उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

35संतत यादृच्छिक चर

प्रतीक्षा-काल, भौतिक मापन, अनुपात: अनेक यादृच्छिक राशियाँ मानों का पूरा सातत्य लेती हैं, और किसी अकेले मान की प्रायिकता धनात्मक नहीं होती। तब प्रायिकताएँ किसी घनत्व का समाकलन करके निकाली जाती हैं। यह अध्याय एकसमान, चरघातांकी और प्रसामान्य बंटनों का अध्ययन करता है, और प्रसामान्य नियम से सर्वेक्षणों तथा प्रतिदर्शों के उतार-चढ़ाव को संख्या में बताता है।

35.1 प्रायिकता घनत्व

परिभाषा 35.1 (घनत्व, संतत यादृच्छिक चर)

किसी अंतराल $I$ पर प्रायिकता घनत्व $I$ पर परिभाषित ऐसा संतत, अऋणात्मक फलन $f$ है जिसके लिए $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ हो (अपरिबद्ध $I$ पर समाकल को बढ़ते हुए परिबद्ध अंतरालों के समाकलों की सीमा समझा जाता है)। यादृच्छिक चर $X$ का घनत्व $f$ है यदि $I$ के सभी $a \leq b$ के लिए

\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .

हो।

प्रायिकताएँ घनत्व-वक्र के नीचे के क्षेत्रफल हैं। विशेष रूप से हर अकेले मान $a$ के लिए $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ होता है: केवल अंतराल ही प्रायिकता उठाते हैं, और $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$ ।

परिभाषा 35.2 (प्रत्याशा और प्रसरण)

$I$ पर घनत्व $f$ वाले $X$ के लिए:

\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad \V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t = \E(X^2) - \E(X)^2 .

अध्याय 14–15 के नियम (प्रत्याशा की रैखिकता, स्वतंत्र चरों के लिए प्रसरण की योज्यता, ब्येनेमे–चेबिशेव) यहाँ भी वैध रहते हैं; योगों के स्थान पर समाकलों वाली उनकी उपपत्तियाँ इस स्तर पर स्वीकार कर ली जाती हैं।

35.2 एकसमान बंटन

परिभाषा 35.3 (एकसमान बंटन)

$X$ एकसमान बंटन $\mathcal U\intcc ab$ का पालन करता है यदि उसका घनत्व अचर हो, अर्थात् $\intcc{a}{b}$ पर $f(t) = \frac{1}{b-a}$ । तब $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$ के लिए $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : प्रायिकता लंबाई के समानुपाती।

प्रतिज्ञप्ति 35.4

यदि $X \sim \mathcal U\intcc ab$ हो, तो $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ और $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$ ।

उपपत्ति. $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$ । प्रसरण के लिए $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$ , और

\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere

∎

35.3 चरघातांकी बंटन

परिभाषा 35.5 (चरघातांकी बंटन)

$\lambda > 0$ के लिए $X$ चरघातांकी बंटन $\mathcal E(\lambda)$ का पालन करता है यदि $\intco{0}{+\infty}$ पर उसका घनत्व

f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.

हो। तब $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ और $x \geq 0$ के लिए $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 35.6

यदि $X \sim \mathcal E(\lambda)$ हो: $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ और $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$ ।

उपपत्ति. $\intcc{0}{A}$ पर खंडशः समाकलन करने पर:

\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t = \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t = -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda} \xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,

जहाँ $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ (प्रमेय 23.4) का उपयोग हुआ है। दूसरी बार खंडशः समाकलन $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$ देता है, जिससे $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$ । ∎

प्रमेय 35.7 (स्मृतिहीनता)

यदि $X \sim \mathcal E(\lambda)$ हो, तो सभी $s, t \geq 0$ के लिए:

\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .

चरघातांकी बंटन बिना बुढ़ाए जीवनकालों का नियम है (रेडियोधर्मी नाभिक, बल्ब नहीं)।

उपपत्ति.

\pcond{X > s}{X > s+t} = \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)} = \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t} = \P(X > t). \qedhere

∎

चरघातांकी घनत्व - x (यहाँ = 1): t से आगे की पूँछ का क्षेत्रफल (लाल) - t है, और स्मृतिहीनता कहती है कि हर पूँछ पूरे बंटन का ही मापित रूप दिखती है। — चरघातांकी घनत्व $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (यहाँ $\lambda = 1$ ): $t$ से आगे की पूँछ का क्षेत्रफल (लाल) $\eu^{-\lambda t}$ है, और स्मृतिहीनता कहती है कि हर पूँछ पूरे बंटन का ही मापित रूप दिखती है।

35.4 प्रसामान्य बंटन

परिभाषा 35.8 (प्रसामान्य बंटन)

$X$ मानक प्रसामान्य बंटन $\mathcal N(0, 1)$ का पालन करता है यदि $\R$ पर उसका घनत्व

\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}

हो (घंटी-वक्र)। और अधिक सामान्य रूप से $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ यदि $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal N(0,1)$ हो; तब $\E(X) = \mu$ और $\V(X) = \sigma^2$ ।

प्रसामान्य घनत्व: लगभग 68.3\% द्रव्यमान माध्य के के भीतर पड़ता है, 95.4\% 2 के भीतर, और 99.7\% 3 के भीतर। — प्रसामान्य घनत्व: लगभग $68.3\%$ द्रव्यमान माध्य के $\sigma$ के भीतर पड़ता है, $95.4\%$ $2\sigma$ के भीतर, और $99.7\%$ $3\sigma$ के भीतर।

टिप्पणी 35.9

गुणक $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ कुल क्षेत्रफल $1$ बना देता है — यह एक प्रसिद्ध गणना (गाउसीय समाकल) है जो स्नातक स्तर पर होती है। $\int \varphi$ का कोई प्रारंभिक सूत्र नहीं है: प्रसामान्य प्रायिकताएँ सारणियों या कैलकुलेटर से पढ़ी जाती हैं।

प्रमेय 35.10 (दे म्वाव्र–लाप्लास, स्वीकृत)

मान लीजिए $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ और $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (मानकीकृत द्विपद) हैं। तब सभी $a \leq b$ के लिए

\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b \varphi(t)\,\dd t .

इस परिणाम को इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है। यह घंटी-वक्र के सार्वभौमिक दर्शन की व्याख्या कर देता है: बड़े $n$ वाला द्विपद लगभग प्रसामान्य है — और (केंद्रीय सीमा प्रमेय, स्नातक स्तर) अनेक छोटे स्वतंत्र प्रभावों का हर योग भी।

विधि 35.11 ( $95\%$ पर उतार-चढ़ाव अंतराल)

चूँकि कोई प्रसामान्य चर प्रायिकता $0.95$ से अपने माध्य के $1.96$ मानक विचलनों के भीतर पड़ता है, इसलिए बड़े $n$ के लिए $\mathcal B(n,p)$ प्रतिदर्श की आपेक्षिक बारंबारता $F_n = \frac{X_n}{n}$ यह संतुष्ट करती है:

\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .

उतार-चढ़ाव अंतराल (परीक्षण): यदि दावा किया गया $p$ प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता को इस अंतराल से बाहर रखे, तो दावे को $5\%$ स्तर पर अस्वीकार कर दीजिए।
विश्वास अंतराल (आकलन): सरलीकृत अंतराल $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ $p$ को कम से कम $0.95$ प्रायिकता से समेटे रहता है ( $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ का उपयोग करके, अभ्यास 34.8 देखिए)।

उदाहरण 35.12

$n = 1000$ मतदाताओं के सर्वेक्षण में किसी उम्मीदवार को $52\%$ मिलता है। विश्वास अंतराल $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm 3.2\%$ अब भी $50\%$ समेटे है: अकेला सर्वेक्षण यह स्थापित नहीं करता कि उम्मीदवार आगे है।

35.5 अभ्यास

अभ्यास 35.1 ★

कोई बस हर $15$ मिनट में गुज़रती है; कोई यात्री एकसमान यादृच्छिक समय पर पहुँचता है। मान लीजिए $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ प्रतीक्षा-काल है। $\P(X \leq 5)$ , $\P(4 \leq X \leq 10)$ , $\E(X)$ और $\sigma(X)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 35.1.

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$ ; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$ ; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ मिनट; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ मिनट।

अभ्यास 35.2 ★

जाँचिए कि $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ $\intcc{0}{2}$ पर घनत्व है, और इस घनत्व वाले चर $X$ के लिए $\E(X)$ तथा $\P(X \geq 1)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 35.2.

$f \geq 0$ और $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 = \frac38 \times \frac83 = 1$ : यानी घनत्व।

\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32, \qquad \P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .

अभ्यास 35.3 ★

किसी इलेक्ट्रॉनिक पुर्ज़े का जीवनकाल (वर्षों में) $\mathcal E(0.2)$ का पालन करता है।

प्रत्याशित जीवनकाल और $\P(X > 5)$ निकालिए।
पुर्ज़ा $3$ वर्ष पहले ही काम कर चुका है। उसके कम से कम $5$ वर्ष और काम करने की प्रायिकता क्या है?

हल

हल — अभ्यास 35.3.

1. $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ वर्ष; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$ ।

2. स्मृतिहीनता (प्रमेय 35.7) से $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$ : तीन वर्ष की सेवा से कुछ नहीं बदलता।

अभ्यास 35.4 ★★

जिस रेडियोधर्मी परमाणु का जीवनकाल $\mathcal E(\lambda)$ का पालन करता है उसकी अर्धायु माध्यिका $m$ है: $\P(X > m) = \frac12$ । $m$ को $\lambda$ के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्याशा से तुलना कीजिए। कौन बड़ा है, और किसी विषम बंटन के लिए यह अर्थपूर्ण क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 35.4.

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ से $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$ मिलता है, जो $\E(X) = \frac1\lambda$ से छोटा है। चरघातांकी घनत्व की दाहिनी पूँछ लंबी होती है: कुछ असामान्य रूप से लंबे जीवनकाल माध्य को माध्यिका से ऊपर खींच ले जाते हैं, जबकि माध्यिका वही मान है जिससे आधी समष्टि आगे निकलती है। (यही उदाहरण 23.9 की अर्धायु है: आधे परमाणु उसे पार कर जाते हैं, यद्यपि औसत जीवनकाल उससे लंबा है।)

अभ्यास 35.5 ★★

किसी समष्टि में लंबाइयाँ $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (cm में) का पालन करती हैं। $68$ – $95$ – $99.7$ के नियम से समष्टि के उस अनुपात का आकलन कीजिए जिसकी लंबाई $168$ और $182$ cm के बीच है, $189$ cm से ऊपर है, और $154$ cm से नीचे।

हल

हल — अभ्यास 35.5.

$168 = \mu - \sigma$ और $182 = \mu + \sigma$ : लगभग $68\%$ । $189 = \mu + 2\sigma$ : उससे ऊपर बचे हुए $100 - 95.4 = 4.6\%$ का आधा पड़ता है, यानी लगभग $2.3\%$ । $154 = \mu - 3\sigma$ : लगभग $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$ ।

अभ्यास 35.6 ★★

कोई मशीन $500$ g लिखे थैले भरती है; भरा गया द्रव्यमान $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$ का पालन करता है। नियम माँगते हैं कि अधिक से अधिक $2.5\%$ थैलों का भार $500$ g से कम हो। $95\%$ के नियम से $\mu$ की कौन-सी न्यूनतम सेटिंग नियमों पर खरी उतरती है?

हल

हल — अभ्यास 35.6.

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ का अर्थ है कि $500$ को माध्य से कम से कम दो मानक विचलन नीचे बैठना चाहिए (प्रसामान्य $\mu - 2\sigma$ से नीचे $2.3\% \approx 2.5\%$ छोड़ता है; प्रचलित $1.96$ के साथ तर्क बिलकुल वही रहता है):

\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.

मशीन को औसतन $508$ g पर बिठाना पड़ेगा — और इस गारंटी की क़ीमत प्रति थैला $8$ g “मुफ़्त” माल है।

अभ्यास 35.7 ★★

न्यायसंगत बताए गए पासे को $1200$ बार फेंका जाता है और वह $260$ बार छक्का दिखाता है (जैसा अभ्यास 34.7 में था)।

$1200$ फेंकों पर न्यायसंगत पासे के छक्कों की आपेक्षिक बारंबारता के लिए $95\%$ उतार-चढ़ाव अंतराल निकालिए।
क्या प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता उसके भीतर है? इस निष्कर्ष की मज़बूती की तुलना ब्येनेमे–चेबिशेव वाले विश्लेषण से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 35.7.

1. $p = \frac16$ , $n = 1200$ के साथ: $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$ , इसलिए $95\%$ उतार-चढ़ाव अंतराल

\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.

है।

2. प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ उससे बहुत बाहर है: न्यायसंगतता की परिकल्पना $5\%$ स्तर पर अस्वीकार हो जाती है। विचलन लगभग $4.6$ मानक विचलन है — प्रसामान्य सन्निकटन में इसकी प्रायिकता $10^{-6}$ की कोटि की होती है, जो ब्येनेमे–चेबिशेव के $\leq 4.6\%$ वाले परिबंध (अभ्यास 34.7) से कहीं अधिक निर्णायक है।

अभ्यास 35.8 ★★★

किसी चुनाव से पहले $n$ लोगों का सर्वेक्षण प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता $F_n$ से किसी उम्मीदवार का अंक $p$ आँकेगा।

विधि 35.11 के विश्वास अंतराल के साथ कौन-सा प्रतिदर्श-आकार $\pm 2$ अंक की सीमा की गारंटी देता है?
वास्तव में उम्मीदवारों के बीच $1$ अंक का अंतर है। समझाइए कि कोई भी यथार्थवादी सर्वेक्षण, चाहे कितनी ही अच्छी तरह किया जाए, विजेता का भरोसे से नाम क्यों नहीं बता सकता।

हल

हल — अभ्यास 35.8.

1. सीमा $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ के लिए $n \geq 2500$ लोग चाहिए।

2. $1$ अंक के अंतर वाले स्कोर अलग बताने के लिए सीमा $0.5$ अंक से कहीं नीचे होनी चाहिए, जिसके लिए सरलीकृत सूत्र से $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ चाहिए — जो अधिकांश सर्वेक्षणों के लिए पहले ही अव्यावहारिक है। और उससे भी बुरा: सांख्यिकीय सीमा केवल प्रतिदर्शन की त्रुटि गिनती है; व्यवस्थित अभिनतियाँ (अप्रतिनिधि प्रतिदर्श, उत्तर न देना, अंतिम क्षण के बदलाव) $n$ बढ़ने पर सिकुड़ती नहीं और प्रायः एक अंक से अधिक होती हैं। $1$ -अंक की दौड़ सचमुच इतनी क़रीबी है कि उसका फ़ैसला नहीं किया जा सकता।

अभ्यास 35.9 ★★★

मान लीजिए $X$ का घनत्व $\intcc ab$ पर $f$ है और $\alpha > 0$ के साथ $Y = \alpha X + \beta$ है।

दिखाइए कि $\P(c \leq Y \leq d) = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , और इससे निकालिए कि $Y$ का घनत्व $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ है।
निष्कर्ष निकालिए कि यदि $Z \sim \mathcal N(0,1)$ हो, तो $\mu + \sigma Z$ का घनत्व $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ है — यानी व्यापक प्रसामान्य घनत्व।

हल

हल — अभ्यास 35.9.

1. चूँकि $\alpha > 0$ , इसलिए $c \leq \alpha X + \beta \leq d \iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$ , अतः

\P(c \leq Y \leq d) = \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .

प्रतिस्थापन $y = \alpha t + \beta$ (अर्थात् क्षेत्रफल को $y$ चर में पढ़ना, $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$ , $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$ ) इसे $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$ में बदल देता है: इसलिए फलन $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ $Y$ का घनत्व है।

2. $f = \varphi$ , $\alpha = \sigma$ , $\beta = \mu$ के साथ:

g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),

और यही $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$ का घनत्व है।

35.6 समस्या: बस की प्रतीक्षा, भीड़ की माप

समस्या 35.1

सप्ताहांत समस्या — तीन घनत्व संसार चलाते हैं: पूर्ण अज्ञान, स्मृतिहीन प्रतीक्षा, और अनेक छोटे कारणों की घंटी; साथ में वह विरोधाभास जो आपकी बस को हमेशा देर करा देता है

आपकी बस समय-सारणी के वादे से हमेशा अधिक समय क्यों लेती जान पड़ती है? कोई औसत विद्यार्थी जिस कक्षा में बैठा है वह औसत कक्षा से बड़ी क्यों होती है? आपके मित्रों के मित्र आपसे अधिक क्यों होते हैं? गणित का एक चालाक टुकड़ा — लंबाई-अभिनत प्रतिदर्शन — तीनों का उत्तर दे देता है, और वह इसी अध्याय में रहता है, एकसमान, चरघातांकी और प्रसामान्य बंटनों के बीच (परिभाषा 35.3, परिभाषा 35.5, परिभाषा 35.8)। इस खंड की यह अंतिम समस्या तीनों घनत्वों को काम पर लगाती है और वहीं समाप्त होती है जिधर पूरी शृंखला इशारा करती है: घंटी-वक्र।

भाग I — तीन पात्र।

कोई बस अगले $30$ मिनटों में एकसमान यादृच्छिक समय पर आती है। $\P(\text{प्रतीक्षा} \leq 10)$ , प्रत्याशित प्रतीक्षा और $\sigma$ निकालिए (प्रतिज्ञप्ति 35.4)।
जाँचिए कि $\intcc{0}{1}$ पर $f(x) = 2x$ घनत्व है, और $\E(X)$ तथा $\P\left(X > \frac12\right)$ निकालिए।
किसी सहायता-रेखा पर फ़ोन काल स्मृतिहीन धारा की तरह आते हैं: अगली काल की प्रतीक्षा चरघातांकी है, जिसका माध्य $10$ मिनट है। $\P(T > 15)$ और माध्यिका प्रतीक्षा निकालिए — माध्यिका माध्य से कम क्यों है?
आप $20$ मिनट पहले ही प्रतीक्षा कर चुके हैं। $\P(T > 35 \mid T > 20)$ क्या है (प्रमेय 35.7)? एक वाक्य में व्याख्या कीजिए।
हर प्रतीक्षा को उसके सही प्रतिरूप से मिलाइए — एकसमान, चरघातांकी, या इनमें से कोई नहीं: (a) गाइगर गणक की चटक; (b) हर $8$ मिनट में चलने वाली मेट्रो, और आपका बिना तालमेल के पहुँचना; (c) सहायता-रेखा पर अगली काल; (d) घिसकर ख़राब होने वाले बल्ब का जलना बंद हो जाना। (d) को स्मृतिहीनता प्रमेय से पुष्ट कीजिए।

भाग II — घंटी काम पर। (प्रसामान्य संकेत-चिह्न काम में लाइए: $\sigma$ के भीतर $68\,\%$ , $2\sigma$ के भीतर $95\,\%$ , $3\sigma$ के भीतर $99.7\,\%$ ।)

वयस्कों की लंबाइयाँ मोटे तौर पर $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm) का पालन करती हैं। $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ में कौन-कौन से अंश पड़ते हैं?
$190$ cm से लंबे लोगों का अनुपात आँकिए (पहले z-मान; फिर सारणी या कैलकुलेटर)।
बुद्धि-लब्धि के अंक $\mathcal N(100, 15)$ पर अंशांकित हैं। $130$ से ऊपर कितना अंश अंक पाता है — और मोटे तौर पर कितने में एक व्यक्ति?
कोई मशीन $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm लंबाई वाले बोल्ट काटती है और विनिर्देश $\intcc{49.8}{50.2}$ है। कितना हिस्सा अस्वीकार हो जाता है? उद्योग “छह सिग्मा” प्रक्रियाओं का उत्सव मनाता है, जिनके विनिर्देश $\pm 6\sigma$ पर बैठते हैं: उससे क्या मिलता है, और कारख़ाने उसके पीछे क्यों भागते हैं?
दे म्वाव्र–लाप्लास (प्रमेय 35.10): $100$ न्यायसंगत सिक्का-उछालों के लिए $\P(45 \leq \text{चित} \leq 55)$ का सन्निकटन निकालिए (सांतत्य: $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ )। समस्या 19.1 की कौन-सी लकड़ी वाली मशीन को यह प्रमेय चिकने वक्र में बदल देती है?
अभ्यास 35.8 से: $\pm 2$ -अंक की सीमा के लिए लगभग $n = 2\,400$ चाहिए। $\pm 0.5$ अंक के लिए आवश्यक प्रतिदर्श निकालिए — और एक वाक्य में निष्कर्ष निकालिए कि एक अंक के अंतर वाली दौड़ का विजेता कोई सर्वेक्षण ईमानदारी से क्यों नहीं बता सकता।

भाग III — बस का विरोधाभास।

बसें स्मृतिहीन धारा की तरह आती हैं, जिनका माध्य अंतराल $10$ मिनट है। आप किसी भी मनमाने क्षण स्टॉप पर पहुँचते हैं। अंतर्ज्ञान कहता है कि प्रत्याशित प्रतीक्षा $5$ मिनट (आधा अंतराल) होगी। स्मृतिहीनता प्रमेय इसके बदले क्या कहती है?
अंतर्ज्ञान का निदान एक खिलौना समय-सारणी से कीजिए: अंतराल बारी-बारी से $5$ और $15$ मिनट के हैं (माध्य अंतराल $10$ )। पहले यह प्रायिकता निकालिए कि एकसमान यादृच्छिक आगमन किसी लंबे अंतराल में गिरता है, फिर सच्ची प्रत्याशित प्रतीक्षा — और अपराधी का नाम बताइए: आगमन अंतरालों का प्रतिदर्शन उनकी लंबाई के समानुपाती प्रायिकता से करते हैं।
स्मृतिहीन धारा में आप जिस अंतराल में गिरते हैं उसकी प्रत्याशित लंबाई $20$ मिनट है — यानी प्रारूपिक अंतराल की दुगुनी (पिछली बस तक पीछे और अगली बस तक आगे, दोनों माध्य $10$ वाले चरघातांकी हैं)। इसे प्रश्न 12 से मिलाइए और निरीक्षण विरोधाभास एक वाक्य में बताइए।
ज़मीन पर वही डंक: किसी विश्वविद्यालय में $10$ विद्यार्थियों की नौ कक्षाएँ और $110$ की एक कक्षा है। पहले औसत कक्षा-आकार निकालिए, फिर वह कक्षा-आकार जो औसत विद्यार्थी भोगता है। विवरणिका कौन-सी संख्या छापेगी, और विद्यार्थियों का जिया हुआ सच कौन-सा है?
मित्रता विरोधाभास — “औसतन आपके मित्रों के मित्र आपसे अधिक होते हैं” — वही गणित है। एक वाक्य में बताइए कि यहाँ लंबे अंतराल की भूमिका कौन निभाता है।

भाग IV — खंड का समापन।

अनुकरण, व्यवहारियों का पुल: यदि $U$ $\intoo{0}{1}$ पर एकसमान हो, तो दिखाइए कि $T = -10\ln U$ माध्य $10$ वाला चरघातांकी है ( $\P(T > t)$ निकालिए)। उद्योग में यादृच्छिक प्रतीक्षा का हर अनुकरण इसी एक-पंक्ति की तरकीब पर चलता है।
प्रोग्राम बनाने वालों का एक पुराना नुस्ख़ा घंटी बना देता है: $\intcc{0}{1}$ पर बारह स्वतंत्र एकसमान चर जोड़िए और $6$ घटा दीजिए। योग का माध्य और प्रसरण बताइए, और — गॉल्टन पटल हाथ में लेकर — समझाइए कि परिणाम लगभग प्रसामान्य क्यों है।
बाज़ार घंटी की अनुमति से कहीं ज़ोर से गिरते हैं: 1987 की गिरावट को “ $25\sigma$ की घटना” कहा गया था, जिसकी प्रसामान्यता के अधीन प्रायिकता लगभग $10^{-137}$ होती है। सही निष्कर्ष क्या है — संसार के बारे में, या प्रतिरूप के बारे में? (एक वाक्य, सांख्यिकीविद् का पाठ।)
समापन, और खंड को विदा: तीनों पात्र एक-एक पंक्ति में — एकसमान (सीमाओं के भीतर अज्ञान), चरघातांकी (बिना स्मृति का ख़तरा), प्रसामान्य (अनेक छोटे कारणों का योग); अध्याय के डंक के रूप में निरीक्षण विरोधाभास; और पूरी शृंखला की चाप — कक्षा 6 में डिब्बे गिनने से लेकर उस घंटी-वक्र तक जो हर भीड़ नाप लेता है — जहाँ आगे स्नातक खंड प्रतीक्षा कर रहे हैं और सीमाएँ, समाकल तथा केंद्रीय सीमा प्रमेय कमान सँभाल लेते हैं।

हल

हल — समस्या 35.1.

1. $\P(\text{प्रतीक्षा} \leq 10) = \frac{10}{30} = \frac13$ ; $\E = 15$ मिनट; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ मिनट।

2. $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$ : घनत्व। $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$ ; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x = 1 - \frac14 = \frac34$ ।

3. $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$ । माध्यिका: $\eu^{-m/10} = \frac12$ : $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ मिनट — जो माध्य $10$ से कम है, क्योंकि चरघातांकी की लंबी दाहिनी पूँछ (विरली विशाल प्रतीक्षाएँ) माध्य को ऊपर घसीट ले जाती है और माध्यिका को “प्रारूपिक” प्रतीक्षा पर ही छोड़ देती है।

4. स्मृतिहीनता से $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$ : पहले ही बिता चुके बीस मिनट कुछ नहीं ख़रीदते — धारा बूढ़ी नहीं होती।

5. (a) चरघातांकी (रेडियोधर्मी क्षय ही वह प्रतिरूप है जिसके लिए स्मृतिहीनता गढ़ी गई); (b) $\intcc{0}{8}$ पर एकसमान (यादृच्छिक खिसकाव वाली समय-सारणी); (c) चरघातांकी; (d) इनमें से कोई नहीं: घिसा हुआ बल्ब अगले घंटे में नए बल्ब से अधिक संभावना से जलना बंद करता है, इसलिए $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$ : बुढ़ाना स्मृतिहीनता प्रमेय का खंडन है।

6. $68\,\%$ , $95\,\%$ , $99.7\,\%$ : तीनों संकेत-अंतराल।

7. $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$ : ऊपरी पूँछ $\approx 1.2\,\%$ ।

8. $z = 2$ : लगभग $2.3\,\%$ — यानी मोटे तौर पर $44$ में एक व्यक्ति।

9. विनिर्देश $\pm 2\sigma$ पर बैठा है: लगभग $95.4\,\%$ पास होते हैं और $4.6\,\%$ अस्वीकार — जो बड़े पैमाने पर विनाशकारी है। $\pm 6\sigma$ पर विफलता-दर घटकर लगभग दो प्रति अरब रह जाती है: छह सिग्मा वह अधिकार ख़रीद लेता है कि बड़े पैमाने पर उत्पादन हो और बड़े पैमाने पर निरीक्षण न करना पड़े।

10. $\sigma = 5$ ; सांतत्य-सुधार के साथ $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) = \P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$ । प्रमेय समस्या 19.1 के गॉल्टन पटल को चिकना कर देती है: ख़ानों की सीढ़ी संतत घंटी बन जाती है।

11. $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2} \approx 38\,400$ लोग — और उस आकार पर ग़ैर-प्रतिदर्शन त्रुटियाँ (ढाँचा, इनकार, झूठ) सीमा को बौना कर देती हैं: एक अंक की दौड़ ईमानदार सर्वेक्षण की पहुँच से बाहर है, और इसीलिए गंभीर संस्थान तब कहते हैं “फ़ैसला करना संभव नहीं”।

12. स्मृतिहीनता: आपके पहुँचने के क्षण से बची हुई प्रतीक्षा माध्य $10$ वाली चरघातांकी है — यानी पूरे $10$ मिनट, $5$ नहीं। समय-सारणी का “माध्य अंतराल $10$ ” भ्रम में डाल देता है: आपकी प्रतीक्षा का बंटन पूरे एक अंतराल जैसा ही है।

13. यादृच्छिक आगमन अंतराल की लंबाई के समानुपात में गिरते हैं: $\P(\text{लंबा अंतराल}) = \frac{15}{20} = \frac34$ । प्रत्याशित प्रतीक्षा: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times \frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ मिनट — भोले $5$ से अधिक, यद्यपि माध्य अंतराल $10$ है। अपराधी: लंबाई-अभिनत प्रतिदर्शन — लंबे अंतराल अधिक यात्री पकड़ लेते हैं।

14. पीछे और आगे की प्रतीक्षाएँ दोनों माध्य $10$ वाली चरघातांकी हैं (आपके आगमन से स्मृतिहीनता दोनों दिशाओं में चलती है): इसलिए आपको समेटने वाले अंतराल का औसत $20$ मिनट होता है — प्रारूपिक अंतराल का दुगुना। निरीक्षण विरोधाभास एक वाक्य में: आप संयोग से जिस अंतराल का निरीक्षण करते हैं वह प्रारूपिक अंतराल नहीं है, क्योंकि आपके किसी बड़े अंतराल में गिरने की संभावना अधिक थी।

15. औसत कक्षा: $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ विद्यार्थी। विद्यार्थी-भोगा औसत: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000} {200} = 65$ विद्यार्थी। विवरणिका $20$ छापती है; और पाँच में से तीन विद्यार्थी $110$ वाली कक्षा में बैठते हैं तथा $65$ जीते हैं।

16. लोकप्रिय लोग अनेक मित्र-सूचियों में आते हैं, इसलिए “एक मित्र” का प्रतिदर्शन मिलनसारों की ओर लंबाई-अभिनत होता है — आपके मित्र सामाजिक समय-सारणी के लंबे अंतरालों से निकाले जाते हैं।

17. $t \geq 0$ के लिए: $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U < \eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$ : ठीक चरघातांकी का उत्तरजीविता फलन — एक ही लघुगणक संगणक के एकसमान शोर को किसी भी प्रतीक्षा-काल में बदल देता है।

18. हर एकसमान चर का माध्य $\frac12$ और प्रसरण $\frac{1}{12}$ है: बारह के योग का माध्य $6$ और प्रसरण $1$ — इसलिए नुस्ख़ा माध्य $0$ और प्रसरण $1$ देता है। बारह स्वतंत्र छोटे धक्के जोड़े हुए: वही गॉल्टन तंत्र, और दे म्वाव्र–लाप्लास के आशीर्वाद से आयतचित्र आँख को पहले ही घंटी-सा दिखता है।

19. प्रतिरूप के बारे में: बाज़ार अनेक स्वतंत्र छोटे कारणों के योग नहीं हैं — घबराहट सब कुछ सहसंबंधित कर देती है (पिछली समस्या का 2008 वाला पाठ) और ऐसी मोटी पूँछें पैदा करती है जो किसी प्रसामान्य घनत्व के पास हैं ही नहीं। जब आँकड़े $10^{-137}$ फुसफुसाएँ, तब सांख्यिकीविद् का पाठ उत्तर देता है: प्रतिरूप अस्वीकार हुआ है, वह दिन नहीं।

20. एकसमान: सभी स्थान बराबर, यानी ईमानदार “मैं केवल सीमाएँ जानता हूँ”। चरघातांकी: वह ख़तरा जो कभी बूढ़ा नहीं होता — क्षय, आगमन, चटकें। प्रसामान्य: अनेक छोटे स्वतंत्र कारणों की लोकतांत्रिक घंटी — लंबाइयाँ, त्रुटियाँ, औसत। डंक: आप जिसका प्रतिदर्शन करते हैं वह इस बात से अभिनत होता है कि आप उससे टकराए कैसे — बसें, कक्षाएँ, मित्र। और चाप: जिस बच्चे ने कक्षा 6 में रस के डिब्बे गिने थे, उसने दस खंडों की समस्याओं के बाद एक वक्र से पूरी भीड़ नाप ली है; और यह समझाने के लिए कि घंटी हर चीज़ के लिए क्यों बजती है, एप्सिलॉन, समाकल तथा केंद्रीय सीमा प्रमेय स्नातक खंडों में प्रतीक्षा कर रहे हैं।