उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

33यादृच्छिक चर और द्विपद बंटन

यादृच्छिक चर किसी प्रयोग के हर परिणाम के साथ एक संख्या जोड़ देता है: कोई लाभ, कोई गिनती, कोई अवधि। उसकी प्रत्याशा उन मानों का दीर्घकालिक औसत है और उसका प्रसरण उनका प्रसार नापता है। इस अध्याय का सितारा द्विपद बंटन है, जो दोहराए गए स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताएँ गिनता है। यादृच्छिक चर और द्विपद बंटन से पहली भेंट अध्याय 18 और 19 में हुई थी; यह अध्याय उन्हें दोहराता और गहरा करता है, और अब अध्याय 27 के क्रमचय-संचय वाले औज़ार भी उपलब्ध हैं।

33.1 विविक्त यादृच्छिक चर

परिभाषा 33.1 (यादृच्छिक चर, बंटन)

किसी परिमित प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ पर यादृच्छिक चर एक फलन $X \colon \Omega \to \R$ है। उसका बंटन (या नियम) उसके संभव मानों $x_1, \dots, x_k$ और प्रायिकताओं

p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .

का ब्योरा है।

परिभाषा 33.2 (प्रत्याशा, प्रसरण, मानक विचलन)

$X$ की प्रत्याशा है

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,

और उसका प्रसरण तथा मानक विचलन हैं

\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

प्रतिज्ञप्ति 33.3 (कोनिग–होयगेंस सूत्र)

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$ ।

उपपत्ति. $m = \E(X)$ लिखिए और प्रसार कीजिए:

\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2) = \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere

∎

प्रतिज्ञप्ति 33.4 (एकघात रूपांतरण)

$a, b \in \R$ के लिए:

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad \V(aX + b) = a^2\,\V(X) .

उपपत्ति. पहला परिभाषा वाले योग की ही पुनर्व्यवस्था है। दूसरे के लिए: $aX + b$ अपने माध्य से $a(X - \E(X))$ जितना हटता है, और वर्ग करने पर वह $a^2$ गुना हो जाता है। ∎

उदाहरण 33.5 (न्यायसंगत खेल)

किसी खेल का शुल्क $2$ यूरो है; एक पासा फेंका जाता है, और यदि आया मान कम से कम $5$ हो तो खिलाड़ी वही मान पाता है, अन्यथा कुछ नहीं। लाभ $G$ मान $-2$ (प्रायिकता $\frac46$ ), $3$ ( $\frac16$ ), $4$ ( $\frac16$ ) लेता है:

\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .

औसतन खिलाड़ी प्रति खेल $17$ सेंट गँवाता है: खेल प्रतिकूल है (जैसे अधिकांश असली खेल होते हैं)।

33.2 बर्नूली परीक्षण और द्विपद बंटन

परिभाषा 33.6 (बर्नूली बंटन)

बर्नूली परीक्षण दो परिणामों वाला प्रयोग है: सफलता (प्रायिकता $p$ ) और विफलता ( $q = 1 - p$ )। सफलता का सूचक $X$ (सफलता पर $X = 1$ , विफलता पर $0$ ) बर्नूली बंटन $\mathcal B(p)$ का पालन करता है:

\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .

(सचमुच $\E(X) = p$ , $\E(X^2) = p$ , और कोनिग–होयगेंस $\V(X) = p - p^2$ दे देता है।)

परिभाषा 33.7 (द्विपद बंटन)

किसी बर्नूली परीक्षण को $n$ बार स्वतंत्र रूप से दोहराइए और मान लीजिए $X$ सफलताओं की कुल संख्या है। $X$ का बंटन द्विपद बंटन $\mathcal B(n, p)$ है।

तीन बर्नूली परीक्षण: 23 पथों में से ठीक 32 = 3 दो सफलताएँ देते हैं (लाल), और हर एक की प्रायिकता p2(1-p) है, इसलिए (X = 2) = 3p2(1-p)। — तीन बर्नूली परीक्षण: $2^3$ पथों में से ठीक $\binom{3}{2} = 3$ दो सफलताएँ देते हैं (लाल), और हर एक की प्रायिकता $p^2(1-p)$ है, इसलिए $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$ ।

प्रमेय 33.8

यदि $X \sim \mathcal B(n, p)$ हो, तो $0 \leq k \leq n$ के लिए

\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},

और

\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .

उपपत्ति. $k$ सफलताओं और $n-k$ विफलताओं वाले किसी नियत परिणाम-क्रम की प्रायिकता स्वतंत्रता से $p^k(1-p)^{n-k}$ है; ऐसे क्रमों की संख्या $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताएँ रखने के तरीक़ों की संख्या है, यानी $\binom nk$ (अध्याय 27)। सभी क्रमों पर जोड़ने से सूत्र मिल जाता है — और द्विपद प्रमेय $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$ की पुष्टि कर देती है।

प्रत्याशा के लिए $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ (अभ्यास 27.7) का उपयोग करने पर:

\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k} = np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} = np\,(p + q)^{n-1} = np .

प्रसरण का सूत्र इसी तरह सर्वसमिका $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$ से सिद्ध होता है, जो $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$ देती है, जिससे $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$ निकलता है। (संरचनात्मक उपपत्ति — स्वतंत्र चरों के योग का प्रसरण — प्रमेय 34.4 के साथ आती है।) ∎

बंटन B(20, 0.3): माध्य np = 6, मानक विचलन √npq 2.05। — बंटन $\mathcal B(20, 0.3)$ : माध्य $np = 6$ , मानक विचलन $\sqrt{npq} \approx 2.05$ ।

विधि 33.9 (द्विपद स्थिति पहचानना)

$X \sim \mathcal B(n,p)$ लिखने से पहले तीनों सामग्रियाँ जाँचिए: परीक्षणों की नियत संख्या $n$ ; हर परीक्षण के दो परिणाम और एक ही सफलता-प्रायिकता $p$ ; और परीक्षणों की स्वतंत्रता (वापसी सहित प्रतिदर्शन, या किसी बड़ी समष्टि से)। फिर “कम से कम एक सफलता” के लिए

\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n

काम में लाइए, और सामान्य $\P(X \leq k)$ के लिए कैलकुलेटर या संचयी सारणियाँ।

उदाहरण 33.10

छक्का आने की कम से कम $99\%$ संभावना पाने के लिए पासा कितनी बार फेंकना पड़ेगा? $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$ के साथ: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ का अर्थ है $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$ , अर्थात् $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$ : $n = 26$ फेंकों से आगे।

33.3 अभ्यास

अभ्यास 33.1 ★

कोई यादृच्छिक चर $X$ मान $-1, 0, 2, 5$ प्रायिकताओं $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$ के साथ लेता है। $\E(X)$ , $\V(X)$ और $\sigma(X)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 33.1.

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$ । $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$ , इसलिए कोनिग–होयगेंस से $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ और $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$ ।

अभ्यास 33.2 ★

किसी बहुविकल्पीय परीक्षा में $10$ प्रश्न हैं, और हर प्रश्न में $4$ विकल्प हैं जिनमें एक सही है। कोई विद्यार्थी स्वतंत्र रूप से एकसमान यादृच्छिक ढंग से उत्तर देता है। मान लीजिए $X$ सही उत्तरों की संख्या है।

$X$ , $\E(X)$ और $\sigma(X)$ का बंटन बताइए।
$\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ और $\P(X \geq 1)$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 33.2.

1. $10$ प्रश्न $p = \frac14$ वाले स्वतंत्र बर्नूली परीक्षण हैं: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$ , $\E(X) = 2.5$ , $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875} \approx 1.37$ ।

2. $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$ ;

\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5 \approx 0.058; \quad \P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .

अभ्यास 33.3 ★

कोई बीमा कंपनी $n = 400$ ग्राहकों का बीमा करती है; हर एक वर्ष भर में स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $p = 0.05$ से दावा दायर करता है। मान लीजिए $X$ दावों की संख्या है। $X$ का बंटन पहचानिए और उसकी प्रत्याशा तथा मानक विचलन निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 33.3.

स्वतंत्र और एक जैसे परीक्षण: $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$ , इसलिए $\E(X) = 20$ दावे और

\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .

अभ्यास 33.4 ★★

उदाहरण 33.5 के खेल में आयोजक प्रवेश-दाम $c$ बदलकर खेल को न्यायसंगत ( $\E(G) = 0$ ) बनाना चाहता है। $c$ ज्ञात कीजिए। इस न्यायसंगत रूप में लाभ का प्रसरण निकालिए; क्या “न्यायसंगत” का अर्थ “जोखिम-रहित” भी है?

हल

हल — अभ्यास 33.4.

प्राप्त भुगतान $P$ $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$ को संतुष्ट करता है, इसलिए न्यायसंगत दाम $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ यूरो है। न्यायसंगत लाभ $G = P - \frac{11}6$ प्रायिकताओं $\frac46, \frac16, \frac16$ के साथ मान $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ लेता है:

\V(G) = \E(G^2) = \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

न्यायसंगत खेल का औसत लाभ शून्य होता है, पर उसके परिणाम फिर भी उतार-चढ़ाव करते हैं: न्यायसंगत का अर्थ जोखिम-रहित नहीं है।

अभ्यास 33.5 ★★

कोई बास्केटबॉल खिलाड़ी प्रायिकता $0.7$ से मुक्त फेंक में अंक बनाती है। वह $8$ बार फेंकती है (स्वतंत्र फेंक)। ये प्रायिकताएँ निकालिए कि वह ठीक $6$ बार अंक बनाती है; कम से कम $6$ बार; कम से कम एक बार। अंकों की सबसे संभावित संख्या क्या है?

हल

हल — अभ्यास 33.5.

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$ ।

\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;

\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8) \approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8 \approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$ . बहुलक: $(n+1)p = 6.3$ , इसलिए सबसे संभावित मान $k^* = 6$ है (अभ्यास 33.7)।

अभ्यास 33.6 ★★

कोई विमान-कंपनी जानती है कि हर बुक किया हुआ यात्री स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $0.9$ से पहुँचता है। किसी उड़ान में $100$ सीटें हैं और कंपनी $104$ टिकट बेचती है। द्विपद बंटन का उपयोग करके यह प्रायिकता व्यक्त कीजिए कि सीटों से अधिक यात्री पहुँच जाएँ, और कैलकुलेटर से उसका संख्यात्मक आकलन कीजिए (यथार्थ व्यंजक दीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 33.6.

पहुँचने वाले यात्रियों की संख्या $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$ है; उड़ान तब अधिविक्रीत हो जाती है जब $X \geq 101$ :

\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k} \approx 0.006 .

सीटों से $4\%$ अधिक टिकट बेचने पर केवल लगभग $0.6\%$ उड़ानों में गड़बड़ होती है — यही अधिविक्रय के पीछे का अर्थशास्त्र है।

अभ्यास 33.7 ★★

मान लीजिए $X \sim \mathcal B(n, p)$ है। दिखाइए कि

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},

और निष्कर्ष निकालिए कि बंटन $k^* = \floor{(n+1)p}$ तक बढ़ता है और उसके बाद घटता है (द्विपद का बहुलक)।

हल

हल — अभ्यास 33.7.

\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p} = \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},

जहाँ $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$ का उपयोग हुआ है। यह अनुपात $\geq 1$ ठीक तब है जब $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$ , यानी जब $np - k p \geq k - kp + 1 - p$ , यानी जब $k \leq (n+1)p - 1$ । इसलिए प्रायिकताएँ तब तक कड़ाई से बढ़ती हैं जब तक $k + 1 \leq (n+1)p$ हो और उसके बाद घटती हैं: अधिकतम $k^* = \floor{(n+1)p}$ पर प्राप्त होता है (और जब $(n+1)p$ पूर्णांक हो तब $k^* - 1$ के साथ साझा)।

अभ्यास 33.8 ★★★

(सेंट पीटर्सबर्ग, सधा हुआ.) कोई न्यायसंगत सिक्का चित आने तक उछाला जाता है, पर अधिक से अधिक $10$ बार। मान लीजिए $N$ काम में आए उछालों की संख्या है, और चित आ जाने पर खिलाड़ी $2^N$ यूरो पाता है, अन्यथा $0$ ।

जीत वाले परिणामों तक सीमित $N$ का बंटन बताइए: $1 \leq k \leq 10$ के लिए $\P(k \text{ पर पहली चित}) = 2^{-k}$ , और जीतने की कुल प्रायिकता जाँचिए।
प्रत्याशित भुगतान निकालिए। $10$ उछालों की सीमा हटा दें तो वह क्या हो जाता?

हल

हल — अभ्यास 33.8.

1. पहली चित उछाल $k$ पर आने का अर्थ है $k-1$ पट फिर चित: प्रायिकता $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$ , $1 \leq k \leq 10$ के लिए। जीतने की कुल प्रायिकता $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (खेल केवल लगातार दस पटों पर हारा जाता है)।

2. प्रत्याशित भुगतान:

\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ यूरो}.

सीमा हटा दें तो योग $\sum_{k\geq1} 1$ अपसरित हो जाता है: प्रत्याशित भुगतान अनंत हो जाता है, यद्यपि खेल लगभग हमेशा छोटी-सी राशि ही देता है — यही प्रसिद्ध सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास है, जो दिखाता है कि अकेली प्रत्याशा किसी खेल का मूल्य नहीं नाप सकती।

33.4 समस्या: अधिविक्रय वाली उड़ान

समस्या 33.1

सप्ताहांत समस्या — विमान-कंपनियाँ सीटों से अधिक टिकट बेचती हैं, कारख़ाने मुश्किल से जाँची गई खेप स्वीकार कर लेते हैं, और द्विपद बंटन दोनों की पंचायत करता है

$100$ सीटों वाली कोई विमान-कंपनी ख़ुशी-ख़ुशी $105$ टिकट बेच देती है: लगभग $10\,\%$ यात्री कभी पहुँचते ही नहीं, और ख़ाली सीटें कुछ नहीं कमातीं। कंपनी कितनी दूर तक जा सकती है, इससे पहले कि वंचित यात्री उसका लाभ चट कर जाएँ? द्विपद बंटन (प्रमेय 33.8) दशमलव तक उत्तर दे देता है — और वही मशीनरी कारख़ाने की खेप जाँचती है, पुरस्कार-लॉटरी का दाम लगाती है, और बीमाकर्ताओं को टिकाए रखती है। दोहराव के अधीन निर्णय: यही द्विपद की रोज़ की नौकरी है।

भाग I — प्रवाह।

पासे के तीन फेंकों में छक्कों की संख्या $X$ की पूरी बंटन-सारणी दीजिए।
$\E(X)$ और $V(X)$ निकालिए (परिभाषा 33.2)।
कोई दुकान तीन फेंकों के $1$ यूरो लेती है और हर छक्के पर $2$ यूरो देती है। प्रत्याशित लाभ निकालिए: क्या खेल न्यायसंगत है?
जाँच-सूची का अभ्यास (विधि 33.9): बिना वापसी के निकाले गए $5$ पत्तों में पान की संख्या क्या द्विपद है? और वापसी सहित? पुष्ट कीजिए।
$X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ के लिए: $\E(X)$ और $\sigma(X)$ बताइए, फिर अंक $S = 5X - 10$ के लिए $\E(S)$ तथा $\sigma(S)$ (प्रतिज्ञप्ति 33.4)।

भाग II — अधिविक्रय वाली उड़ान। सीटें: $100$ । बिके टिकट: $105$ । हर टिकटधारी स्वतंत्र रूप से प्रायिकता $0.9$ से पहुँचता है; मान लीजिए $X$ पहुँचने वालों की संख्या है।

प्रतिरूप: जाँच-सूची से $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ को पुष्ट कीजिए — और प्रतिरूप की सबसे कमज़ोर कड़ी स्वीकार कीजिए (क्या न-पहुँचना सचमुच स्वतंत्र है? समूहों और तूफ़ानों के बारे में सोचिए)।
$\E(X)$ और $\sigma(X)$ निकालिए।
वंचन तब होता है जब $X \geq 101$ हो: $\P(X \geq 101)$ को पाँच द्विपद पदों के स्पष्ट योग के रूप में लिखिए।
योग का मान निकालिए (कैलकुलेटर): कितने अंश उड़ानों में कम से कम एक यात्री वंचित रह जाता है?
पैसा: पाँच अतिरिक्त टिकट $5 \times 200 = 1\,000$ यूरो लाते हैं; और हर वंचित यात्री पर $800$ यूरो का मुआवज़ा लगता है। वंचित यात्रियों की प्रत्याशित संख्या $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , प्रत्याशित मुआवज़ा, और इस नीति पर फ़ैसला निकालिए।
रचना: नियामक $\P(\text{वंचन}) < 5\,\%$ तक सहन करता है। $n = 105, 106, 107, \dots$ टिकटों को जाँचकर सबसे बड़ा अनुमत $n$ ज्ञात कीजिए।
घंटी वाला छोटा रास्ता: $n = 105$ के लिए वंचन-सीमा $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ का z-मान निकालिए, और मोटे अनुमान “लगभग $2\sigma$ , इसलिए ऊपरी पूँछ में क़रीब $2$ – $3\,\%$ ” की तुलना अपने यथार्थ उत्तर से कीजिए। (इस छोटे रास्ते के पीछे का वक्र आगे के अध्यायों का सितारा है।)

भाग III — कारख़ाने का फाटक। पुर्ज़ों की कोई खेप तभी स्वीकार होती है जब $20$ के प्रतिदर्श में अधिक से अधिक एक दोषपूर्ण पुर्ज़ा हो।

यदि सच्ची दोष-दर $2\,\%$ हो (ईमानदार खेप), तो स्वीकृति की प्रायिकता निकालिए।
यदि दर $10\,\%$ हो (ख़राब खेप), तो उसे फिर निकालिए।
इस प्रक्रिया के दोनों जोखिमों के नाम बताइए (ईमानदार खेप का अस्वीकार होना; ख़राब खेप का स्वीकार हो जाना), उनके मान प्रश्न 13–14 से पढ़िए, और बताइए कि कौन-सा एक बदलाव दोनों को एक साथ सुधार देता है — और किस क़ीमत पर।
सुधार के पीछे: दिखाइए कि $n$ आकार के प्रतिदर्श में प्रेक्षित दोष-आपेक्षिक बारंबारता $\frac Xn$ का मानक विचलन $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ है, और निष्कर्ष निकालिए कि यथार्थता प्रतिदर्श-आकार के साथ कैसे बढ़ती है (एक पुराना मित्र: कक्षा 10 का $\frac{1}{\sqrt n}$ )।

भाग IV — खेल, लॉटरी, कोष।

अभ्यास 33.8 के सीमा-बद्ध सेंट पीटर्सबर्ग खेल का प्रत्याशित भुगतान $10$ यूरो है। समस्या 18.1 में मिले असीमित विरोधाभास से एक अनुच्छेद में तुलना कीजिए: सीमा ठीक-ठीक किसे साध लेती है, और अब कौन-सा दाम न्यायसंगत होगा?
कोई परोपकारी लॉटरी $2$ यूरो के $200$ टिकट बेचती है; पुरस्कार: एक $100$ -यूरो और दो $50$ -यूरो की टोकरियाँ। किसी टिकट का प्रत्याशित लाभ और लॉटरी का लाभांश निकालिए; और यूरोपीय रूले के $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ जुआघर-लाभांश से तुलना कीजिए। लॉटरी इससे बच कैसे निकलती है?
किसी बीमाकर्ता के पास $1\,000$ स्वतंत्र बीमा-पत्र हैं: हर एक पर दावे की प्रायिकता $0.01$ , दावे का आकार $10\,000$ यूरो, और प्रीमियम $130$ यूरो। प्रत्याशित वार्षिक लाभ और कुल दावों का मानक विचलन निकालिए। दोनों संख्याओं की तुलना कीजिए: यह तुलना असली बीमाकर्ताओं को क्या रखने पर मजबूर कर देती है?
समापन — निर्णय के पंच के रूप में द्विपद: पहचान की जाँच-सूची; दिशा-सूई $\E \pm \sigma$ ; जोखिम की क़ीमत के रूप में पूँछ की प्रायिकताएँ; और दो स्थायी चेतावनियाँ (स्वतंत्रता प्रतिरूपण का दावा है, और विनाश माध्य से नहीं, विरली पूँछों से आता है)। हर एक पर एक वाक्य, और यह संकेत: बृहत् संख्याओं का नियम और घंटी-वक्र, जो अगले अध्यायों में हैं, इस पंच की नियम-पुस्तिका पूरी कर देते हैं।

हल

हल — समस्या 33.1.

1. $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$ : $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$ , $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$ , $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$ , $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$ ।

2. $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$ ; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$ ।

3. $1$ -यूरो के दाँव के सामने प्रत्याशित भुगतान $2\,\E(X) = 1$ यूरो: लाभ $0$ — ठीक न्यायसंगत (जो विरला है)।

4. बिना वापसी के निकाले परावलंबी होते हैं (दूसरे पत्ते की संभावनाएँ पहले पर निर्भर करती हैं): द्विपद नहीं — जाँच-सूची का स्वतंत्रता वाला ख़ाना ख़ाली रह जाता है। वापसी सहित: नियत $n = 5$ , अचर $p = \frac14$ , स्वतंत्र निकाले: द्विपद।

5. $\E(X) = 6$ , $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx 2.05$ । $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$ ; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$ ।

6. नियत $n = 105$ परीक्षण (टिकट), हर एक में एक ही $p = 0.9$ के साथ पहुँचना/न-पहुँचना, और स्वतंत्रता मान ली गई: द्विपद। और स्वीकारोक्ति: परिवार एक साथ उड़ान चूकते हैं और तूफ़ान पूरे विमान ख़ाली कर देते हैं — स्वतंत्रता प्रतिरूप की आस्था की छलाँग है, और सहसंबंधित न-पहुँचना पूँछों को द्विपद के वादे से मोटा कर देता है।

7. $\E(X) = 94.5$ ; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{9.45} \approx 3.07$ ।

8. $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105} \binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$ ।

9. $\approx 0.0167$ : लगभग साठ में एक उड़ान पर किसी न किसी को वंचित होना पड़ता है।

10. प्रति उड़ान $\E(\text{वंचित}) \approx 0.023$ यात्री: प्रत्याशित मुआवज़ा $\approx 19$ यूरो — और सामने $1\,000$ यूरो की अतिरिक्त आय। पाँच का अधिविक्रय भारी लाभदायक है; इसीलिए हर विमान-कंपनी यह करती है।

11. पूँछ-प्रायिकताओं की सारणी से: $n = 105$ : $1.7\,\%$ ; $n = 106$ : $4.0\,\%$ ; $n = 107$ : $8.1\,\%$ । नियमों पर खरी उतरने वाली सबसे बड़ी बिक्री $n = 106$ टिकट है।

12. $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$ : सीमा माध्य से दो मानक विचलन ऊपर बैठी है, और घंटी-वक्र का मोटा नियम (“ऊपरी $2\sigma$ पूँछ $\approx 2.5\,\%$ ”) यथार्थ $1.7\,\%$ के पास आ गिरता है — द्विपद के पीछे छाया की तरह चलता चिकना वक्र ही आने वाले अध्यायों का नायक है।

13. $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19} \approx 0.94$ : ईमानदार खेप $94\,\%$ बार पास हो जाती है।

14. $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19} \approx 0.39$ : ख़राब खेप फिर भी $39\,\%$ बार निकल जाती है।

15. उत्पादक का जोखिम: अच्छी खेप का अस्वीकार ( $\approx 6\,\%$ ); उपभोक्ता का जोखिम: ख़राब खेप का स्वीकार ( $\approx 39\,\%$ )। बड़ा प्रतिदर्श (और उसके अनुपात में स्वीकृति-सीमा) दोनों को सिकोड़ देता है — और क़ीमत अधिक निरीक्षण की होती है: गुणवत्ता की भी एक बजट-रेखा है।

16. $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$ : मानक विचलन $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ । प्रतिदर्श चौगुना कीजिए, शोर आधा हो जाएगा: कक्षा 10 के उतार-चढ़ाव अंतरालों का वही $\frac{1}{\sqrt n}$ वाला नियम, अब निकाला हुआ।

17. सीमा भुगतान को $2^{10} = 1024$ यूरो पर बाँध देती है, इसलिए दसों दौरों में से हर एक प्रत्याशा में ठीक $1$ यूरो जोड़ता है: $\E = 10$ । बिना सीमा वाले खेल की अनंत प्रत्याशा पूरी तरह खगोलीय रूप से विरले और खगोलीय रूप से बड़े भुगतानों से आती थी; और सीमा लगाना यह स्वीकार कर लेना है कि कोई बैंक $2^{50}$ यूरो नहीं देता। सीमा-बद्ध खेल के लिए न्यायसंगत टिकट-दाम: $10$ यूरो — और अचानक किसी को कोई विरोधाभास नहीं रहता।

18. प्रति टिकट प्रत्याशित पुरस्कार-राशि: $2$ -यूरो के टिकट के सामने $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ यूरो: लाभांश $50\,\%$ — यानी रूले के $2.7\,\%$ का अठारह गुना। लॉटरी इसलिए बची रहती है कि उसके खिलाड़ी जान-बूझकर दान कर रहे होते हैं: वह “हानि” ही तो मक़सद है।

19. प्रत्याशित दावे: $1\,000 \times 0.01 \times 10\,000 = 100\,000$ ; प्रीमियम $130\,000$ : प्रत्याशित लाभ $30\,000$ यूरो। कुल दावों का मानक विचलन: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99} \approx 31\,500$ यूरो — एक साधारण बुरा वर्ष ही पूरा प्रत्याशित लाभ चट कर जाता है। इसीलिए पूँजी-कोष, पुनर्बीमा, और एक हज़ार बीमा-पत्रों से कहीं बड़े संचय: बीमाकर्ता बृहत् संख्याओं के नियम पर जीते हैं और उसकी धीमी चाल के विरुद्ध कोष रखते हैं।

20. पहले जाँच-सूची — नियत $n$ , वही $p$ , और स्वतंत्रता का दावा — वरना द्विपद है ही नहीं। फिर $\E \pm \sigma$ से दिशा तय कीजिए: माध्य जगह बताते हैं, विचलन चेतावनी देते हैं। फिर पूँछों का दाम लगाइए: वंचन, ख़राब खेप और विनाशकारी वर्ष, सब $2\sigma$ से आगे रहते हैं। चेतावनियाँ: स्वतंत्रता प्रतिरूपकार का वादा है, संसार का नहीं; और प्रत्याशा ठीक उसी को अनदेखा कर देती है जो आपको मिटा देता है। नियम-पुस्तिका के छूटे हुए पन्ने — आपेक्षिक बारंबारताएँ कितनी तेज़ी से जमती हैं, और उतार-चढ़ाव की आकृति क्या है — अगले दो अध्याय हैं।