उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

34यादृच्छिक चरों के योग और बृहत् संख्याओं का नियम

जुआघर अंत में हमेशा क्यों जीतते हैं, और सर्वेक्षण काम क्यों करते हैं? क्योंकि अनेक स्वतंत्र यादृच्छिक राशियों के औसत कम से कम उतार-चढ़ाव करते हैं। यह अध्याय इसे सिद्ध करता है: प्रत्याशा की रैखिकता, स्वतंत्र चरों के लिए प्रसरण की योज्यता, ब्येनेमे–चेबिशेव असमिका, और बृहत् संख्याओं का नियम।

34.1 यादृच्छिक चरों के योग

एक ही परिमित प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ पर दो यादृच्छिक चर $X, Y$ दिए होने पर योग $X + Y$ वह यादृच्छिक चर $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$ है।

प्रमेय 34.1 (प्रत्याशा की रैखिकता)

$\Omega$ पर सभी यादृच्छिक चरों $X, Y$ और $a, b \in \R$ के लिए:

\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .

इसके लिए स्वतंत्रता की कोई मान्यता आवश्यक नहीं है।

उपपत्ति. प्रत्याशा को परिणामों पर योग के रूप में लिखिए: चूँकि $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$ , इसलिए पद समूहित करने पर $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$ मिलता है। तब

\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega) + \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere

∎

परिभाषा 34.2 (स्वतंत्र यादृच्छिक चर)

$X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं यदि सभी मानों $x, y$ के लिए

\P(X = x \text{ और } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).

हो। कई चर $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र हैं यदि यह गुणन-नियम हर उपपरिवार के हर मान-चयन के लिए सही हो।

प्रतिज्ञप्ति 34.3

यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हों, तो $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ ।

उपपत्ति.

\begin{aligned} \E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ और } Y = y) = \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\ &= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere \end{aligned}

∎

प्रमेय 34.4 (योग का प्रसरण)

यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हों, तो

\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).

और अधिक सामान्य रूप से, स्वतंत्र $X_1, \dots, X_n$ के लिए $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$ ।

उपपत्ति. कोनिग–होयगेंस (प्रतिज्ञप्ति 33.3) और रैखिकता का उपयोग करने पर:

\begin{align*} \V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\ &= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2) - \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\ &= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr), \end{align*}

और स्वतंत्र चरों के लिए अंतिम कोष्ठक लुप्त हो जाता है (प्रतिज्ञप्ति 34.3)। सामान्य स्थिति आगमन से निकलती है। ∎

उदाहरण 34.5 (द्विपद पर फिर एक नज़र)

कोई द्विपद चर $X \sim \mathcal B(n, p)$ $n$ स्वतंत्र बर्नूली चरों का योग $X = X_1 + \dots + X_n$ है। अतः संरचनात्मक रूप से:

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),

जिससे बिना किसी गणना के प्रमेय 33.8 फिर मिल जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 34.6 (प्रतिदर्श माध्य)

मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र हैं और सबका बंटन $X$ जैसा है (प्रत्याशा $\mu$ , प्रसरण $\sigma^2$ ), और $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ उनका प्रतिदर्श माध्य है। तब

\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.

उपपत्ति. रैखिकता से $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ; स्वतंत्रता से $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$ , और $n$ से भाग देने पर प्रसरण $\frac{1}{n^2}$ गुना हो जाता है (प्रतिज्ञप्ति 33.4)। ∎

$\frac{\sigma}{\sqrt n}$ ही मूलभूत वर्गमूल नियम है: किसी औसत के उतार-चढ़ाव आधे करने के लिए प्रतिदर्श-आकार चौगुना कीजिए।

वर्गमूल नियम: प्रतिदर्श-आकार हर बार चौगुना करने पर माध्य का मानक विचलन केवल आधा होता है।

34.2 संकेंद्रण की असमिकाएँ

प्रमेय 34.7 (मार्कोव असमिका)

यदि $X \geq 0$ और $a > 0$ हों, तो

\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.

उपपत्ति. $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ में (सभी पद अऋणात्मक हैं) केवल वे पद रखिए जिनके लिए $x_i \geq a$ हो: हर एक कम से कम $a\,p_i$ है, इसलिए $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$ । ∎

प्रमेय 34.8 (ब्येनेमे–चेबिशेव असमिका)

किसी भी यादृच्छिक चर $X$ और किसी भी $\varepsilon > 0$ के लिए:

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.

उपपत्ति. अऋणात्मक चर $Y = (X - \E(X))^2$ पर $a = \varepsilon^2$ के साथ मार्कोव असमिका लगाइए:

\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr) = \P(Y \geq \varepsilon^2) \leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere

∎

संकेंद्रण: ब्येनेमे–चेबिशेव इस प्रायिकता को (X)/ 2 से परिबद्ध कर देती है कि X पूँछों (लाल) में, यानी अपनी प्रत्याशा से कम से कम दूरी पर, जा गिरे। — संकेंद्रण: ब्येनेमे–चेबिशेव इस प्रायिकता को $\V(X)/\varepsilon^2$ से परिबद्ध कर देती है कि $X$ पूँछों (लाल) में, यानी अपनी प्रत्याशा से कम से कम $\varepsilon$ दूरी पर, जा गिरे।

प्रमेय 34.9 (बृहत् संख्याओं का नियम)

मान लीजिए $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र हैं और सबका बंटन एक ही है (प्रत्याशा $\mu$ , प्रसरण $\sigma^2$ ), और $M_n$ उनका प्रतिदर्श माध्य है। तब हर $\varepsilon > 0$ के लिए:

\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .

प्रतिदर्श माध्य प्रत्याशा के चारों ओर सिमट जाता है।

उपपत्ति. $M_n$ पर ब्येनेमे–चेबिशेव लगाइए, जिसकी प्रत्याशा $\mu$ और प्रसरण $\frac{\sigma^2}{n}$ है (प्रतिज्ञप्ति 34.6)। ∎

टिप्पणी 34.10

यह प्रमेय प्रायिकता-सिद्धांत और सांख्यिकी के बीच का पुल है: अनेक स्वतंत्र पुनरावृत्तियों पर किसी घटना की आपेक्षिक बारंबारता उसकी प्रायिकता के पास पहुँच जाती है ( $X_i$ को घटना का सूचक लीजिए, जिससे $\mu = p$ )। यही अनुकरण से प्रायिकता आँकने (मोंते कार्लो विधि) और सर्वेक्षण से किसी समष्टि का अनुपात आँकने को उचित ठहराती है — और मात्रात्मक रूप से भी: अध्याय 35 देखिए।

विधि 34.11 (ब्येनेमे–चेबिशेव का उपयोग)

$\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$ की गारंटी के लिए इतना पर्याप्त है कि $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$ हो। यह परिबंध मोटा है (वास्तविक उतार-चढ़ाव प्रायः कहीं छोटे होते हैं) पर पूरी तरह सार्वभौमिक: वह बंटन के बारे में परिमित प्रसरण के सिवा कुछ नहीं माँगता।

34.3 अभ्यास

अभ्यास 34.1 ★

दो न्यायसंगत पासे फेंके जाते हैं; मान लीजिए $S$ उनका योग है। रैखिकता से ( $S$ के बंटन से नहीं!) $\E(S)$ निकालिए; फिर स्वतंत्रता से $\V(S)$ निकालिए, यह दिया होने पर कि एक न्यायसंगत पासे का प्रसरण $\frac{35}{12}$ है।

हल

हल — अभ्यास 34.1.

हर पासे की प्रत्याशा $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$ है, इसलिए रैखिकता से $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$ । पासे स्वतंत्र हैं, अतः $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ ।

अभ्यास 34.2 ★

मान लीजिए $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$ है। मार्कोव असमिका से $\P(X \geq 75)$ और ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ परिबद्ध कीजिए। तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 34.2.

$\E(X) = 50$ और $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$ ।

मार्कोव ( $X \geq 0$ ): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$ ।

ब्येनेमे–चेबिशेव: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — और यह तो द्विपक्षीय घटना को परिबद्ध करता है, जिसका आधा हिस्सा $X \geq 75$ है। यहाँ चेबिशेव कहीं पैना है क्योंकि वह केवल माध्य नहीं, प्रसरण का भी उपयोग करता है। ( $\P(X \geq 75)$ का सच्चा मान $10^{-6}$ से छोटा है: दोनों परिबंध मोटे हैं।)

अभ्यास 34.3 ★

कोई न्यायसंगत सिक्का $n$ बार उछाला जाता है और $F_n$ चितों की आपेक्षिक बारंबारता है। $n$ कितना बड़ा होना चाहिए कि ब्येनेमे–चेबिशेव परिबंध से $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$ हो जाए?

हल

हल — अभ्यास 34.3.

$F_n$ $\left(\frac12\right)$ वाले $n$ बर्नूली चरों का प्रतिदर्श माध्य है, जिनका प्रसरण $\sigma^2 = \frac14$ है। परिबंध

\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right) \leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}

$n \geq 2000$ होते ही $\leq 0.05$ हो जाता है।

अभ्यास 34.4 ★★

कोई निवेशक अपनी पूँजी $n$ स्वतंत्र परिसंपत्तियों में बराबर बाँट देती है, और हर एक का प्रत्याशित प्रतिफल $\mu = 5\%$ तथा मानक विचलन $\sigma = 20\%$ है। निवेश-संचय के प्रतिफल $M_n$ की प्रत्याशा और मानक विचलन निकालिए, और मानक विचलन को $4\%$ से नीचे लाने के लिए आवश्यक परिसंपत्तियों की संख्या भी। यह किस वित्तीय सिद्धांत को दर्शाता है?

हल

हल — अभ्यास 34.4.

प्रतिज्ञप्ति 34.6 से $\E(M_n) = 5\%$ (विविधीकरण प्रत्याशित प्रतिफल नहीं बदलता) और $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$ । $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ माँगने पर $\sqrt n > 5$ , अर्थात् $n \geq 26$ मिलता है। यही विविधीकरण का सिद्धांत है: पूँजी को स्वतंत्र जोखिमों पर फैला देने से जोखिम (मानक विचलन) $\sqrt n$ से बँट जाता है और प्रत्याशित प्रतिफल घटता नहीं।

अभ्यास 34.5 ★★

मान लीजिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं और दोनों $\{1, 2, 3\}$ पर एकसमान हैं।

$S = X + Y$ का बंटन बताइए और उसी से सीधे $\E(S)$ , $\V(S)$ निकालिए।
दोनों मान रैखिकता और प्रसरण की योज्यता से फिर पाइए।

हल

हल — अभ्यास 34.5.

1. $9$ समसंभावी युग्मों को गिनने पर: $S$ मान $2, 3, 4, 5, 6$ लेता है, जिनकी प्रायिकताएँ $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$ हैं। अतः $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ और $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$ , इसलिए $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$ ।

2. एक चर के लिए: $\E(X) = 2$ , $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$ , $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$ । तब $\E(S) = 2 + 2 = 4$ और, स्वतंत्रता से, $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$ । वही मान।

अभ्यास 34.6 ★★

दिखाइए कि स्वतंत्रता के बिना प्रसरण की योज्यता टूट सकती है: $Y = X$ के लिए $\V(X + Y)$ निकालिए और $\V(X) + \V(Y)$ से तुलना कीजिए। किन चरों $X$ के लिए $\V(2X) = 2\V(X)$ होता है?

हल

हल — अभ्यास 34.6.

$Y = X$ के साथ: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$ , जबकि $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$ । दोनों केवल तभी मेल खाते हैं जब $\V(X) = 0$ हो, अर्थात् जब $X$ अचर हो — इसलिए योज्यता सचमुच स्वतंत्रता माँगती है (यहाँ $X$ स्वयं पर अधिकतम रूप से निर्भर है)।

अभ्यास 34.7 ★★

किसी पासे पर भारित होने का संदेह है। उसे $1200$ बार फेंका जाता है और वह $260$ बार छक्का दिखाता है ( $\frac16 \approx 0.1667$ के बजाय $f = 0.2167$ )। पासे के न्यायसंगत होने की परिकल्पना के अधीन ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ परिबद्ध कीजिए, और चर्चा कीजिए कि न्यायसंगतता की परिकल्पना विश्वसनीय है या नहीं।

हल

हल — अभ्यास 34.7.

न्यायसंगतता के अधीन $F_n$ $p = \frac16$ , $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56 = \frac{5}{36}$ वाले $n = 1200$ बर्नूली चरों का माध्य है:

\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right) \leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .

प्रेक्षित विचलन ठीक $0.05$ है: ऐसी घटना जिसे न्यायसंगत पासा अधिक से अधिक $4.6\%$ प्रायिकता से देता है — और चूँकि चेबिशेव बहुत ही रूढ़िवादी है, सच्ची प्रायिकता कहीं छोटी है। न्यायसंगतता की परिकल्पना विश्वसनीय नहीं है; पासा बहुत संभवतः भारित है।

अभ्यास 34.8 ★★★

(सिक्के के लिए एक बेहतर असमिका.) मान लीजिए $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ और $F_n = \frac Xn$ हैं।

दिखाइए कि $p \in \intcc{0}{1}$ के लिए $p(1-p) \leq \frac14$ है।
बंटन-निरपेक्ष परिबंध $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ निकालिए।
इस परिबंध का उपयोग करके बताइए कि कितने लोगों का सर्वेक्षण करना पड़ेगा ताकि प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता कम से कम $95\%$ प्रायिकता से सच्चे अनुपात के $3$ अंक के भीतर रहे? (असली सर्वेक्षण अधिक पैने आकलन काम में लाते हैं, पर परिमाण की कोटि यही है।)

हल

हल — अभ्यास 34.8.

1. $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$ ।

2. $F_n$ की प्रत्याशा $p$ और प्रसरण $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$ है; ब्येनेमे–चेबिशेव देता है

\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},

जो अज्ञात $p$ चाहे जो हो, वैध रहता है।

3. $\varepsilon = 0.03$ और स्तर $0.05$ के साथ:

\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05 \iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .

इस मोटे परिबंध से लगभग $5600$ लोग पर्याप्त हैं (चिरपरिचित प्रसामान्य-सन्निकटन वाला उत्तर $1100$ के पास है, अध्याय 35 देखिए)।

34.4 समस्या: जुआघर हमेशा जीतता है

समस्या 34.1

सप्ताहांत समस्या — बृहत् संख्याओं का नियम जुआघरों, सर्वेक्षणों और बीमे की व्याख्या कर देता है, और रास्ते में जुआरी की भ्रांति ध्वस्त कर देता है

$100$ चक्करों के बाद कोई रूले खिलाड़ी लगभग आधी बार आगे ही होता है। पर दस लाख चक्कर चलाने वाला जुआघर इतनी निश्चितता से आगे होता है कि कोई अदालत सवाल न उठाए। वही खेल, वही नन्ही बढ़त — अंतर $\sqrt n$ का है, और यही इस अध्याय का विषय है (प्रतिज्ञप्ति 34.6, प्रमेय 34.8, प्रमेय 34.9)। यह समस्या जुआघर का बही-खाता चलाती है, किसी चुनाव-सर्वेक्षण का आकार तय करती है, विविधीकरण का दाम लगाती है — और जुए के इतिहास की सबसे महँगी भ्रांति को ढहा देती है।

भाग I — प्रवाह।

दो स्वतंत्र पासे: $V(X + Y)$ निकालिए (प्रमेय 34.4)।
$100$ स्वतंत्र पासे फेंकिए और परिणामों का औसत लीजिए: प्रतिदर्श माध्य की प्रत्याशा और मानक विचलन बताइए (प्रतिज्ञप्ति 34.6; एक पासे के लिए $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ )।
किसी अऋणात्मक यादृच्छिक चर की प्रत्याशा $2$ है। मार्कोव असमिका (प्रमेय 34.7) $\P(X \geq 10)$ के बारे में क्या कहती है?
प्रश्न 2 के पासों वाले औसत के लिए ब्येनेमे–चेबिशेव से $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq 0.5\right)$ परिबद्ध कीजिए।
प्रत्याशाएँ सदा जुड़ती हैं, प्रसरण केवल स्वतंत्रता के अधीन: ऐसे परावलंबी $X, Y$ दीजिए (संकेत: $Y = -X$ ) जिनके लिए $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ हो।

भाग II — जुआघर का बही-खाता। यूरोपीय रूले, लाल पर $1$ यूरो का दाँव: प्रायिकता $\frac{18}{37}$ से $+1$ की जीत और प्रायिकता $\frac{19}{37}$ से $-1$ की हार।

एक दाँव के लाभ की प्रत्याशा और मानक विचलन निकालिए।
कोई जुआरी $100$ स्वतंत्र दाँव लगाता है; मान लीजिए $G$ कुल लाभ है। $\E(G)$ और $\sigma(G)$ निकालिए, फिर अनुपात $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ । एक चौथाई मानक विचलन का बहाव आज रात जुआरी के आगे रहने की संभावनाओं के लिए क्या अर्थ रखता है?
जुआघर $1\,000\,000$ दाँव देखता है। उसकी कुल वसूली की प्रत्याशा और मानक विचलन तथा वही अनुपात निकालिए। संख्या $27$ की व्याख्या कीजिए।
चेबिशेव से प्रमाणित कीजिए: दस लाख दाँवों पर जुआघर के पैसे गँवाने की प्रायिकता परिबद्ध कीजिए।
दाँव लगाने की पद्धतियाँ: हारने पर दुगुना करना, आगे होते ही उठ जाना … (संभवतः यादृच्छिक) दाँव-क्रम पर प्रत्याशा की रैखिकता (प्रमेय 34.1) लगाकर समझाइए कि ऋणात्मक-बढ़त वाले खेल में हर रणनीति का प्रत्याशित लाभ ऋणात्मक क्यों होता है — कोई जिताऊ पद्धति किस बात का उल्लंघन करेगी?
बताइए कि बृहत् संख्याओं का नियम (प्रमेय 34.9) लाल की आपेक्षिक बारंबारता के बारे में क्या वादा करता है — और लगातार दस लाल आने के बाद अगले चक्कर के बारे में वह क्या वादा नहीं करता। भ्रांति का नाम बताइए।
सबसे सूक्ष्म बात: नियम तनुकरण से काम करता है, भरपाई से नहीं। यदि किसी शाम के बाद लाल प्रत्याशा से $100$ आगे चल रहे हों, तो वह अधिशेष कभी “लौटाया” नहीं जाता — इसके बदले $n = 10^6$ पर अंश $\frac{100}{n}$ का क्या होता है, यह निकालिए, और जुआरी की भ्रांति की भूल एक वाक्य में फिर से लिखिए।

भाग III — सर्वेक्षण।

अभ्यास 34.8 से: बंटन-निरपेक्ष चेबिशेव परिबंध के अनुसार कितने लोगों का सर्वेक्षण करना पड़ेगा ताकि प्रेक्षित आपेक्षिक बारंबारता कम से कम $95\,\%$ प्रायिकता से सत्य के $3$ अंक के भीतर रहे?
असली सर्वेक्षण संस्थान $95\,\%$ पर $\pm 3$ -अंक की सीमा के लिए लगभग $1\,100$ लोग लेते हैं: उनका सूत्र $p(1-p) \leq \frac14$ के साथ $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)} {\varepsilon^2}$ है। उसका मान निकालिए, और प्रश्न 13 से अंतर समझाइए (उतार-चढ़ाव की आकृति के बारे में चेबिशेव क्या नहीं जानता?)।
त्रुटि-सीमा आधी करने के लिए प्रतिदर्श कितना बढ़ाना पड़ेगा? $1\,100$ पर $\pm 3$ अंक से चलकर कौन-सा प्रतिदर्श $\pm 1.5$ अंक देता है?
चिरपरिचित उलटबाँसी: आवश्यक प्रतिदर्श-आकार ने कभी समष्टि का आकार काम में लिया ही नहीं — किसी नगर के लिए भी और किसी महाद्वीप के लिए भी $1\,100$ लोग पर्याप्त हैं। प्रतिरूप में वह जगह बताइए जहाँ समष्टि का आकार अनुपस्थित है, और सर्वेक्षक जो रसोई वाली उपमा देते हैं वह भी।

भाग IV — विविधीकरण।

समस्या 33.1 का बीमाकर्ता $n$ बीमा-पत्रों पर प्रत्याशा में $30n$ यूरो कमाता है, जबकि दावों का मानक विचलन लगभग $315\sqrt n$ है। किस $n$ के लिए प्रत्याशित लाभ अंततः दावों के एक मानक विचलन से आगे निकल जाता है? $\sqrt n$ बीमाकर्ता के लिए क्या कर रहा है?
किसी एक शेयर का वार्षिक प्रतिफल $\sigma = 20\,\%$ के साथ उतार-चढ़ाव करता है। पैसा $25$ ऐसे स्वतंत्र शेयरों में बराबर बाँट दीजिए: निवेश-संचय का $\sigma$ निकालिए। वित्त विविधीकरण को इकलौती मुफ़्त की दावत कहता है — वह दावत ठीक-ठीक क्या है?
अब मान लीजिए $25$ शेयर पूरी तरह सहसंबंधित हैं (सब एक साथ चलते हैं): तब निवेश-संचय का $\sigma$ क्या है? दोनों छोरों की तुलना कीजिए और बताइए कि विविधीकरण का हर तर्क चुपके से कौन-सी मान्यता उधार लेता है — और 2008 में जब वह पूरे तंत्र में टूट गई तब क्या हुआ।
समापन — $\sqrt n$ की संगीत-रचना: योग $\sqrt n$ की तरह उतार-चढ़ाव करते हैं जबकि उनके माध्य $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह जमते जाते हैं; इस मुख्य स्वर को इस समस्या के चारों उद्योगों (जुआघर, सर्वेक्षण, बीमा, निवेश-संचय) में बजाइए, दोनों स्थायी दुरुपयोगकर्ताओं के नाम बताइए (जुआरी की भ्रांति और नक़ली स्वतंत्रता), और आगे का संकेत दीजिए: उतार-चढ़ाव की आकृति — घंटी — अगले अध्याय का संतत सितारा है, और उसकी पूरी प्रमेय स्नातक खंडों का ताज है।

हल

हल — समस्या 34.1.

1. $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ (स्वतंत्रता)।

2. $\E(\bar X) = 3.5$ ; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$ : सौ पासों का औसत $3.5$ से पाँचवें हिस्से भर अंक के भीतर चिपका रहता है।

3. $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$ ।

4. $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} = \frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$ : अधिक से अधिक लगभग $12\,\%$ ।

5. $Y = -X$ के साथ: $V(X + Y) = V(0) = 0$ , जबकि $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : पूरी तरह विपरीत-सहसंबंधित चर एक-दूसरे को काट देते हैं — प्रसरण का जुड़ना स्वतंत्रता का विशेषाधिकार है।

6. $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0.027$ ; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx 1.00$ ।

7. $\E(G) = -2.70$ , $\sigma(G) = 10 \times 1.00 = 10$ : बहाव केवल $0.27\sigma$ है। रात का शोर बढ़त को बौना कर देता है — जुआरियों का एक बड़ा अल्पमत (घंटी के अनुसार मोटे तौर पर $40\,\%$ ) जीतकर बाहर निकलता है, और ठीक यही उन्हें लौटाता रहता है।

8. जुआघर की वसूली: प्रत्याशा $+27\,027$ यूरो, मानक विचलन $\approx 1\,000$ : लाभ शून्य से $27$ मानक विचलन ऊपर बैठा है। $27\sigma$ पर “जुआघर इस वर्ष हार भी सकता है” कोई जोखिम नहीं, केवल पूर्णांकन की त्रुटि है।

9. जुआरियों के लिए $\P(\text{हानि}) = \P(G \geq 27\,027$ $)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx 0.0014$ : पुस्तक की सबसे भोंथरी असमिका भी जुआघर को $99.86\,\%$ पर गारंटी दे देती है — सच्चाई तो खगोलीय रूप से और भी मज़बूत है।

10. दाँव पर लगा हर यूरो, चाहे कभी और चाहे कैसे भी चुना गया हो, अपना $-\frac{1}{37}$ प्रत्याशित प्रतिफल देता है; और रैखिकता से कुल प्रत्याशित लाभ $-\frac{1}{37} \times (\text{कुल दाँव})$ है, जो कुछ भी दाँव पर लगाने वाली हर रणनीति के लिए ऋणात्मक है। कोई जिताऊ पद्धति प्रत्याशा की रैखिकता का उल्लंघन करेगी — बुरे दाँवों को चतुराई से क्रम में लगाने से वे अच्छे नहीं हो जाते। (दुगुना करने वाली पद्धतियाँ बस अनेक छोटी जीतें देकर विरली विनाशकारी हार ख़रीदती हैं।)

11. प्रमेय: $n$ चक्करों पर लाल की आपेक्षिक बारंबारता (प्रायिकता में) $\frac{18}{37}$ पर अभिसरित होती है। वह चक्कर $n + 1$ के बारे में कुछ नहीं कहती: पहिये की कोई स्मृति नहीं है, और दस लाल के बाद भी लाल की संभावना $\frac{18}{37}$ ही रहती है। इसके उलट मानना ही जुआरी की भ्रांति है, और प्रश्न 12 दिखाता है कि शृंखलाओं के साथ असल में होता क्या है।

12. $100$ लालों का अधिशेष लौटाया नहीं जाता — आगे के चक्कर न्यायसंगत प्रतियाँ हैं और प्रत्याशित अधिशेष $100$ ही रहता है। पर $\frac{100}{10^6} = 0.0001$ : एक अंक का सौवाँ हिस्सा। भ्रांति की भूल एक वाक्य में: बृहत् संख्याओं का नियम बीते संयोगों को नए परीक्षणों के महासागर में घोल देता है; वह पहिये को क़र्ज़ वसूलने कभी नहीं भेजता।

13. $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2} \approx 5\,556$ लोग।

14. $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx 1\,067$ : पाँच गुना कम। चेबिशेव हर बंटन के लिए सही रहता है और अपनी सार्वभौमिकता की क़ीमत ढील देकर चुकाता है; सर्वेक्षकों का अचर $1.96$ उतार-चढ़ाव की असली घंटी-आकृति से आता है, जो कहीं कसकर सिमटती है।

15. सीमा $\propto \frac{1}{\sqrt n}$ : उसे आधा करने पर प्रतिदर्श चौगुना हो जाता है — $\pm 1.5$ अंकों के लिए लगभग $4\,400$ लोग। यथार्थता वर्ग वाली क़ीमत पर ख़रीदी जाती है।

16. प्रतिरूप सफलता-प्रायिकता $p$ वाले $n$ स्वतंत्र निकाले हैं — और समष्टि का आकार $N$ कहीं आता ही नहीं (किसी बड़ी, अच्छी तरह मिली हुई समष्टि के नन्हे अंश का प्रतिदर्शन ही तो स्वतंत्रता में समाया है)। सर्वेक्षकों की उपमा: सूप चखने के लिए एक अच्छी तरह हिलाया हुआ चम्मच पर्याप्त है — चाहे पतीला दस लोगों का हो या दस हज़ार का। पेंच हिलाने में है — अभिनत प्रतिदर्श-ढाँचा, जैसा माध्यमिक विद्यालय खंड के उस सर्वेक्षण में था जिसने पूरे देश को छका दिया — पतीले में नहीं।

17. $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff n > 110$ : सौ बीमा-पत्रों से आगे बहाव शोर से आगे निकल जाता है, और हर अगला बीमा-पत्र $\sqrt n$ वाले नियम से अंतर और चौड़ा कर देता है — साझा करना ही यह धंधा है।

18. स्वतंत्र बराबर हिस्से: $\sigma_{\text{pf}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$ : वही प्रत्याशित प्रतिफल, और उतार-चढ़ाव पाँचवाँ हिस्सा। दावत यही है: प्रत्याशा में शून्य क़ीमत पर जोखिम-कमी — स्वतंत्र यादृच्छिकता का औसत ले लेना।

19. पूरी तरह सहसंबंधित: निवेश-संचय $25$ वेशों में एक ही शेयर है: $\sigma = 20\,\%$ , कोई कमी नहीं। विविधीकरण स्वतंत्रता किराए पर लेता है; और जब कोई संकट सब कुछ सहसंबंधित कर देता है (2008: मकानों के सारे दाँव एक ही दाँव थे), तब $\sqrt n$ वाला कवच ठीक उसी समय उड़ जाता है जब उसकी सबसे अधिक ज़रूरत होती है।

20. योग $n$ की तरह बहते हैं और $\sqrt n$ की तरह उतार-चढ़ाव करते हैं, इसलिए माध्य $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह जम जाते हैं: जुआघर दस लाख चक्करों पर बहाव जमा कर लेता है; सर्वेक्षक फ़ोन के बजट में $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ का शोर ख़रीद लेता है; बीमाकर्ता $n > 110$ पर अपने ही दावों से आगे निकल जाता है; और निवेशक जोखिम को $\sqrt{25}$ से बाँट लेता है। दुरुपयोगकर्ता: वह जुआरी जो क़र्ज़ में विश्वास करता है (वहाँ केवल तनुकरण है), और वह वित्तकर्मी जो स्वतंत्रता में विश्वास करता है (वहाँ कभी-कभी केवल एक ही दाँव होता है)। उतार-चढ़ाव की सार्वभौमिक आकृति — घंटी — संतत अध्याय का सितारा है, और उसकी प्रमेय, केंद्रीय सीमा प्रमेय, स्नातक खंडों की प्रायिकता का शिखर।