उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

1संख्याएँ और संख्या-समुच्चय

गणित की शुरुआत संख्याओं से होती है, और सभी संख्याएँ एक ही तरह की नहीं होतीं: गिनती की संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ, भिन्न, और $\sqrt 2$ या $\pi$ जैसी संख्याएँ जिन्हें कोई भिन्न व्यक्त नहीं कर सकती। यह अध्याय उन्हें एक-दूसरे में समाए हुए परिवारों में व्यवस्थित करता है, संख्या रेखा के हिस्सों का वर्णन करने के लिए अंतराल प्रस्तुत करता है, और संख्याओं के बीच की दूरी नापने के लिए निरपेक्ष मान का उपयोग करता है।

1.1 संख्याओं के परिवार

परिभाषा 1.1 (संख्या-समुच्चय)

$\N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है: $0, 1, 2, 3, \dots$
$\Z$ पूर्णांकों का समुच्चय है: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
$\Q$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है: वे सभी भागफल $\frac{p}{q}$ जिनमें $p \in \Z$ , $q \in \N$ और $q \neq 0$ हैं।
$\R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है: वे सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर रखा जा सकता है।

संकेतन 1.2

संकेत $\in$ को “का अवयव है” पढ़ा जाता है: $3 \in \N$ , $-5 \in \Z$ , $\frac23 \in \Q$ । संकेत $\subset$ को “में अंतर्विष्ट है” पढ़ा जाता है: हर प्राकृत संख्या पूर्णांक है, हर पूर्णांक परिमेय संख्या है (उदाहरणार्थ $-5 = \frac{-5}{1}$ ), और हर परिमेय संख्या वास्तविक है, इसलिए

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R .

तिरछी रेखा किसी संकेत का निषेध कर देती है: $\frac12 \notin \Z$ ।

संख्याओं के एक-दूसरे में समाए परिवार: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ। हर छल्ले में ऐसी संख्याएँ हैं जो उससे छोटे छल्लों की नहीं हैं। — संख्याओं के एक-दूसरे में समाए परिवार: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ । हर छल्ले में ऐसी संख्याएँ हैं जो उससे छोटे छल्लों की नहीं हैं।

उदाहरण 1.3

आइए कुछ संख्याओं को उस सबसे छोटे परिवार में रखें जिसमें वे आती हैं।

$\frac{28}{4} = 7$ , इसलिए $\frac{28}{4} \in \N$ , यद्यपि वह भिन्न के रूप में लिखी गई है: पहले हमेशा सरल कीजिए।
$-3.5 = -\frac{35}{10} = -\frac72$ परिमेय है, पर पूर्णांक नहीं।
$0.333\dots$ (अंक $3$ अनंत बार दोहराया गया) $\frac13$ के बराबर है, जो एक परिमेय संख्या है।
$\sqrt 2$ और $\pi$ वास्तविक हैं पर परिमेय नहीं, जैसा हम $\sqrt 2$ के लिए अभी देखने वाले हैं; ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है।

प्रमेय 1.4 ( $\sqrt 2$ की अपरिमेयता)

संख्या $\sqrt 2$ परिमेय नहीं है: पूर्णांकों की किसी भी भिन्न का वर्ग $2$ नहीं होता।

उपपत्ति. हम छोटे-छोटे चरणों में विरोधाभास द्वारा तर्क करते हैं।

मान लीजिए $\sqrt 2 = \frac{p}{q}$ , जहाँ $p$ और $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं और भिन्न पूरी तरह सरल की जा चुकी है, इसलिए $p$ और $q$ दोनों सम नहीं हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $2 = \frac{p^2}{q^2}$ मिलता है, अर्थात् $p^2 = 2q^2$ । तो $p^2$ सम है।
यदि $p$ विषम होता, मान लीजिए $p = 2k+1$ , तो $p^2 = 4k^2 + 4k + 1$ विषम होता। चूँकि $p^2$ सम है, $p$ का सम होना अनिवार्य है: किसी पूर्णांक $k$ के लिए $p = 2k$ ।
प्रतिस्थापन से: $(2k)^2 = 2q^2$ , इसलिए $4k^2 = 2q^2$ , इसलिए $q^2 = 2k^2$ । चरण 3 के उसी तर्क से $q$ सम है।
अब $p$ और $q$ दोनों सम हैं, जो चरण 1 का खंडन करता है। कल्पना असंभव थी: $\sqrt 2$ अपरिमेय है।

∎

टिप्पणी 1.5

परिमेय संख्याएँ ठीक वही संख्याएँ हैं जिनका दशमलव प्रसार या तो समाप्त हो जाता है (जैसे $\frac72 = 3.5$ ) या अंततः एक ही खंड को अनंत बार दोहराता है (जैसे $\frac13 = 0.333\dots$ या $\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\dots$ )। $\sqrt2 = 1.41421356\dots$ जैसी अपरिमेय संख्याओं के दशमलव अंक कभी किसी दोहराव के ढर्रे में नहीं बैठते। इस लक्षण-वर्णन को हम इस स्तर पर स्वीकार कर लेते हैं।

1.2 संख्या रेखा और अंतराल

वास्तविक संख्याएँ एक रेखा को भर देती हैं: मूल बिंदु $0$ और लंबाई का एक मात्रक चुन लेने पर हर वास्तविक संख्या ठीक एक बिंदु से मेल खाती है।

परिभाषा 1.6 (अंतराल)

मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a < b$ है। अंतराल दो सीमाओं के बीच पड़ने वाली सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। वर्ग कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा सम्मिलित है, और गोल कोष्ठक का अर्थ है कि वह बाहर है:

संकेतन	विवरण
$\intcc{a}{b}$	$a \leq x \leq b$ (दोनों सिरे सम्मिलित)
$\intoo{a}{b}$	$a < x < b$ (दोनों सिरे बाहर)
$\intco{a}{b}$	$a \leq x < b$
$\intoc{a}{b}$	$a < x \leq b$
$\intco{a}{+\infty}$	$x \geq a$
$\intoo{-\infty}{b}$	$x < b$

संकेत $-\infty$ और $+\infty$ (“अनंत”) संख्याएँ नहीं हैं; वे केवल यह कहने का एक तरीका हैं कि अंतराल अनंत तक चलता जाता है, और उनके साथ का कोष्ठक हमेशा गोल होता है। पूरी रेखा $\R$ स्वयं अंतराल $\intoo{-\infty}{+\infty}$ है।

संख्या रेखा पर अंतराल: सम्मिलित सीमा के लिए भरा हुआ बिंदु और बाहर रखी सीमा के लिए खोखला बिंदु।

परिभाषा 1.7 (प्रतिच्छेदन और सम्मिलन)

मान लीजिए $I$ और $J$ वास्तविक संख्याओं के दो समुच्चय हैं। प्रतिच्छेदन $I \cap J$ (“ $I$ और $J$ ”) उन संख्याओं का समुच्चय है जो दोनों में हैं; सम्मिलन $I \cup J$ (“ $I$ या $J$ ”) उन संख्याओं का समुच्चय है जो इनमें से कम से कम एक में हैं।

उदाहरण 1.8

$I = \intcc{-1}{3}$ और $J = \intoo{1}{5}$ लीजिए। दोनों को एक ही रेखा पर खींचिए: वे $1$ और $3$ के बीच एक-दूसरे को ढकते हैं। इसलिए

I \cap J = \intoc{1}{3}, \qquad I \cup J = \intco{-1}{5}.

कोष्ठकों पर ध्यान दीजिए: $1 \notin J$ , इसलिए $1 \notin I \cap J$ ; पर $3 \in I$ और $3 \in J$ , इसलिए $3 \in I \cap J$ ।

विधि 1.9 (अंतरालों के साथ काम करना)

दो अंतरालों का प्रतिच्छेदन या सम्मिलन निकालने के लिए:

संख्या रेखा खींचिए और चारों सीमाएँ अंकित कीजिए;
पहले अंतराल को रेखा के ऊपर और दूसरे को रेखा के नीचे छायांकित कीजिए;
प्रतिच्छेदन वहाँ है जहाँ दोनों छायाएँ एक-दूसरे को ढकती हैं, और सम्मिलन वहाँ है जहाँ कम से कम एक छाया मौजूद है;
हर कोष्ठक का निर्णय यह जाँचकर कीजिए कि सीमा स्वयं दोनों समुच्चयों में है (प्रतिच्छेदन) या कम से कम एक में (सम्मिलन)।

1.3 निरपेक्ष मान और दूरी

परिभाषा 1.10 (निरपेक्ष मान)

वास्तविक संख्या $x$ का निरपेक्ष मान है

\abs{x} = \begin{cases} x & \text{यदि } x \geq 0, \\ -x & \text{यदि } x < 0. \end{cases}

उदाहरण के लिए $\abs{7} = 7$ और $\abs{-4} = 4$ । हर स्थिति में $\abs{x} \geq 0$ ।

प्रतिज्ञप्ति 1.11 (रेखा पर दूरी)

सभी वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, संख्या रेखा पर बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच की दूरी $\abs{b - a}$ है। विशेष रूप से $\abs{x}$ , $x$ की $0$ से दूरी है।

उपपत्ति. यदि $b \geq a$ है, तो $a$ से $b$ तक की दूरी $b - a \geq 0$ है, जो $\abs{b-a}$ के बराबर है। यदि $b < a$ है, तो दूरी $a - b = -(b - a) > 0$ है, जो निरपेक्ष मान की परिभाषा से फिर $\abs{b - a}$ ही है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 1.12 (निरपेक्ष मान और अंतराल)

मान लीजिए $a$ एक वास्तविक संख्या है और $r > 0$ है। तब

\abs{x - a} \leq r \quad\text{ठीक तब जब}\quad x \in \intcc{a - r}{a + r}.

उपपत्ति. $\abs{x-a} \leq r$ का अर्थ है कि $x$ की $a$ से दूरी अधिक से अधिक $r$ है, अर्थात् $x$ दोनों ओर $a$ से $r$ से अधिक दूर नहीं है। इसे संतुष्ट करने वाली संख्याएँ ठीक वे हैं जो $a - r$ और $a + r$ के बीच हैं, सीमाएँ सम्मिलित। ∎

असमिका |x - a| ≤ r उन संख्याओं का अंतराल बताती है जो a से अधिक से अधिक r की दूरी पर हैं। — असमिका $\abs{x - a} \leq r$ उन संख्याओं का अंतराल बताती है जो $a$ से अधिक से अधिक $r$ की दूरी पर हैं।

उदाहरण 1.13

$\abs{x - 3} \leq 2$ हल कीजिए। हल वे संख्याएँ हैं जो $3$ से अधिक से अधिक $2$ की दूरी पर हैं: अंतराल $\intcc{1}{5}$ । इसके उलट, अंतराल $\intcc{-1}{7}$ का केंद्र $\frac{-1+7}{2} = 3$ और त्रिज्या $\frac{7-(-1)}{2} = 4$ है, इसलिए उसे $\abs{x - 3} \leq 4$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।

1.4 सन्निकटन

अपरिमेय संख्याओं को, और अधिकांश भिन्नों को भी, सीमित दशमलव अंकों में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता, इसलिए व्यवहार में हम उनका सन्निकटन करते हैं।

परिभाषा 1.14 (दी हुई यथार्थता तक सन्निकटन)

संख्या $d$ को $x$ का $10^{-n}$ तक सन्निकटन कहते हैं जब $\abs{x - d} \leq 10^{-n}$ हो। दशमलव प्रसार को $n$ -वें अंक के बाद काट देने या पूर्णांकित करने, दोनों से ऐसे सन्निकटन मिलते हैं।

उदाहरण 1.15

$\pi = 3.14159\,26\dots$ से: कटाव $3.141$ और पूर्णांकन $3.142$ दोनों $\pi$ के $10^{-3}$ तक सन्निकटन हैं। पूर्णांकन $\frac12 \times 10^{-3}$ से कम दूरी पर है, जबकि कटाव केवल $10^{-3}$ की गारंटी देता है। $3.141 \leq \pi \leq 3.142$ लिखना $\pi$ को दो दशमलव सीमाओं के बीच घेरना है।

1.5 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

हर संख्या के लिए $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ में से वह सबसे छोटा समुच्चय बताइए जिसमें वह आती है:

\frac{15}{3}, \qquad -7, \qquad \frac{22}{7}, \qquad \sqrt{9}, \qquad \sqrt{10}, \qquad -2.4, \qquad 0 .

हल

हल — अभ्यास 1.1.

$\frac{15}{3} = 5 \in \N$ । $-7 \in \Z$ । $\frac{22}{7} \in \Q$ (यह पूर्णांक नहीं है: $22 = 7 \times 3 + 1$ )। $\sqrt 9 = 3 \in \N$ । $\sqrt{10} \in \R$ (अपरिमेय, क्योंकि $10$ किसी परिमेय संख्या का वर्ग नहीं है — यहाँ प्रमेय 1.4 की भावना में स्वीकार कर लिया गया)। $-2.4 = -\frac{24}{10} \in \Q$ । $0 \in \N$ ।

अभ्यास 1.2 ★

हर कथन को अंतराल संकेतन में लिखिए और फिर उसे संख्या रेखा पर खींचिए: (a) $-2 \leq x < 5$ ; (b) $x > 3$ ; (c) $x \leq -1$ ; (d) $x$ की $2$ से दूरी अधिक से अधिक $3$ है।

हल

हल — अभ्यास 1.2.

(a) $\intco{-2}{5}$ : $-2$ पर भरा बिंदु, $5$ पर खोखला बिंदु। (b) $\intoo{3}{+\infty}$ : $3$ पर खोखला बिंदु, और दाईं ओर छायांकन। (c) $\intoc{-\infty}{-1}$ : बाईं ओर से $-1$ पर भरे बिंदु तक छायांकन। (d) “ $x$ की $2$ से दूरी अधिक से अधिक $3$ ” का अर्थ $\abs{x - 2} \leq 3$ है, अर्थात् $x \in \intcc{-1}{5}$ : $-1$ और $5$ पर भरे बिंदु।

अभ्यास 1.3 ★

निम्नलिखित के लिए $I \cap J$ और $I \cup J$ निकालिए:

\text{(a) } I = \intcc{-3}{2},\ J = \intco{0}{4}; \qquad \text{(b) } I = \intoo{-\infty}{1},\ J = \intco{-2}{+\infty}.

हल

हल — अभ्यास 1.3.

(a) दोनों अंतराल $0$ और $2$ के बीच एक-दूसरे को ढकते हैं: $I \cap J = \intcc{0}{2}$ ( $0 \in J$ और $2 \in I$ , और दोनों दूसरे समुच्चय के भी अवयव हैं), और $I \cup J = \intco{-3}{4}$ ।

(b) $I \cap J$ उन $x$ का समुच्चय है जिनके लिए $-2 \leq x$ और $x < 1$ हों: $\intco{-2}{1}$ । सम्मिलन सब कुछ ढक लेता है: $I \cup J = \R$ ।

अभ्यास 1.4 ★

कैलकुलेटर के बिना निकालिए:

\abs{-6}, \qquad \abs{4 - 9}, \qquad \abs{-3 - 5}, \qquad \abs{\sqrt 2 - 1}, \qquad \abs{1 - \sqrt 2}.

हल

हल — अभ्यास 1.4.

$\abs{-6} = 6$ ; $\abs{4 - 9} = \abs{-5} = 5$ ; $\abs{-3 - 5} = \abs{-8} = 8$ ; $\sqrt 2 > 1$ , इसलिए $\abs{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 - 1$ ; $1 - \sqrt2 < 0$ , इसलिए $\abs{1 - \sqrt2} = \sqrt2 - 1$ भी (किसी संख्या और उसके विपरीत का निरपेक्ष मान एक ही होता है)।

अभ्यास 1.5 ★

निम्नलिखित समीकरणों और असमिकाओं को हल कीजिए और हल-समुच्चय बताइए:

\abs{x} = 5, \qquad \abs{x - 1} = 3, \qquad \abs{x - 4} \leq 1, \qquad \abs{x + 2} < 3 .

(ध्यान दीजिए कि $\abs{x+2} = \abs{x - (-2)}$ वस्तुतः $-2$ से दूरी है।)

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$\abs{x} = 5$ : $0$ से दूरी $5$ , इसलिए $x = 5$ या $x = -5$ ।

$\abs{x - 1} = 3$ : $1$ से दूरी $3$ , इसलिए $x = 4$ या $x = -2$ ।

$\abs{x - 4} \leq 1$ : $4$ से दूरी अधिक से अधिक $1$ , इसलिए $x \in \intcc{3}{5}$ ।

$\abs{x + 2} < 3$ : $-2$ से दूरी $3$ से कड़ाई से कम, इसलिए $x \in \intoo{-5}{1}$ ।

अभ्यास 1.6 ★★

हर अंतराल को $\abs{x - a} \leq r$ या $\abs{x - a} < r$ के रूप की असमिका से व्यक्त कीजिए:

\intcc{2}{8}, \qquad \intoo{-5}{1}, \qquad \intcc{-7}{-3}.

हल

हल — अभ्यास 1.6.

हर अंतराल उसके केंद्र $a$ (सीमाओं का मध्यबिंदु) और त्रिज्या $r$ (लंबाई की आधी) से बताया जाता है।

$\intcc{2}{8}$ : $a = 5$ , $r = 3$ , इसलिए $\abs{x - 5} \leq 3$ ।

$\intoo{-5}{1}$ : $a = -2$ , $r = 3$ , सीमाएँ खुली, इसलिए $\abs{x + 2} < 3$ ।

$\intcc{-7}{-3}$ : $a = -5$ , $r = 2$ , इसलिए $\abs{x + 5} \leq 2$ ।

अभ्यास 1.7 ★★

दिखाइए कि $0.272727\dots$ (खंड $27$ अनंत बार दोहराया गया) परिमेय है। (संकेत: उसे $x$ कहिए और $100x - x$ निकालिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.7.

मान लीजिए $x = 0.272727\dots$ तब $100x = 27.2727\dots$ , और घटाने पर:

100x - x = 27.2727\dots - 0.2727\dots = 27,

इसलिए $99x = 27$ और $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ , जो पूर्णांकों का भागफल है: $x$ परिमेय है।

अभ्यास 1.8 ★★

सत्य या असत्य? हर उत्तर को तर्क या प्रतिउदाहरण से पुष्ट कीजिए।

दो पूर्णांकों का योग पूर्णांक होता है।
दो पूर्णांकों का भागफल पूर्णांक होता है।
दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है।
एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है।

हल

हल — अभ्यास 1.8.

1. सत्य: पूर्णांकों (धनात्मक या ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं) को जोड़ने पर सदा पूर्णांक ही मिलता है।

2. असत्य: $\frac{1}{2}$ पूर्णांकों $1$ और $2$ का भागफल है और पूर्णांक नहीं है।

3. सत्य: $\frac pq + \frac{p'}{q'} = \frac{pq' + p'q}{qq'}$ फिर से पूर्णांकों का भागफल है (जिसका हर शून्येतर है)।

4. सत्य: मान लीजिए $r$ परिमेय है, $t$ अपरिमेय, और $r + t = s$ परिमेय होता। तब $t = s - r$ दो परिमेय संख्याओं का अंतर होता, अतः परिमेय (3 से, $-r$ के साथ लगाकर) — विरोधाभास। इसलिए $r + t$ अपरिमेय है।

अभ्यास 1.9 ★★

$1.414 \leq \sqrt 2 \leq 1.415$ का उपयोग करके संख्याओं $2\sqrt2$ , $\sqrt2 + 3$ और $-\sqrt2$ को दो दशमलव सीमाओं के बीच घेरिए।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

$1.414 \leq \sqrt2 \leq 1.415$ को $2 > 0$ से गुणा करने पर: $2.828 \leq 2\sqrt2 \leq 2.830$ ।

$3$ जोड़ने पर: $4.414 \leq \sqrt2 + 3 \leq 4.415$ ।

$-1 < 0$ से गुणा करने पर असमिकाएँ पलट जाती हैं: $-1.415 \leq -\sqrt2 \leq -1.414$ ।

अभ्यास 1.10 ★★★

प्रमेय 1.4 की उपपत्ति को ढालकर दिखाइए कि $\sqrt 3$ अपरिमेय है। (“सम” के स्थान पर “ $3$ का गुणज” रखिए: पहले जाँचिए कि यदि $p^2$ , $3$ का गुणज है तो $p$ भी है — इसके लिए $p$ को $3$ से भाग देने पर बचने वाले शेषफल $0$ , $1$ , $2$ की जाँच कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.10.

पहले सहायक तथ्य। $p$ को $3$ से भाग दीजिए: शेषफल $0$ , $1$ या $2$ होगा, अर्थात् $p = 3k$ , $p = 3k+1$ या $p = 3k+2$ । वर्ग करने पर:

(3k)^2 = 3(3k^2), \quad (3k+1)^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \quad (3k+2)^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 .

इनमें केवल पहला $3$ का गुणज है: इसलिए यदि $p^2$ $3$ का गुणज हो, तो $p$ भी है।

अब मान लीजिए $\sqrt3 = \frac pq$ पूरी तरह सरल की जा चुकी है। वर्ग करने पर $p^2 = 3q^2$ मिलता है, इसलिए $p^2$ $3$ का गुणज है, इसलिए $p = 3k$ । तब $9k^2 = 3q^2$ , इसलिए $q^2 = 3k^2$ और $q$ भी $3$ का गुणज है — पर तब भिन्न $\frac pq$ पूरी तरह सरल नहीं थी: विरोधाभास। इसलिए $\sqrt3$ अपरिमेय है।

1.6 समस्या: किन्हीं दो संख्याओं के बीच

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ आपस में गुँथी हुई हैं: हर अंतराल, चाहे कितना ही छोटा हो, दोनों में से अनंत संख्याएँ रखता है, और कोई भी माप उन्हें कभी अलग नहीं पहचान सकता

परिमेय संख्याएँ भीड़ जैसी लगती हैं (सारी भिन्नें!) और अपरिमेय संख्याएँ विरले अपवाद जैसी ( $\sqrt2$ , $\pi$ )। यह समस्या असली चित्र दिखाती है: ये दोनों परिवार इतनी बारीकी से गुँथे हुए हैं कि संख्या रेखा का हर अंतराल, चाहे कितना ही सूक्ष्म हो, दोनों में से अनंत संख्याएँ रखता है — और इसके विचित्र परिणाम निकलते हैं, जैसे यह: कोई भी भौतिक माप, चाहे कितना ही यथार्थ हो, यह कभी तय नहीं कर सकता कि कोई लंबाई परिमेय है या नहीं।

भाग I — चार राज्य।

हर संख्या के लिए $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ में से वह सबसे छोटा समुच्चय बताइए जिसमें वह आती है (परिभाषा 1.1): $-7$ ; $\frac{13}{4}$ ; $\sqrt{16}$ ; $0.121212\ldots$ (माध्यमिक विद्यालय खंड की आवर्ती दशमलव वाली सप्ताहांत समस्या याद कीजिए); $\sqrt8$ ; $\pi$ (इसकी अपरिमेयता स्वीकार कर लीजिए — वह केवल स्नातक खंडों में सिद्ध होती है)।
सिद्ध कीजिए कि $\Q$ योग और गुणन के अंतर्गत बंद है: यदि $x = \frac pq$ और $y = \frac rs$ परिमेय हैं, तो $x + y$ और $xy$ को एक-एक भिन्न के रूप में लिखिए।
विरोधाभास द्वारा निष्कर्ष निकालिए: (a) एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है; (b) एक शून्येतर परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय होता है।
दिखाइए कि अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय इनमें से किसी भी संक्रिया के अंतर्गत बंद नहीं है: ऐसी दो अपरिमेय संख्याएँ दीजिए जिनका योग परिमेय हो, और ऐसी दो जिनका गुणनफल परिमेय हो।
$\sqrt2 + \sqrt8$ और $\sqrt2 \times \sqrt8$ को चारों राज्यों में स्थान दीजिए (पहले $\sqrt8$ को सरल कीजिए — माध्यमिक विद्यालय खंड की विधि)।

भाग II — परिमेय संख्याएँ सघन हैं।

$3.47$ और $3.48$ के ठीक बीच में एक परिमेय संख्या खोजिए; फिर दूसरी; और फिर बताइए कि जितनी चाहें उतनी कैसे बनाई जा सकती हैं (माध्यमिक विद्यालय खंड की “कोई अगली संख्या नहीं” वाली सप्ताहांत समस्या का वही ज़ूम, अब उपपत्ति सामने रखकर)।
सामान्य प्रमेय। मान लीजिए $a < b$ कोई दो वास्तविक संख्याएँ हैं जिनका अंतर $g = b - a > 0$ है। ऐसा $n$ चुनिए कि $10^{-n} < g$ हो, और $10^{-n}$ के गुणजों पर विचार कीजिए (डग $10^{-n}$ वाली दशमलव जाली)। समझाइए कि कम से कम एक जाली-बिंदु $a$ और $b$ के ठीक बीच क्यों पड़ता है, और निष्कर्ष निकालिए: धनात्मक लंबाई का हर अंतराल एक परिमेय संख्या रखता है।
निष्कर्ष को और आगे बढ़ाइए: ऐसा हर अंतराल अनंत परिमेय संख्याएँ रखता है। (प्रश्न 7 को एक छोटे अंतराल के भीतर फिर से लगाइए।)
अब अपरिमेय संख्याएँ: $a < b$ दिए होने पर उसके ठीक भीतर एक परिमेय संख्या $r$ लीजिए (प्रश्न 7) और संख्याओं $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ पर विचार कीजिए। प्रश्न 3 का उपयोग करके दिखाइए कि वे अपरिमेय हैं, और यह भी कि पर्याप्त बड़े $k$ के लिए वे अंतराल में ही रहती हैं: हर अंतराल अनंत अपरिमेय संख्याएँ भी रखता है।
दो पुरानी पहेलियाँ सुलझीं: क्या कोई सबसे छोटी धनात्मक वास्तविक संख्या है? क्या “ $3$ के ठीक बाद” वाली कोई वास्तविक संख्या है? दोनों का उत्तर प्रश्न 7 की प्रमेय से दीजिए, और उसके बचपन वाले रूप को नमन कीजिए (माध्यमिक विद्यालय खंड की “कोई अगली संख्या नहीं” वाली सप्ताहांत समस्या)।

भाग III — निरपेक्ष मान, $\R$ की ज्यामिति।

हल कीजिए और हलों को अंतरालों या सम्मिलनों के रूप में लिखिए (प्रतिज्ञप्ति 1.12): $\abs{x - 5} = 2$ ; $\abs{x - 5} < 2$ ; $\abs{x + 1} \geq 3$ ।
एक पिस्टन $80$ mm का बनाया जाना है, जिसमें $0.05$ mm की सहनशीलता है। इस अपेक्षा को पहले निरपेक्ष मान से और फिर अंतराल के रूप में लिखिए। दो पिस्टन $79.97$ और $80.06$ mm नापे गए: क्या निर्णय है?
रेखा पर त्रिभुज असमिका: $\abs{a + b} \leq \abs a + \abs b$ । इसे $(a, b) = (3, -5)$ और $(-2, -7)$ पर जाँचिए, फिर इसे तब सिद्ध कीजिए जब $a$ और $b$ के चिह्न समान हों और तब भी जब वे विपरीत हों, और ठीक-ठीक बताइए कि समता कब होती है।
$\abs{x - 2} = \abs{x + 4}$ को रेखा पर दूरियों की समता के रूप में पढ़कर हल कीजिए। माध्यमिक विद्यालय खंड की “दो दर्पण” वाली सप्ताहांत समस्या का कौन-सा बिंदु आपने अभी एक विमा नीचे निकाल लिया है?
$\sqrt{x^2}$ को सरल कीजिए — सावधानी से। अपने सूत्र को $x = 3$ और $x = -3$ पर जाँचिए, और फिर उसका उपयोग करके $x^2 < 9$ को निरपेक्ष मान की सहायता से हल कीजिए।

भाग IV — जो कोई माप तय नहीं कर सकता।

एक भौतिकशास्त्री एक छड़ नापता है: $1.41421 \pm 0.00001$ m. क्या ऐसा कोई भी माप — यह वाला या भविष्य का कोई और यथार्थ माप — कभी सिद्ध कर सकता है कि छड़ की लंबाई अपरिमेय है? या कि वह परिमेय है? सहनशीलता के अंतराल पर प्रश्न 7 और 9 लगाइए, और समझाइए कि अपरिमेयता का निपटारा केवल उपपत्ति ही कर सकती है (जैसे विकर्ण के लिए, माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या में)।
$\sqrt2$ के कटाव $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ , $1.4142,\dots$ सभी परिमेय हैं। वे इस बारे में क्या दिखाते हैं कि $\Q$ हर अपरिमेय संख्या से कितना सटकर बैठता है? सामान्य तथ्य को शब्दों में रखिए।
अंतराल-अंकगणित: नापे गए मान $a = 2.5 \pm 0.1$ और $b = 1.2 \pm 0.1$ हैं। $a + b$ और $a \times b$ को निश्चित सीमाओं के बीच घेरिए। कौन-सी संक्रिया यथार्थता को अधिक बिगाड़ती है?
अभियंताओं का एक नियम कहता है कि स्वतंत्र मापों की त्रुटियाँ योग के लिए “जुड़ जाती हैं”: त्रिभुज असमिका (प्रश्न 13) से व्यक्त कीजिए कि $a + b$ की त्रुटि अधिक से अधिक त्रुटियों का योग क्यों है — यह असमिका ही वह अभियांत्रिक नियम है।
समापन, एक छोटे अनुच्छेद में: इस समस्या और इसकी पूर्वजों द्वारा बनाए गए वास्तविक रेखा के चित्र को जोड़िए — कोई अगली संख्या नहीं (माध्यमिक विद्यालय खंड की “कोई अगली संख्या नहीं” वाली सप्ताहांत समस्या), परिमेय संख्याएँ $=$ आवर्ती दशमलव (माध्यमिक विद्यालय खंड की आवर्ती दशमलव वाली सप्ताहांत समस्या), दोनों परिवार सघन (प्रश्न 8 और 9), माप सदा अनिर्णीत (प्रश्न 16)। अंत में वह संकेत दीजिए जिसे यह अध्याय अभी सिद्ध नहीं कर सकता: एक सुनिश्चित अर्थ में अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं से कहीं अधिक हैं — स्नातक खंड अनंतताओं की गिनती करते हैं।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $-7 \in \Z$ ; $\frac{13}{4} \in \Q$ ; $\sqrt{16} = 4 \in \N$ ; $0.121212\ldots = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \in \Q$ (माध्यमिक विद्यालय खंड की आवर्ती दशमलव वाली सप्ताहांत समस्या); $\sqrt8 = 2\sqrt2$ अपरिमेय है: सबसे छोटा समुच्चय $\R$ ; $\pi$ : $\R$ ।

2. $\frac pq + \frac rs = \frac{ps + qr}{qs}$ और $\frac pq \times \frac rs = \frac{pr}{qs}$ : शून्येतर हर वाले पूर्णांकों के भागफल — अतः परिमेय।

3. (a) यदि $r$ परिमेय हो, $x$ अपरिमेय, और $r + x = q$ परिमेय होता, तो $x = q - r$ परिमेय संख्याओं का अंतर होता, अतः परिमेय (प्रश्न 2): विरोधाभास। (b) यदि $r \neq 0$ हो और $r x = q$ परिमेय, तो $x = \frac qr$ परिमेय है: विरोधाभास।

4. $\sqrt2$ और $-\sqrt2$ अपरिमेय हैं और उनका योग $0$ है; $\sqrt2$ और $\sqrt2$ का गुणनफल $2$ है। अपरिमेय सामग्री से परिमेय परिणाम: अपरिमेय संख्याएँ कोई बंद राज्य नहीं बनातीं।

5. $\sqrt8 = 2\sqrt2$ , इसलिए $\sqrt2 + \sqrt8 = 3\sqrt2$ : अपरिमेय (प्रश्न 3b, गुणक $3$ )। और $\sqrt2 \times \sqrt8 = \sqrt{16} = 4 \in \N$ : दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल सबसे छोटे राज्य में जा गिरता है।

6. $3.475$ , फिर $3.471$ (या $3.4701$ , $3.47001$ , …): दशमलव अंक जोड़ते जाने से दोनों के बीच नई-नई परिमेय संख्याएँ अनंत काल तक बनती रहती हैं।

7. $10^{-n}$ के गुणज रेखा पर $10^{-n} < g$ की डग भरते चलते हैं। $a$ से कड़ाई से बड़ा पहला गुणज — वह मौजूद है, क्योंकि गुणज अंततः $a$ से आगे निकल जाते हैं — $a$ से अधिक से अधिक एक डग आगे है, अतः $a + g = b$ से पहले: वह $a$ और $b$ के ठीक बीच है। जाली-बिंदु दशमलव है, अतः परिमेय: धनात्मक लंबाई का हर अंतराल एक ऐसी संख्या रखता है।

8. $a$ और प्रश्न 7 में मिली परिमेय संख्या $r_1$ के बीच (फिर प्रश्न 7 से) एक परिमेय $r_2$ है; $a$ और $r_2$ के बीच एक परिमेय $r_3$ ; और इसी तरह आगे: अनंत, सब अलग-अलग, और सब मूल अंतराल में।

9. $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग है ( $\frac{\sqrt2}{10^k}$ प्रश्न 3b से अपरिमेय है), अतः अपरिमेय। चूँकि $\frac{\sqrt2}{10^k} < \frac{2}{10^k}$ किसी भी सीमा से नीचे सिकुड़ जाता है, इसलिए पर्याप्त बड़े $k$ के लिए $r + \frac{\sqrt2}{10^k}$ अब भी $b$ से पहले पड़ता है: अंतराल के भीतर एक अपरिमेय संख्या — और $k$ बदलते जाने से अनंत।

10. कोई सबसे छोटी धनात्मक वास्तविक संख्या नहीं: यदि $s > 0$ वह होती, तो अंतराल $(0, s)$ में भी एक परिमेय संख्या होती (प्रश्न 7), जो धनात्मक और $s$ से छोटी होती। $3$ के ठीक बाद कोई संख्या नहीं: कोई भी दावेदार $c > 3$ अंतराल $(3, c)$ छोड़ देता है, जो रिक्त नहीं है — माध्यमिक विद्यालय खंड का “कोई अगली संख्या नहीं” वाला खेल, अब $\R$ के बारे में एक प्रमेय।

11. $\abs{x - 5} = 2$ : $x = 3$ या $x = 7$ । $\abs{x - 5} < 2$ : $x \in \intoo{3}{7}$ । $\abs{x + 1} \geq 3$ : $-1$ से दूरी कम से कम $3$ : $x \in \intoc{-\infty}{-4} \cup \intco{2}{+\infty}$ ।

12. $\abs{d - 80} \leq 0.05$ , अर्थात् $d \in \intcc{79.95}{80.05}$ । $79.97$ वाला पिस्टन पास हो जाता है; $80.06$ वाला मिलीमीटर के सौवें हिस्से से चूक जाता है।

13. $(3, -5)$ : $\abs{-2} = 2 \leq 8$ । $(-2, -7)$ : $\abs{-9} = 9 = 2 + 7$ : समता। समान चिह्न: $\abs{a + b}$ दूरियों का योग है, जो $\abs a + \abs b$ के बराबर है। विपरीत चिह्न: चाल पीछे मुड़ जाती है, $\abs{a + b}$ दूरियों का अंतर है, जो उनके योग से कड़ाई से कम है (जब तक उनमें से एक $0$ न हो)। समता ठीक तब जब $a$ और $b$ के चिह्न समान हों या उनमें से एक शून्य हो।

14. हल वे बिंदु हैं जो $2$ और $-4$ से समान दूरी पर हैं: मध्यबिंदु, $x = -1$ । यही माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-दर्पण वाली सप्ताहांत समस्या का लंब समद्विभाजक है, जो एक विमा में सिमटकर एक अकेला बिंदु रह जाता है।

15. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , $x$ नहीं: $x = -3$ के लिए $\sqrt{9} = 3 = \abs{-3} \neq -3$ होता है। तब $x^2 < 9$ का अर्थ $\sqrt{x^2} < 3$ है, अर्थात् $\abs x < 3$ : $x \in \intoo{-3}{3}$ ।

16. माप केवल इतना कहता है कि लंबाई अंतराल $\intcc{1.41420}{1.41422}$ में है — और प्रश्न 7 तथा 9 से उस अंतराल में अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ हैं। यही बात हर भावी सहनशीलता पर लागू है, चाहे वह कितनी ही छोटी हो। कोई माप इन दोनों परिवारों को कभी अलग नहीं कर सकता; यह केवल यथार्थ लंबाई के बारे में कोई उपपत्ति ही कर सकती है — जैसी इकाई वर्ग के विकर्ण के लिए थी (माध्यमिक विद्यालय खंड की अपरिमेयता वाली सप्ताहांत समस्या)।

17. वे $\sqrt2$ के पास $10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3}, \dots$ से कम त्रुटि के साथ पहुँचते हैं: हर पैमाने पर परिमेय संख्याएँ $\sqrt2$ से सटकर बैठी हैं। सामान्य तथ्य: हर वास्तविक संख्या के पास परिमेय संख्याएँ (उसके दशमलव कटाव) जितना चाहें उतना निकट पहुँच जाती हैं — वही सघनता, अब लक्ष्य की ओर से देखी गई।

18. $a + b \in \intcc{2.4 + 1.1}{2.6 + 1.3} = \intcc{3.5}{3.9}$ : अनिश्चितता $\pm 0.2$ (त्रुटियाँ जुड़ गईं)। $a \times b \in \intcc{2.4 \times 1.1}{2.6 \times 1.3} = \intcc{2.64}{3.38}$ : $3$ के आसपास लगभग $\pm 0.37$ की अनिश्चितता — गुणनफलों के लिए आपेक्षिक त्रुटियाँ जुड़ती हैं, इसलिए यथार्थता तेज़ी से बिगड़ती है।

19. सच्चे मान $a = 2.5 + e_1$ , $b = 1.2 + e_2$ लिखिए, जहाँ $\abs{e_1}, \abs{e_2} \leq 0.1$ है। तब योग की त्रुटि $\abs{e_1 + e_2} \leq \abs{e_1} + \abs{e_2} \leq 0.2$ है: अभियंता का नियम प्रश्न 13 की त्रिभुज असमिका ही है।

20. वास्तविक रेखा में न कोई अंतराल है, न कोई पड़ोसी: किसी भी संख्या के बाद कोई “अगली” नहीं (प्रश्न 10)। उसके बिंदु बँट जाते हैं परिमेय संख्याओं में — जो ठीक वही हैं जिनका दशमलव या तो रुकता है या आवर्ती होता है (माध्यमिक विद्यालय खंड की आवर्ती दशमलव वाली सप्ताहांत समस्या) — और अपरिमेय संख्याओं में, और दोनों परिवार इतनी सघनता से गुँथे हैं कि हर अंतराल में दोनों के अनंत सदस्य हैं (प्रश्न 8 और 9), और इसीलिए कोई माप नहीं, केवल उपपत्ति ही उन्हें अलग बता सकती है (प्रश्न 16)। और अंतिम अचरज, जो एक वादे के रूप में छोड़ा जा रहा है: अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं से अधिक हैं — एक-एक गिनकर नहीं, बल्कि अनंतताओं की तुलना करने के सुनिश्चित अर्थ में, और वह सिद्धांत स्नातक खंडों में बनता है।