उच्च माध्यमिक गणित · Bovenbouw

12अवकलन: पहला पाठ्यक्रम

कोई फलन कितनी तेज़ी से बदलता है? किसी एक बिंदु पर इसका उत्तर अवकलज है, जो पूरे व्यावहारिक गणित की सबसे उपयोगी अकेली संख्या है। यह अध्याय उसे औसत परिवर्तन दरों से खड़ा करता है, आधार फलनों के लिए उसे निकालता है, और उसके चिह्न से किसी फलन के परिवर्तन पढ़ता है। यहाँ की हर बात अध्याय 22 में और आगे बढ़ाई तथा गहरी की जाती है।

12.1 औसत परिवर्तन दर

परिभाषा 12.1 (औसत परिवर्तन दर)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित है और $I$ में $a \neq b$ हैं। $a$ और $b$ के बीच $f$ की औसत परिवर्तन दर है

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

यह वक्र के बिंदुओं $\bigl(a, f(a)\bigr)$ और $\bigl(b, f(b)\bigr)$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा की प्रवणता है।

उदाहरण 12.2

एक कार दोपहर 2 बजे से 4 बजे के बीच $140$ km चलती है: उसकी औसत चाल $\frac{140}{2} = 70$ km/h है। पर गति-मापक हर क्षण एक तात्क्षणिक चाल दिखाता है — और अवकलज ठीक इसी धारणा को सुनिश्चित कर देता है।

12.2 किसी बिंदु पर अवकलज

परिभाषा 12.3 (किसी बिंदु पर अवकलज)

मान लीजिए $f$ ऐसे अंतराल पर परिभाषित है जिसमें $a$ है। $h \neq 0$ के लिए $a$ और $a + h$ के बीच औसत परिवर्तन दर बनाइए:

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

यदि $h$ के $0$ के जितना चाहें उतना पास आने पर $r(h)$ किसी एक नियत संख्या के पास पहुँचता जाए, तो हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर अवकलनीय है; यह संख्या $a$ पर $f$ का अवकलज है, जिसे $f'(a)$ लिखते हैं:

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

उदाहरण 12.4

मान लीजिए $f(x) = x^2$ और $a = 1$ हैं। $h \neq 0$ के लिए:

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

जैसे-जैसे $h$ $0$ के पास आता है, यह $2$ के पास पहुँचता है: फलन $x^2$ $1$ पर अवकलनीय है और $f'(1) = 2$ । रणनीति पर ध्यान दीजिए: भागफल को तब तक सरल कीजिए जब तक $h$ किसी हर में न रह जाए, और तभी $h \to 0$ कीजिए।

उदाहरण 12.5 (एक अनवकलनीय बिंदु)

मान लीजिए $f(x) = \abs{x}$ और $a = 0$ हैं। तब $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , जो $h > 0$ के लिए $1$ और $h < 0$ के लिए $-1$ के बराबर है: कोई एक संख्या नहीं आती, और $\abs x$ $0$ पर अवकलनीय नहीं है। वहाँ उसके वक्र में एक कोना है।

12.3 स्पर्श रेखा

परिभाषा 12.6 (स्पर्श रेखा)

यदि $f$ $a$ पर अवकलनीय हो, तो बिंदु $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो $A$ से होकर जाती है और जिसकी प्रवणता $f'(a)$ है। उसका समीकरण है

y = f(a) + f'(a)(x - a).

स्पर्श रेखा $A$ से होकर जाने वाली छेदक रेखाओं की सीमांत स्थिति है: जैसे-जैसे $h \to 0$ , दूसरा बिंदु $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ वक्र पर सरककर $A$ की ओर आता है, और छेदक की प्रवणता $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $f'(a)$ के पास पहुँचती है।

A और B = (a+h, f(a+h) ) से होकर जाने वाली छेदक रेखा की प्रवणता f(a+h)-f(a)/h है। जैसे-जैसे B सरककर A की ओर आता है, छेदक झुककर स्पर्श रेखा बन जाती है, जिसकी प्रवणता f'(a) है। — $A$ और $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा की प्रवणता $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ है। जैसे-जैसे $B$ सरककर $A$ की ओर आता है, छेदक झुककर स्पर्श रेखा बन जाती है, जिसकी प्रवणता $f'(a)$ है।

उदाहरण 12.7

$a = 1$ पर $f(x) = x^2$ के लिए: $f(1) = 1$ और $f'(1) = 2$ (उदाहरण 12.4), इसलिए स्पर्श रेखा है

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

यही वह रेखा $d_2$ है जो अभ्यास 10.11 में शुद्ध बीजगणित से मिली थी।

12.4 आधार फलनों के अवकलज

प्रतिज्ञप्ति 12.8

अपने-अपने अवकलनीयता के प्रांत पर:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

और अधिक सामान्य रूप से, हर पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ ।

उपपत्ति. हर उपपत्ति उदाहरण 12.4 की रणनीति का अनुसरण करती है: दर को सरल कीजिए, फिर $h \to 0$ कीजिए। प्रांत में $a$ स्थिर रखिए।

अचर और तत्समक। सभी $h$ के लिए $\frac{c - c}{h} = 0$ और $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ : सीमाएँ $0$ और $1$ हैं।

वर्ग। $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ ।

घन। $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , इसलिए दर $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ है।

व्युत्क्रम। $a \neq 0$ के लिए और इतने छोटे $h$ के लिए कि $a + h \neq 0$ हो:

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

वर्गमूल। $a > 0$ के लिए संयुग्मी से गुणा कीजिए:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

सामान्य घात। ढर्रा $2a$ , $3a^2$ आगे भी चलता है: $(a+h)^n$ का प्रसार करने पर $a^n + n\,a^{n-1}h$ के बाद के सभी पद $h^2$ उठाए रहते हैं, इसलिए दर $n\,a^{n-1}$ की ओर जाती है। (पूरा आगमन अध्याय 22 में दिया गया है।) ∎

12.5 अवकलन के नियम

प्रमेय 12.9 (संक्रियाएँ)

मान लीजिए $u$ और $v$ $I$ पर अवकलनीय हैं और $\lambda \in \R$ है। तब $u + v$ , $\lambda u$ , $uv$ $I$ पर अवकलनीय हैं, और जहाँ-जहाँ $v \neq 0$ है वहाँ $\frac{u}{v}$ भी, तथा

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

पहले तीन नियमों की उपपत्ति. $a \in I$ स्थिर रखिए और संक्षेप में $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ लिखिए।

योग। $u + v$ की दर $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ है।

गुणज। $\lambda u$ की दर $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ है।

गुणनफल। मिश्रित पद $u(a+h)\,v(a)$ जोड़िए और घटाइए:

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

जैसे-जैसे $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ , और $u(a+h) \to u(a)$ (उसकी दर की सीमा है, इसलिए $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ )। अतः दर $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ की ओर जाती है।

भागफल का नियम इन पंक्तियों पर सिद्ध होता है; उसे इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है और अध्याय 22 में सिद्ध किया जाता है। ∎

उदाहरण 12.10

बहुपद। $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

भागफल। $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ के साथ

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

गुणनफल। $x > 0$ के लिए $k(x) = x\sqrt x$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ ।

12.6 अवकलज का चिह्न और परिवर्तन

प्रमेय 12.11 (अवकलज और परिवर्तन)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर अवकलनीय है।

यदि $I$ पर $f' \geq 0$ हो, तो $f$ $I$ पर वर्धमान है।
यदि $I$ पर $f' \leq 0$ हो, तो $f$ $I$ पर ह्रासमान है।
यदि $I$ पर $f' > 0$ हो (सिवाय अधिक से अधिक सीमित बिंदुओं के जहाँ वह लुप्त होता है), तो $f$ $I$ पर निरंतर वर्धमान है।

उपपत्ति. अंतर्ज्ञान स्पष्ट है — जिस वक्र की सभी स्पर्श रेखाएँ ऊपर की ओर इशारा करती हों उसे चढ़ना ही होगा — पर कठोर उपपत्ति के लिए माध्यमान प्रमेय चाहिए। यह परिणाम इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है; प्रमेय 22.7 देखिए। ∎

प्रतिज्ञप्ति 12.12 (चरम मान)

यदि $f'$ $a$ पर $+$ से $-$ में चिह्न बदले, तो $f$ का $a$ पर एक स्थानीय अधिकतम है; और $-$ से $+$ में बदले तो स्थानीय न्यूनतम। ऐसे बिंदु पर $f'(a) = 0$ होता है और स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है।

उपपत्ति. यदि $a$ पर समाप्त होने वाले किसी अंतराल पर $f' \geq 0$ हो और $a$ से आरंभ होने वाले किसी अंतराल पर $f' \leq 0$ हो, तो $f$ $f(a)$ तक बढ़ता है और उसके बाद घटता है (प्रमेय 12.11): आसपास $f(a)$ सबसे बड़ा है। चूँकि $f'$ $a$ पर चिह्न बदलता है और वहाँ परिभाषित है, इसलिए $f'(a) = 0$ । ∎

विधि 12.13 (किसी फलन का अध्ययन)

$f'(x)$ निकालिए और उसे सरल कीजिए — सबसे अच्छा हो कि गुणनखंडित रूप में;
हर अंतराल पर $f'(x)$ का चिह्न तय कीजिए (द्विघात $f'$ के लिए प्रमेय 10.11 का उपयोग कीजिए);
परिणामों को परिवर्तन-सारणी में दर्ज कीजिए: $f'$ के चिह्न की एक पंक्ति, $f$ के तीरों की एक पंक्ति, और मोड़ के बिंदुओं पर $f$ के मान;
निष्कर्ष निकालिए: चरम मान, $f(x) = k$ के हलों की संख्या, असमिकाएँ।

उदाहरण 12.14

$\R$ पर $f(x) = x^3 - 3x + 1$ का अध्ययन कीजिए। पहले $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : यह एक द्विघात है जिसके मूल $-1$ और $1$ हैं, और जो उनके बाहर धनात्मक है। इसलिए $f$ $\intoc{-\infty}{-1}$ पर वर्धमान, $\intcc{-1}{1}$ पर ह्रासमान और $\intco{1}{+\infty}$ पर वर्धमान है, तथा उसका स्थानीय अधिकतम $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ और स्थानीय न्यूनतम $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ है।

f(x) = x3 - 3x + 1 का वक्र (): स्थानीय अधिकतम (-1, 3) और स्थानीय न्यूनतम (1, -1) पर क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ (नारंगी), जहाँ f' चिह्न बदलता है। — $f(x) = x^3 - 3x + 1$ का वक्र (उदाहरण 12.14): स्थानीय अधिकतम $(-1, 3)$ और स्थानीय न्यूनतम $(1, -1)$ पर क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ (नारंगी), जहाँ $f'$ चिह्न बदलता है।

उदाहरण 12.15 (इष्टतमीकरण)

$12 \times 12$ cm की एक चादर के हर कोने से भुजा $x$ का वर्ग काटकर और मोड़कर खुला डिब्बा बनाया जाता है। $0 < x < 6$ के लिए उसका आयतन $V(x) = x(12 - 2x)^2$ है। प्रसार करने पर $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , इसलिए

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

$\intoo{0}{6}$ पर गुणनखंड $x - 6$ ऋणात्मक है, इसलिए $V'(x)$ का चिह्न $-(x-2)$ जैसा है: $2$ से पहले धनात्मक, बाद में ऋणात्मक। आयतन $x = 2$ cm पर अधिकतम होता है, और वह $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ है।

12.7 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

परिभाषा का उपयोग करके (परिवर्तन दर, फिर $h \to 0$ ) $f(x) = x^2$ के लिए $f'(2)$ निकालिए, फिर $g(x) = x^2 + 3x$ के लिए $g'(1)$ ।

हल

हल — अभ्यास 12.1.

$a = 2$ पर $f(x) = x^2$ के लिए:

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

इसलिए $f'(2) = 4$ । $a = 1$ पर $g(x) = x^2 + 3x$ के लिए: $g(1) = 4$ और

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

इसलिए $g'(1) = 5$ ।

अभ्यास 12.2 ★

अवकलन कीजिए:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

हल

हल — अभ्यास 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ ।

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ ( $\intoo{0}{+\infty}$ पर)।

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (गुणनफल का नियम)।

अभ्यास 12.3 ★

भुज $a$ वाले बिंदु पर $f$ के वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण बताइए:

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

हल

हल — अभ्यास 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ , इसलिए $f'(2) = 1$ ; स्पर्श रेखा $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ ।

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; स्पर्श रेखा $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ ।

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; स्पर्श रेखा $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ ।

अभ्यास 12.4 ★

भागफलों का अवकलन कीजिए:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

हल

हल — अभ्यास 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ ।

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ ।

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ ( $u = 1$ के साथ भागफल का नियम)।

अभ्यास 12.5 ★★

$\R$ पर $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए (परिवर्तन-सारणी, स्थानीय चरम मान)।

हल

हल — अभ्यास 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : $\intcc{1}{3}$ के बाहर धनात्मक, भीतर ऋणात्मक। इसलिए $f$ $\intoc{-\infty}{1}$ पर वर्धमान, $\intcc{1}{3}$ पर ह्रासमान और $\intco{3}{+\infty}$ पर वर्धमान है, जिसमें स्थानीय अधिकतम $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ और स्थानीय न्यूनतम $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ है।

अभ्यास 12.6 ★★

$\intoo{-1}{+\infty}$ पर $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.6.

$\intoo{-1}{+\infty}$ पर:

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

$x > -1$ के लिए $x + 3$ और $(x+1)^2$ दोनों धनात्मक हैं, इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x - 1$ जैसा है: $f$ $\intoc{-1}{1}$ पर ह्रासमान और $\intco{1}{+\infty}$ पर वर्धमान है, और उसका न्यूनतम $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ है।

अभ्यास 12.7 ★★

मान लीजिए $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है।

वक्र का वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज है।
वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा रेखा $y = 2x + 1$ के समांतर है।

हल

हल — अभ्यास 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ ।

1. क्षैतिज स्पर्श रेखा: $x = 2$ पर $f'(x) = 0$ ; बिंदु $(2, f(2)) = (2, 1)$ है (परवलय का शीर्ष)।

2. $y = 2x + 1$ के समांतर होने का अर्थ है प्रवणता $2$ : $2x - 4 = 2$ , इसलिए $x = 3$ , जिससे बिंदु $(3, f(3)) = (3, 2)$ मिलता है।

अभ्यास 12.8 ★★

एक दीवार के सहारे $60$ m बाड़ से (तीन भुजाएँ) आयताकार बाड़ा बनाया जाता है। क्षेत्रफल को चौड़ाई $x$ के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए, और अवकलज से अधिकतम क्षेत्रफल वाली विमाएँ ज्ञात कीजिए। (अध्याय 10 की शीर्ष वाली विधि से तुलना कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 12.8.

चौड़ाई $x$ (बाड़ वाली दो भुजाएँ) और लंबाई $60 - 2x$ के साथ: $\intoo{0}{30}$ पर $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ । तब $A'(x) = 60 - 4x$ , जो $x = 15$ से पहले धनात्मक और बाद में ऋणात्मक है: क्षेत्रफल $x = 15$ पर अधिकतम होता है, और $15 \times 30$ m का बाड़ा $450$ m $^2$ क्षेत्रफल देता है। अध्याय 10 का शीर्ष-सूत्र $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ वही उत्तर कलन के बिना दे देता है।

अभ्यास 12.9 ★★

$\intoo{0}{+\infty}$ पर फलन $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ का अध्ययन करके दिखाइए कि सभी $x > 0$ के लिए $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ है।

हल

हल — अभ्यास 12.9.

मान लीजिए $\intoo{0}{+\infty}$ पर $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ है। तब

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

जिसका चिह्न $\sqrt x - 1$ जैसा है: $\intoo{0}{1}$ पर ऋणात्मक, $\intoo{1}{+\infty}$ पर धनात्मक। इसलिए $f$ पहले घटता है फिर बढ़ता है, और उसका न्यूनतम $f(1) = 1 - 1 = 0$ है। अतः सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ , अर्थात् $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , और समता केवल $x = 1$ पर।

अभ्यास 12.10 ★★

एक बेलनाकार डिब्बे में $500$ cm $^3$ समाना चाहिए। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल (दो वृत्त और पार्श्व) $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ है, जहाँ $\pi r^2 h = 500$ है। $S$ को केवल $r$ के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए और दिखाइए कि $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ । इससे वह त्रिज्या निकालिए जो पृष्ठीय क्षेत्रफल को न्यूनतम करती है, यथार्थ व्यंजक के रूप में।

हल

हल — अभ्यास 12.10.

$\pi r^2 h = 500$ से $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , इसलिए

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$4\pi r^3 = 1000$ होने पर $S'(r) = 0$ , अर्थात् $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , इसलिए $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm)। चूँकि $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ इस मान से पहले ऋणात्मक और बाद में धनात्मक है, यह न्यूनतम है।

अभ्यास 12.11 ★★★

बाहरी बिंदु $P(1, -3)$ से होकर परवलय $y = x^2$ की कितनी स्पर्श रेखाएँ जाती हैं? उनके समीकरण ज्ञात कीजिए। ( $a$ को स्पर्श बिंदु का भुज मानिए और यह व्यक्त कीजिए कि $a$ पर की स्पर्श रेखा $P$ से होकर जाती है।)

हल

हल — अभ्यास 12.11.

भुज $a$ वाले बिंदु पर $y = x^2$ की स्पर्श रेखा $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ है। वह $P(1, -3)$ से तब होकर जाती है जब $-3 = 2a - a^2$ हो, अर्थात् $a^2 - 2a - 3 = 0$ , जिसके मूल $a = 3$ और $a = -1$ हैं ( $\Delta = 16$ )। इसलिए $P$ से होकर दो स्पर्श रेखाएँ जाती हैं:

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

अभ्यास 12.12 ★★★

मान लीजिए $f(x) = x^3 - 3x + 1$ है (उदाहरण 12.14 देखिए)। परिवर्तन-सारणी का उपयोग करके वास्तविक संख्या $k$ के मान के अनुसार समीकरण $f(x) = k$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

उदाहरण 12.14 से $f$ स्थानीय अधिकतम $f(-1) = 3$ तक बढ़ता है, फिर स्थानीय न्यूनतम $f(1) = -1$ तक घटता है, और फिर बढ़ता है; और बहुत बड़े धनात्मक (क्रमशः ऋणात्मक) $x$ के लिए $x^3$ हावी हो जाता है और $f$ मनमाने बड़े (क्रमशः छोटे) मान लेता है। परिवर्तन-सारणी पर क्षैतिज रेखाएँ $y = k$ आरपार पढ़ने पर:

$k > 3$ या $k < -1$ : रेखा वक्र से एक बार मिलती है — $1$ हल;
$k = 3$ या $k = -1$ : रेखा किसी मोड़-बिंदु को छूती है और एक दूसरी शाखा को पार करती है — $2$ हल;
$-1 < k < 3$ : रेखा तीनों शाखाओं को पार करती है — $3$ हल।

12.8 समस्या: स्पर्श रेखा की तीन नौकरियाँ

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — परवलयिक दर्पण की उपपत्ति, न्यूटन की मूल-खोजी मशीन, और लट्ठे में छिपा सबसे मज़बूत शहतीर

अवकलज स्पर्श रेखाएँ खींचता है; सुनने में यह मामूली प्रतिभा लगती है। यह समस्या दिखाती है कि स्पर्श रेखा एक साथ तीन नौकरियाँ करती है: वह समस्या 10.1 में लटकी छोड़ दी गई हेडलाइट वाली प्रमेय सिद्ध करती है (परवलय के अक्ष के समांतर आने वाली हर किरण नाभि से होकर परावर्तित होती है), वह आम उपयोग के सबसे तेज़ समीकरण-हल कलनविधि को चलाती है — जो हर कैलकुलेटर और हर तंत्रिका जाल के भीतर है — और वह ज्ञात करती है कि किसी गोल लट्ठे से सबसे मज़बूत आयताकार शहतीर कौन-सा निकल सकता है।

भाग I — स्पर्श रेखा में प्रवाह।

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ और $g(x) = x^3 - 12x$ का अवकलन कीजिए (प्रमेय 12.9); और $x = 1$ पर $\left(x^2 \right)'$ को परिभाषा से (परिवर्तन दर, फिर $h \to 0$ ) फिर से निकालिए।
$a = 2$ पर $y = x^3 - 12x$ की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए। उसमें ख़ास क्या है, और वह किस बात का संकेत है (प्रतिज्ञप्ति 12.12)?
बिंदु $(a, a^2)$ पर परवलय $y = x^2$ की सामान्य स्पर्श रेखा स्थापित कीजिए:

$y = 2ax - a^2 .$
वह स्पर्श रेखा $y$ -अक्ष को कहाँ काटती है? इससे रेखाचित्रकार का नुस्ख़ा निकालिए: परवलय पर ऊँचाई $h$ वाले बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा खींचने के लिए $P$ को मूल बिंदु से इतनी गहराई … वाले अक्ष-बिंदु से जोड़िए। उसे लिखिए।
$g(x) = x^3 - 12x$ की पूरी परिवर्तन-सारणी बनाइए ( $g'$ का चिह्न, स्थानीय चरम मान और उनके मान, विधि 12.13)।

भाग II — दर्पण प्रमेय। मान लीजिए $P(a, a^2)$ परवलय $y = x^2$ का एक बिंदु है ( $a \neq 0$ लीजिए), $F\left(0, \frac14\right)$ नाभि है, और $T$ वह बिंदु है जहाँ $P$ पर की स्पर्श रेखा $y$ -अक्ष को काटती है (प्रश्न 4)। समस्या 10.1 से याद कीजिए कि $PF = a^2 + \frac14$ ।

दूरी $FT$ निकालिए।
निष्कर्ष निकालिए कि त्रिभुज $FPT$ $F$ पर समद्विबाहु है। अतः कौन-से दो कोण बराबर हैं?
$P$ से होकर अक्ष के समांतर आने वाली किरण रेखा $(TF)$ के समांतर है (दोनों ऊर्ध्वाधर)। एकांतर कोणों का उपयोग करके दिखाइए कि $P$ पर की स्पर्श रेखा आती हुई ऊर्ध्वाधर किरण और रेखाखंड $[PF]$ के साथ बराबर कोण बनाती है।
भौतिकी: प्रकाश किसी वक्र से वैसे ही परावर्तित होता है जैसे उसकी स्पर्श रेखा से, और उसी कोण पर लौटता है जिस पर आया था (परावर्तन का नियम)। दर्पण प्रमेय का निष्कर्ष निकालिए: अक्ष के समांतर आने वाली हर किरण नाभि से होकर परावर्तित होती है — और समय उलट दें तो नाभि पर रखा बल्ब समांतर प्रकाश फेंकता है। समस्या 10.1 की तश्तरी और हेडलाइट अब प्रमेय हैं।
$a = 1$ पर समद्विबाहु त्रिभुज की संख्यात्मक जाँच कीजिए: $T$ , $FP$ और $FT$ निकालिए।

भाग III — न्यूटन की मशीन। $f(x) = 0$ हल करने के लिए न्यूटन ने यह सुझाया: किसी अनुमान $x_0$ से शुरू कीजिए, $x_0$ पर की स्पर्श रेखा के साथ नीचे अक्ष तक जाइए, और उसका $x$ -अंतःखंड अगला अनुमान मान लीजिए।

विधि का सूत्र निकालिए:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
इसे $x_0 = 1$ से $f(x) = x^2 - 2$ पर चलाइए: $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ को यथार्थ भिन्नों के रूप में निकालिए। आपने अभी दो हज़ार साल पुराना कौन-सा अनुक्रम — और समस्या 3.1 की कौन-सी मशीन — फिर से खड़ा कर दिया है? इस संयोग के पीछे की सर्वसमिका सिद्ध कीजिए:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
$x^3 = 100$ हल कीजिए (समस्या 4.1 का बचत-योजनाओं वाला पार-बिंदु): $x_0 = 5$ से $f(x) = x^3 - 100$ पर न्यूटन के दो क़दम लगाइए (चार दशमलव स्थान), और कैलकुलेटर के $\sqrt[3]{100}$ से तुलना कीजिए।
तोड़फोड़: विधि को $x_0 = 2$ पर $f(x) = x^3 - 12x$ से चलाने का प्रयास कीजिए। क्या गड़बड़ होती है, और क्यों (प्रश्न 2)? व्यावहारिक चेतावनी बताइए।
प्रश्न 12 में सही दशमलव स्थान मोटे तौर पर $1 \to 3 \to 6$ की तरह बढ़े। इसकी तुलना द्विभाजन से कीजिए (हर क़दम पर अंतराल आधा करना) और एक वाक्य में बताइए कि कैलकुलेटर, GPS अभिग्राही और तंत्रिका जालों का प्रशिक्षण सभी न्यूटन के विचार पर क्यों चलते हैं।

भाग IV — सबसे मज़बूत शहतीर। चौड़ाई $w$ और गहराई $d$ वाला एक आयताकार शहतीर व्यास $30$ cm के गोल लट्ठे से चीरा जाता है, इसलिए $w^2 + d^2 = 900$ । शहतीर की दृढ़ता $w d^2$ के समानुपाती है (गहराई दो बार गिनी जाती है: कड़ियाँ किनारे पर खड़ी रखी जाती हैं!)।

दृढ़ता को केवल $w$ के फलन के रूप में व्यक्त कीजिए: $S(w) = 900w - w^3$ , और किस अंतराल पर?
अवकलन कीजिए, परिवर्तन-सारणी बनाइए, और इष्टतम $w$ तथा $d$ ज्ञात कीजिए (यथार्थ मान, फिर मिलीमीटर तक)।
दिखाइए कि इष्टतम अनुपात $d = w\sqrt2$ को संतुष्ट करते हैं — वही पुराना बढ़इयों का अनुपात। (अतिरिक्त जानकारी: लट्ठे के व्यास को तीन बराबर भागों में बाँटकर वृत्त तक लंब खड़े करने से ठीक यही आयत बन जाता है।)
भोला चुनाव वर्गाकार शहतीर है ( $w = d$ )। उसकी और इष्टतम शहतीर की दृढ़ता निकालिए, और बढ़ई का लाभ प्रतिशत में बताइए।
समापन — स्पर्श रेखा की तीन नौकरियाँ, एक-एक वाक्य में: ज्यामिति (दर्पण प्रमेय), संख्यात्मक गणना (न्यूटन की मशीन), इष्टतमीकरण (शहतीर) — और तीनों को एक ही वस्तु चलाती है। और आगे का संकेत: कक्षा 12 उत्तलता जोड़ती है — वक्र के सापेक्ष स्पर्श रेखा किस ओर है — और तीनों को और पैना कर देती है।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ । परिभाषा से: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : $1$ पर $x^2$ का अवकलज $2$ है।

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ और $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : स्पर्श रेखा क्षैतिज रेखा $y = -16$ है। क्षैतिज स्पर्श रेखा किसी क्रांतिक बिंदु का संकेत है — यहाँ एक स्थानीय न्यूनतम, जैसा प्रश्न 5 की परिवर्तन-सारणी पुष्ट करती है।

3. $(a, a^2)$ पर प्रवणता $2a$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ ।

4. $x = 0$ पर: $y = -a^2$ : स्पर्श रेखा अक्ष को मूल बिंदु से $a^2$ गहराई पर काटती है — ठीक उतना ही नीचे जितना $P$ ऊपर बैठा है। नुस्ख़ा: ऊँचाई $h$ वाले बिंदु पर स्पर्श रेखा खींचने के लिए उसे मूल बिंदु से $h$ गहराई वाले अक्ष-बिंदु से जोड़ दीजिए। (रेखाचित्र-पटल पर किसी अवकलज की आवश्यकता नहीं।)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : $\intoo{-\infty}{-2}$ पर धनात्मक, $\intoo{-2}{2}$ पर ऋणात्मक, और उसके आगे धनात्मक। $g$ बढ़कर स्थानीय अधिकतम $g(-2) = 16$ तक जाता है, गिरकर स्थानीय न्यूनतम $g(2) = -16$ तक, फिर बढ़ता है।

6. $F\left(0, \frac14\right)$ और $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ ।

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : $F$ पर समद्विबाहु, इसलिए आधार के दोनों कोण बराबर हैं: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ ।

8. $P$ पर आती हुई किरण ऊर्ध्वाधर है, अतः रेखा $(TF)$ ( $y$ -अक्ष) के समांतर। स्पर्श रेखा $(TP)$ दोनों समांतर रेखाओं को काटती है, इसलिए किरण और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\widehat{FTP}$ के बराबर है (एकांतर कोण) — और वह $\widehat{FPT}$ के बराबर है, जो $[PF]$ और स्पर्श रेखा के बीच का कोण है। $P$ पर स्पर्श रेखा के दोनों ओर बराबर कोण।

9. परावर्तन के नियम से $P$ पर ऊर्ध्वाधर आती किरण दूसरी ओर उसी बराबर कोण वाली रेखा के अनुदिश लौटती है — और प्रश्न 8 से वह $[PF]$ के अनुदिश है: नाभि से होकर, चाहे $a$ कुछ भी हो। उलटी दिशा में, $F$ पर जन्मा प्रकाश दर्पण के हर बिंदु से अक्ष के समांतर निकलता है। तश्तरियाँ बटोरती हैं, हेडलाइट पुंज फेंकती हैं: सिद्ध।

10. $a = 1$ : स्पर्श रेखा $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : समद्विबाहु, जैसा वादा था।

11. $x_n$ पर स्पर्श रेखा $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ है; वह $y = 0$ को वहाँ काटती है जहाँ $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ ।

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : $\sqrt2$ के हीरोन-सन्निकटन, अर्थात् समस्या 3.1 की स्थिर-बिंदु वाली मशीन। सर्वसमिका: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — हीरोन का नुस्ख़ा वस्तुतः $x^2 - 2$ पर लगाई गई न्यूटन की विधि ही है, दो सहस्राब्दी पहले।

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ । कैलकुलेटर: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — दो क़दमों में चार सही दशमलव स्थान।

14. $f'(2) = 0$ : आरंभिक बिंदु पर स्पर्श रेखा क्षैतिज है (प्रश्न 2) और वह अक्ष को कभी नहीं काटती — सूत्र शून्य से भाग दे देता है। चेतावनी: न्यूटन को क्रांतिक बिंदुओं से दूर (और, अधिक सामान्य रूप से, अभीष्ट मूल के पर्याप्त पास) से शुरू कीजिए।

15. द्विभाजन हर क़दम पर एक द्विआधारी अंक जोड़ता है; न्यूटन हर क़दम पर सही अंकों की संख्या मोटे तौर पर दुगुनी कर देता है (यहाँ $1 \to 3 \to 6$ )। जब हर क़दम महँगा हो — लाखों प्राचल, वास्तविक-समय नौवहन — तब दुगुना करना घिसटने से बेहतर है, और इसीलिए इतने सारे सिलिकॉन के भीतर स्पर्श रेखा दौड़ रही है।

16. $d^2 = 900 - w^2$ , इसलिए $0 < w < 30$ के लिए $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ ।

17. $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm पर $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ ( $S' > 0$ पहले, $< 0$ बाद में: एक अधिकतम)। फिर $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm।

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , इसलिए $d = w\sqrt2$ : गहराई चौड़ाई का $\sqrt2$ गुना है — वही बढ़इयों का अनुपात (और व्यास को तीन भागों में बाँटने वाली रचना उसे परकार से ही दे देती है, मौक़े पर कोई बीजगणित नहीं)।

19. वर्गाकार शहतीर: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, दृढ़ता $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ । इष्टतम शहतीर: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ । लाभ: उसी लट्ठे से लगभग $8.9\,\%$ अधिक दृढ़ता — अवकलज आरा-मिल का ख़र्च निकाल देता है।

20. ज्यामिति: स्पर्श रेखा के बराबर कोणों ने एक परवलयज को प्रकाश-संग्राहक बना दिया। संख्यात्मक गणना: स्पर्श रेखाओं पर फिसलते जाना समीकरणों को अंक-दुगुने करने की गति से हल कर देता है। इष्टतमीकरण: लुप्त होते अवकलज ने लट्ठे का सबसे मज़बूत आयत ढूँढ़ निकाला। एक ही वस्तु, तीन पेशे — और कक्षा 12 की उत्तलता इसके ऊपर यह भी बता देगी कि हर स्पर्श रेखा के किस ओर वक्र पड़ा है।