उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

6सदिश

सदिश एक विस्थापन को समेटता है: एक दिशा और एक लंबाई, आरंभिक बिंदु चाहे जो हो। सदिश ज्यामितीय तथ्यों की स्वच्छ उपपत्तियाँ देते हैं और, जैसे ही निर्देशांक चित्र में आते हैं, उन्हें छोटी-छोटी गणनाओं में बदल देते हैं। अध्याय 7 में और आगे चलकर अध्याय 16 के अदिश गुणनफल के लिए वे एक प्रमुख औज़ार होंगे।

6.1 स्थानांतरण और सदिश

परिभाषा 6.1 (सदिश)

दो बिंदु $A$ और $B$ दिए होने पर सदिश $\vect{AB}$ $A$ से $B$ तक के विस्थापन को दर्शाता है: उसकी एक दिशा होती है (रेखा $(AB)$ की दिशा, और उस पर चलने का ढंग, $A$ से $B$ की ओर) और एक लंबाई (दूरी $AB$ , जिसे $\norm{\vect{AB}}$ भी लिखते हैं)। दो सदिश बराबर तब होते हैं जब वे एक ही विस्थापन समेटते हों: $\vect{AB} = \vect{CD}$ का अर्थ है कि दोनों विस्थापनों को किसी भी बिंदु पर लगाने से एक ही परिणाम मिलता है।

प्रतिज्ञप्ति 6.2 (बराबर सदिश और समांतर चतुर्भुज)

$\vect{AB} = \vect{CD}$ ठीक तब है जब $ABDC$ (इसी क्रम में!) समांतर चतुर्भुज हो, चाहे वह चपटा ही क्यों न हो — अर्थात् तब जब $[AD]$ और $[BC]$ का मध्यबिंदु एक ही हो।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

बराबर सदिश AB = CD: वही दिशा, वही ढंग, वही लंबाई। चतुर्भुज ABDC समांतर चतुर्भुज है। — बराबर सदिश $\vect{AB} = \vect{CD}$ : वही दिशा, वही ढंग, वही लंबाई। चतुर्भुज $ABDC$ समांतर चतुर्भुज है।

संकेतन 6.3

जब सिरों से कोई मतलब न हो तब सदिश को प्रायः एक ही अक्षर से नाम दिया जाता है, $\vec u$ या $\vec v$ । शून्य सदिश $\vec 0 = \vect{AA}$ वह विस्थापन है जो किसी को हिलाता नहीं। $\vect{AB}$ का विपरीत $\vect{BA}$ है: वही लंबाई, उल्टा ढंग। हम $\vect{BA} = -\vect{AB}$ लिखते हैं।

6.2 सदिशों का योग

परिभाषा 6.4 (दो सदिशों का योग)

योग $\vec u + \vec v$ वह विस्थापन है जो पहले $\vec u$ और फिर $\vec v$ करने से मिलता है।

प्रमेय 6.5 (शाल का संबंध)

किन्हीं तीन बिंदुओं $A$ , $B$ , $C$ के लिए:

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.

उपपत्ति. $A$ से $B$ तक और फिर $B$ से $C$ तक जाना ऐसा विस्थापन है जो $A$ को $C$ तक ले जाता है: यही विस्थापन $\vect{AC}$ समेटता है। ∎

टिप्पणी 6.6 (समांतर चतुर्भुज नियम)

एक ही बिंदु से खींचे गए दो सदिशों $\vect{AB} + \vect{AC}$ को जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज $ABDC$ पूरा कीजिए: योग विकर्ण $\vect{AD}$ है। सचमुच $\vect{AC} = \vect{BD}$ , इसलिए शाल के संबंध से $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ ।

योग के दो चित्र: सिरे-से-पुच्छ (शाल का संबंध, बाएँ) और समांतर चतुर्भुज नियम (दाएँ)।

उदाहरण 6.7 (शाल से सरल करना)

$\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$ को सरल कीजिए: विस्थापनों को जोड़ते जाने पर $\vect{MQ}$ मिलता है। $\vect{AB} - \vect{AC}$ को सरल कीजिए: अंतर को विपरीत सदिश के साथ योग के रूप में फिर से लिखिए,

\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.

6.3 सदिश को संख्या से गुणा करना

परिभाषा 6.8 (अदिश गुणज)

मान लीजिए $\vec u$ एक शून्येतर सदिश है और $k$ एक वास्तविक संख्या। सदिश $k\vec u$ की दिशा $\vec u$ जैसी है, लंबाई $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ है, और उसका ढंग $\vec u$ जैसा है यदि $k > 0$ हो, और उल्टा यदि $k < 0$ हो। $k = 0$ के लिए $0\vec u = \vec 0$ ।

परिभाषा 6.9 (संरेखता)

दो सदिश $\vec u$ और $\vec v$ संरेखी तब कहलाते हैं जब उनकी दिशा एक ही हो, अर्थात् जब किसी वास्तविक $k$ के लिए $\vec v = k \vec u$ हो (या उनमें से एक $\vec 0$ हो)।

टिप्पणी 6.10

संरेखता समांतरता और संरेखण की सदिश-भाषा है:

रेखाएँ $(AB)$ और $(CD)$ समांतर ठीक तब हैं जब $\vect{AB}$ और $\vect{CD}$ संरेखी हों;
बिंदु $A$ , $B$ , $C$ संरेख ठीक तब हैं जब $\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ संरेखी हों।

6.4 सदिशों के निर्देशांक

परिभाषा 6.11 (सदिश के निर्देशांक)

किसी निर्देशांक-पद्धति में सदिश $\vect{AB}$ के निर्देशांक वे संख्याएँ हैं जो विस्थापन का वर्णन करती हैं:

\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).

सदिश $\vec u\,(a, b)$ हर बिंदु को क्षैतिज दिशा में $a$ मात्रक और ऊर्ध्वाधर दिशा में $b$ मात्रक हटा देता है।

प्रतिज्ञप्ति 6.12 (निर्देशांकों के साथ गणना)

मान लीजिए $\vec u\,(a, b)$ और $\vec v\,(c, d)$ हैं, तथा $k \in \R$ है।

$\vec u = \vec v$ ठीक तब है जब $a = c$ और $b = d$ हों;
$\vec u + \vec v$ के निर्देशांक $(a + c,\ b + d)$ हैं;
$k\vec u$ के निर्देशांक $(ka,\ kb)$ हैं;
$\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (लंबकोणिक पद्धति)।

उपपत्ति. 1–3 केवल निर्देशांक-दर-निर्देशांक यह दोहराते हैं कि विस्थापन क्या करते हैं: जैसे पहले $\vec u$ और फिर $\vec v$ करने से कोई बिंदु क्षैतिज दिशा में पहले $a$ और फिर $c$ हटता है, अर्थात् कुल मिलाकर $a + c$ । बिंदु 4 प्रमेय 5.4 का दूरी सूत्र है, जो $\vec u$ को दर्शाने वाले किसी रेखाखंड पर लगाया गया है। ∎

प्रमेय 6.13 (संरेखता की कसौटी)

दो सदिश $\vec u\,(a, b)$ और $\vec v\,(c, d)$ संरेखी हैं यदि और केवल यदि

ad - bc = 0 .

उपपत्ति. यदि $\vec v = k\vec u$ हो, तो $c = ka$ और $d = kb$ , इसलिए $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$ । यदि $\vec u = k \vec v$ हो, या दोनों में से कोई सदिश शून्य हो, तब भी यही बात लागू है।

इसके उलट, मान लीजिए $ad - bc = 0$ है, जहाँ $\vec u \neq \vec 0$ है, मान लीजिए $a \neq 0$ (स्थिति $b \neq 0$ इसी जैसी है)। $k = \frac{c}{a}$ रखिए; तब $c = ka$ , और $ad = bc = b(ka)$ से, $a \neq 0$ से भाग देने पर, $d = kb$ मिलता है। इसलिए $\vec v = k\vec u$ । ∎

उदाहरण 6.14

क्या $\vec u\,(3, -2)$ और $\vec v\,(-6, 4)$ संरेखी हैं? $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$ निकालिए: हाँ, और सचमुच $\vec v = -2\vec u$ । $\vec u\,(3, -2)$ और $\vec w\,(1, 5)$ के लिए: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$ : संरेखी नहीं।

विधि 6.15 (संरेखण और समांतरता)

यह सिद्ध करने के लिए कि तीन बिंदु $A$ , $B$ , $C$ संरेख हैं:

$\vect{AB}$ और $\vect{AC}$ के निर्देशांक निकालिए;
प्रमेय 6.13 की कसौटी $ad - bc = 0$ जाँचिए;
निष्कर्ष निकालिए: दोनों सदिश संरेखी हैं और उनमें बिंदु $A$ उभयनिष्ठ है, इसलिए तीनों बिंदु संरेख हैं।

वही गणना $\vect{AB}$ और $\vect{CD}$ के साथ यह सिद्ध करती है कि रेखाएँ $(AB)$ और $(CD)$ समांतर हैं।

उदाहरण 6.16

मान लीजिए $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ और $C(7, 11)$ हैं। तब $\vect{AB}\,(2, 3)$ और $\vect{AC}\,(6, 9)$ , और $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : बिंदु संरेख हैं (वस्तुतः $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ )।

संरेख बिंदु: AC AB का एक अदिश गुणज है। — संरेख बिंदु: $\vect{AC}$ $\vect{AB}$ का एक अदिश गुणज है।

6.5 अभ्यास

अभ्यास 6.1 ★

शाल के संबंध से सरल कीजिए:

\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad \vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad \vect{AC} - \vect{BC}, \qquad \vect{AB} + \vect{CA}.

हल

हल — अभ्यास 6.1.

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (शाल)।

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$ ।

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$ ।

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$ ।

अभ्यास 6.2 ★

मान लीजिए $A(2, 1)$ , $B(5, 3)$ , $C(-1, 4)$ हैं। $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ , $\vect{AC}$ के निर्देशांक निकालिए, और निर्देशांकों पर जाँचिए कि $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ ।

हल

हल — अभ्यास 6.2.

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$ ; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$ ; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$ । जाँच: निर्देशांक-दर-निर्देशांक $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$ ।

अभ्यास 6.3 ★

मान लीजिए $\vec u\,(2, -3)$ और $\vec v\,(-1, 4)$ हैं। $\vec u + \vec v$ , $3\vec u$ , $2\vec u - \vec v$ के निर्देशांक बताइए, और $\norm{\vec u}$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 6.3.

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$ ।

$3\vec u = (6, -9)$ ।

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$ ।

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ ।

अभ्यास 6.4 ★

हर स्थिति में बताइए कि $\vec u$ और $\vec v$ संरेखी हैं या नहीं:

\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9); \qquad \text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10); \qquad \text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).

हल

हल — अभ्यास 6.4.

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$ : संरेखी ( $\vec v = \frac32 \vec u$ )।

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$ : संरेखी ( $\vec v = -2\vec u$ )।

अभ्यास 6.5 ★

मान लीजिए $A(0, 2)$ , $B(4, 0)$ , $C(6, 3)$ हैं। वह बिंदु $D$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $ABCD$ समांतर चतुर्भुज हो, अर्थात् $\vect{AB} = \vect{DC}$ हो।

हल

हल — अभ्यास 6.5.

$\vect{AB}\,(4, -2)$ , और $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$ । शर्त $\vect{AB} = \vect{DC}$ से $6 - x_D = 4$ और $3 - y_D = -2$ मिलते हैं, इसलिए $D(2, 5)$ ।

अभ्यास 6.6 ★★

मान लीजिए $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, -1)$ हैं।

वह बिंदु $M$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ हो।
चतुर्भुज $ABMC$ कौन-सा है? पुष्ट कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 6.6.

1. $\vect{AB}\,(3, 2)$ और $\vect{AC}\,(6, -2)$ , इसलिए $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ और $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$ ।

2. समांतर चतुर्भुज नियम से $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ का अर्थ है कि $ABMC$ समांतर चतुर्भुज है ( $M$ $A$ के सामने वाला चौथा शीर्ष है)। जाँच लीजिए: $\vect{AB}\,(3,2)$ और $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ बराबर हैं।

अभ्यास 6.7 ★★

मान लीजिए $A(1, -1)$ , $B(4, 1)$ , $C(10, 5)$ हैं। क्या बिंदु $A$ , $B$ , $C$ संरेख हैं? यही प्रश्न $A(0, 3)$ , $B(2, 2)$ , $C(8, -1)$ के लिए।

हल

हल — अभ्यास 6.7.

पहला त्रिक: $\vect{AB}\,(3, 2)$ , $\vect{AC}\,(9, 6)$ ; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$ : संरेख ( $\vect{AC} = 3\vect{AB}$ )।

दूसरा त्रिक: $\vect{AB}\,(2, -1)$ , $\vect{AC}\,(8, -4)$ ; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$ : यह भी संरेख ( $\vect{AC} = 4\vect{AB}$ )।

अभ्यास 6.8 ★★

मान लीजिए $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(6, 1)$ , $D(2, -1)$ हैं। दिखाइए कि $(AB)$ और $(CD)$ समांतर हैं, फिर यह कि $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है। कौन-सी जाँच दूसरी को अपने आप सिद्ध कर देती है?

हल

हल — अभ्यास 6.8.

$\vect{AB}\,(4, 2)$ और $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$ : दोनों सदिश बराबर हैं, इसलिए $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है, और विशेष रूप से $(AB) \parallel (CD)$ । समांतर चतुर्भुज वाला गुण अधिक प्रबल है: उससे समांतरता (सदिशों की संरेखता) निकल आती है, पर उल्टा नहीं।

अभ्यास 6.9 ★★

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है, और $I$ वह बिंदु है जो $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$ से परिभाषित होता है। $A(0,0)$ , $B(6, 3)$ , $C(2, 5)$ लेकर (ताकि गणनाएँ सरल रहें):

$I$ के निर्देशांक निकालिए;
मान लीजिए $J$ ऐसा है कि $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; $J$ के निर्देशांक निकालिए;
दिखाइए कि $(IJ)$ $(AC)$ के समांतर है।

हल

हल — अभ्यास 6.9.

1. $\vect{AB}\,(6, 3)$ , इसलिए $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ और $I(4, 2)$ ।

2. $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$ , इसलिए $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ और $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3}, \frac{11}{3}\right)$ ।

3. $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) = \left(\frac23, \frac53\right)$ और $\vect{AC}\,(2, 5)$ । संरेखता की कसौटी:

\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :

सदिश संरेखी हैं, इसलिए $(IJ)$ $(AC)$ के समांतर है। ( $I$ और $J$ दोनों भुजा से $B$ की ओर एक-तिहाई दूरी पर बैठे हैं: छोटा त्रिभुज $IBJ$ $ABC$ का लघुरूप है।)

अभ्यास 6.10 ★★★

मान लीजिए $ABCD$ कोई चतुर्भुज है, और $I$ , $J$ , $K$ , $L$ क्रमशः $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ के मध्यबिंदु हैं। निर्देशांकों $A(x_A, y_A)$ आदि का उपयोग करके दिखाइए कि $\vect{IJ} = \vect{LK}$ , और निष्कर्ष निकालिए कि किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

हल

हल — अभ्यास 6.10.

मध्यबिंदु ये हैं:

I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).

दोनों सदिशों के पहले निर्देशांक:

x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{x_C - x_A}{2}, \qquad x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2} = \frac{x_C - x_A}{2},

और वही गणना दूसरे निर्देशांकों पर भी चलती है। इसलिए $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (दोनों $\frac12\vect{AC}$ के बराबर), और $IJKL$ समांतर चतुर्भुज है, चाहे चतुर्भुज $ABCD$ कैसा भी दिखता हो।

6.6 समस्या: तीरों का बीजगणित

समस्या 6.1

सप्ताहांत समस्या — शाल की कसरत, केन्द्रक की दो पंक्तियों में नई उपपत्ति, और साम्यावस्था में बल: सदिश असल में किस काम आते हैं

कक्षा 8 ने सिद्ध किया था कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ अपनी लंबाई के दो-तिहाई पर मिलती हैं — और उसके लिए त्रिभुज के भीतर एक चतुर समांतर चतुर्भुज छिपाया गया था (माध्यमिक विद्यालय खंड की केन्द्रक वाली सप्ताहांत समस्या)। सदिश उसे दो पंक्तियों में फिर सिद्ध कर देते हैं, और संगामिता मुफ़्त में दे देते हैं। यही इस नए बीजगणित का काम है: प्रमेय तीरों के साथ की गई गणनाएँ बन जाती हैं। यह समस्या पहले वह गणना सधाती है (सबसे बढ़कर शाल की), फिर दो पंक्ति वाली उपपत्ति देती है, फिर वारिन्यों (अभ्यास 6.10) को आगे बढ़ाती है, और वहाँ समाप्त होती है जहाँ सदिशों का जन्म हुआ था: बल और वेग।

भाग I — शाल की कसरत।

शाल के संबंध (प्रमेय 6.5) से सरल कीजिए: $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ ।
मूल बिंदु वाली तरकीब: दिखाइए कि किसी भी बिंदु $O$ के लिए $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ ।
$[AB]$ के मध्यबिंदु $I$ के दोनों अभिलक्षण सिद्ध कीजिए:

$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0 \qquad\text{और}\qquad \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right) \ \text{किसी भी } O \text{ के लिए} .$
$\vect{AB} = \vect{DC}$ का उपयोग करके $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ वाले समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का चौथा शीर्ष $D$ फिर से ज्ञात कीजिए — और समस्या 5.1 के मध्यबिंदु वाली तरकीब से मिले उत्तर से तुलना कीजिए।
समतल के हर बिंदु में एक नियत सदिश $\vec u$ जोड़ने से कौन-सा रूपांतरण होता है — वही जो माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-दर्पण वाली सप्ताहांत समस्या में दो दर्पणों से और अर्ध-घूर्णन वाली सप्ताहांत समस्या में दो अर्ध-घूर्णनों से खोजा गया था? $\vec u = (3, -1)$ के अधीन $(1, 2)$ का प्रतिबिंब निकालिए।

भाग II — केन्द्रक, तीसरी उपपत्ति। त्रिभुज $ABC$ के बिंदु $G$ को इस सुंदर शर्त से परिभाषित कीजिए:

\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .

मूल बिंदु वाली तरकीब से दिखाइए कि यह शर्त $G$ को अद्वितीय रूप से तय कर देती है: किसी भी $O$ के लिए $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}\right)$ — अर्थात् $G$ के निर्देशांक शीर्षों के निर्देशांकों के माध्य हैं (माध्यमिक विद्यालय खंड की केन्द्रक वाली सप्ताहांत समस्या ने इसे संख्याओं में देखा था)।
$\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ सिद्ध कीजिए, और $[BC]$ के मध्यबिंदु को $K$ लिखकर $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} + \vect{AC}\right)$ । निष्कर्ष निकालिए: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — दो-तिहाई वाली प्रमेय, फिर से सिद्ध।
$B$ से और $C$ से खींची गई माध्यिकाएँ बिना किसी और गणना के उसी $G$ से क्यों गुज़रती हैं? इस प्रमेय की तीनों उपलब्ध उपपत्तियों — कक्षा 8 का छिपा समांतर चतुर्भुज, निर्देशांक, और सदिश — की तुलना एक-एक वाक्य में कीजिए।
संख्यात्मक जाँच: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ । $G$ निकालिए, फिर $K$ , फिर संरेखता की कसौटी (प्रमेय 6.13) से $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ सत्यापित कीजिए।
भौतिकी $G$ को शीर्षों पर रखे तीन बराबर द्रव्यमानों के संतुलन-बिंदु के रूप में पढ़ती है। $A$ का द्रव्यमान दुगुना कर दीजिए (द्रव्यमान $2, 1, 1$ ): तब संतुलन-बिंदु $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC}}{4}$ हो जाता है। प्रश्न 9 वाले त्रिभुज के लिए $G'$ निकालिए और उसकी स्थिति की $G$ से तुलना कीजिए।

भाग III — संरेखता काम पर।

क्या $\vec u(3, -2)$ और $\vec v(-6, 4)$ संरेखी हैं? और $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? सारणिक कसौटी से तय कीजिए।
क्या बिंदु $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ संरेख हैं?
वारिन्यों से आगे (अभ्यास 6.10): किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ में द्वि-माध्यिकाएँ सामने-सामने की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ती हैं ( $[IK]$ और $[JL]$ )। स्थिति सदिशों ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ आदि) का उपयोग करके दिखाइए कि दोनों द्वि-माध्यिकाओं का मध्यबिंदु एक ही है, जिसका स्थिति सदिश $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD}\right)$ है: यही चतुर्भुज का केन्द्रक है।
थेल्स एक पंक्ति में: $M$ और $N$ वे बिंदु हैं जो $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ और $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ से परिभाषित हैं। $\vect{MN}$ को $\vect{BC}$ के पदों में निकालिए और समांतरता तथा अनुपात का निष्कर्ष निकालिए।
प्रश्न 14 को किसी भी अनुपात $k$ तक सामान्य कीजिए, और एक वाक्य में बताइए कि सदिश-कलन मध्यबिंदु प्रमेय और थेल्स प्रमेय दोनों को एक साथ कैसे अपने भीतर समेट लेता है।

भाग IV — बल और वेग।

एक नाव को $3$ km/h की धारा ठीक पूर्व की ओर धकेल रही है, जबकि उसमें $4$ km/h से ठीक उत्तर की ओर चप्पू चलाया जा रहा है। परिणामी वेग सदिश, उसका परिमाण और नाव का वास्तविक मार्ग बताइए। (एक बहुत पुराना त्रिक प्रकट होता है।)
एक छल्ले पर तीन बल लगते हैं: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ । परिणामी निकालिए। छल्ला क्या करता है? और किसी भी बंद बहुभुज के अनुदिश तीरों का योग सदा $\vec 0$ क्यों होता है (शाल)?
एक हुक पर दो बल $\vec u(4, -1)$ और $\vec v(-1, 3)$ लगते हैं। कौन-सा तीसरा बल हुक को साम्यावस्था में रखेगा?
एक तैराक नदी को सीधे पार करने की दिशा में $2$ m/s से तैरता है; धारा $1.5$ m/s से बहती है। परिणामी वेग और उसका परिमाण बताइए। नदी $50$ m चौड़ी है: पार करने में कितना समय लगता है, और तैराक धारा की दिशा में कितनी दूर जा लगता है?
समापन: एक ही वस्तु, तीन वेश — विस्थापन का तीर, निर्देशांक-युग्म, और बल या वेग। इस समस्या ने सदिश-बीजगणित से जिन तीन चिरपरिचित प्रमेयों को फिर सिद्ध किया, उन्हें गिनाइए, और उस एक ज्यामितीय राशि का नाम बताइए जिसे इस अध्याय के सदिश अब भी नाप नहीं सकते — उसे साधने वाला औज़ार कक्षा 11 में अदिश गुणनफल के साथ आता है।

हल

हल — समस्या 6.1.

1. $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} = \vect{BA}$ ; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} + \vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (तीसरे योग के पदों का क्रम बदलकर)।

2. शाल से $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} = \vect{AB}$ ।

3. $I$ $[AB]$ का मध्यबिंदु ठीक तब है जब $\vect{IA} = -\vect{IB}$ हो, अर्थात् $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$ । तब किसी भी $O$ के लिए $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$ , इसलिए $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — और इसके उलट भी।

4. $\vect{AB} = (4, 2)$ , और $D$ $\vect{DC} = \vect{AB}$ को संतुष्ट करता है: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — वही $D$ जो समस्या 5.1 में था, पर एक पंक्ति जल्दी।

5. सदिश $\vec u$ का स्थानांतरण — ठीक वही रूपांतरण जो दो समांतर दर्पणों या दो अर्ध-घूर्णनों से बनता है। $(1, 2)$ का प्रतिबिंब: $(4, 1)$ ।

6. हर $\vect{GX}$ को $\vect{GO} + \vect{OX}$ के रूप में खोलने पर: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$ , इसलिए $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$ : ऐसा एक और केवल एक बिंदु, जिसके निर्देशांक तीनों शीर्षों के निर्देशांकों के माध्य हैं।

7. $\vect{AB} + \vect{AC} = (\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC}) = 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$ , जिससे $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$ । मध्यबिंदु सूत्र (प्रश्न 3, $A$ की ओर से देखा गया) $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$ देता है। तुलना करने पर: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ माध्यिका $[AK]$ पर है, $A$ से दो-तिहाई दूरी पर।

8. परिभाषित करने वाली शर्त $A$ , $B$ , $C$ के साथ एक जैसा व्यवहार करती है, इसलिए $B$ से या $C$ से की गई वही गणना उसी $G$ को उन माध्यिकाओं के दो-तिहाई पर बिठा देती है: संगामिता मुफ़्त में। समांतर चतुर्भुज वाली उपपत्ति चतुर थी पर विशेष अवसर की; निर्देशांक गणना तो करते हैं पर बात धुँधली कर देते हैं; सदिश सममिति को दिखा देते हैं और उपपत्ति दो पंक्तियों की कर देते हैं।

9. $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) = (3, 3)$ ; $K(4, 4)$ ; $\vect{AG} = (2, 2)$ और $\vect{AK} = (3, 3)$ : सारणिक $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$ , संरेखी, और सचमुच $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ ।

10. $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 + 6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$ : $G(3,3)$ से खिसककर दुगुने द्रव्यमान वाले शीर्ष $A(1,1)$ की ओर, जैसा किसी संतुलन-बिंदु को होना ही चाहिए।

11. $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$ : संरेखी ( $\vec v = -2\vec u$ )। $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$ : संरेखी नहीं।

12. $\vect{AB} = (2, 3)$ , $\vect{AC} = (6, 9)$ : सारणिक $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : संरेख।

13. $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ और $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$ , इसलिए $[IK]$ के मध्यबिंदु का स्थिति सदिश $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ है — और $[JL]$ के लिए की गई गणना ठीक वही सदिश देती है। दोनों द्वि-माध्यिकाएँ (और वारिन्यों से, समांतर चतुर्भुज $IJKL$ के विकर्ण) इसी केंद्र को साझा करती हैं: वही चतुर्भुज का केन्द्रक है।

14. $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} = \frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$ : इसलिए $(MN) \parallel (BC)$ और $MN = \frac13 BC$ ।

15. $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ और $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$ के साथ: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — एक ही पंक्ति जिसमें मध्यबिंदु प्रमेय ( $k = \frac12$ ) और थेल्स (कोई भी $k$ ) दोनों समाए हैं: अनुपात घटाव में से ज्यों का त्यों निकल आता है।

16. परिणामी $(3, 4)$ , परिमाण $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: नाव वस्तुतः $3$ – $4$ – $5$ त्रिभुज के कर्ण के साथ-साथ उत्तर-पूर्व की ओर उत्तर झुकी दिशा में चलती है।

17. $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$ : छल्ला जहाँ है वहीं रहता है — साम्यावस्था। किसी बंद बहुभुज $A_1 A_2 \dots A_n A_1$ के अनुदिश शाल योग को समेटकर $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$ कर देता है: चक्कर लगाकर आप वहीं लौट आते हैं।

18. $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) = (-3, -2)$ ।

19. परिणामी $(1.5,\ 2)$ , परिमाण $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s। पार करना: $2$ m/s की आरपार चाल से $50$ m: $25$ s; बहाव: धारा की दिशा में $1.5 \times 25 = 37.5$ m।

20. इस सप्ताहांत जो फिर सिद्ध हुआ: केन्द्रक की दो-तिहाई प्रमेय (प्रश्न 7), द्वि-माध्यिका/वारिन्यों केंद्र (प्रश्न 13), थेल्स–मध्यबिंदु (प्रश्न 14–15)। तीर अब भी जो नहीं कर सकते: कोण नापना (और इस तरह किसी भी दिशा में लंबाइयाँ) — कक्षा 11 का अदिश गुणनफल ठीक वही छूटा हुआ यंत्र है।