fuerzas (cuerda, rozamiento, peso y normal) y total?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

Cuerda: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}$ ; rozamiento: $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$ ; peso y fuerza normal, perpendiculares: $0$ . Total $+11.8\,\mathrm{kJ}$ : el trineo gana velocidad.

Ejercicio 17.7 ★★

Un ciclista rueda a $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes contra una resistencia total de $18\,\mathrm{N}$ . ¿Potencia entregada? ¿Trabajo realizado en una hora?

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$ . En una hora, $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (o, lo que es lo mismo, $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$ ).

Ejercicio 17.8 ★★

Un esquiador de $65\,\mathrm{kg}$ desciende $120\,\mathrm{m}$ de desnivel, por una pendiente fuerte de $800\,\mathrm{m}$ o por una pista suave de $1500\,\mathrm{m}$ ; el rozamiento sobre los esquís vale $30\,\mathrm{N}$ en las dos. ¿Trabajo del peso y del rozamiento en cada ruta? ¿Qué trabajo depende de la ruta?

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

Peso, en las dos rutas: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (solo cuenta el desnivel). Rozamiento: $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ en la pendiente y $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ en la pista. Solo al rozamiento le importa la ruta.

Ejercicio 17.9 ★★

Una caja de $20\,\mathrm{kg}$ se empuja $4.0\,\mathrm{m}$ rampa arriba, con una inclinación de $25{}^{\circ}$ , a velocidad constante y contra $30\,\mathrm{N}$ de rozamiento. Calcula los trabajos del peso y del rozamiento y, a partir de la velocidad constante, el trabajo y el módulo del empujón, paralelo a la rampa.

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

Desnivel $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$ : $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$ ; $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$ . A velocidad constante, el trabajo total es nulo, así que $W_{\text{push}} = +452\,\mathrm{J}$ y $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$ .

Ejercicio 17.10 ★★

Un coche circula a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ con su motor entregando $50\,\mathrm{kW}$ a las ruedas. ¿Contra qué fuerza resistente total pelea?

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a velocidad constante, $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$ .

Ejercicio 17.11 ★★

Un caballo de sirga remolca una barcaza a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , con la cuerda de tensión $800\,\mathrm{N}$ formando $20{}^{\circ}$ con el camino de sirga. Calcula la potencia del caballo, en vatios y en caballos de vapor. Coméntalo.

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}$ ; en caballos de vapor, $752/736 \approx 1.02$ — casi exactamente lo que sostiene un caballo fuerte, que es la comparación sobre la que Watt construyó su unidad.

Ejercicio 17.12 ★★★

Un coche de $1200\,\mathrm{kg}$ sube $h = 300\,\mathrm{m}$ hasta un puerto, por una pista recta del $20\,\%$ de pendiente o por una carretera en zigzag del $6\,\%$ (pendiente $= \sin\alpha$ ). Despreciando el rozamiento y a velocidad constante, calcula para cada ruta la longitud, la fuerza necesaria a lo largo de la pendiente y su trabajo. Concluye en una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

Longitudes $L = h/\text{pendiente}$ : $1500\,\mathrm{m}$ y $5000\,\mathrm{m}$ . Fuerzas $F = mg \times \text{pendiente}$ : $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ y $0.71\,\mathrm{kN}$ . Trabajos $FL$ : $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ y $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — los dos valen $mgh$ : la carretera cambia fuerza por longitud, nunca trabajo.

Ejercicio 17.13 ★★★

Un cabrestante sube $250\,\mathrm{kg}$ de tejas $15\,\mathrm{m}$ por un andamio a $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constantes. Calcula el trabajo de la fuerza del cable, la duración, la potencia mecánica (dos veces: como $W/\Delta t$ y como $Fv$ ) y la potencia eléctrica consumida con un rendimiento del motor del $70\,\%$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.13.

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ; $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$ ; $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ ( $Fv$ coincide); eléctrica: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$ .

Ejercicio 17.14 ★★★

Un armario se desliza contra $f = 140\,\mathrm{N}$ de rozamiento de una esquina de una habitación a la opuesta: recto por la diagonal de $6.0\,\mathrm{m}$ , o bien $3.6\,\mathrm{m}$ y después $4.8\,\mathrm{m}$ pegado a las paredes. ¿Trabajo del rozamiento en cada ruta, y después en una ida y vuelta por la diagonal? ¿Qué hace el peso en ese viaje de ida y vuelta, y qué diferencia profunda entre las dos fuerzas queda al descubierto?

Solución

Solución de Ejercicio 17.14.

Diagonal: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$ ; por las paredes: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$ ; ida y vuelta: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$ . El peso realiza un trabajo nulo en la ida y vuelta (no hay desnivel neto). El trabajo del rozamiento depende del camino y no devuelve nunca nada; el del peso depende solo de los extremos (Observación 17.10).

Ejercicio 17.15 ★★★

Un ciclista ( $80\,\mathrm{kg}$ con la bicicleta) sube un puerto: $600\,\mathrm{m}$ de desnivel a lo largo de $12\,\mathrm{km}$ de carretera, a $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constantes, contra $14\,\mathrm{N}$ de resistencia del aire y de rodadura. Calcula el trabajo aportado contra la gravedad, contra el rozamiento y en total; la duración de la subida; y la potencia media, en vatios y en caballos de vapor.

Solución

Solución de Ejercicio 17.15.

Gravedad: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$ ; rozamiento: $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$ ; total $639\,\mathrm{kJ}$ . $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , luego $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ y $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{CV}$ — un buen aficionado, un tercio de caballo.

17.6 Problema: la jornada del mudancero

Problema 17.1

Problema de fin de semana — la física paga por julio: un día de arrastrar, izar y tomar curvas de herradura, que termina con el humillante descubrimiento de lo que opina un hervidor del trabajo honrado

Una cuadrilla de mudanzas vacía un almacén, sube la carga a un piso de un tercero y después conduce la furgoneta hasta un pueblo en lo alto de una colina. Cada tarea se tasa en julios; el hervidor de la cocina auditará la jornada. Cajas: $30\,\mathrm{kg}$ .

Parte I — Por el suelo del almacén. Una caja se empuja con una fuerza horizontal $F = 110\,\mathrm{N}$ a lo largo de $d = 8.0\,\mathrm{m}$ ; el rozamiento de deslizamiento vale $f = 95\,\mathrm{N}$ .

Calcula el trabajo del empujón.
Calcula el trabajo del rozamiento, el del peso y el de la fuerza normal (justifica los ceros).
¿Trabajo total sobre la caja y significado de su signo (la caja partía del reposo)? ¿Qué empujón mantendría constante la velocidad (Capítulo 16)?
A la esquina opuesta se puede llegar por la diagonal de $10.0\,\mathrm{m}$ o pegado a dos paredes ( $6.0\,\mathrm{m}$ y después $8.0\,\mathrm{m}$ ). ¿Trabajo del rozamiento en cada ruta?
En una ida y vuelta por la diagonal, calcula el trabajo del rozamiento y el del peso. ¿Qué fuerza devuelve el dinero?

Parte II — Hasta el tercer piso ( $h = 9.0\,\mathrm{m}$ ).

Calcula el trabajo del peso de una caja subida al piso. ¿Qué trabajo tiene que aportar como mínimo la cuadrilla?
Si la sube por las escaleras un mudancero de $70\,\mathrm{kg}$ , la gravedad cobra por el mudancero y por la caja: ¿trabajo total contra la gravedad y fracción realmente invertida en la caja?
Una rampa para carretilla mide $30\,\mathrm{m}$ para el mismo desnivel de $9.0\,\mathrm{m}$ , con $40\,\mathrm{N}$ de rozamiento de rodadura. A velocidad constante, calcula el empujón necesario a lo largo de la rampa y su trabajo.
Compara la rampa con una izada vertical directa: fuerza necesaria y trabajo realizado. ¿Qué compra la rampa, y a qué precio?
Un aparejo de cuerda y polea sube la caja a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Duración y potencia mecánica?
Recupera esa potencia como $P = Fv$ . El motor del aparejo tiene un rendimiento del $60\,\%$ : ¿potencia eléctrica consumida?

Parte III — La carretera en zigzag. La furgoneta cargada ( $3500\,\mathrm{kg}$ ) tiene que llegar a un pueblo $240\,\mathrm{m}$ por encima del valle: por una pista recta de $1.0\,\mathrm{km}$ al $24\,\%$ de pendiente, o por una carretera asfaltada de $8.0\,\mathrm{km}$ al $3.0\,\%$ (pendiente $= \sin\alpha$ ).

Comprueba que las dos rutas suben los mismos $240\,\mathrm{m}$ .
A velocidad constante y despreciando el rozamiento, calcula la fuerza motriz necesaria en cada ruta.
¿Trabajo de la fuerza motriz en cada ruta? Compáralo con $mgh$ .
La resistencia a la rodadura vale $400\,\mathrm{N}$ en las dos: calcula el trabajo adicional de cada ruta. ¿Qué cuesta la comodidad del zigzag?
A $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , calcula la potencia del motor necesaria en cada ruta (en $\mathrm{kW}$ y en $\mathrm{CV}$ ). ¿Por qué zigzaguean las carreteras?

Parte IV — El libro de cuentas del día.

La cuadrilla arrastra $60$ cajas por el suelo (con el empujón de la pregunta 1) e iza las $60$ los $9.0\,\mathrm{m}$ (pregunta 6). ¿Trabajo mecánico total entregado a las cajas?
Añade el propio cuerpo del que sube por la escalera: $20$ subidas con $70\,\mathrm{kg}$ (las devoluciones de la bajada van a unas rodillas calientes, no al libro de cuentas). ¿Total del día?
La cuadrilla trabajó $8.0$ horas: ¿potencia mecánica media? ¿Cuánto tardaría un hervidor de $2.0\,\mathrm{kW}$ en gastar esa misma energía?
Final: di en dos frases qué paga el julio — y qué no (la pared empujada toda la tarde, la caja sostenida inmóvil) — y por qué los mudanceros tienen cabrestantes, rampas y carreteras en zigzag en lugar de músculos más grandes.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$ .

2. Rozamiento: $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$ . El peso y la fuerza normal son perpendiculares al movimiento: cero cada uno.

3. Total $+120\,\mathrm{J}$ : trabajo motor neto, la caja acelera. Un empujón de $95\,\mathrm{N}$ equilibraría el rozamiento — fuerza neta nula, velocidad constante y trabajo total nulo.

4. Diagonal: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$ ; por las paredes: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$ : el rozamiento cobra por metro.

5. Rozamiento: $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$ ; peso: $0$ (no hay desnivel neto). Solo el peso devuelve.

6. $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$ ; la cuadrilla tiene que aportar al menos $+2.65\,\mathrm{kJ}$ .

7. $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$ ; a la caja le corresponde $2.65/8.83 \approx 30\,\%$ — cargar es, sobre todo, transportarse a uno mismo.

8. $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$ : $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$ ; $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ( $= 2.65 + 1.2$ ).

9. Izada vertical: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$ , $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$ . La rampa compra una fuerza menor ( $128$ frente a $294\,\mathrm{N}$ ) al precio de más trabajo: el peaje de $1.2\,\mathrm{kJ}$ del rozamiento.

10. $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$ ; $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$ .

11. $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — lo mismo. Eléctrica: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$ .

12. $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ y $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$ : la misma cima.

13. $F = mg \times \text{pendiente}$ : pista, $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$ ; carretera, $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$ .

14. $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ y $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — los dos valen $mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$ .

15. Resistencia a la rodadura: $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ frente a $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$ : la comodidad de la carretera suave cuesta $2.8\,\mathrm{MJ}$ de rozamiento adicional.

16. $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Carretera: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{CV}$ ; pista: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{CV}$ — fuera del alcance de una furgoneta cargada. Las carreteras zigzaguean para que motores (y neumáticos) modestos puedan subir: el mismo trabajo, repartido en fino.

17. Por caja: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$ ; para $60$ cajas, $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$ .

18. Escaleras: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}$ . Total del día $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$ .

19. $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$ . El hervidor: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — menos de tres minutos para el trabajo de toda la jornada.

20. El julio paga la fuerza entregada a lo largo de un movimiento — y no paga nada por la pared empujada ni por la caja sostenida, por agotadoras que sean (los músculos queman energía química aunque el trabajo mecánico sea nulo). Como la potencia humana es de unas pocas decenas de vatios, los mudanceros dejan que las máquinas remodelen la fuerza — cabrestante, rampa, zigzag — mientras la factura $mgh$ no cambia nunca.