उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

19द्विपद बंटन

एक ही हाँ/नहीं वाले प्रयोग को कई बार, स्वतंत्र रूप से दोहराइए और सफलताएँ गिनिए: जो बंटन मिलता है — द्विपद — वह सभी विविक्त बंटनों में सबसे महत्त्वपूर्ण है। यह अध्याय उसे वृक्षों और पथ-गणना से खड़ा करता है; पथ-संख्याओं का बंद सूत्र (क्रमगुणितों के साथ) अध्याय 27 के गणना-औज़ारों के साथ आता है, और बंटन पर अध्याय 33 में फिर से लौटा जाता है।

19.1 बर्नूली परीक्षण

परिभाषा 19.1 (बर्नूली परीक्षण)

बर्नूली परीक्षण वह प्रयोग है जिसके ठीक दो परिणाम होते हैं: सफलता, प्रायिकता $p$ के साथ, और विफलता, प्रायिकता $1 - p$ के साथ। वह यादृच्छिक चर $X$ जो सफलता पर $1$ और विफलता पर $0$ के बराबर हो, बर्नूली बंटन $\mathcal B(p)$ का पालन करता है; तब

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1 - p).

दोनों सूत्रों की उपपत्ति. $\E(X) = p \times 1 + (1-p) \times 0 = p$ ; और चूँकि $X^2 = X$ है ( $0$ और $1$ दोनों अपने ही वर्ग हैं), इसलिए $\E(X^2) = p$ , अतः प्रतिज्ञप्ति 18.13 से $\V(X) = p - p^2 = p(1-p)$ । ∎

परिभाषा 19.2 (दोहराए गए स्वतंत्र परीक्षण)

किसी बर्नूली परीक्षण को $n$ बार स्वतंत्र रूप से दोहराने का अर्थ है: हर परीक्षण का परिणाम दूसरों पर कोई प्रभाव नहीं डालता, और परिणामों के किसी भी पूरे क्रम की प्रायिकता वृक्ष के संगत पथ के अनुदिश प्रायिकताओं का गुणनफल है — हर सफलता के लिए $p$ और हर विफलता के लिए $1 - p$ ।

उदाहरण 19.3

सफलता-प्रायिकता $p$ वाले तीन स्वतंत्र परीक्षण। क्रम SFS (सफलता, विफलता, सफलता) की प्रायिकता $p(1-p)p = p^2(1-p)$ है — और ठीक दो सफलताओं वाले हर क्रम की भी यही है, चाहे स्थान कोई भी हों: केवल S और F की संख्या मायने रखती है।

19.2 पथ-गणना और द्विपद गुणांक

परिभाषा 19.4 (द्विपद गुणांक)

$n$ स्वतंत्र परीक्षणों के वृक्ष में द्विपद गुणांक $\binom{n}{k}$ (पढ़िए “ $k$ में से $n$ चुनना”) उन पथों की संख्या है जिनमें ठीक $k$ सफलताएँ हों।

उदाहरण 19.5

$\binom{3}{2} = 3$ : पथ SSF, SFS, FSS। इसी तरह $\binom{3}{0} = 1$ (पथ FFF), $\binom{3}{1} = 3$ और $\binom{3}{3} = 1$ । परिपाटी से और वृक्ष से भी हर $n$ के लिए $\binom n0 = \binom nn = 1$ ।

n = 3 परीक्षणों का वृक्ष: 32 = 3 पथ (लाल) ठीक दो सफलताएँ उठाए हैं, और हर एक की प्रायिकता p2(1-p) है। — $n = 3$ परीक्षणों का वृक्ष: $\binom{3}{2} = 3$ पथ (लाल) ठीक दो सफलताएँ उठाए हैं, और हर एक की प्रायिकता $p^2(1-p)$ है।

प्रतिज्ञप्ति 19.6 (पास्कल का नियम)

$1 \leq k \leq n - 1$ के लिए:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.

उपपत्ति. $n$ -परीक्षण वाले वृक्ष के $k$ सफलताओं वाले पथों को उनके अंतिम परीक्षण के अनुसार छाँटिए। जो सफलता पर समाप्त होते हैं वे पहले $n-1$ परीक्षणों के $k - 1$ सफलताओं वाले किसी पथ से मिलते हैं: ऐसे $\binom{n-1}{k-1}$ हैं। जो विफलता पर समाप्त होते हैं वे पहले $n-1$ परीक्षणों में $k$ सफलताओं वाले पथ को आगे बढ़ाते हैं: ऐसे $\binom{n-1}{k}$ हैं। हर पथ इन दोनों में से ठीक एक प्रकार का है। ∎

पास्कल का नियम गुणांकों को पंक्ति-दर-पंक्ति बना देता है — हर प्रविष्टि अपने ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है:

\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}

टिप्पणी 19.7

बंद सूत्र $\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , और गिनती का व्यवस्थित सिद्धांत, अध्याय 27 में स्थापित होते हैं। इस स्तर पर पास्कल त्रिभुज हमारे काम का हर गुणांक निकाल देता है।

19.3 द्विपद बंटन

प्रमेय 19.8 (द्विपद बंटन)

मान लीजिए $X$ प्राचल $p$ वाले $n$ स्वतंत्र बर्नूली परीक्षणों में सफलताएँ गिनता है। तब $X$ द्विपद बंटन $\mathcal B(n, p)$ का पालन करता है:

\P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n .

उपपत्ति. घटना $X = k$ ठीक $k$ सफलताओं वाले सभी पथों का संग्रह है। ऐसे हर पथ की प्रायिकता $p^k(1-p)^{n-k}$ है: पथ के अनुदिश गुणनफल में $p$ के $k$ गुणनखंड और $1-p$ के $n - k$ गुणनखंड किसी क्रम में आते हैं (परिभाषा 19.2)। ऐसे $\binom nk$ पथ हैं (परिभाषा 19.4), और उनकी प्रायिकताएँ जुड़ जाती हैं। ∎

उदाहरण 19.9

किसी लघु परीक्षा में $5$ स्वतंत्र प्रश्न हैं, और हर एक में $4$ विकल्प; एक विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से उत्तर देता है, इसलिए हर प्रश्न $p = \frac14$ के साथ सफलता है। सही उत्तरों की संख्या $X$ $\mathcal B\left(5, \frac14\right)$ का पालन करती है, और पास्कल त्रिभुज की पंक्ति $5$ का उपयोग करने पर:

\P(X = 2) = \binom52 \left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \approx 0.26 .

कम से कम एक सही उत्तर की प्रायिकता पूरक से निकलती है: $\P(X \geq 1) = 1 - \P(X = 0) = 1 - \left(\frac34\right)^5 \approx 0.76$ ।

प्रतिज्ञप्ति 19.10 (प्रत्याशा और प्रसरण)

यदि $X \sim \mathcal B(n, p)$ हो, तो

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p).

औचित्य. $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ लिखिए, जहाँ $i$ -वाँ परीक्षण सफल होने पर $X_i$ $1$ के बराबर होता है: हर $X_i$ प्रत्याशा $p$ वाला बर्नूली चर है (परिभाषा 19.1)। औसत जुड़ते हैं — $n$ योगदानों को जोड़ने पर $\E(X) = np$ मिलता है। स्वतंत्र चरों के लिए प्रसरण भी जुड़ते हैं, यह सच तो है पर अधिक नाज़ुक है: प्रसरण का सूत्र इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है और अध्याय 34 में सिद्ध होता है। ∎

बंटन B(10, 0.5) (एक न्यायसंगत सिक्के के दस उछाल): (X) = np = 5 पर केंद्रित, सममित, और लगभग सारी प्रायिकता 2 और 8 के बीच। — बंटन $\mathcal B(10, 0.5)$ (एक न्यायसंगत सिक्के के दस उछाल): $\E(X) = np = 5$ पर केंद्रित, सममित, और लगभग सारी प्रायिकता $2$ और $8$ के बीच।

विधि 19.11 (द्विपद स्थिति पहचानना)

$X \sim \mathcal B(n, p)$ लिखने से पहले तीन सामग्रियाँ जाँचिए: परीक्षणों की एक नियत संख्या $n$ , जो पहले ही तय हो; हर परीक्षण के दो परिणाम और एक ही सफलता-प्रायिकता $p$ ; और परीक्षणों का स्वतंत्र होना (वापसी सहित, या अलग-अलग उपकरणों से)। किसी छोटी समष्टि से बिना वापसी के निकालना द्विपद नहीं है — हर बार प्रायिकता बदल जाती है (अभ्यास 18.6)।

19.4 प्रतिदर्शन: क्या प्रेक्षण चौंकाने वाला है?

द्विपद बंटन एक बहुत ही व्यावहारिक प्रश्न का उत्तर देता है: यदि सफलता-प्रायिकता सचमुच $p$ हो, तो सफलताओं की कौन-सी गिनतियाँ स्वाभाविक हैं?

उदाहरण 19.12

किसी मशीन से अधिक से अधिक $10\%$ दोषपूर्ण वस्तुएँ बननी चाहिए। $10$ वस्तुओं के एक बैच में $4$ दोषपूर्ण निकलती हैं। दुर्भाग्य, या मशीन ख़राब? यदि मशीन ठीक हो, तो दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या $\mathcal B(10, 0.1)$ का पालन करती है, और

\P(X \geq 4) = 1 - \P(X \leq 3) \approx 1 - 0.987 = 0.013 :

यानी लगभग $80$ में एक संभावना। इतनी असंभाव्य घटना का दिख जाना एक प्रबल संकेत है — इस परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है कि मशीन अब भी $10\%$ पर चल रही है, यह ध्यान में रखते हुए कि यह निर्णय लगभग $0.013$ प्रायिकता से ग़लत भी हो सकता है।

विधि 19.13 (द्विपद प्रतिरूप से निर्णय का नियम)

सफलताओं की प्रेक्षित संख्या $k$ को परिकल्पना $X \sim \mathcal B(n, p)$ के सामने आँकने के लिए: परिकल्पना के अधीन ऐसे परिणाम की प्रायिकता निकालिए जो $k$ जितना या उससे भी अधिक चरम हो। यदि वह प्रायिकता बहुत छोटी हो (एक प्रचलित परिपाटी: $5\%$ से कम), तो परिकल्पना अस्वीकार कर दीजिए; अन्यथा प्रेक्षण उसके अनुकूल है। यह सीमा एक चुनाव है, कोई प्रमेय नहीं — सांख्यिकी जोखिम को संख्या में बता देती है, और उपयोगकर्ता उसे स्वीकार करता है।

19.5 अभ्यास

अभ्यास 19.1 ★

पास्कल त्रिभुज को पंक्ति $7$ तक बढ़ाइए, और $\binom62$ , $\binom{7}{3}$ तथा $\binom74$ के मान बताइए।

हल

हल — अभ्यास 19.1.

पंक्तियाँ $6$ और $7$ :

1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1 \qquad\text{और}\qquad 1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1 .

अतः $\binom62 = 15$ , $\binom73 = 35$ , $\binom74 = 35$ (सममिति $\binom73 = \binom74$ सफलताओं और विफलताओं की अदला-बदली दर्शाती है)।

अभ्यास 19.2 ★

एक न्यायसंगत पासा $4$ बार फेंका जाता है; $X$ छक्के गिनता है। पुष्ट कीजिए कि $X \sim \mathcal B\left(4, \frac16\right)$ , और $\P(X = 0)$ , $\P(X = 1)$ तथा $\P(X \geq 2)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 19.2.

परीक्षणों की नियत संख्या ( $4$ फेंक), हर फेंक के दो परिणाम (छक्का या नहीं, $p = \frac16$ ), और फेंकों का स्वतंत्र होना: $X \sim \mathcal B(4, \frac16)$ ।

\P(X=0) = \left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.48, \qquad \P(X=1) = 4 \times \frac16\left(\frac56\right)^3 = \frac{500}{1296} \approx 0.39,

\P(X \geq 2) = 1 - \frac{625 + 500}{1296} = \frac{171}{1296} \approx 0.13 .

अभ्यास 19.3 ★

इनमें से कौन-सा द्विपद है? पुष्ट कीजिए।

किसी न्यायसंगत सिक्के के $20$ उछालों में चितों की संख्या।
एक ही गड्डी से बाँटे गए $5$ पत्तों में इक्कों की संख्या।
अगले सप्ताह वर्षा वाले दिनों की संख्या, यदि हर दिन स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $0.3$ से वर्षा वाला हो।

हल

हल — अभ्यास 19.3.

1. द्विपद $\mathcal B(20, \frac12)$ : नियत $n$ , वही $p$ , और स्वतंत्र उछाल।

2. द्विपद नहीं: पत्ते बिना वापसी के बाँटे जाते हैं, इसलिए इक्के की प्रायिकता पत्ते-दर-पत्ते बदलती है और निकाले स्वतंत्र नहीं हैं।

3. बताई गई स्वतंत्रता की मान्यता से द्विपद $\mathcal B(7, 0.3)$ ।

अभ्यास 19.4 ★

$X \sim \mathcal B(50, 0.2)$ । $\E(X)$ , $\V(X)$ और $\sigma(X)$ बताइए।

हल

हल — अभ्यास 19.4.

$\E(X) = 50 \times 0.2 = 10$ ; $\V(X) = 50 \times 0.2 \times 0.8 = 8$ ; $\sigma(X) = 2\sqrt2 \approx 2.83$ ।

अभ्यास 19.5 ★★

एक धनुर्धर हर बार स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $0.7$ से निशाना लगाता है। $6$ तीरों में ठीक $4$ निशानों की और कम से कम $5$ निशानों की प्रायिकता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 19.5.

$X \sim \mathcal B(6, 0.7)$ ।

\P(X = 4) = \binom64 (0.7)^4 (0.3)^2 = 15 \times 0.2401 \times 0.09 \approx 0.324 .

\P(X \geq 5) = \binom65 (0.7)^5(0.3) + (0.7)^6 = 6 \times 0.16807 \times 0.3 + 0.117649 \approx 0.420 .

अभ्यास 19.6 ★★

सत्य/असत्य वाली किसी परीक्षा में $8$ प्रश्न हैं; एक विद्यार्थी हर उत्तर का अनुमान लगाता है। उत्तीर्ण होने की (कम से कम $6$ सही उत्तर) प्रायिकता क्या है?

हल

हल — अभ्यास 19.6.

$X \sim \mathcal B\left(8, \frac12\right)$ ; हर पथ की प्रायिकता $\frac{1}{256}$ है, इसलिए

\P(X \geq 6) = \frac{\binom86 + \binom87 + \binom88}{256} = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0.14 .

अनुमान लगाने से लगभग सात में एक बार उत्तीर्ण हुआ जाता है।

अभ्यास 19.7 ★★

अनाज के हर ख़रीदे गए डिब्बे में मूर्ति A या मूर्ति B होती है, और हर एक की प्रायिकता $\frac12$ है, स्वतंत्र रूप से। एक संग्राहक $5$ डिब्बे ख़रीदता है। उसे हर तरह की कम से कम एक मूर्ति मिलने की प्रायिकता निकालिए। (पूरक: सभी A या सभी B।)

हल

हल — अभ्यास 19.7.

“हर तरह की कम से कम एक” का पूरक “पाँचों एक जैसे” है: सभी A या सभी B, और हर एक की प्रायिकता $\left(\frac12\right)^5 = \frac1{32}$ । अतः

\P(\text{प्रत्येक प्रकार का एक}) = 1 - \frac{2}{32} = \frac{15}{16} .

अभ्यास 19.8 ★★

एक बास्केटबॉल खिलाड़ी स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $p$ से मुक्त फेंक में अंक बनाता है। मान लीजिए $X \sim \mathcal B(3, p)$ तीन फेंकों में बने अंकों की संख्या है। $\P(X = 3)$ और $\P(X \geq 1)$ को $p$ के फलनों के रूप में व्यक्त कीजिए, और $p$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए तीनों में अंक बनाने की प्रायिकता $\frac{27}{64}$ हो।

हल

हल — अभ्यास 19.8.

$\P(X = 3) = p^3$ और $\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^3$ । $p^3 = \frac{27}{64} = \left(\frac34\right)^3$ हल करने पर $p = \frac34$ मिलता है (घन फलन निरंतर वर्धमान है, अध्याय 11, इसलिए हल अद्वितीय है)।

अभ्यास 19.9 ★★

कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $0.99$ से अधिक होने के लिए न्यायसंगत सिक्का कितनी बार उछालना पड़ेगा? (पूरक लीजिए, फिर $n$ के क्रमिक मान आज़माइए।)

हल

हल — अभ्यास 19.9.

$\P(\text{कम से कम एक चित}) = 1 - \left(\frac12\right)^n$ , इसलिए शर्त $\left(\frac12\right)^n < 0.01$ है, अर्थात् $2^n > 100$ । चूँकि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ हैं: $n = 7$ उछालों से आगे।

अभ्यास 19.10 ★★

पास्कल के नियम (प्रतिज्ञप्ति 19.6) और $\binom n0 = \binom nn = 1$ का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि पास्कल त्रिभुज की हर पंक्ति की प्रविष्टियों का योग $2^n$ है: दोनों पक्षों को वृक्ष के सभी पथों की गिनती के रूप में समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 19.10.

पंक्ति $n$ का योग $n$ -परीक्षण वाले वृक्ष के सभी पथों को उनकी सफलताओं की संख्या के अनुसार छाँटकर गिनता है। पर वृक्ष हर परीक्षण पर अपने पथ दुगुने कर लेता है (हर पथ S और F में बँट जाता है), इसलिए उसमें कुल $2^n$ पथ हैं। अतः $\sum_{k} \binom nk = 2^n$ । वैकल्पिक रूप से, आगमन द्वारा: पंक्ति $0$ का योग $1 = 2^0$ है, और पास्कल का नियम पंक्ति $n$ की हर प्रविष्टि को पंक्ति $n+1$ की ठीक दो प्रविष्टियों में योगदान करा देता है, इसलिए पंक्ति-योग दुगुने होते जाते हैं।

अभ्यास 19.11 ★★★

एक नेता $60\%$ समर्थन का दावा करता है। $10$ लोगों के यादृच्छिक प्रतिदर्श में केवल $3$ समर्थन करते हैं।

दावे के अधीन प्रतिदर्श में समर्थनों की संख्या $X$ किस बंटन का पालन करती है? $\P(X \leq 3)$ निकालिए।
$5\%$ की सीमा के साथ विधि 19.13 के निर्णय-नियम का उपयोग करके बताइए कि प्रेक्षण दावे के अनुकूल है या नहीं।

हल

हल — अभ्यास 19.11.

1. दावे के अधीन $X \sim \mathcal B(10, 0.6)$ । पहले पदों को जोड़ने पर:

\begin{align*} \P(X \leq 3) &= (0.4)^{10} + 10(0.6)(0.4)^9 + 45(0.6)^2(0.4)^8 + 120(0.6)^3(0.4)^7\\ &\approx 0.0001 + 0.0016 + 0.0106 + 0.0425 = 0.0548 . \end{align*}

2. प्रेक्षित परिणाम जितने या उससे भी अधिक चरम परिणाम ( $3$ या उससे कम समर्थन) की प्रायिकता लगभग $5.5\%$ है — यानी $5\%$ की सीमा से ज़रा ऊपर। नियम को कड़ाई से लगाएँ तो प्रेक्षण (मुश्किल से ही सही) दावे के अनुकूल है और उसे अस्वीकार नहीं किया जाता। यह उदाहरण दिखाता है कि सीमा-रेखा पर खड़े निर्णय सीमा के चुनाव के प्रति कितने संवेदनशील होते हैं: $6\%$ की परिपाटी के साथ निष्कर्ष पलट जाता।

19.6 समस्या: गॉल्टन पटल

समस्या 19.1

सप्ताहांत समस्या — गेंदें, खूँटियाँ और पास्कल त्रिभुज: घंटी की आकृति कैसे जन्म लेती है, नॉकआउट शृंखलाएँ मज़बूत टीम का पक्ष क्यों लेती हैं, और कब हल्ला मचाना चाहिए

खूँटियों की एक जाली में से हज़ार गेंदें गिराइए, जहाँ हर टक्कर बाएँ-या-दाएँ वाले न्यायसंगत सिक्के का उछाल है, और नीचे के ख़ाने हर बार एक चिकनी, सममित घंटी की तरह भर जाते हैं। इस मशीन का नाम गॉल्टन पटल है, और उसका गणित ठीक इसी अध्याय का द्विपद बंटन (प्रमेय 19.8) है। यह समस्या त्रिभुज बनाती है, पटल चलाती है, सात में से चार जीतने वाली शृंखला की पंचायत करती है, और वहाँ समाप्त होती है जहाँ द्विपद अपनी तनख़्वाह कमाता है: यह तय करने में कि कब किसी प्रेक्षण से हमें किसी दावे पर संदेह करना चाहिए।

भाग I — त्रिभुज।

पास्कल त्रिभुज को पंक्ति $6$ तक बनाइए (प्रतिज्ञप्ति 19.6)। सममिति $\binom nk = \binom{n}{n-k}$ को एक वाक्य में बताइए और समझाइए ( $k$ वस्तुएँ चुनना उतना ही है जितना कि …)।
पंक्तियों $4$ और $5$ पर जाँचिए कि हर पंक्ति का योग $2^n$ है, और इसे सिद्ध कीजिए: सारे $\binom nk$ मिलकर किसकी गिनती करते हैं?
पास्कल का नियम $\binom{n+1}{k} = \binom nk + \binom{n}{k-1}$ समिति वाले तर्क से फिर निकालिए: किसी एक विशेष व्यक्ति को नियत कीजिए और समितियों को उसके भाग्य के अनुसार बाँट दीजिए।
$\binom73$ दो बार निकालिए: त्रिभुज से, और क्रमगुणित वाले सूत्र से।
सीढ़ी-सर्वसमिका $\binom22 + \binom32 + \binom42 + \binom52 = \binom63$ जाँचिए, और $\binom63$ से नीचे की ओर पास्कल के नियम को झरने की तरह लगाकर उसे समझाइए।

भाग II — पटल। एक गेंद खूँटियों की $n$ पंक्तियों में से गिरती है; हर खूँटी पर वह स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $\frac12$ से बाएँ या दाएँ उछलती है। ख़ानों को दाईं ओर की उछालों की गिनती से $0$ से $n$ तक क्रमांकित कीजिए।

विधि 19.11 की जाँच-सूची से समझाइए कि ख़ाने की संख्या द्विपद बंटन $\mathcal B\!\left(n, \frac12\right)$ का पालन क्यों करती है।
छोटे पटल ( $n = 4$ ) के लिए: पाँचों ख़ानों की प्रायिकताएँ बताइए। सबसे भीड़ भरा ख़ाना कौन-सा है?
अब $n = 10$ और $1\,024$ गेंदें: बीच वाले ख़ाने में, ख़ाने $7$ में और हर किनारे वाले ख़ाने में गेंदों की प्रत्याशित गिनती क्या है? ढेर की आकृति का वर्णन कीजिए।
$X \sim \mathcal B\!\left(10, \frac12\right)$ के लिए: $\E(X)$ , $V(X)$ और $\sigma$ निकालिए (प्रतिज्ञप्ति 19.10); फिर केंद्र से $2\sigma$ के भीतर (ख़ाने $2$ से $8$ तक) अपेक्षित गेंदों का अनुपात निकालिए और समस्या 17.1 की चेबिशेव गारंटी से तुलना कीजिए।
एक झुका हुआ पटल प्रायिकता $0.6$ से दाईं ओर उछालता है: $n = 10$ के लिए $\E$ , $V$ और $\sigma$ बताइए, और बताइए कि ढेर का क्या होता है।
एक-दो वाक्यों में: पटल की बनावट में ऐसा क्या है जो घंटी की आकृति गढ़ देता है — और वास्तविक संसार की इतनी सारी राशियाँ (लंबाइयाँ, मापन की त्रुटियाँ) उसी तरह क्यों ढेर होती हैं? (दोनों के पीछे की गहरी प्रमेय केंद्रीय सीमा प्रमेय है, जो स्नातक खंडों के प्रायिकता-पाठ्यक्रम की चोटी है।)

भाग III — सात में से चार। दो टीमें एक शृंखला खेलती हैं: $4$ जीतें पहले पाने वाली टीम ख़िताब ले जाती है; और सभी मुक़ाबले स्वतंत्र हैं।

बराबर टीमें ( $p = \frac12$ ): शृंखला के सफ़ाए में (ठीक $4$ मुक़ाबलों में) समाप्त होने की प्रायिकता निकालिए।
यह प्रायिकता निकालिए कि शृंखला पूरे $7$ मुक़ाबलों तक जाती है ( $6$ के बाद स्कोर क्या होना चाहिए?)।
बराबर टीमों के लिए शृंखला की लंबाई ( $4$ , $5$ , $6$ या $7$ मुक़ाबले) का बंटन पूरा कीजिए, और प्रत्याशित लंबाई निकालिए। कौन-सी लंबाइयाँ सबसे संभावित हैं?
अब एक टीम हर मुक़ाबला $p = 0.6$ से जीतती है। उसके शृंखला जीतने की प्रायिकता निकालिए ( $4$ , $5$ , $6$ या $7$ में जीत: हर स्थिति में टीम अंतिम मुक़ाबला जीतती है और पिछलों में से $3$ )। शृंखला ने प्रति-मुक़ाबले की बढ़त के साथ क्या कर दिया?
एक ही अंतिम मुक़ाबले ( $60\,\%$ ) और तीन में से दो वाली शृंखला (उसे निकालिए) से तुलना कीजिए। कौशल बनाम संयोग पर शृंखला की लंबाई का सामान्य प्रभाव बताइए — और यह भी कि लीग लंबे फ़ाइनल क्यों पसंद करती हैं।

भाग IV — कब हल्ला मचाएँ।

एक सिक्का $100$ बार उछाला जाता है और $62$ चित दिखाता है। न्यायसंगत सिक्के के लिए $\E$ , $\sigma$ और प्रेक्षण का z-मान (समस्या 17.1) बताइए। $2\sigma$ की परिपाटी के अधीन क्या निर्णय है?
एक आपूर्तिकर्ता $2\,\%$ दोषपूर्ण पुर्ज़ों का दावा करता है। $50$ के बैच में आपको $3$ दोषपूर्ण मिलते हैं। दावे के अधीन $\P(X \geq 3)$ निकालिए ( $X \sim \mathcal B(50, 0.02)$ ; $\P(X = 0), \P(X = 1), \P(X = 2)$ से होकर जाइए)। $5\,\%$ की सीमा पर (विधि 19.13, अभ्यास 19.11) क्या यह चिंताजनक है?
लॉटरी की लगन: हर टिकट प्रायिकता $\frac{1}{1000}$ से (कुछ न कुछ) जिताता है। $1\,000$ टिकटों के साथ कम से कम एक जीत की प्रायिकता निकालिए। उत्तर ( $\approx 63\,\%$ , $100\,\%$ नहीं!) एक प्रसिद्ध अचर छिपाए है: $0.999^{1000}$ निकालिए और संख्या $0.368$ कक्षा 12 के लिए याद रखिए।
समापन — द्विपद का चित्र: पहचानने की जाँच-सूची (नियत $n$ , स्वतंत्रता, अचर $p$ ); उसकी सारणी के रूप में पास्कल त्रिभुज; उसकी आकृति के रूप में घंटी; उसकी दिशा-सूई के रूप में $np$ और $np(1-p)$ ; और कक्षा 12 में प्रतीक्षा करते उसके दो उत्तराधिकारी — चिकना घंटी-वक्र और बृहत् संख्याओं का नियम। हर एक पर एक वाक्य।

हल

हल — समस्या 19.1.

1. पंक्तियाँ: $1$ ; $1\,1$ ; $1\,2\,1$ ; $1\,3\,3\,1$ ; $1\,4\,6\,4\,1$ ; $1\,5\,10\,10\,5\,1$ ; $1\,6\,15\,20\,15\,6\,1$ । सममिति: यह चुनना कि कौन-सी $k$ वस्तुएँ ली जाएँ, ठीक वही काम है जो यह चुनना कि कौन-सी $n - k$ पीछे छोड़ी जाएँ।

2. $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$ ; $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ । उपपत्ति: $\binom nk$ किसी $n$ -अवयवी समुच्चय के हर आकार के उपसमुच्चय गिनते हैं, और कुल मिलाकर उपसमुच्चय $2^n$ हैं (हर अवयव स्वतंत्र रूप से भीतर या बाहर)।

3. $n + 1$ लोगों में से चुनी गई $k$ की समितियाँ, जिनमें एक ज़ो है: बिना ज़ो वाली $\binom nk$ हैं (बाक़ी में से सारी $k$ चुनिए); ज़ो वाली $\binom{n}{k-1}$ हैं (उसके $k - 1$ सहयोगी चुनिए)। कुल: $\binom nk + \binom{n}{k-1}$ ।

4. त्रिभुज की पंक्ति $7$ : $1\,7\,21\,35\,\dots$ : $35$ । सूत्र से: $\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ ।

5. $1 + 3 + 6 + 10 = 20 = \binom63$ । झरना: $\binom63 = \binom52 + \binom53 = \binom52 + \binom42 + \binom43 = \binom52 + \binom42 + \binom32 + \binom33$ — पास्कल के नियम का हर प्रयोग सीढ़ी का एक पद छील देता है।

6. उछालों की नियत संख्या $n$ ; हर उछाल वही $p = \frac12$ वाला एक स्वतंत्र बर्नूली परीक्षण; और ख़ाने की संख्या सफलताओं (दाईं ओर की उछालों) को गिनती है: विधि 19.11 के तीनों ख़ाने पर निशान लग गया: $\mathcal B\!\left(n, \frac12\right)$ ।

7. ख़ानों $0, \dots, 4$ की प्रायिकताएँ $\frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}$ हैं: बीच वाला ख़ाना $2$ सबसे भीड़ भरा है।

8. प्रत्याशित गिनतियाँ $= 1024 \times \binom{10}{k}/1024 = \binom{10}{k}$ : बीच वाला ख़ाना $\binom{10}{5} = 252$ गेंदें; ख़ाना $7$ : $\binom{10}{7} = 120$ ; और हर किनारे वाला ख़ाना: $1$ गेंद। ऊँचा केंद्र जो सममित रूप से गिरकर फुसफुसाहट-भर पतले किनारों तक आता है: वही घंटी।

9. $\E = np = 5$ ; $V = np(1 - p) = 2.5$ ; $\sigma \approx 1.58$ । $2\sigma$ के भीतर: ख़ाने $2$ से $8$ तक गेंदों का

\frac{45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45}{1024} = \frac{1002}{1024} \approx 98\,\%

उठाए हैं — चेबिशेव की सर्वकाम $75\,\%$ (समस्या 17.1) से कहीं बेहतर: घंटी-आकार कसकर सिमटते हैं।

10. $\E = 6$ , $V = 10 \times 0.6 \times 0.4 = 2.4$ , $\sigma \approx 1.55$ : ढेर अपनी घंटी-आकृति बनाए रखता है पर अपनी चोटी सरकाकर ख़ाने $6$ पर ले जाता है — झुका हुआ पटल दिखाई देने वाला भारित सिक्का है।

11. ख़ाने की संख्या अनेक छोटे, स्वतंत्र और एक ही आकार के संयोग-धक्कों का योग है — और ऐसे योग सदा अपने आप घंटी में सज जाते हैं: अधिकांश धक्के आपस में कट जाते हैं, और चरम तक पहुँचने के लिए सबकी सहमति चाहिए। लंबाइयाँ, मापन की त्रुटियाँ और अनगिनत प्राकृतिक राशियाँ भी इसी तरह अनेक छोटे स्वतंत्र प्रभावों के योग हैं, और इसीलिए वही आकृति हर जगह दिखती है; इसे प्रमाणित करने वाली प्रमेय केंद्रीय सीमा प्रमेय है।

12. सफ़ाया: एक ही टीम सारे $4$ जीत ले: $2 \times \left(\frac12\right)^4 = \frac18$ ।

13. सात मुक़ाबलों के लिए छह के बाद $3$ – $3$ चाहिए: $\binom63 \left(\frac12\right)^6 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$ ।

14. $5$ में समाप्ति: विजेता पाँचवाँ मुक़ाबला और पहले $4$ में से $3$ जीतता है: $2 \times \binom43 \left(\frac12\right)^5 = \frac14$ । $6$ में समाप्ति: $2 \times \binom53 \left(\frac12\right)^6 = \frac{5}{16}$ । $4, 5, 6, 7$ पर बंटन: $\frac18, \frac14, \frac{5}{16}, \frac{5}{16}$ (योग $1$ )। प्रत्याशित लंबाई: $4 \cdot \frac18 + 5 \cdot \frac14 + 6 \cdot \frac{5}{16} + 7 \cdot \frac{5}{16} = 5.8125$ मुक़ाबले। छह और सात मुक़ाबलों वाली शृंखलाएँ सबसे संभावित हैं — नाटक इस प्रारूप में ही गूँथा हुआ है।

15. $4$ में जीत: $0.6^4 = 0.1296$ ; $5$ में: $\binom43\,0.6^3 \times 0.4 \times 0.6 = 0.2074$ ; $6$ में: $\binom53\,0.6^3 \times 0.4^2 \times 0.6 = 0.2074$ ; $7$ में: $\binom63\,0.6^3 \times 0.4^3 \times 0.6 = 0.1659$ । कुल: लगभग $0.710$ : प्रति मुक़ाबले $60\,\%$ वाली टीम $71\,\%$ शृंखलाएँ जीतती है — शृंखला बढ़त को बढ़ा देती है।

16. अकेला अंतिम मुक़ाबला: $60\,\%$ । तीन में से दो: $p^2 + 2p^2 q = 0.36 + 0.288 = 0.648$ । सीढ़ी $60\,\% \to 65\,\% \to 71\,\%$ लंबाई के साथ आगे बढ़ती जाती है: अधिक मुक़ाबले संयोग को औसत में मिला देते हैं (छोटे पैमाने पर बृहत् संख्याओं का नियम), इसलिए लंबे फ़ाइनल कौशल को ताज पहनाते हैं — और लीग यही बेचती हैं।

17. न्यायसंगत सिक्का: $\E = 50$ , $\sigma = \sqrt{25} = 5$ ; $z = \frac{62 - 50}{5} = 2.4$ : $2\sigma$ की परिपाटी से आगे — सिक्का जाँच का हक़दार है।

18. $\P(X = 0) = 0.98^{50} \approx 0.364$ ; $\P(X = 1) = 50 \times 0.02 \times 0.98^{49} \approx 0.372$ ; $\P(X = 2) = \binom{50}{2} 0.02^2 \times 0.98^{48} \approx 0.186$ । इसलिए $\P(X \geq 3) \approx 1 - 0.922 = 0.078$ : लगभग $7.8\,\%$ — $5\,\%$ की सीमा से ऊपर, इसलिए दावे को अस्वीकार करने के लिए (अभी) पर्याप्त नहीं; पर एक और ख़राब बैच कहानी बदल देगा।

19. $\P(\text{कम से कम एक जीत}) = 1 - 0.999^{1000} \approx 1 - 0.368 = 0.632$ : एक हज़ार में एक की दर से एक हज़ार टिकट निश्चितता नहीं, $63\,\%$ देते हैं। बार-बार लौटता $0.368$ भेस बदले $\frac1e$ है — अचर $e$ कक्षा 12 में औपचारिक प्रवेश करता है।

20. पहचान: नियत $n$ , स्वतंत्रता, अचर $p$ — तभी और केवल तभी, द्विपद। सारणी: पास्कल त्रिभुज, पंक्ति $n$ । आकृति: घंटी, $p = \frac12$ के लिए सममित और अन्यथा खिसकी हुई। दिशा-सूई: केंद्र $np$ , प्रसार $\sqrt{np(1-p)}$ — निर्णयों के z-मान। उत्तराधिकारी: वह चिकना घंटी-वक्र जिसके पास ढेर पहुँचते हैं, और बृहत् संख्याओं का नियम, जो बताता है कि बड़े पटल कभी झूठ क्यों नहीं बोलते।