Physics · Libro 2 · Grades 10–12

Física de secundaria

Física de secundaria · Grades 10–12

14Campos eléctricos y gravitatorios

¿Cómo tira la Tierra de una manzana a la que nunca toca? El propio Newton llamó a la acción a distancia “un absurdo tan grande” que se negó a defenderla. La respuesta moderna: una masa, o una carga, modifica el espacio que la rodea — crea un campo — y lo que se coloque allí responde al campo en su propia posición. Vamos a construir los dos grandes ejemplos uno al lado del otro, hasta que la analogía se convierta en una identidad de forma.

14.1 De la acción a distancia al campo

Definición 14.1 (Campo)

Un campo asigna un vector a cada punto del espacio. Una fuente (una carga, una masa) crea su campo en todo su alrededor, haya o no allí algo que lo sienta; un objeto de prueba nota entonces una fuerza determinada únicamente por el campo en su propia posición. Esta imagen en dos pasos sustituye a la acción a distancia.

Observación 14.2

El campo no es un truco contable: transporta energía, y los cambios de la fuente viajan hacia fuera a través de él con velocidad finita — la propia luz es un campo que viaja así (Capítulo 22). Aquí estudiamos campos que no cambian con el tiempo.

14.2 El campo eléctrico

Definición 14.3 (Campo eléctrico)

Si una carga de prueba pequeña qq colocada en un punto MM nota una fuerza eléctrica F→\vect F, el campo eléctrico en MM es

E→=F→q(en N/C, que tambieˊn se escribe V/m).\vect E = \frac{\vect F}{q} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, que también se escribe $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

E→\vect E depende solo de las fuentes y de MM, no de la carga de prueba: duplicar qq duplica F→\vect F y deja el cociente igual.

Proposición 14.4 (Fuerza sobre una carga)

Una carga qq colocada donde el campo vale E→\vect E nota la fuerza F→=qE→\vect F = q \vect E: en el sentido de E→\vect E si q>0q > 0 y en sentido contrario si q<0q < 0, de módulo F=∣q∣ EF = \abs{q}\,E.

Demostración. Basta despejar en la definición; la regla de los signos es el álgebra de un múltiplo negativo. ∎

Ejemplo 14.5 (Leer un campo)

Una carga de prueba q=2.0×10−8 Cq = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} situada en MM nota una fuerza de 6.0×10−4 N6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} que apunta al este. El campo en MM vale E=6.0×10−4/2.0×10−8=3.0×104 N/CE = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, hacia el este; una carga q′=−1.0×10−8 Cq' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} colocada en ese mismo punto nota F=1.0×10−8×3.0×104=3.0×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} — hacia el oeste.

Proposición 14.6 (Campo de una carga puntual)

Una carga puntual QQ crea, a una distancia dd, un campo dirigido según la recta que une la carga con el punto — alejándose de QQ si Q>0Q > 0 y hacia ella si Q<0Q < 0 — de módulo

E=k ∣Q∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Demostración. La ley de Coulomb (Capítulo 13) da la fuerza sobre una carga de prueba qq situada a la distancia dd: de módulo k∣qQ∣/d2k \abs{qQ} / d^2, según la recta que las une y repulsiva si los signos son iguales. Basta dividir entre qq y aplicar la Proposición 14.4. ∎

Ejemplo 14.7 (Una esfera cargada)

Una esfera de Van de Graaff lleva Q=5.0×10−7 CQ = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C} (una esfera pequeña cargada se comporta como una carga puntual en su centro). A d=0.50 md = 0.50\,\mathrm{m}:

E=8.99×109×5.0×10−7/0.502≈1.8×104 N/C,E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},

dirigido radialmente hacia fuera de la esfera. A 1.0 m1.0\,\mathrm{m} ha bajado a la cuarta parte: el 1/d21/d^2 de la fuerza sobrevive en el campo.

Definición 14.8 (Líneas de campo)

Una línea de campo es una curva tangente en todos sus puntos al campo, con una flecha que da el sentido del campo. Tres reglas:

  • salen de las cargas positivas y llegan a las negativas;
  • donde las líneas se apiñan el campo es intenso; donde se separan, débil;
  • dos líneas no se cortan nunca: el campo tiene una sola dirección en cada punto.
Líneas de campo de una carga puntual: radiales, saliendo del + y entrando en el -; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en 1/d2 del campo. Líneas de campo de una carga puntual: radiales, saliendo del + y entrando en el -; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en 1/d2 del campo.
Líneas de campo de una carga puntual: radiales, saliendo del ++ y entrando en el −-; el apiñamiento cerca de la carga dibuja el crecimiento en 1/d21/d^2 del campo.

14.3 El campo uniforme de un condensador

Definición 14.9 (Condensador plano)

Dos placas metálicas planas y paralelas, enfrentadas, próximas y con cargas opuestas, forman un condensador. Entre las placas el campo es uniforme: el mismo módulo y la misma dirección en todos los puntos — perpendicular a las placas y de la placa positiva a la negativa.

Proposición 14.10 (Campo entre las placas)

Si la tensión entre las placas (Capítulo 12) es UU y su separación es dd, el campo entre ellas tiene módulo

E=Ud(en V/m).E = \frac{U}{d} \qquad \text{(en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 14.11

La uniformidad y E=U/dE = U/d se deducen honradamente en el volumen del primer año; la fórmula explica la unidad V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}. Las separaciones pequeñas dan campos intensos: 100 V100\,\mathrm{V} en un milímetro ya son 105 V/m10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}.

Ejemplo 14.12 (Desviar un haz de electrones)

En un osciloscopio, el haz pasa entre unas placas con U=100 VU = 100\,\mathrm{V} y d=5.0 mmd = 5.0\,\mathrm{mm}: E=100/5.0×10−3=2.0×104 V/mE = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}, y cada electrón nota F=1.60×10−19×2.0×104=3.2×10−15 NF = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N} hacia la placa positiva — 4×10144 \times 10^{14} veces su peso de 8.9×10−30 N8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}, así que el haz se desvía de forma visible (la trayectoria curva es asunto del Capítulo 25).

El campo uniforme de un condensador: líneas paralelas e igualmente espaciadas, de la placa + a la placa -, con E = U/d; una carga positiva es empujada en el sentido del campo, y una negativa, en contra.
El campo uniforme de un condensador: líneas paralelas e igualmente espaciadas, de la placa ++ a la placa −-, con E=U/dE = U/d; una carga positiva es empujada en el sentido del campo, y una negativa, en contra.

14.4 El campo gravitatorio

Definición 14.13 (Campo gravitatorio)

Si una masa de prueba mm colocada en un punto nota una fuerza gravitatoria (un peso) P→\vect P, el campo gravitatorio en ese punto es

g→=P→m(en N/kg),\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},

y recíprocamente P→=mg→\vect P = m \vect g. Un capítulo anterior introdujo el número gg; g→\vect g le añade la dirección en la que empieza a moverse una piedra que se suelta.

Proposición 14.14 (Campo de la Tierra)

A una distancia dd del centro de la Tierra (de masa MM), el campo gravitatorio apunta al centro y tiene módulo

g=G Md2,G=6.67×10−11 N m2/kg2.g = G\,\frac{M}{d^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Demostración. La gravitación universal (Capítulo 4) da la fuerza sobre una masa de prueba mm: de módulo GMm/d2G M m / d^2 y dirigida al centro; basta dividir entre mm. En la superficie, d=Rd = R y esto es la g=GM/R2≈9.81 N/kgg = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} del capítulo anterior. ∎

Ejemplo 14.15 (El campo donde vive la Luna)

A la distancia de la Luna, d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}:

g=6.67×10−11×5.97×1024/(3.84×108)2≈2.7×10−3 N/kg.g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

El campo de la Tierra no se acaba nunca — solo se adelgaza como 1/d21/d^2; es este campo el que mantiene a la Luna en su órbita.

Observación 14.16 (Uniforme cerca de la superficie)

A lo largo de un laboratorio, o incluso de una montaña, dd apenas cambia frente a R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, de modo que g→\vect g es uniforme con gran precisión: líneas verticales y 9.81 N/kg9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} constantes — el campo de la Tierra se parece al del condensador, igual que la Tierra redonda parece plana desde un jardín.

El campo gravitatorio de la Tierra: radial, apuntando al centro y de módulo GM/d2 — el retrato exacto del campo de una carga puntual negativa.
El campo gravitatorio de la Tierra: radial, apuntando al centro y de módulo GM/d2GM/d^2 — el retrato exacto del campo de una carga puntual negativa.

14.5 Una idea, dos fuerzas

Los dos campos de este capítulo son las mismas matemáticas con dos disfraces:

eléctricogravitatorio
fuentecarga QQmasa MM
campoE→=F→/q\vect E = \vect F / qg→=P→/m\vect g = \vect P / m
unidadN/C\mathrm{N}/\mathrm{C} = V/m\mathrm{V}/\mathrm{m}N/kg\mathrm{N}/\mathrm{kg}
fuente puntualE=k∣Q∣/d2E = k \abs{Q} / d^2g=GM/d2g = G M / d^2
constantek=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}
fuerza sobre la pruebaF→=qE→\vect F = q \vect EP→=mg→\vect P = m \vect g
líneas de camposalen del ++, entran en el −-siempre hacia la masa

Cada fórmula de la izquierda se convierte en la de la derecha con el diccionario q↔mq \leftrightarrow m, E→↔g→\vect E \leftrightarrow \vect g, k↔Gk \leftrightarrow G.

Observación 14.17 (Dónde se rompe la analogía)

La carga viene en dos signos; la masa, en uno solo. Por eso los campos eléctricos se pueden cancelar: las cargas reordenadas de una caja metálica borran dentro cualquier campo exterior (una jaula de Faraday — por eso un ascensor mata la cobertura del móvil), y la materia en bloque, con ++ y −- equilibrados, es eléctricamente muda. La gravedad no se puede apantallar ni neutralizar: cada kilogramo suma su tirón — y por eso la fuerza que es 103910^{39} veces más débil (Ejercicio 14.10) gobierna el universo a gran escala.

14.6 Ejercicios

Ejercicio 14.1 ★

Una carga de prueba q=2.0×10−6 Cq = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} situada en un punto MM nota una fuerza de 5.0×10−3 N5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N} que apunta al norte. Da el campo en MM (módulo y dirección) y después la fuerza sobre q′=−4.0×10−6 Cq' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} colocada en MM.

Solución

Solución de Ejercicio 14.1.

E=5.0×10−3/2.0×10−6=2.5×103 N/CE = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, hacia el norte. Sobre q′q': F=4.0×10−6×2.5×103=1.0×10−2 NF = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}, hacia el sur (q′<0q' < 0).

Ejercicio 14.2 ★

Una carga puntual Q=5.0 nCQ = 5.0\,\mathrm{nC} está en OO.

  1. Calcula el campo a d=30 cmd = 30\,\mathrm{cm}: módulo y dirección.
  2. ¿A qué distancia es el campo la mitad de intenso?
Solución

Solución de Ejercicio 14.2.

1. E=8.99×109×5.0×10−9/0.302≈5.0×102 N/CE = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2 \approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, alejándose de OO (Q>0Q > 0).

2. Para que k∣Q∣/d2k\abs{Q}/d^2 se reduzca a la mitad hace falta duplicar d2d^2: d′=0.302≈0.42 md' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}.

Ejercicio 14.3 ★

Un condensador tiene U=600 VU = 600\,\mathrm{V} entre placas separadas 3.0 mm3.0\,\mathrm{mm}. Calcula el campo y después la fuerza sobre un electrón situado allí (e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}).

Solución

Solución de Ejercicio 14.3.

E=600/3.0×10−3=2.0×105 V/mE = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; F=eE=1.60×10−19×2.0×105=3.2×10−14 NF = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}.

Ejercicio 14.4 ★

En Marte, una sonda de 250 kg250\,\mathrm{kg} pesa 930 N930\,\mathrm{N}. Calcula el campo marciano en la superficie, gMarsg_{\text{Mars}}, y después el peso de un astronauta de 80 kg80\,\mathrm{kg} allí.

Solución

Solución de Ejercicio 14.4.

gMars=P/m=930/250=3.7 N/kgg_{\text{Mars}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}. Astronauta: P=80×3.72≈3.0×102 NP = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N} (unos 780 N780\,\mathrm{N} en la Tierra).

Ejercicio 14.5 ★

Verdadero o falso, con una razón cada vez: (a) dos líneas de campo pueden cortarse donde el campo es intenso; (b) las líneas de campo salen de las cargas negativas y llegan a las positivas; (c) unas líneas de campo apiñadas señalan un campo intenso.

Solución

Solución de Ejercicio 14.5.

(a) Falso: el campo tiene una sola dirección en cada punto, así que las líneas nunca se cortan. (b) Falso: salen del ++ y llegan al −-. (c) Verdadero: el apiñamiento codifica la intensidad.

Ejercicio 14.6 ★★

La Estación Espacial Internacional orbita a una altitud de 420 km420\,\mathrm{km} (R=6.37×106 mR = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, M=5.97×1024 kgM = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}).

  1. Calcula gg en la estación; ¿qué fracción del valor en la superficie es?
  2. Los astronautas flotan. Concilia este hecho con tu respuesta en una frase.
Solución

Solución de Ejercicio 14.6.

1. d=6.37×106+4.2×105=6.79×106 md = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}, luego g=6.67×10−11×5.97×1024/(6.79×106)2≈8.6 N/kgg = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2 \approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} — el 88 %88\,\% del valor en la superficie.

2. Flotan porque la estación y el astronauta caen juntos (caída libre), no porque falte la gravedad.

Ejercicio 14.7 ★★

¿Qué módulo de campo equilibraría el peso de un electrón (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})? Compáralo con los 2.0×104 V/m2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m} del Ejemplo 14.12; concluye sobre el papel de la gravedad en la física del electrón.

Solución

Solución de Ejercicio 14.7.

E=meg/e=9.11×10−31×9.81/1.60×10−19≈5.6×10−11 V/mE = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19} \approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}: unas 4×10144 \times 10^{14} veces más débil que el campo del osciloscopio. La gravedad es completamente despreciable en la física del electrón.

Ejercicio 14.8 ★★

Una mota de polvo de masa 2.0×10−6 kg2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg} flota en reposo entre placas horizontales separadas 2.0 cm2.0\,\mathrm{cm} con U=5.0 kVU = 5.0\,\mathrm{kV} entre ellas.

  1. Calcula el campo y después el módulo de la carga de la mota.
  2. La carga de la mota es positiva: ¿cuál es la placa positiva?
  3. ¿Cuántas cargas elementales lleva la mota?
Solución

Solución de Ejercicio 14.8.

1. E=5.0×103/2.0×10−2=2.5×105 V/mE = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}; en equilibrio qE=mgqE = mg, luego q=2.0×10−6×9.81/2.5×105≈7.8×10−11 Cq = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}.

2. La fuerza sobre la mota positiva tiene que apuntar hacia arriba, así que E→\vect E apunta hacia arriba: la placa positiva es la inferior.

3. n=7.85×10−11/1.60×10−19≈4.9×108n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8} cargas elementales.

Ejercicio 14.9 ★★

Las cargas +Q+Q y +4Q+4Q están a 30 cm30\,\mathrm{cm}. ¿En qué punto del segmento que las une es nulo el campo total? Explica primero por qué el punto tiene que estar entre las cargas y más cerca de la menor.

Solución

Solución de Ejercicio 14.9.

Fuera del segmento, los dos campos apuntan en el mismo sentido; entre las cargas se oponen — y el equilibrio exige que el punto esté más cerca de la fuente más débil, +Q+Q. Con xx la distancia a +Q+Q: kQ/x2=4kQ/(0.30−x)2kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2, luego 0.30−x=2x0.30 - x = 2x y x=0.10 mx = 0.10\,\mathrm{m} desde +Q+Q.

Ejercicio 14.10 ★★

En un átomo de hidrógeno, el protón (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, carga +e+e) y el electrón (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, carga −e-e) están a d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}. Calcula las fuerzas eléctrica y gravitatoria entre ellos, y su cociente.

Solución

Solución de Ejercicio 14.10.

Fe=ke2/d2=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}; Fg=Gmpme/d2=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Cociente Fe/Fg≈2.3×1039F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}.

Ejercicio 14.11 ★★

En un punto MM, una fuente por sí sola crearía un campo de 300 N/C300\,\mathrm{N}/\mathrm{C} hacia el este; una segunda, de 400 N/C400\,\mathrm{N}/\mathrm{C} hacia el norte. Los campos se suman como vectores: da el campo total en MM (módulo y dirección) y después la fuerza sobre q=−2.0×10−6 Cq = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} colocada allí.

Solución

Solución de Ejercicio 14.11.

E=3002+4002=500 N/CE = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, a tan⁡−1(400/300)≈53∘\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ} del este hacia el norte. Sobre q<0q < 0: F=2.0×10−6×500=1.0×10−3 NF = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}, en sentido opuesto al campo — a 53∘53{}^{\circ} del oeste hacia el sur.

Ejercicio 14.12 ★★★

¿A qué altitud ha bajado el campo de la Tierra a la mitad de su valor en la superficie? ¿Y a la altitud h=Rh = R, a qué fracción?

Solución

Solución de Ejercicio 14.12.

De GM/(R+h)2=12 GM/R2GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2 sale R+h=R2R + h = R\sqrt{2}, luego h=(2−1)R≈2.6×106 mh = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m} (unos 2600 km2600\,\mathrm{km}). Con h=Rh = R, d=2Rd = 2R: la cuarta parte del valor en la superficie.

Ejercicio 14.13 ★★★

Hay cargas de 2.0 nC2.0\,\mathrm{nC} en AA y en BB, separadas 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm}. MM está en la mediatriz de [AB][AB], a 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} de su punto medio.

  1. Calcula la distancia AMAM y después el módulo del campo que cada carga crea en MM.
  2. Suma los dos campos como vectores (aprovecha la simetría) y da el campo total en MM, con su módulo y su dirección.
Solución

Solución de Ejercicio 14.13.

1. AM=3.02+4.02=5.0 cmAM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}; cada carga crea E1=8.99×109×2.0×10−9/0.0502≈7.2×103 N/CE_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2 \approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}.

2. Las componentes paralelas a ABAB se cancelan por simetría; cada campo aporta E1×4/5E_1 \times 4/5 a lo largo de la mediatriz, alejándose del segmento: E=2×7.19×103×0.80≈1.2×104 N/CE = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}, dirigido según la mediatriz y alejándose de [AB][AB].

Ejercicio 14.14 ★★★

Explica, usando los dos signos de la carga, cómo las cargas libres de una caja metálica cancelan un campo eléctrico exterior en todos los puntos de su interior — y por qué ninguna disposición de masas puede hacer lo mismo con la gravedad. ¿Qué ingrediente imposible exigiría un escudo antigravedad?

Solución

Solución de Ejercicio 14.14.

Las cargas libres de la caja se mueven bajo el campo exterior: el ++ se acumula en una cara y el −- en la otra, y esas cargas desplazadas crean un campo interior que se opone al exterior. Siguen moviéndose hasta que el campo total del interior es exactamente nulo — y entonces hay equilibrio. La gravedad solo ofrece un signo de fuente: cada masa añade un campo atractivo y ninguna puede oponerse. Un escudo antigravedad necesitaría masa negativa, que no existe.

Ejercicio 14.15 ★★★

Una bolita (m=0.50 gm = 0.50\,\mathrm{g}, q=2.0×10−7 Cq = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}) cuelga de un hilo en un campo uniforme horizontal E=1.0×104 V/mE = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. En equilibrio, el hilo forma un ángulo θ\theta con la vertical.

  1. Enumera las tres fuerzas; explica por qué tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE / (mg).
  2. Calcula θ\theta y después la tensión del hilo.
Solución

Solución de Ejercicio 14.15.

1. El peso mg→m\vect g (hacia abajo), la tensión T→\vect T (según el hilo) y la fuerza eléctrica qE→q\vect E (horizontal). En equilibrio, Tsin⁡θ=qET\sin\theta = qE y Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg; dividiendo, tan⁡θ=qE/(mg)\tan\theta = qE/(mg).

2. tan⁡θ=2.0×10−7×1.0×104/(5.0×10−4×9.81)≈0.41\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} / (5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41, luego θ≈22∘\theta \approx 22{}^{\circ}; T=mg/cos⁡θ≈5.3×10−3 NT = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}.

14.7 Problema: la gota de Millikan

Problema 14.1

Problema de fin de semana — pesar la carga del electrón: una gota de aceite aparcada en el aire entre dos placas revela que la carga viene en escalones indivisibles de 1.60×10−191.60 \times 10^{-19} culombios

En 1909, Robert Millikan pulverizó gotitas de aceite entre las placas horizontales de un condensador. Ajustando la tensión hasta que una gota elegida quedaba inmóvil — con la fuerza eléctrica equilibrando exactamente al peso —, podía pesar su carga. Nuestra gota tiene una masa m=4.90×10−15 kgm = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg} (medida a partir de su lenta caída con el campo apagado; la damos por conocida); las placas están separadas d=8.0 mmd = 8.0\,\mathrm{mm}, con la superior positiva, y la carga de la gota es negativa.

Parte I — El escenario.

  1. Describe el campo entre las placas; ¿qué aporta que sea “uniforme”?
  2. Para U=800 VU = 800\,\mathrm{V}, calcula EE.
  3. ¿En qué sentido va la fuerza eléctrica sobre la gota? ¿Por qué la placa superior tenía que ser la positiva?
  4. Calcula el peso de la gota.
  5. Escribe la condición de equilibrio como una igualdad entre los módulos de dos fuerzas.

Parte II — El equilibrio.

  1. A partir de ella, expresa ∣q∣\abs{q} en función de mm, gg, dd y UU.
  2. La gota queda en reposo con U=800 VU = 800\,\mathrm{V}: calcula ∣q∣\abs{q}.
  3. Divide entre e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. ¿Cuántos electrones en exceso lleva la gota?
  4. Se sube la tensión hasta 900 V900\,\mathrm{V}. ¿En qué sentido apunta ahora la fuerza neta?
  5. Demuestra que la tensión de equilibrio vale U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q}: cuanto mayor es la carga, menor es la tensión.

Parte III — Los escalones. Un destello de radiación puede arrancar electrones de la gota o depositarlos en ella; tras cada cambio, Millikan vuelve a ajustar la tensión para equilibrarla.

  1. Tras un destello, el equilibrio exige U=1200 VU = 1200\,\mathrm{V}. Calcula el nuevo ∣q∣\abs{q}. ¿La gota ha ganado o ha perdido un electrón?
  2. Se encuentran equilibrios sucesivos con U=1200U = 1200, 800800, 600600, 480480 y 400 V400\,\mathrm{V}. Calcula las cinco cargas.
  3. Demuestra que las cinco son múltiplos enteros de una misma cantidad; da su valor.
  4. Entre dos equilibrios consecutivos, ¿cuánto cambia la carga? Interprétalo.
  5. Explica por qué esta gota nunca podrá quedar en reposo con U=700 VU = 700\,\mathrm{V}, por mucha paciencia que se tenga al ajustar.
  6. Millikan repitió esto con cientos de gotas: todas las cargas medidas eran múltiplos enteros del mismo valor. Enuncia la conclusión y nombra la magnitud medida.

Parte IV — Por qué no hay un Millikan gravitatorio.

  1. En el diccionario de este capítulo, ¿qué hace los papeles de qq, EE y qEqE en el equilibrio de la Parte II?
  2. ¿Podría una masa colocada encima sostener la gota en su lugar? Calcula el campo de una esfera de plomo de 1000 kg1000\,\mathrm{kg} situada 1.0 m1.0\,\mathrm{m} por encima de la gota, la fuerza sobre la gota y compárala con su peso.
  3. El equilibrio necesita un tirón hacia arriba capaz de pelearse con la Tierra entera. ¿Por qué puede darlo una placa cargada y no puede darlo ninguna disposición de masas?
  4. La masa de la gota también cambia a escalones (una molécula de aceite: unos 5×10−25 kg5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}). Compara los saltos relativos de mm y de ∣q∣\abs{q} cuando cae un electrón y concluye: ¿por qué ve este equilibrio los átomos de la electricidad y no las moléculas del aceite? El remate: la carga está cuantizada, y su átomo es e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}.
Solución

Solución de Problema 14.1.

1. Uniforme, perpendicular a las placas y dirigido hacia abajo (de la placa superior ++ a la inferior −-); que sea uniforme significa que la fuerza sobre la gota es la misma dondequiera que derive. 2. E=U/d=800/8.0×10−3=1.0×105 V/mE = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}. 3. La carga es negativa, así que la fuerza va en sentido opuesto a E→\vect E: hacia arriba. Solo con la placa ++ arriba apunta E→\vect E hacia abajo y la fuerza eléctrica se pelea con el peso. 4. P=mg=4.90×10−15×9.81≈4.8×10−14 NP = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}. 5. ∣q∣E=mg\abs{q}E = mg. 6. ∣q∣=mg/E=mgd/U\abs{q} = mg/E = mgd/U. 7. ∣q∣=4.81×10−14×8.0×10−3/800≈4.8×10−19 C\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800 \approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 8. n=4.8×10−19/1.60×10−19=3n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3 electrones en exceso. 9. EE crece, así que ∣q∣E>mg\abs{q}E > mg: la fuerza neta apunta hacia arriba. 10. De ∣q∣ U/d=mg\abs{q}\,U/d = mg sale U=mgd/∣q∣U = mgd/\abs{q} — inversamente proporcional a la carga. 11. ∣q∣=mgd/U=3.85×10−16/1200≈3.2×10−19 C=2e\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx 3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e: ha bajado de 3e3e, o sea que la gota ha perdido un electrón. 12. ∣q∣=3.85×10−16/U\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U: 3.2×10−19 C3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 4.8×10−19 C4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 6.4×10−19 C6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, 8.0×10−19 C8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} y 9.6×10−19 C9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 13. Son 2e,3e,4e,5e,6e2e, 3e, 4e, 5e, 6e con e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. 14. Cada escalón cambia ∣q∣\abs{q} en exactamente 1.6×10−19 C1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}: los electrones llegan de uno en uno. 15. Haría falta ∣q∣=3.85×10−16/700≈5.5×10−19 C=3.4 e\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx 5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e — que no es un número entero de electrones, así que ningún destello de radiación puede producirlo. 16. La carga está cuantizada: viene en múltiplos enteros de la carga elemental e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — la magnitud que midió Millikan. 17. q↔mq \leftrightarrow m, E↔gE \leftrightarrow g y ∣q∣E↔mg\abs{q}E \leftrightarrow mg: el propio peso. 18. gsphere=GM/d2=6.67×10−11×1000/1.02=6.7×10−8 N/kgg_{\text{sphere}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 / 1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}; fuerza sobre la gota 4.90×10−15×6.7×10−8≈3.3×10−22 N4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N} — unas 1.5×1081.5 \times 10^{8} veces menor que su peso. Inútil. 19. Como GG es tan pequeña, solo una masa del tamaño de un planeta colocada encima podría rivalizar con el tirón de la Tierra — y ninguna masa repele. La enorme kk y los dos signos de la carga permiten que una placa de sobremesa le gane al planeta en los dos sentidos. 20. Un electrón: Δ∣q∣/∣q∣=e/3e≈33 %\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\,\%; una molécula de aceite: Δm/m=5×10−25/4.90×10−15≈10−10\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}. La escalera de la carga mueve la tensión de equilibrio en cientos de voltios; la escalera de la masa es invisible a cualquier tensión. Por eso este equilibrio resuelve el átomo de la electricidad — e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} — mientras que las moléculas del aceite se difuminan en un continuo.