Mathematics · किताब 2 · Grades 10–12

उच्च माध्यमिक गणित

उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

16समतल में अदिश गुणनफल

अदिश गुणनफल सदिशों के किसी युग्म के साथ एक संख्या जोड़ देता है, और वह संख्या ज्यामिति देख लेती है: वह ठीक लंब दिशाओं के लिए लुप्त होती है, और कोण तथा लंबाइयाँ नाप लेती है। कोज्या नियम, वृत्तों के समीकरण और लंबता की गणनाओं के पीछे यही इंजन है। अंतरिक्ष में यही औज़ार अध्याय 31 का विषय है।

16.1 परिभाषा और पहली गणनाएँ

परिभाषा 16.1 (अदिश गुणनफल)

दो सदिशों u⃗\vec u और v⃗\vec v का अदिश गुणनफल यह संख्या है

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

जहाँ ∥u⃗∥\norm{\vec u} u⃗\vec u की लंबाई (परिमाण) दर्शाता है।

प्रमेय 16.2 (अदिश गुणनफल के चार चेहरे)

मान लीजिए u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) और v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') शून्येतर सदिश हैं और θ\theta उनके बीच का कोण है। तब

  1. (निर्देशांक) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy';
  2. (कोज्या) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta;
  3. (प्रक्षेप) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', जहाँ v⃗′\vec v' u⃗\vec u की दिशा पर v⃗\vec v का लांबिक प्रक्षेप है; और यदि u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} तथा v⃗=OB→\vec v = \vect{OB} हों, तो u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, जो चिह्नित लंबाइयों का गुणनफल है, जहाँ HH BB से रेखा (OA)(OA) पर डाले गए लंब का पाद है;
  4. (परिमाण) परिभाषा 16.1 का परिभाषा-सूत्र।

1 और 2 की उपपत्ति. 1. निर्देशांकों में ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (पाइथागोरस) और u⃗+v⃗\vec u + \vec v के निर्देशांक (x+x′,y+y′)(x + x', y + y') हैं, इसलिए वर्गों का प्रसार करके काटने पर

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

2. निर्देशांक-पद्धति ऐसी चुनिए कि u⃗\vec u धनात्मक xx-अक्ष की दिशा में हो: u⃗ (∥u⃗∥,0)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) और v⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta) (अध्याय 14)। तब सूत्र 1 से u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0 मिलता है। सूत्र 3 उसी गणना को पढ़ लेता है: xx-अक्ष पर v⃗\vec v के प्रक्षेप की चिह्नित लंबाई ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH} है। ∎

प्रक्षेप वाला दृश्य: u v = OA × OH, जहाँ H v के सिरे से डाले गए लंब का पाद है। नारंगी रेखाखंड OH की चिह्नित लंबाई v है।
प्रक्षेप वाला दृश्य: u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, जहाँ HH v⃗\vec v के सिरे से डाले गए लंब का पाद है। नारंगी रेखाखंड OHOH की चिह्नित लंबाई ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta है।

उदाहरण 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) और v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2। परिमाण ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} और ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20} हैं, इसलिए cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: कोण 82∘82^\circ से कुछ कम है।

प्रतिज्ञप्ति 16.4 (बीजगणितीय नियम)

सभी सदिशों और सभी λ∈R\lambda \in \R के लिए:

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

उपपत्ति. ये सब निर्देशांक-सूत्र से निकलते हैं: जैसे u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy'')। अंतिम सर्वसमिका पहले तीन नियमों का उपयोग करके ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) का प्रसार करती है — अदिश गुणनफल ठीक साधारण गुणनफल की तरह व्यवहार करता है, इसलिए सामान्य बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ सदिशों पर भी लागू होती हैं। ∎

16.2 लंबता

परिभाषा 16.5 (लांबिक सदिश)

दो सदिश लांबिक कहलाते हैं, और इसे u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v लिखते हैं, यदि u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0 हो।

टिप्पणी 16.6

शून्येतर सदिशों के लिए प्रमेय 16.2 का सूत्र 2 दिखाता है कि u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff का अर्थ है कि दिशाएँ परस्पर लंब हैं। शून्य सदिश हर सदिश के लांबिक है।

उदाहरण 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) और v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6): u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0: लांबिक। सामान्य रूप से u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) सदा v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) के लांबिक होता है — यह एक चौथाई चक्कर का घूर्णन है।

16.3 कोज्या नियम

प्रमेय 16.8 (कोज्या नियम)

भुजाओं a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB वाले त्रिभुज ABCABC में, जिसमें शीर्ष AA पर कोण A^\widehat A है:

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

उपपत्ति. BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} लिखिए और प्रतिज्ञप्ति 16.4 से प्रसार कीजिए:

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

कोज्या-सूत्र से AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A। ∎

टिप्पणी 16.9

जब A^\widehat A समकोण हो, तब cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 और कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 बन जाता है: यह असमकोणों के लिए सुधार-पद के साथ पाइथागोरस ही है।

कोज्या नियम: दो भुजाएँ b, c और उनके बीच का कोण जान लेने पर तीसरी भुजा a तय हो जाती है।
कोज्या नियम: दो भुजाएँ bb, cc और उनके बीच का कोण जान लेने पर तीसरी भुजा aa तय हो जाती है।

उदाहरण 16.10

किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ b=5b = 5 और c=8c = 8 हैं, और उनके बीच का कोण A^=π3\widehat A = \frac\pi3 है। तब

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

इसलिए a=7a = 7।

16.4 अनुप्रयोग: वृत्त और लंब रेखाएँ

प्रतिज्ञप्ति 16.11 (दिए हुए व्यास वाला वृत्त)

बिंदु MM व्यास [AB][AB] वाले वृत्त पर है यदि और केवल यदि

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

उपपत्ति. यदि M≠A,BM \neq A, B हो, तो शर्त कहती है कि त्रिभुज AMBAMB में MM पर का कोण समकोण है, और किसी रेखाखंड को समकोण पर देखने वाले बिंदु ठीक उसी व्यास वाले वृत्त के बिंदु हैं। यहाँ सीधी उपपत्ति है: मान लीजिए OO [AB][AB] का मध्यबिंदु है और r=AB2r = \frac{AB}{2} है। तब MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} और MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, इसलिए

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

जो ठीक तब लुप्त होता है जब MO=rMO = r हो, अर्थात् जब MM केंद्र OO और त्रिज्या rr वाले वृत्त पर हो। ∎

प्रतिज्ञप्ति 16.12 (रेखा का अभिलंब सदिश)

सदिश n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) रेखा d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0 के हर दिक् सदिश के लांबिक है; कहा जाता है कि n⃗\vec n dd का अभिलंब सदिश है। दो रेखाएँ ठीक तब परस्पर लंब हैं जब उनके अभिलंब (या दिक्) सदिश लांबिक हों।

उपपत्ति. dd का एक दिक् सदिश u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) है (प्रमेय 15.9), और n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0। ∎

विधि 16.13 (अभिलंब सदिशों का उपयोग)

  • AA से होकर अभिलंब n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b) वाली रेखा: AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0 लिखिए, जिसका प्रसार ax+by+c=0ax + by + c = 0 है, और cc AA से तय हो जाता है।
  • d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 और d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0 की लंबता: aa′+bb′=0aa' + bb' = 0 जाँचिए।

उदाहरण 16.14

P(2,−1)P(2, -1) से होकर d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0 पर लंब रेखा: dd का एक दिक् सदिश (1,3)(1, 3) है, जो लंब रेखा के अभिलंब सदिश का काम करता है। समीकरण: x+3y+c=0x + 3y + c = 0, जहाँ 2−3+c=02 - 3 + c = 0, इसलिए c=1c = 1: रेखा x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0 है।

उदाहरण 16.15 (वृत्त का समीकरण)

केंद्र Ω(1,2)\Omega(1, 2) और त्रिज्या 33 वाला वृत्त उन बिंदुओं M(x,y)M(x,y) का समुच्चय है जिनके लिए ΩM2=9\Omega M^2 = 9 हो:

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

इसके उलट, वर्ग पूरे करने पर (अध्याय 10) x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 बन जाता है: वही वृत्त।

16.5 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

इनके लिए u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v निकालिए:

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
हल

हल — अभ्यास 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1।

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (लांबिक सदिश)।

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6।

अभ्यास 16.2 ★

ABCABC भुजा 66 वाला समबाहु त्रिभुज है। AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} और AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC} निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18।

सदिश AB→\vect{AB} और BC→\vect{BC} 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ का कोण बनाते हैं (उन्हें BB पर पुच्छ-से-पुच्छ रखिए), इसलिए AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18।

अभ्यास 16.3 ★

tt के किस मान के लिए u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) और v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) लांबिक हैं? और tt के किन मानों के लिए u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) स्वयं में से v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2) घटाने पर मिले सदिश के लांबिक है, अर्थात् u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v)?

हल

हल — अभ्यास 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 से t=6t = 6 मिलता है।

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), इसलिए u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, जो t=0t = 0 या t=4t = 4 पर लुप्त होता है।

अभ्यास 16.4 ★

u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) और v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) के बीच का कोण θ\theta निकालिए (cos⁡θ\cos\theta यथार्थ रूप में, फिर θ\theta निकटतम अंश तक)।

हल

हल — अभ्यास 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, इसलिए

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

अतः यथार्थ रूप से θ=45∘\theta = 45^\circ।

अभ्यास 16.5 ★★

किसी त्रिभुज की भुजाएँ b=4b = 4, c=6c = 6 हैं और उनके बीच का कोण A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3} है। तीसरी भुजा aa निकालिए। फिर भुजाओं a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4 वाले त्रिभुज में cos⁡A^\cos\widehat A निकालिए और तय कीजिए कि A^\widehat A न्यून कोण है या अधिक कोण।

हल

हल — अभ्यास 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, इसलिए a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7।

दूसरे त्रिभुज के लिए कोज्या नियम को कोण के लिए हल करने पर

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

जो ऋणात्मक है: A^\widehat A अधिक कोण है।

अभ्यास 16.6 ★★

मान लीजिए A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) और C(3,5)C(3, 5) हैं। AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} निकालिए; क्या कोण A^\widehat A समकोण है? तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ निकालिए और अपने उत्तर की जाँच कोज्या नियम से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) और AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4): AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, इसलिए AA पर का कोण समकोण है। भुजाएँ: AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, और BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) से BC=40BC = \sqrt{40} मिलता है। संगति: BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, जो cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 के साथ कोज्या नियम (पाइथागोरस) ही है।

अभ्यास 16.7 ★★

केंद्र Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) और त्रिज्या 55 वाले वृत्त का समीकरण बताइए। फिर वृत्त

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .

का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 16.7.

केंद्र–त्रिज्या रूप: (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25।

दूसरे वृत्त के लिए वर्ग पूरे कीजिए:

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

केंद्र (3,−1)(3, -1), त्रिज्या 44।

अभ्यास 16.8 ★★

मान लीजिए A(−3,0)A(-3, 0) और B(0,2)B(0, 2) हैं। प्रतिज्ञप्ति 16.11 का उपयोग करके व्यास [AB][AB] वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, और जाँचिए कि मूल बिंदु O(0,0)O(0,0) उस पर है।

हल

हल — अभ्यास 16.8.

M(x,y)M(x,y) वृत्त पर तब है जब MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) और MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y) के साथ MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 हो:

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

मूल बिंदु के लिए: 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, इसलिए OO वृत्त पर है — ज्यामितीय रूप से OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) और OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) लांबिक हैं, इसलिए OO [AB][AB] को समकोण पर देखता है। (वर्ग पूरे करने पर: केंद्र (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), त्रिज्या 132\frac{\sqrt{13}}{2}।)

अभ्यास 16.9 ★★

P(1,3)P(1, 3) से होकर d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0 पर लंब रेखा का समीकरण, और लंब के पाद HH के निर्देशांक (दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद) ज्ञात कीजिए। इससे PP की dd से दूरी निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 16.9.

PP से होकर जाने वाली लंब रेखा के लिए dd का दिक् सदिश, यानी (−1,2)(-1, 2), अभिलंब सदिश का काम करता है: समीकरण −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0; P(1,3)P(1,3) से होकर: −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, इसलिए x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0।

dd के साथ प्रतिच्छेद: 2x+y=72x + y = 7 से y=7−2xy = 7 - 2x; प्रतिस्थापन करने पर x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, इसलिए x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5: H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right)। फिर PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) और

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

अभ्यास 16.10 ★★

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 और u⃗−v⃗\vec u - \vec v के लिए उसके समरूप कथन का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका सिद्ध कीजिए:

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

और समांतर चतुर्भुज में उसकी व्याख्या कीजिए (विकर्ण बनाम भुजाएँ)।

हल

हल — अभ्यास 16.10.

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2और∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{और}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

जोड़ने पर मिश्रित पद कट जाते हैं और ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2। भुजाओं u⃗\vec u और v⃗\vec v वाले समांतर चतुर्भुज में विकर्ण u⃗+v⃗\vec u + \vec v और u⃗−v⃗\vec u - \vec v हैं: दोनों विकर्णों के वर्गों का योग चारों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।

अभ्यास 16.11 ★★★

मान लीजिए AA और BB ऐसे दो बिंदु हैं कि AB=4AB = 4, और II [AB][AB] का मध्यबिंदु है।

  1. दिखाइए कि हर बिंदु MM के लिए MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4। (II डालिए: MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}।)
  2. इससे उन बिंदुओं MM का समुच्चय निकालिए जिनके लिए MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 हो।
हल

हल — अभ्यास 16.11.

1. चूँकि II मध्यबिंदु है, इसलिए IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} और IA=2IA = 2। तब

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. शर्त MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 MI2=16MI^2 = 16 बन जाती है, अर्थात् MI=4MI = 4: समुच्चय केंद्र II और त्रिज्या 44 वाला वृत्त है।

16.6 समस्या: अदिश गुणनफल के दो उपहार

समस्या 16.1

सप्ताहांत समस्या — एक ही बिंदु-गुणनफल से योग सूत्र निकल आते हैं, दूसरे से रेखा तक की दूरी, और तीनों शीर्षलंबों का एक बिंदु पर मिलना मुफ़्त में

अदिश गुणनफल देखने में बही-खाता लगता है — गुणा कीजिए, जोड़िए — फिर भी वह लगभग मुफ़्त में दो ऐसे ख़ज़ाने सौंप देता है जिन्होंने सदियों तक कोण-दर-कोण पीछा करने वालों को टिकने नहीं दिया: त्रिकोणमिति के योग सूत्र (cos⁡15∘\cos 15^\circ का यथार्थ मान निकालिए!) और एक स्वच्छ भिन्न में बिंदु से रेखा तक की दूरी। विदाई-उपहार के रूप में वह यह भी सिद्ध कर देता है कि हर त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब एक ही बिंदु से गुज़रते हैं। प्रमेय 16.2 के चारों चेहरे ड्यूटी पर हाज़िर होंगे।

भाग I — प्रवाह।

  1. u⃗(3,4)\vec u(3, 4) और v⃗(−1,2)\vec v(-1, 2) के लिए: u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v, दोनों परिमाण, और सदिशों के बीच का कोण निकालिए (अंश के दसवें भाग तक)।
  2. ऐसा kk ज्ञात कीजिए कि (2,k)(2, k) और (3,−4)(3, -4) लांबिक हों (परिभाषा 16.5)।
  3. भौतिकी वाला चेहरा: एक स्लेज को ज़मीन से 60∘60^\circ के कोण पर लगे 5050 N बल से 1010 m खींचा जाता है। कार्य W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d निकालिए।
  4. कोज्या नियम (प्रमेय 16.8): 55 और 77 की दो भुजाएँ 60∘60^\circ का कोण घेरे हुए हैं; तीसरी भुजा यथार्थ रूप में ज्ञात कीजिए।
  5. उलटा: किसी त्रिभुज की भुजाएँ 44, 66, 88 हैं। भुजा 88 के सामने वाले कोण की कोज्या निकालिए, कोण का वर्गीकरण कीजिए, और उसे अंश के दसवें भाग तक बताइए।

भाग II — पहला उपहार: योग सूत्र। मान लीजिए u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u = (\cos a, \sin a) और v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v = (\cos b, \sin b) हैं: कोणों aa और bb पर दो इकाई सदिश।

  1. u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v दो बार निकालिए — एक बार निर्देशांकों से, एक बार परिमाणों और सदिशों के बीच के कोण से — और मूल सूत्र निष्कर्ष निकालिए:

    cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b.\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b .
  2. bb के स्थान पर −b-b रखकर (ज्या और कोज्या की सम-विषमता!) cos⁡(a+b)\cos(a + b) प्राप्त कीजिए।
  3. x=a+bx = a + b पर लगाई गई पूरक सर्वसमिका sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos\left(\frac\pi2 - x\right) से sin⁡(a+b)\sin(a + b) प्राप्त कीजिए।
  4. अंततः यथार्थ मान: cos⁡15∘\cos 15^\circ (cos⁡(45∘−30∘)\cos(45^\circ - 30^\circ) के रूप में) और sin⁡75∘\sin 75^\circ निकालिए। दोनों की संख्यात्मक जाँच कीजिए।
  5. b=ab = a रखकर द्विकोण सूत्र निकालिए: cos⁡2a\cos 2a (उसके तीनों रूपों में) और sin⁡2a\sin 2a।
  6. cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a से sin⁡215∘\sin^2 15^\circ निकालिए, फिर sin⁡15∘\sin 15^\circ को नीड़ित करणी के रूप में — और सत्यापित कीजिए कि उसका वर्ग उस मान 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} से मेल खाता है जो प्रश्न 9 की विधि देती है।

भाग III — दूसरा उपहार: रेखा तक की दूरी।

  1. मान लीजिए dd रेखा ax+by+c=0ax + by + c = 0 है, जिसका अभिलंब सदिश n⃗(a,b)\vec n(a, b) है (प्रतिज्ञप्ति 16.12), और P(x0,y0)P(x_0, y_0) कोई बिंदु है। dd पर कोई भी बिंदु AA लेकर समझाइए कि PP की dd से दूरी ∣AP→⋅n⃗∣∥n⃗∥\dfrac{\abs{\vect{AP} \cdot \vec n}}{\norm{\vec n}} क्यों है, और सूत्र निष्कर्ष निकालिए:

    dist⁡(P,d)=∣ax0+by0+c∣a2+b2.\operatorname{dist}(P, d) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

    P(5,6)P(5, 6) की 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 से दूरी निकालिए।

  2. (5,6)(5, 6) पर केंद्रित और उस रेखा को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण लिखिए।
  3. सूत्र की जाँच: मूल बिंदु की 3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 से दूरी निकालिए, फिर मूल बिंदु से डाले गए लंब का पाद स्पष्ट रूप से निकालकर उसकी पुष्टि कीजिए।
  4. त्रिभुज A(0,0)A(0,0), B(6,0)B(6,0), C(2,5)C(2,5): आधार [AB][AB] लेकर उसका क्षेत्रफल निकालिए; फिर BB की रेखा (AC)(AC) से दूरी निकालिए और जाँचिए कि उससे वही क्षेत्रफल मिलता है।
  5. केंद्र (2,1)(2, 1) और त्रिज्या 22 वाला वृत्त, रेखा x+y−6=0x + y - 6 = 0 के सामने: केंद्र की रेखा से दूरी निकालिए और उनकी स्थिति का वर्गीकरण कीजिए (छेदी, स्पर्शी, असंयुक्त)।

भाग IV — बोनस: शीर्षलंब संगामी हैं।

  1. अभ्यास 16.11 को सामान्य कीजिए: मध्यबिंदु II वाले किन्हीं दो बिंदुओं AA, BB के लिए सिद्ध कीजिए

    MA→⋅MB→=MI2−AB24प्रत्येक बिंदु M के लिए.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} \quad\text{प्रत्येक बिंदु } M \text{ के लिए} .
  2. प्रतिज्ञप्ति 16.11 एक पंक्ति में निकालिए: जिन बिंदुओं MM के लिए MA→⋅MB→=0\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 हो उनका समुच्चय व्यास [AB][AB] वाला वृत्त है।

  3. शीर्षलंब: मान लीजिए त्रिभुज ABCABC में AA से और BB से खींचे गए शीर्षलंबों का प्रतिच्छेद HH है (इसलिए HA→⋅BC→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} = 0 और HB→⋅CA→=0\vect{HB} \cdot \vect{CA} = 0)। सर्वसमिका

    HA→⋅BC→+HB→⋅CA→+HC→⋅AB→=0\vect{HA} \cdot \vect{BC} + \vect{HB} \cdot \vect{CA} + \vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0

    सिद्ध कीजिए — शाल की सहायता से सब कुछ HH से खोलिए — और निष्कर्ष निकालिए कि HH CC से खींचे गए शीर्षलंब पर भी है: तीनों शीर्षलंब संगामी हैं (लंबकेंद्र पर)।

  4. समापन: चार चेहरे, तीन ट्रॉफ़ियाँ। प्रमेय 16.2 का कौन-सा चेहरा योग सूत्र उठाए हुए था, कौन-सा दूरी-सूत्र, कौन-सा लंबकेंद्र — और “एक ही राशि दो बार निकालिए” पूरे अध्याय का आदर्श वाक्य क्यों है?
हल

हल — समस्या 16.1.

1. u⃗⋅v⃗=−3+8=5\vec u \cdot \vec v = -3 + 8 = 5; ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = 5, ∥v⃗∥=5\norm{\vec v} = \sqrt5; cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt5} = \frac{1}{\sqrt5}: θ≈63.4∘\theta \approx 63.4^\circ।

2. 6−4k=06 - 4k = 0: k=32k = \frac32।

3. W=50×10×cos⁡60∘=250W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250 जूल: केवल गति के अनुदिश वाला घटक ही कार्य करता है।

4. c2=25+49−2×35×12=39c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times \frac12 = 39: c=39c = \sqrt{39}।

5. cos⁡γ=16+36−642×4×6=−14\cos\gamma = \frac{16 + 36 - 64}{2 \times 4 \times 6} = -\frac14: ऋणात्मक, कोण अधिक है: γ≈104.5∘\gamma \approx 104.5^\circ।

6. निर्देशांक: u⃗⋅v⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u \cdot \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b। ज्यामिति: दो इकाई सदिश, u⃗⋅v⃗=1×1×cos⁡(a−b)\vec u \cdot \vec v = 1 \times 1 \times \cos(a - b)। एक ही संख्या की दोनों गणनाओं को बराबर रखने पर: cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b।

7. cos⁡(a+b)=cos⁡(a−(−b))=cos⁡acos⁡(−b)+sin⁡asin⁡(−b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos(a - (-b)) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b।

8. sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=cos⁡(π2−a)cos⁡b+sin⁡(π2−a)sin⁡b=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\frac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\frac\pi2 - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac\pi2 - a\right)\cos b + \sin\left(\frac\pi2 - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b।

9. cos⁡15∘=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24≈0.966\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966। और sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ: वही मान।

10. प्रश्न 7 और 8 में b=ab = a: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a (cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1 का उपयोग करके), और sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a।

11. sin⁡215∘=1−cos⁡30∘2=2−34\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 - \sqrt3}{4}, इसलिए sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}। 6−24\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} का वर्ग करने पर: 6−212+216=8−4316=2−34\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt3}{16} = \frac{2 - \sqrt3}{4}: एक ही संख्या दो वेशों में।

12. AP→\vect{AP} दो भागों में बँट जाता है: एक dd के अनुदिश (जो n⃗\vec n को दिखाई नहीं देता) और एक dd पर लंब, जिसकी लंबाई ही अभीष्ट दूरी है; इकाई अभिलंब n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} से बिंदु-गुणनफल लेने पर पहला भाग मर जाता है और दूसरा नप जाता है। dd पर AA के साथ: AP→⋅n⃗=ax0+by0−(axA+byA)=ax0+by0+c\vect{AP} \cdot \vec n = a x_0 + b y_0 - (a x_A + b y_A) = a x_0 + b y_0 + c, जिससे सूत्र मिल जाता है। उदाहरण: ∣15+24−12∣5=275=5.4\frac{\abs{15 + 24 - 12}}{5} = \frac{27}{5} = 5.4।

13. त्रिज्या =5.4= 5.4: (x−5)2+(y−6)2=29.16(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 29.16।

14. दूरी =∣−12∣5=2.4= \frac{\abs{-12}}{5} = 2.4। पाद: मूल बिंदु से होकर जाने वाली लंब रेखा (3t,4t)(3t, 4t) है; रेखा पर: 9t+16t=129t + 16t = 12, t=1225t = \frac{12}{25}: पाद (3625,4825)\left(\frac{36}{25}, \frac{48}{25}\right), जो 5t=6025=2.45t = \frac{60}{25} = 2.4 दूरी पर है। सूत्र और ईमानदार गणना दोनों मेल खाते हैं।

15. आधार AB=6AB = 6, ऊँचाई == CC की (AB)(AB) (अक्ष y=0y = 0) से दूरी: 55; क्षेत्रफल 1515। रेखा (AC)(AC): 5x−2y=05x - 2y = 0, और dist⁡(B,(AC))=∣30∣29\operatorname{dist}(B, (AC)) = \frac{\abs{30}}{\sqrt{29}}; फिर 12×AC×3029=12×29×3029=15\frac12 \times AC \times \frac{30}{\sqrt{29}} = \frac12 \times \sqrt{29} \times \frac{30}{\sqrt{29}} = 15: वही क्षेत्रफल, चाहे कोई भी शीर्षलंब लीजिए।

16. dist⁡=∣2+1−6∣2=32≈2.12>2\operatorname{dist} = \frac{\abs{2 + 1 - 6}} {\sqrt2} = \frac{3}{\sqrt2} \approx 2.12 > 2: रेखा वृत्त से हटकर निकल जाती है — असंयुक्त।

17. II डालिए: MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→+IB→)=MI2+MI→⋅(IA→+IB→)+IA→⋅IB→\vect{MA} \cdot \vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA}) \cdot (\vect{MI} + \vect{IB}) = MI^2 + \vect{MI} \cdot (\vect{IA} + \vect{IB}) + \vect{IA} \cdot \vect{IB}। बीच वाला पद मर जाता है (IA→+IB→=0⃗\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0), और IA→⋅IB→=−IA2=−AB24\vect{IA} \cdot \vect{IB} = -IA^2 = -\frac{AB^2}{4} (लंबाई AB2\frac{AB}2 वाले परस्पर विपरीत सदिश)।

18. MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2=AB24  ⟺  MI=AB2\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 \iff MI^2 = \frac{AB^2}{4} \iff MI = \frac{AB}{2}: केंद्र II और त्रिज्या AB2\frac{AB}2 वाला वृत्त — यानी व्यास [AB][AB] वाला वृत्त।

19. हर युग्म को HH से खोलने पर (BC→=HC→−HB→\vect{BC} = \vect{HC} - \vect{HB} आदि):

HA→⋅HC→−HA→⋅HB→+HB→⋅HA→−HB→⋅HC→+HC→⋅HB→−HC→⋅HA→=0:\vect{HA} \cdot \vect{HC} - \vect{HA} \cdot \vect{HB} + \vect{HB} \cdot \vect{HA} - \vect{HB} \cdot \vect{HC} + \vect{HC} \cdot \vect{HB} - \vect{HC} \cdot \vect{HA} = 0 :

सब कुछ जोड़ों में कट जाता है — सर्वसमिका किन्हीं भी चार बिंदुओं के लिए सही है। हमारे HH के लिए पहले दो बिंदु-गुणनफल परिकल्पना से लुप्त हो जाते हैं, इसलिए HC→⋅AB→=0\vect{HC} \cdot \vect{AB} = 0: HH CC से खींचे गए शीर्षलंब पर है। तीन शीर्षलंब, एक बिंदु।

20. योग सूत्र एक ही बिंदु-गुणनफल को निर्देशांक वाले चेहरे और परिमाण-और-कोण वाले चेहरे से निकालने पर मिले; दूरी-सूत्र प्रक्षेप वाले चेहरे से; और लंबकेंद्र द्विरैखिकता (शाल-और-प्रसार) वाले चेहरे से। एक ही राशि दो बार निकालिए, दोनों को बराबर रखिए, और एक प्रमेय हाथ में आ जाती है — यही अदिश गुणनफल का पूरा पेशा है।

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