उच्च माध्यमिक गणित · Bovenbouw

26अवकल समीकरण

अवकल समीकरण किसी फलन को उसके अवकलजों से जोड़ता है। भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान और अर्थशास्त्र अपने नियम इसी रूप में व्यक्त करते हैं: किसी वस्तु के ठंडा होने की दर, किसी रेडियोधर्मी नाभिक का क्षय, किसी समष्टि की वृद्धि — ये सब $y'$ के बारे में कथन हैं। यह अध्याय अचर गुणांकों वाले प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण पूरी तरह हल कर देता है।

26.1 समीकरण $y' = ay$

परिभाषा 26.1 (अवकल समीकरण)

अवकल समीकरण वह समीकरण है जिसका अज्ञात कोई फलन $y$ हो और जिसमें $y$ तथा उसके अवकलज आते हों। किसी अंतराल $I$ पर हल वह अवकलनीय फलन है जो $I$ के हर बिंदु पर समीकरण को संतुष्ट करे।

प्रमेय 26.2 ( $y' = ay$ के हल)

मान लीजिए $a \in \R$ है। समीकरण $y' = ay$ के $\R$ पर हल ठीक ये फलन हैं

y(x) = C\,\eu^{ax}, \qquad C \in \R .

हर युग्म $(x_0, y_0)$ के लिए $y(x_0) = y_0$ वाला अद्वितीय हल होता है।

उपपत्ति. हर $y = C\eu^{ax}$ $y' = Ca\,\eu^{ax} = ay$ को संतुष्ट करता है। इसके उलट, मान लीजिए $y$ कोई हल है और $z(x) = y(x)\,\eu^{-ax}$ रखिए। तब

z'(x) = y'(x)\,\eu^{-ax} - a\,y(x)\,\eu^{-ax} = \bigl(y'(x) - a y(x)\bigr)\eu^{-ax} = 0,

इसलिए $z$ अचर है, मान लीजिए $C$ , और $y(x) = C\eu^{ax}$ । आरंभिक शर्त $y(x_0) = y_0$ $C = y_0 \eu^{-a x_0}$ को अद्वितीय रूप से तय कर देती है। ∎

टिप्पणी 26.3

इस तरह चरघातांकी फलन का अभिलक्षण सभी अवकल समीकरणों में सबसे सरल समीकरण से मिलता है: आकार के समानुपाती वृद्धि। इसीलिए वह प्रकृति में हर जगह प्रकट होता है।

समीकरण y' = y समतल के हर बिंदु पर एक प्रवणता निर्धारित कर देता है (धूसर रेखाखंड)। हल C x — यहाँ C = 1 (नीला), C = 0.3 (लाल), C = -0.5 (नारंगी) — ठीक वही वक्र हैं जो प्रवणताओं के इस क्षेत्र का अनुसरण करते हैं। — समीकरण $y' = y$ समतल के हर बिंदु पर एक प्रवणता निर्धारित कर देता है (धूसर रेखाखंड)। हल $C\eu^{x}$ — यहाँ $C = 1$ (नीला), $C = 0.3$ (लाल), $C = -0.5$ (नारंगी) — ठीक वही वक्र हैं जो प्रवणताओं के इस क्षेत्र का अनुसरण करते हैं।

उदाहरण 26.4 (रेडियोधर्मी क्षय)

कोई रेडियोधर्मी राशि $\lambda > 0$ के साथ $N' = -\lambda N$ को संतुष्ट करती है, इसलिए $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ ; अर्धायु के लिए उदाहरण 23.9 देखिए।

26.2 समीकरण $y' = ay + b$

प्रमेय 26.5 ( $y' = ay + b$ के हल)

मान लीजिए $a \neq 0$ और $b \in \R$ हैं। $y' = ay + b$ के $\R$ पर हल ठीक ये फलन हैं

y(x) = C\,\eu^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \R .

अचर फलन $y_p = -\frac ba$ साम्य हल है। हर $(x_0, y_0)$ के लिए $y(x_0) = y_0$ वाला अद्वितीय हल है; और यदि $a < 0$ हो, तो $x \to +\infty$ पर हर हल साम्य $-\frac ba$ की ओर जाता है।

उपपत्ति. अचर $y_p = -\frac{b}{a}$ $y_p' = 0 = a y_p + b$ को संतुष्ट करता है। अब $y$ हल है यदि और केवल यदि

(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + \underbrace{a y_p + b}_{=\,0} = a (y - y_p),

अर्थात् यदि और केवल यदि $z = y - y_p$ $z' = az$ को हल करे। प्रमेय 26.2 से $z = C\eu^{ax}$ मिलता है, जिससे सूत्र, अस्तित्व और अद्वितीयता निकल आते हैं। यदि $a < 0$ हो, तो $x \to +\infty$ पर $\eu^{ax} \to 0$ , इसलिए $y(x) \to -\frac ba$ । ∎

विधि 26.6 (आरंभिक शर्त के साथ $y' = ay + b$ हल करना)

साम्य हल $y_p = -\frac{b}{a}$ ज्ञात कीजिए ( $y' = 0$ हल कीजिए)।
व्यापक हल $y = C\eu^{ax} + y_p$ लिखिए।
आरंभिक शर्त से $C$ ज्ञात कीजिए।
दीर्घ काल के व्यवहार की जाँच भौतिक अंतर्ज्ञान के सामने कीजिए (क्या हल साम्य पर अभिसरित होता है?)।

यही रणनीति — विशेष हल + समघात समीकरण का व्यापक हल — $y' = ay + f(x)$ तक भी बढ़ती है: प्रतिज्ञप्ति 26.8 देखिए।

उदाहरण 26.7 (न्यूटन का शीतलन नियम)

$80\,^\circ$ C की कॉफ़ी का प्याला $20\,^\circ$ C के कमरे में रखा है। न्यूटन का नियम कहता है कि ताप $T$ किसी $k > 0$ के लिए $T' = -k(T - 20)$ को संतुष्ट करता है, अर्थात् $T' = -kT + 20k$ । साम्य $20$ है, और $T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt}$ : कॉफ़ी चरघातांकी तेज़ी से कमरे के ताप तक ठंडी हो जाती है।

आरंभिक ताप चाहे जो हो, T' = -k(T - 20) के सभी हल चरघातांकी रूप से साम्य T = 20 पर अभिसरित होते हैं। — आरंभिक ताप चाहे जो हो, $T' = -k(T - 20)$ के सभी हल चरघातांकी रूप से साम्य $T = 20$ पर अभिसरित होते हैं।

26.3 समीकरण $y' = ay + f(x)$

प्रतिज्ञप्ति 26.8 (हल-समुच्चय की संरचना)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत है और $y_p$ $I$ पर

y' = ay + f(x)

का कोई एक विशेष हल है। तब $I$ पर हल ठीक फलन $y = C\eu^{ax} + y_p$ , $C \in \R$ हैं।

उपपत्ति. प्रमेय 26.5 की तरह: $y$ हल है यदि और केवल यदि $z = y - y_p$ $z' = (ay + f) - (ay_p + f) = az$ को संतुष्ट करे, अर्थात् यदि और केवल यदि $z = C\eu^{ax}$ हो। ∎

विधि 26.9 (विशेष हल का अनुमान लगाना)

ऐसा विशेष हल ढूँढ़िए जिसका रूप $f$ जैसा हो:

$f$ घात $n$ का बहुपद: घात $n$ का बहुपद आज़माइए;
$k \neq a$ के साथ $f(x) = \alpha\,\eu^{kx}$ : $y_p = \beta\,\eu^{kx}$ आज़माइए;
$f(x) = \alpha\,\eu^{ax}$ (अनुनाद वाली स्थिति): $y_p = \beta x\,\eu^{ax}$ आज़माइए।

समीकरण में रखिए और गुणांक मिलाइए।

उदाहरण 26.10

$y' = 2y + 4x$ हल कीजिए। $y_p = \alpha x + \beta$ आज़माइए: सभी $x$ के लिए $\alpha = 2(\alpha x + \beta) + 4x$ होने से $2\alpha + 4 = 0$ और $\alpha = 2\beta$ आवश्यक हो जाते हैं, इसलिए $\alpha = -2$ , $\beta = -1$ । व्यापक हल: $y = C\eu^{2x} - 2x - 1$ ।

26.4 अभ्यास

अभ्यास 26.1 ★

$\R$ पर हल कीजिए: (a) $y(0) = 2$ के साथ $y' = 3y$ ; (b) $y(0) = -1$ के साथ $2y' + y = 0$ ; (c) $y(0) = 0$ के साथ $y' = -y + 5$ ।

हल

हल — अभ्यास 26.1.

(a) $y = C\eu^{3x}$ ; $y(0) = 2$ से $y = 2\eu^{3x}$ मिलता है।

(b) $y' = -\frac12 y$ , इसलिए $y = C\eu^{-x/2}$ ; $y(0) = -1$ से $y = -\eu^{-x/2}$ मिलता है।

(c) साम्य $y_p = 5$ ; $y = C\eu^{-x} + 5$ ; $y(0) = 0$ से $C = -5$ मिलता है: $y = 5\left(1 - \eu^{-x}\right)$ ।

अभ्यास 26.2 ★

कोई जीवाणु-समष्टि अपने आकार के समानुपाती दर से बढ़ती है और हर $3$ घंटे में दुगुनी हो जाती है। समष्टि $N(t)$ द्वारा संतुष्ट अवकल समीकरण लिखिए और समानुपात-अचर ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 26.2.

$N' = kN$ , इसलिए $N(t) = N_0 \eu^{kt}$ । $3$ घंटों में दुगुना होने का अर्थ है $\eu^{3k} = 2$ , अर्थात्

k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231\ \text{h}^{-1}.

अभ्यास 26.3 ★

जाँचिए कि $y_p(x) = x\,\eu^{x}$ $y' = y + \eu^x$ का एक हल है, और $\R$ पर उसके सभी हल बताइए।

हल

हल — अभ्यास 26.3.

$y_p'(x) = \eu^x + x\eu^x = y_p(x) + \eu^x$ : $y_p$ एक विशेष हल है (यह विधि 26.9 की अनुनाद वाली स्थिति है)। प्रतिज्ञप्ति 26.8 से हल $y = C\eu^{x} + x\eu^{x} = (C + x)\,\eu^x$ , $C \in \R$ हैं।

अभ्यास 26.4 ★★

$y(0) = 1$ के साथ $y' = -2y + \eu^{x}$ हल कीजिए। (संकेत: $\beta\,\eu^{x}$ रूप का विशेष हल ढूँढ़िए।)

हल

हल — अभ्यास 26.4.

$y_p = \beta\eu^x$ आज़माइए: $\beta\eu^x = -2\beta\eu^x + \eu^x$ से $3\beta = 1$ मिलता है, इसलिए $y_p = \frac13\eu^x$ । व्यापक हल $y = C\eu^{-2x} + \frac13\eu^{x}$ ; और शर्त $y(0) = 1$ से $C = \frac23$ मिलता है:

y(x) = \frac{2}{3}\,\eu^{-2x} + \frac{1}{3}\,\eu^{x}.

अभ्यास 26.5 ★★

कार्बन-14 $5730$ वर्ष की अर्धायु के साथ क्षय होता है। किसी पुरातात्त्विक प्रतिदर्श में किसी जीवित जीव के कार्बन-14 का $60\%$ है। उसकी आयु आँकिए।

हल

हल — अभ्यास 26.5.

$\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$ के साथ $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ (उदाहरण 23.9)। हम $\eu^{-\lambda t} = 0.6$ हल करते हैं:

t = \frac{\ln(1/0.6)}{\lambda} = 5730\,\frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \approx 5730 \times \frac{0.5108}{0.6931} \approx 4220 \text{ वर्ष}.

अभ्यास 26.6 ★★

किसी टंकी में $100$ L शुद्ध जल है। प्रति लीटर $0.2$ kg नमक वाला लवण-जल $5$ L/min से भीतर आता है, और (एकसमान बना रहने वाला) मिश्रण उसी दर से बाहर जाता है। मान लीजिए $m(t)$ समय $t$ (मिनट में) पर टंकी में नमक का द्रव्यमान है।

पुष्ट कीजिए कि $m' = 1 - \dfrac{m}{20}$ ।
हल कीजिए, और $t \to +\infty$ पर $m(t)$ की सीमा ज्ञात कीजिए। उसकी व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 26.6.

1. नमक $0.2 \times 5 = 1$ kg/min की दर से भीतर आता है। बाहर जाने वाला प्रवाह $5$ L/min पर $\frac{m}{100}$ kg/L की सांद्रता ले जाता है, अर्थात् $\frac{m}{20}$ kg/min। अतः $m' = 1 - \frac{m}{20}$ ।

2. साम्य $m_p = 20$ ; $m(t) = 20 + C\eu^{-t/20}$ , और $m(0) = 0$ से $C = -20$ मिलता है:

m(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/20}\right) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 20 \text{ kg}.

दीर्घ काल में टंकी की सांद्रता भीतर आते लवण-जल जितनी हो जाती है: $0.2$ kg/L $\times$ $100$ L $= 20$ kg।

अभ्यास 26.7 ★★

$80$ kg द्रव्यमान की एक आकाश-गोताखोर गुरुत्व ( $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ ) और चाल के समानुपाती वायु-प्रतिरोध के अधीन गिरती है, जिससे उसकी चाल $k = 16$ kg/s के साथ $v' = g - \frac{k}{m}v$ को संतुष्ट करती है।

$v(0) = 0$ के साथ समीकरण हल कीजिए।
सीमांत वेग $\lim_{t\to+\infty} v(t)$ निकालिए, और उसका $95\%$ तक पहुँचने में लगने वाला समय भी।

हल

हल — अभ्यास 26.7.

1. $\frac km = \frac{16}{80} = 0.2$ के साथ $v' = g - \frac{k}{m} v$ । साम्य $v_\infty = \frac{mg}{k} = \frac{9.8}{0.2} = 49$ m/s; $v(t) = 49 + C\eu^{-0.2t}$ , और $v(0) = 0$ से मिलता है

v(t) = 49\left(1 - \eu^{-0.2 t}\right).

2. सीमांत वेग $49$ m/s ( $\approx 176$ km/h)। हमें $1 - \eu^{-0.2t} = 0.95$ चाहिए, अर्थात् $\eu^{-0.2t} = 0.05$ :

t = \frac{\ln 20}{0.2} \approx \frac{3.00}{0.2} \approx 15 \text{ s}.

अभ्यास 26.8 ★★★

(लॉजिस्टिक समीकरण.) कोई समष्टि $y(t) \in \intoo{0}{1}$ (अधिकतम समष्टि के अंश के रूप में)

y' = y(1 - y).

को संतुष्ट करती है।

मान लीजिए $z = \dfrac{1}{y}$ है। दिखाइए कि $z$ रैखिक समीकरण $z' = -z + 1$ को संतुष्ट करता है।
$y(0) = \frac{1}{10}$ के साथ $z$ के लिए, फिर $y$ के लिए हल कीजिए।
दिखाइए कि $t \to +\infty$ पर $y(t) \to 1$ , और हल-वक्र की आकृति का रेखाचित्र बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 26.8.

1. $z = \frac1y$ से $z' = -\frac{y'}{y^2} = -\frac{y(1-y)}{y^2} = -\frac{1-y}{y} = -\frac1y + 1 = -z + 1$ मिलता है।

2. साम्य $z_p = 1$ , इसलिए $z(t) = 1 + C\eu^{-t}$ । $y(0) = \frac{1}{10}$ से $z(0) = 10$ , अतः $C = 9$ और

y(t) = \frac{1}{1 + 9\,\eu^{-t}} .

3. $t \to +\infty$ पर $9\eu^{-t} \to 0$ और $y(t) \to 1$ । वक्र चिरपरिचित S-आकार वाला (सिग्मॉइड) लॉजिस्टिक वक्र है: पहले धीमी वृद्धि ( $y$ छोटा, $y' \approx y$ ), फिर $y = \frac12$ पर सबसे तेज़ वृद्धि (जहाँ $y' = y(1-y)$ अधिकतम है), और फिर वहन-क्षमता $1$ की ओर संतृप्ति।

अभ्यास 26.9 ★★★

मान लीजिए $y$ $y' = ay + b$ का कोई हल है और $n \in \N$ के लिए $u_n = y(n)$ है। दिखाइए कि $(u_n)$ समांतर-गुणोत्तर पुनरावृत्ति $u_{n+1} = q u_n + r$ को संतुष्ट करता है, और $q$ तथा $r$ को $a$ और $b$ के पदों में व्यक्त कीजिए। अवकल समीकरण के लिए शर्त $\abs{q} < 1$ किसके संगत है?

हल

हल — अभ्यास 26.9.

प्रमेय 26.5 से $y(x) = C\eu^{ax} - \frac ba$ । अतः

u_{n+1} = C\eu^{a(n+1)} - \frac ba = \eu^{a}\left(C\eu^{an} - \frac ba\right) + \frac ba\left(\eu^a - 1\right) = q\,u_n + r

जहाँ $q = \eu^{a}$ और $r = \frac{b}{a}\left(\eu^{a} - 1\right)$ हैं। शर्त $\abs q < 1$ का अर्थ है $\eu^a < 1$ , अर्थात् $a < 0$ : ठीक वही शर्त जिसके अधीन अवकल समीकरण के हल साम्य $-\frac ba$ पर अभिसरित होते हैं — और सचमुच पुनरावृत्ति का स्थिर बिंदु $\frac{r}{1 - q} = -\frac{b}{a}$ है।

26.5 समस्या: वस्तुओं के भीतर की घड़ी

समस्या 26.1

सप्ताहांत समस्या — कार्बन-14 गुफ़ाओं की तारीख़ बताता है, न्यूटन का शीतलन नियम अपराध का समय तय करता है, और एक छोटा-सा समीकरण चार वेश धारण करता है

अवकल समीकरण परिवर्तन का नियम है; उसे हल कर देना उस नियम को एक घड़ी में बदल देता है। वही नन्हा समीकरण $y' = ay + b$ (प्रमेय 26.5) प्रागैतिहासिक कोयले, ठंडी होती कॉफ़ी, गिरती बूँदों और अस्पताल की ड्रिप के भीतर टिक-टिक करता है — और उन घड़ियों को पढ़ना ही इस समस्या का काम है: वह लास्को की चित्रकारी की तारीख़ बताती है, मृत्यु का समय तय करती है, और एक अच्छे वैज्ञानिक की तरह अपनी ही मान्यताओं की जाँच करती है।

भाग I — प्रवाह।

$y' = 3y$ , $y(0) = 2$ हल कीजिए; फिर $y' = -2y + 6$ , $y(0) = 0$ (विधि 26.6)।
प्रमेय 26.2 के पीछे की अद्वितीयता वाली तरकीब फिर से निकालिए: यदि $y' = ay$ हो, तो $y(t)\,\eu^{-at}$ का अवकलज निकालिए और निष्कर्ष निकालिए कि हर हल $C\eu^{at}$ है।
$y' = -2y + 6$ के लिए: साम्य हल ज्ञात कीजिए, और $t \to +\infty$ पर हर दूसरे हल की नियति बताइए। (समस्या 13.1 की पुनरावृत्तियों के स्थिर बिंदु, अब संतत रूप में।)
क्षय के नियम $y' = -\frac{y}{\tau}$ के लिए: दिखाइए कि अर्धायु $t_{1/2} = \tau \ln 2$ है।
$y' = -2y + 6$ के हलों के परिवार का रेखाचित्र बनाइए (या वर्णन कीजिए): $3$ से ऊपर से शुरू होने वाले हल क्या करते हैं? $3$ से नीचे वाले? और ठीक $3$ पर वाले?

भाग II — कार्बन-14। जीवित ऊतक रेडियोधर्मी कार्बन-14 का अनुपात अचर बनाए रखता है; मृत्यु पर उसका आना रुक जाता है और भंडार क्षय होने लगता है: $N' = -\lambda N$ , जिसकी अर्धायु $5\,730$ वर्ष है।

$\lambda$ निकालिए (प्रति वर्ष)।
किसी हड्डी में जीवित अनुपात का $20\,\%$ बचा है: वह कितनी पुरानी है?
लास्को की चित्रित गुफ़ाओं के कोयले में लगभग $15\,\%$ बचा है: चित्रकारी की तारीख़ बताइए।
आल्प्स के हिमनद में मिला हिम-मानव ओत्ज़ी लगभग $53\,\%$ दिखाता है: उसकी तारीख़ बताइए (पुरातत्त्वविद् लगभग $5\,300$ वर्ष कहते हैं — आपका उत्तर कैसा रहा?)।
कार्बन-14 डायनासोर की तारीख़ क्यों नहीं बता सकता? दस अर्धायुओं के बाद बचा हुआ अंश निकालिए, $65$ करोड़ वर्ष बाद का अंश $2$ की घात के रूप में बताइए, और निष्कर्ष निकालिए।
त्रुटि-सीमाएँ: यदि ओत्ज़ी का $53\,\%$ केवल $\pm 1\,\%$ तक ज्ञात हो, तो आयु का परिसर निकालिए। प्रयोगशाला की कितनी यथार्थता तिथि-निर्धारण की कितनी यथार्थता ख़रीदती है?

भाग III — न्यूटन का शीतलन, और एक अपराध। अचर $T_a$ वाले परिवेश में ताप $T$ वाली कोई वस्तु $T' = -k\,(T - T_a)$ के अनुसार ठंडी होती है।

समीकरण हल कीजिए ( $z = T - T_a$ प्रतिस्थापित कीजिए):

$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,\eu^{-kt} .$
$20\,^\circ$ C के कमरे में $90\,^\circ$ C पर उड़ेली गई कॉफ़ी $5$ मिनट बाद $70\,^\circ$ C दिखाती है। $k$ ज्ञात कीजिए, फिर पीने योग्य $55\,^\circ$ C तक की प्रतीक्षा का समय।
दूध वाला प्रश्न: दस मिनट में सबसे गर्म कॉफ़ी पीने के लिए ठंडा दूध अभी डालना चाहिए या अंतिम क्षण में? उत्तर समीकरण से दीजिए (दूध डालने से अंतर $T - T_a$ का क्या होता है, और वह अंतर हानि को कैसे चलाता है?)।
न्यायालयिक विज्ञान: आधी रात को $20\,^\circ$ C के कमरे में $30\,^\circ$ C पर एक शव मिलता है; एक घंटे बाद वह $28\,^\circ$ C दिखाता है। मृत्यु के समय $37\,^\circ$ C मानते हुए दोनों मापों से $k$ निकालिए, फिर मृत्यु का समय।
मृत्यु-परीक्षक की घड़ी की जाँच कीजिए: प्रतिरूप की मान्यताओं के तीन वास्तविक उल्लंघन बताइए और यह भी कि हर एक अनुमानित मृत्यु-समय को किस दिशा में झुका देगा।

भाग IV — चार वेश और एक S-वक्र।

अभ्यास 26.8 का लॉजिस्टिक समीकरण, $y(0) = 0.1$ के साथ $y' = y(1 - y)$ : उसी अभ्यास वाले प्रतिस्थापन से $y(t) = \dfrac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ निकालिए, और नति-परिवर्तन बिंदु का समय $y = \frac12$ ज्ञात कीजिए — महामारी-विज्ञानी की समस्या 22.1 वाली तारीख़, अब गणनीय।
कोई वर्षा-बूँद $v' = 10 - \frac v2$ (गुरुत्व घटा कर्षण) मानती है, $v(0) = 0$ के साथ। सीमांत वेग ज्ञात कीजिए, $v(t)$ के लिए हल कीजिए, और निकालिए कि बूँद सीमांत चाल का $95\,\%$ कब पा लेती है।
अस्पताल की ड्रिप अचर दर से दवा देती है जबकि शरीर उसे समानुपाती रूप से निकालता जाता है: $c' = 4 - 0.5c$ , $c(0) = 0$ । स्थायी-अवस्था की सांद्रता और उसका आधा पाने का समय ज्ञात कीजिए। अभ्यास 26.9 की ऋण-पुनरावृत्तियों से समांतरता एक वाक्य में बताइए।
समापन — एक समीकरण, चार वेश: क्षय, शीतलन, गिरना, ख़ुराक — सब अलग-अलग चिह्नों और नामों वाले $y' = ay + b$ । इस समस्या ने जो प्रतिरूपण-चक्र चार बार चलाया उसे दोहराइए (नियम $\to$ समीकरण $\to$ हल $\to$ अंशांकन $\to$ भविष्यवाणी $\to$ जाँच), और उस परिघटना का नाम बताइए जिसे $y''$ चाहिए — और वह भी कि कौन-सी समस्या उससे पहले ही मिल चुकी है।

हल

हल — समस्या 26.1.

1. $y = 2\eu^{3t}$ । दूसरे के लिए: साम्य $3$ , इसलिए $y(0) = 0$ के साथ $y = 3 + C\eu^{-2t}$ : $C = -3$ : $y = 3\left(1 - \eu^{-2t}\right)$ ।

2. $\left(y\eu^{-at}\right)' = y'\eu^{-at} - ay\eu^{-at} = (y' - ay)\eu^{-at} = 0$ : गुणनफल अचर $C$ है, इसलिए $y = C\eu^{at}$ — कोई हल बच नहीं निकलता।

3. साम्य: $y \equiv 3$ । हर दूसरा हल $C \neq 0$ के साथ $3 + C\eu^{-2t}$ है: चरघातांकी पद मर जाता है और हल सरककर $3$ पर आ जाता है — एक स्थायी स्थिर बिंदु, जो समस्या 13.1 की पुनरावृत्तियों के स्थिर बिंदुओं का संतत जुड़वाँ है।

4. $y = y_0\eu^{-t/\tau}$ तब आधा होता है जब $\eu^{-t/\tau} = \frac12$ : $t = \tau\ln 2$ ।

5. सभी हल $3$ की ओर होने वाले क्षय के ऊर्ध्वाधर स्थानांतर हैं: जो ऊपर से शुरू होते हैं वे $3$ तक गिरते हैं, जो नीचे से वे $3$ तक चढ़ते हैं, और अचर हल $3$ वहीं बैठा रहता है — साम्य के चारों ओर एक क़ीप।

6. प्रति वर्ष $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1.21 \times 10^{-4}$ ।

7. $\eu^{-\lambda t} = 0.2$ : $t = \frac{\ln 5}{\lambda} \approx 13\,300$ वर्ष।

8. $t = \frac{\ln(1/0.15)}{\lambda} \approx 15\,700$ वर्ष: लास्को के साँड़ हिमयुग के अंतिम दौर के हैं।

9. $t = \frac{\ln(1/0.53)}{\lambda} \approx 5\,250$ वर्ष: पुरातत्त्वविदों के मान से एक जीवनकाल के भीतर — घड़ी काम करती है।

10. दस अर्धायुओं के बाद $2^{-10} \approx 0.1\,\%$ बचता है: मापन की सीमा पर। $65$ करोड़ वर्ष बाद अंश $2^{-65\,000\,000/5\,730} \approx 2^{-11\,344}$ है: किसी भी जीवाश्म में मूल भंडार का एक परमाणु भी नहीं बचता — डायनासोर की तारीख़ धीमी घड़ियों से बताई जाती है (पोटैशियम–आर्गन और उसके साथी)।

11. $52\,\%$ से $\approx 5\,405$ वर्ष मिलते हैं और $54\,\%$ से $\approx 5\,095$ : रसायन का $\pm 1\,\%$ इतिहास के मोटे तौर पर $\pm 155$ वर्ष बन जाता है — प्रयोगशाला की यथार्थता ही संग्रहालय की पट्टिका की यथार्थता है।

12. $z = T - T_a$ $z' = -kz$ को संतुष्ट करता है: $z = (T_0 - T_a)\eu^{-kt}$ , और $T = T_a + z$ ।

13. आरंभिक अंतर $T_0 - T_a = 70$ है; पाँच मिनट बाद अंतर $70 - 20 = 50$ है, इसलिए $50 = 70\eu^{-5k}$ : प्रति मिनट $k = \frac{\ln(70/50)}{5} \approx 0.067$ । पीने योग्य: $55 - 20 = 35 = 70\eu^{-kt}$ : $t = \frac{\ln 2}{k} \approx 10.3$ मिनट।

14. हानि की दर अंतर $T - T_a$ के समानुपाती है: खौलती कॉफ़ी सबसे तेज़ी से ऊष्मा बहाती है। दूध अभी डालने से अंतर तुरंत घट जाता है, इसलिए दस मिनट में कम ऊष्मा जाती है; अंत में डालने से कॉफ़ी पहले पूरी गति से ठंडी होती रहती है। सबसे गर्म प्याले के लिए: दूध पहले। (अधीर मेज़बानों की ऊष्मागतिकी उल्टी है।)

15. परिवेश से अंतर: आधी रात को $10$ , एक घंटे बाद $8$ : $\eu^{-k} = 0.8$ : प्रति घंटा $k = \ln\frac{10}{8} \approx 0.223$ । मृत्यु के समय अंतर $17$ था; वह आधी रात तक घटकर $10$ हो गया: $s = \frac{\ln(17/10)}{k} \approx 2.4$ घंटे। मृत्यु का समय: लगभग $21{:}40$ ।

16. गरम या हवादार कमरा ( $T_a$ अचर नहीं) घड़ी को किसी भी दिशा में मोड़ देता है; कपड़े या शरीर का द्रव्यमान $k$ बदल देते हैं (मृत्यु-परीक्षक की सारणियाँ इसका समायोजन करती हैं) — और ग़लत $k$ पूरे अंतराल को खींच देता है; और कहीं और से लाया गया शव क्षय के बीच में $T_a$ को फिर से शून्य कर देता है, जिससे मृत्यु पहले या बाद की लगने लगती है। समीकरण ईमानदार है; जोखिम मान्यताएँ उठाती हैं।

17. $z = \frac1y$ $z' = 1 - z$ मानता है: $z = 1 + 9\eu^{-t}$ ( $z(0) = 10$ से), इसलिए $y = \frac{1}{1 + 9\eu^{-t}}$ । नति-परिवर्तन $y = \frac12$ पर: $9\eu^{-t} = 1$ : $t = \ln 9 \approx 2.2$ — महामारी के मुड़ने की तारीख़, सीधे सूत्र से।

18. सीमांत वेग: $v = 20$ m/s पर $v' = 0$ । हल: $v(t) = 20\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ । तब $0.95$ : $\eu^{-t/2} = 0.05$ : $t = 2\ln 20 \approx 6$ s — वर्षा की बूँदें सेकंडों में अपनी क्रूज़-चाल पा लेती हैं, और इसीलिए वर्षा जान नहीं लेती।

19. स्थायी अवस्था: $c = 8$ । उसका आधा: $4 = 8\left(1 - \eu^{-t/2}\right)$ : $\eu^{-t/2} = \frac12$ : $t = 2\ln 2 \approx 1.4$ घंटे। ड्रिप ऋण का संतत जुड़वाँ है: अचर आवक, समानुपाती जावक — और अभ्यास 26.9 शब्दकोश को ठीक-ठीक बना देता है।

20. क्षय ( $a < 0$ , $b = 0$ ), शीतलन ( $y = T - T_a$ ), गिरना ( $a < 0$ , $b > 0$ : नीचे से साम्य की ओर पहुँच), ख़ुराक (वही, पर शिरा में): एक समीकरण, चार संसार। प्रक्रिया-चक्र: परिवर्तन का नियम बताइए; समीकरण लिखिए; हल कीजिए (विधि 26.6); मापों पर अचर अंशांकित कीजिए; भविष्यवाणी कीजिए; और फिर मान्यताओं की जाँच कीजिए (प्रश्न 16)। दोलन के लिए $y'' = -\omega^2 y$ चाहिए — जिससे भेंट, जिसका हल और जिसका झूला समस्या 24.1 में है।

26.1 समीकरण y′=ayy' = ayy′=ay

26.2 समीकरण y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

26.3 समीकरण y′=ay+f(x)y' = ay + f(x)y′=ay+f(x)

26.4 अभ्यास

26.5 समस्या: वस्तुओं के भीतर की घड़ी

26.1 समीकरण $y' = ay$

26.2 समीकरण $y' = ay + b$

26.3 समीकरण $y' = ay + f(x)$