उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

23चरघातांकी फलन और लघुगणक

चरघातांकी फलन वह अकेला फलन है जो अपने ही अवकलज के बराबर है और $0$ पर मान $1$ लेता है। वह योगों को गुणनफलों में बदल देता है; और उसका प्रतिलोम, प्राकृत लघुगणक, गुणनफलों को योगों में। दोनों मिलकर हर उस परिघटना का वर्णन करते हैं जिसके परिवर्तन की दर उसके आकार के समानुपाती हो: रेडियोधर्मी क्षय, जनसंख्या वृद्धि, चक्रवृद्धि ब्याज।

23.1 चरघातांकी फलन

प्रमेय 23.1 (अस्तित्व और अद्वितीयता)

ऐसा अकेला अवकलनीय फलन $f \colon \R \to \R$ है कि

f' = f \qquad\text{और}\qquad f(0) = 1 .

उसे चरघातांकी फलन कहते हैं और $\exp$ या $x \mapsto \eu^x$ लिखते हैं।

अद्वितीयता की उपपत्ति. पहले, ऐसा फलन कभी लुप्त नहीं होता। सचमुच, $g(x) = f(x)f(-x)$ लीजिए; तब

g'(x) = f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0,

इसलिए $g$ अचर है और $g(0) = 1$ के बराबर: हर $x$ के लिए $f(x)f(-x) = 1$ , और विशेष रूप से $f(x) \neq 0$ ।

अब मान लीजिए $f_1, f_2$ दो हल हैं और $h = \dfrac{f_1}{f_2}$ है (यह वैध है क्योंकि $f_2$ कभी लुप्त नहीं होता)। तब

h' = \frac{f_1' f_2 - f_1 f_2'}{f_2^2} = \frac{f_1 f_2 - f_1 f_2}{f_2^2} = 0,

इसलिए $h$ अचर है और $h(0) = 1$ के बराबर, अर्थात् $f_1 = f_2$ ।

अस्तित्व इस स्तर पर स्वीकार कर लिया जाता है (उसे अभ्यास 20.10 के अनुक्रम से, या अध्याय 25 में समाकलन से बने लघुगणक के प्रतिलोम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है)। ∎

प्रतिज्ञप्ति 23.2 (फलनीय समीकरण)

सभी $x, y \in \R$ और $n \in \Z$ के लिए:

\eu^{x+y} = \eu^x\,\eu^y, \qquad \eu^{-x} = \frac{1}{\eu^x}, \qquad \eu^{x-y} = \frac{\eu^x}{\eu^y}, \qquad \bigl(\eu^{x}\bigr)^n = \eu^{nx}.

इसके अतिरिक्त सभी $x$ के लिए $\eu^x > 0$ ।

उपपत्ति. $y$ स्थिर रखिए और $\varphi(x) = \dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ पर विचार कीजिए। $x$ के फलनों के रूप में उसका अंश और हर दोनों अचर $\exp(y)$ तक $f' = f$ के हल हैं; $\varphi$ का सीधे अवकलन (भागफल के नियम से) $\varphi' = 0$ देता है, इसलिए $\varphi \equiv \varphi(0) = 1$ , जिससे पहली सर्वसमिका सिद्ध हो जाती है। $y = -x$ लेने पर दूसरी मिलती है (मान $\eu^0 = 1$ के साथ), और तीसरी उससे निकल आती है। चौथी $n \geq 0$ के लिए पहली से आगमन है, जिसे दूसरी की सहायता से $n < 0$ तक बढ़ा दिया जाता है।

धनात्मकता: $\eu^x = \left(\eu^{x/2}\right)^2 \geq 0$ और $\eu^x \neq 0$ (प्रमेय 23.1 में दिखाया गया), इसलिए $\eu^x > 0$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 23.3 (परिवर्तन और सीमाएँ)

चरघातांकी फलन निरंतर वर्धमान और उत्तल है, तथा

\lim_{x\to-\infty} \eu^x = 0, \qquad \lim_{x\to+\infty} \eu^x = +\infty .

उपपत्ति. $(\exp)' = \exp > 0$ से निरंतर वृद्धि मिलती है; $(\exp)'' = \exp > 0$ से उत्तलता। उत्तलता से $\eu^x \geq 1 + x$ ( $0$ पर स्पर्श रेखा, उदाहरण 22.15 देखिए), इसलिए तुलना से $x \to +\infty$ पर $\eu^x \to +\infty$ । फिर $x \to -\infty$ पर $\eu^{x} = 1/\eu^{-x} \to 0$ । ∎

चरघातांकी फलन: निरंतर वर्धमान, उत्तल, और _-∈fty x = 0 के साथ। वह 0 पर अपनी स्पर्श रेखा के ऊपर पड़ता है: x ≥ 1 + x। — चरघातांकी फलन: निरंतर वर्धमान, उत्तल, और $\lim_{-\infty} \eu^x = 0$ के साथ। वह $0$ पर अपनी स्पर्श रेखा के ऊपर पड़ता है: $\eu^x \geq 1 + x$ ।

प्रमेय 23.4 (वृद्धि की तुलना)

हर पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} x^n \eu^x = 0 .

शब्दों में: चरघातांकी फलन $x$ की हर घात को हरा देता है।

उपपत्ति. $n = 1$ के लिए: $t = x/2$ पर $\eu^t \geq 1 + t \geq t$ लगाने पर

\frac{\eu^x}{x} = \frac{\left(\eu^{x/2}\right)^2}{x} \geq \frac{(x/2)^2}{x} = \frac{x}{4} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty .

सामान्य $n$ के लिए लिखिए

\frac{\eu^x}{x^n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{\eu^{x/n}}{x/n}\right)^{n} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty

जो $n=1$ वाली स्थिति और संयोजन से निकलता है। $-\infty$ पर सीमा प्रतिस्थापन $x \mapsto -x$ से मिलती है: $\abs{x^n \eu^x} = \frac{\abs{x}^n}{\eu^{\abs x}} \to 0$ । ∎

चरघातांकी फलन (नीला) अंततः हर घात को हरा देता है: वह x2 (लाल) को जल्दी ही और x3 (नारंगी) को x 4.54 पर पीछे छोड़ देता है। — चरघातांकी फलन (नीला) अंततः हर घात को हरा देता है: वह $x^2$ (लाल) को जल्दी ही और $x^3$ (नारंगी) को $x \approx 4.54$ पर पीछे छोड़ देता है।

23.2 प्राकृत लघुगणक

परिभाषा 23.5 (प्राकृत लघुगणक)

चरघातांकी फलन $\R$ से $\intoo{0}{+\infty}$ पर संतत और निरंतर वर्धमान है; एकैकी आच्छादन प्रमेय (प्रमेय 21.15) से हर $y > 0$ के लिए समीकरण $\eu^x = y$ का अद्वितीय हल है। यही हल $y$ का प्राकृत लघुगणक है, जिसे $\ln y$ लिखते हैं। अतः

x \in \R,\ y > 0 \text{ के लिए}: \qquad y = \eu^x \iff x = \ln y .

विशेष रूप से $\ln 1 = 0$ , $\ln \eu = 1$ , तथा $\eu^{\ln y} = y$ , $\ln(\eu^x) = x$ ।

और के वक्र रेखा y = x में एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं: बिंदु (x, x) परावर्तित होकर ( x, x) बन जाता है। — $\exp$ और $\ln$ के वक्र रेखा $y = x$ में एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं: बिंदु $(x, \eu^x)$ परावर्तित होकर $(\eu^x, x)$ बन जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 23.6 (बीजगणितीय गुण)

सभी $a, b > 0$ और $n \in \Z$ के लिए:

\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{1}{a} = -\ln a, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^n) = n \ln a, \quad \ln\sqrt{a} = \tfrac12 \ln a .

उपपत्ति. $\eu^{\ln a + \ln b} = \eu^{\ln a}\eu^{\ln b} = ab$ , और दोनों पक्षों का $\ln$ लेने पर पहली सर्वसमिका मिल जाती है। शेष प्रतिज्ञप्ति 23.2 की संगत सर्वसमिकाओं से उसी तंत्र द्वारा निकलती हैं। ∎

प्रतिज्ञप्ति 23.7 (विश्लेषणात्मक गुण)

फलन $\ln$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर अवकलनीय है और

(\ln x)' = \frac{1}{x},

वह निरंतर वर्धमान और अवतल है, तथा $\lim\limits_{x\to0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln x = +\infty$ । इसके अतिरिक्त, हर पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए

\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^{1/n}} = 0, \qquad \lim_{x\to0^+} x \ln x = 0 .

उपपत्ति. प्रतिलोम फलन की अवकलनीयता इस स्तर पर स्वीकार कर ली जाती है; उसे मानकर सर्वसमिका $\eu^{\ln x} = x$ का शृंखला नियम से अवकलन कीजिए: $(\ln x)'\,\eu^{\ln x} = 1$ , इसलिए $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ , जिससे निरंतर वृद्धि मिलती है, और $(\ln x)'' = -\frac1{x^2} < 0$ , जिससे अवतलता। $0^+$ और $+\infty$ पर सीमाएँ एकैकी आच्छादन के आरपार $\exp$ की सीमाओं का दर्पण हैं। वृद्धि की तुलना के लिए $x = \eu^{t}$ प्रतिस्थापित कीजिए: प्रमेय 23.4 से $t \to +\infty$ पर $\frac{\ln x}{x} = \frac{t}{\eu^t} \to 0$ , और $x = \eu^{-t}$ के साथ उसी तरह शेष सीमाओं के लिए, जिससे $x\ln x = -t\eu^{-t} \to 0$ मिलता है। ∎

विधि 23.8 ( $\exp$ और $\ln$ वाले समीकरण हल करना)

दोनों फलन निरंतर वर्धमान हैं, इसलिए उन्हें किसी समीकरण या असमिका के दोनों पक्षों पर लगाया (या हटाया) जा सकता है और दिशा नहीं बदलती:

\eu^{u} = \eu^{v} \iff u = v, \qquad \eu^{u} \leq \eu^{v} \iff u \leq v,

और धनात्मक राशियों पर $\ln$ के लिए भी वैसे ही। प्रांत सदा पहले जाँचिए ( $\ln$ धनात्मक तर्क माँगता है)। $a>0$ , $a \neq 1$ वाले $a^x = b$ जैसे समीकरणों के लिए $a^x = \eu^{x\ln a}$ फिर से लिखिए और $x = \frac{\ln b}{\ln a}$ हल कीजिए।

उदाहरण 23.9

कोई रेडियोधर्मी प्रतिदर्श $N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t}$ के अनुसार क्षय होता है। उसकी अर्धायु $T$ $N(T) = N_0/2$ को संतुष्ट करती है, अर्थात् $\eu^{-\lambda T} = \frac12$ , इसलिए $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ : अर्धायु आरंभिक मात्रा पर निर्भर नहीं करती।

23.3 अभ्यास

अभ्यास 23.1 ★

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}}$ और $\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right)$ को सरल कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 23.1.

$\dfrac{\eu^{3x}\,\eu^{-x+1}}{\eu^{x}} = \eu^{3x - x + 1 - x} = \eu^{x+1}$ ।

$\ln\!\left(\dfrac{\eu^2\sqrt{\eu}}{\eu^{-3}}\right) = 2 + \tfrac12 + 3 = \tfrac{11}{2}$ ।

अभ्यास 23.2 ★

$\R$ में हल कीजिए:

\text{(a) } \eu^{2x} - 3\eu^{x} + 2 = 0; \qquad \text{(b) } \ln(x - 1) + \ln(x + 2) = \ln 4 .

हल

हल — अभ्यास 23.2.

(a) $X = \eu^x > 0$ रखिए: $X^2 - 3X + 2 = 0$ से $X = 1$ या $X = 2$ मिलता है, और दोनों धनात्मक हैं, इसलिए $x = 0$ या $x = \ln 2$ ।

(b) प्रांत: $x - 1 > 0$ और $x + 2 > 0$ , इसलिए $x > 1$ । समीकरण $\ln\bigl((x-1)(x+2)\bigr) = \ln 4$ बन जाता है, अतः $(x-1)(x+2) = 4$ , अर्थात् $x^2 + x - 6 = 0$ , इसलिए $x = 2$ या $x = -3$ । प्रांत में केवल $x = 2$ है: $S = \{2\}$ ।

अभ्यास 23.3 ★

सीमाएँ निकालिए:

\lim_{x\to+\infty} \frac{\eu^x - x^2}{\eu^x + 1}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x}, \qquad \lim_{x\to0^+} x^2 \ln x, \qquad \lim_{x\to+\infty} \bigl(x - \ln x\bigr).

हल

हल — अभ्यास 23.3.

$\eu^x$ से भाग दीजिए: $\dfrac{1 - x^2\eu^{-x}}{1 + \eu^{-x}} \to \dfrac{1-0}{1+0} = 1$ , जहाँ $x^2 \eu^{-x} \to 0$ (प्रमेय 23.4) का उपयोग हुआ है।

प्रतिज्ञप्ति 23.7 से $\dfrac{\ln x}{\sqrt x} \to 0$ (स्थिति $n = 2$ )।

$x^2 \ln x = x \cdot (x \ln x) \to 0 \times 0 = 0$ ।

$x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty$ , क्योंकि $\frac{\ln x}{x} \to 0$ ।

अभ्यास 23.4 ★★

$\R$ पर फलन $f(x) = x\,\eu^{-x}$ का अध्ययन कीजिए: परिवर्तन, सीमाएँ, चरम मान; और दिखाइए कि उसके वक्र का एक नति-परिवर्तन बिंदु है तथा उसके निर्देशांक बताइए।

हल

हल — अभ्यास 23.4.

$f'(x) = \eu^{-x} - x\eu^{-x} = (1 - x)\eu^{-x}$ , जिसका चिह्न $1 - x$ जैसा है: $f$ $\intoc{-\infty}{1}$ पर बढ़ता है और $\intco{1}{+\infty}$ पर घटता है, तथा उसका वैश्विक अधिकतम $f(1) = \eu^{-1}$ है।

सीमाएँ: $x \to +\infty$ पर $f(x) = \frac{x}{\eu^x} \to 0$ (प्रमेय 23.4); और $x \to -\infty$ पर $x \to -\infty$ तथा $\eu^{-x} \to +\infty$ , इसलिए $f(x) \to -\infty$ ।

$f''(x) = -\eu^{-x} - (1-x)\eu^{-x} = (x - 2)\eu^{-x}$ , जो $x = 2$ पर चिह्न बदलता है: $\bigl(2,\, 2\eu^{-2}\bigr)$ पर नति-परिवर्तन बिंदु।

अभ्यास 23.5 ★★

दिखाइए कि सभी $x > -1$ के लिए $\ln(1 + x) \leq x$ है, और समता केवल $x = 0$ पर। इससे निकालिए कि सभी $n \geq 1$ के लिए

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \eu \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} .

हल

हल — अभ्यास 23.5.

मान लीजिए $\intoo{-1}{+\infty}$ पर $g(x) = x - \ln(1+x)$ है। तब $g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$ , जो $\intoo{-1}{0}$ पर ऋणात्मक और $\intoo{0}{+\infty}$ पर धनात्मक है: $g$ अपना न्यूनतम $g(0) = 0$ पाता है, इसलिए $g \geq 0$ , और समता केवल $0$ पर। अतः $\ln(1+x) \leq x$ ।

इसे $x = \frac1n$ के साथ लगाइए: $n\ln\left(1 + \frac1n\right) \leq 1$ , इसलिए $\left(1+\frac1n\right)^n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu$ । और $x = -\frac{1}{n+1} > -1$ के साथ लगाइए: $\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \leq -\frac{1}{n+1}$ , इसलिए $-(n+1)\ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \geq 1$ तथा $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} \geq \eu$ ।

अभ्यास 23.6 ★★

कोई पूँजी $C_0$ वार्षिक दर $3\%$ पर लगाई जाती है, और ब्याज हर वर्ष जुड़ता है।

$n$ वर्षों बाद की पूँजी $C_n$ व्यक्त कीजिए।
कितने वर्षों में पूँजी दुगुनी हो जाती है? $\ln$ का उपयोग करके यथार्थ उत्तर, फिर संख्यात्मक मान बताइए।
बैंकर जिस सन्निकटन का उपयोग करते हैं — “ $70$ भाग दर प्रतिशत में” — उससे तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 23.6.

1. हर वर्ष पूँजी $1.03$ से गुणा हो जाती है: $C_n = C_0 (1.03)^n$ ।

2. $C_n \geq 2C_0 \iff (1.03)^n \geq 2 \iff n \ln 1.03 \geq \ln 2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.45$ : पूँजी $24$ वर्षों बाद दुगुनी हो जाती है।

3. $\frac{70}{3} \approx 23.3$ , जो यथार्थ $\frac{\ln 2}{\ln 1.03}$ के पास है। नियम इसलिए चलता है कि छोटे $r$ के लिए $\ln(1 + r) \approx r$ , इसलिए $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r} \approx \frac{70}{100r}$ ।

अभ्यास 23.7 ★★

असमिका $\eu^{2x} - \eu^{x+1} > 0$ हल कीजिए, फिर असमिका $\ln(x^2 - 1) \leq \ln(x + 5)$ ।

हल

हल — अभ्यास 23.7.

$\eu^{2x} > \eu^{x+1} \iff 2x > x + 1 \iff x > 1$ (चरघातांकी फलन निरंतर वर्धमान है): $S = \intoo{1}{+\infty}$ ।

दूसरी असमिका का प्रांत: $x^2 - 1 > 0$ और $x + 5 > 0$ , अर्थात् $x \in \intoo{-5}{-1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ । इस प्रांत पर $\ln$ के निरंतर वर्धमान होने से

\ln(x^2-1) \leq \ln(x+5) \iff x^2 - 1 \leq x + 5 \iff x^2 - x - 6 \leq 0 \iff x \in \intcc{-2}{3}.

प्रांत से प्रतिच्छेदन लेने पर: $S = \intco{-2}{-1} \cup \intoc{1}{3}$ ।

अभ्यास 23.8 ★★★

$x > 0$ के लिए मान लीजिए $f(x) = \dfrac{\eu^x}{x}$ है।

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $f$ के परिवर्तन का अध्ययन कीजिए और उसका न्यूनतम बताइए।
$k$ के किन मानों के लिए समीकरण $\eu^x = kx$ के $\intoo{0}{+\infty}$ में $0$ , $1$ या $2$ हल हैं?

हल

हल — अभ्यास 23.8.

1. $f'(x) = \dfrac{\eu^x x - \eu^x}{x^2} = \dfrac{(x-1)\eu^x}{x^2}$ , जो $\intoo{0}{1}$ पर ऋणात्मक और $\intoo{1}{+\infty}$ पर धनात्मक है: न्यूनतम $f(1) = \eu$ । सीमाएँ: $0^+$ पर $f \to +\infty$ (अंश $\to 1$ , हर $\to 0^+$ ) और $+\infty$ पर (प्रमेय 23.4)।

2. $x > 0$ के लिए $\eu^x = kx \iff f(x) = k$ । परिवर्तन-सारणी से ( $+\infty \searrow \eu \nearrow +\infty$ , और हर ओर संतत तथा निरंतर एकदिष्ट): $k < \eu$ के लिए कोई हल नहीं; $k = \eu$ के लिए ठीक एक ( $x = 1$ ); और $k > \eu$ के लिए ठीक दो (हर अंतराल पर एकैकी आच्छादन प्रमेय से एक $\intoo{0}{1}$ में और एक $\intoo{1}{+\infty}$ में)।

अभ्यास 23.9 ★★★

$n \geq 1$ के लिए मान लीजिए $u_n = \left(1 + \frac1n\right)^n$ है।

अभ्यास 23.5 का उपयोग करके दिखाइए कि $(u_n)$ ऊपर से $\eu$ द्वारा परिबद्ध है।
दिखाइए कि $\ln u_n = n \ln\left(1 + \frac1n\right) \to 1$ , और इससे $u_n \to \eu$ निकालिए। (संकेत: $1$ पर $\ln$ का कोई अंतर-भागफल पहचानिए।)

हल

हल — अभ्यास 23.9.

1. अभ्यास 23.5 की पहली असमिका से सीधे: $u_n = \eu^{\,n\ln(1+1/n)} \leq \eu^1 = \eu$ ।

2. लिखिए

\ln u_n = n \ln\!\left(1 + \frac1n\right) = \frac{\ln\!\left(1 + \frac1n\right) - \ln 1}{\frac1n},

जो $1$ बिंदु पर वृद्धि $h = \frac1n \to 0$ के साथ $\ln$ का अंतर-भागफल है। चूँकि $\ln$ $1$ पर अवकलनीय है और उसका अवकलज $1$ है, इसलिए $\ln u_n \to 1$ । और $\exp$ के सांतत्य से (प्रतिज्ञप्ति 21.12) $u_n = \eu^{\ln u_n} \to \eu^1 = \eu$ ।

23.4 समस्या: लघुगणक संसार को साध लेता है

समस्या 23.1

सप्ताहांत समस्या — दुगुना होने के समय और 72 का नियम, भूकंप, अम्ल तथा पियानो के मापक्रम, और अचर $\eu$ जो हर जगह अपने निशान छोड़ जाता है

जो कुछ भी नियत प्रतिशत से बढ़ता है वह चरघातांकी रूप से बढ़ता है — बचत, जीवाणु, महामारियाँ — और जो कुछ भी दस की इतनी घातों में फैला हो कि पकड़ में न आए — भूकंप की ऊर्जा, अम्लता, ध्वनि की तीव्रता — उसे लघुगणक साध लेता है। यह समस्या दुगुना होने के समय निकालती है और बैंकरों के 72 वाले नियम का पर्दाफ़ाश करती है, संसार के लघुगणकीय मापक्रम पढ़ती है, और वे निशान इकट्ठे करती है जो संख्या $\eu$ हर वारदात की जगह छोड़ आती है (प्रतिज्ञप्ति 23.2, प्रमेय 23.4, विधि 23.8)।

भाग I — प्रवाह।

हल कीजिए: $\eu^{2x} = 5$ ; $\ln(3x - 1) = 2$ ; $\eu^{2x} - 3\eu^x + 2 = 0$ (भेस बदला हुआ द्विघात)।
सरल कीजिए: $\dfrac{\ln 8}{\ln 2}$ ; $\ln\!\left(\eu^3 \sqrt{\eu}\right)$ ; $\eu^{\ln 5 - \ln 2}$ .
मूल असमिका सिद्ध कीजिए: सभी वास्तविक $x$ के लिए $\eu^x \geq 1 + x$ ( $f(x) = \eu^x - 1 - x$ का अध्ययन कीजिए), और $u > -1$ के लिए $\ln(1 + u) \leq u$ निकालिए।
$\lim_{x \to +\infty} x^2 \eu^{-x}$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (प्रमेय 23.4) और $\lim_{x \to 0} \frac{\eu^x - 1}{x}$ (कोई अवकलज पहचानिए) निकालिए।
$\intoo{0}{+\infty}$ पर $f(x) = x \ln x$ का अध्ययन कीजिए: परिवर्तन, न्यूनतम, और $0^+$ पर सीमा (स्वीकृत: $x \ln x \to 0$ )। यह छोटा-सा फलन स्नातक खंडों में सूचना और एन्ट्रॉपी नापता है।

भाग II — दुगुना होने के समय और 72 का नियम।

बचत प्रति वर्ष $3\,\%$ से बढ़ती है। $1.03^n = 2$ हल कीजिए: पूँजी दुगुनी होने में कितना समय लगता है?
बैंकर दुगुना होने का समय $\frac{72}{\text{\% में दर}}$ से आँकते हैं। इस नियम की जाँच $3\,\%$ , $6\,\%$ और $9\,\%$ पर यथार्थ $\frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$ के सामने कीजिए, फिर उसे समझाइए: छोटे $r$ के लिए $\ln(1 + r) \approx r$ (प्रश्न 3 की असमिका आधी कहानी है), इसलिए यथार्थ अचर $100 \ln 2 \approx 69.3$ है — तो बैंकर $72$ क्यों पसंद करते हैं?
कोई जीवाणु हर $20$ मिनट में विभाजित होता है: $p(t) = 2^{t/20}$ ( $t$ मिनट में)। उसे $\eu^{\lambda t}$ के रूप में फिर से लिखिए, फिर $24$ घंटों बाद $p$ निकालिए। उत्तर ( $10^{21}$ से भी अधिक) प्रतिरूप के बारे में क्या सिद्ध करता है — और असली उपनिवेशों को कौन रोकता है?
कैफ़ीन शरीर से लगभग $5$ घंटे की अर्धायु के साथ निकलता है। 15:00 बजे $100$ mg वाली कॉफ़ी पीने के बाद 23:00 बजे कितना बचता है? वह किस समय $10$ mg से नीचे गिर जाता है? (अनिद्रा का भी एक लघुगणक है।)
$100\,\%$ वार्षिक ब्याज पर एक यूरो: वार्षिक, मासिक और दैनिक चक्रवृद्धि के साथ वर्ष के अंत की पूँजी निकालिए, और वह छत बताइए जिसे अभ्यास 23.9 ने अटूट सिद्ध किया था। शुद्ध लोभ की सीमा कौन-सा प्रसिद्ध अचर है?
किसी महामारी के आरंभिक चरण में वैज्ञानिक समय के सामने $\ln(\text{स्थितियाँ})$ का आलेख क्यों खींचते हैं? उस आलेख पर सीधी रेखा क्या उजागर करती है, और उसकी प्रवणता क्या नापती है?

भाग III — संसार के लघुगणकीय मापक्रम। ( $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ लिखिए।)

डेसिबल में ध्वनि-स्तर: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ । बातचीत $60$ dB और कोई रॉक-संगीत समारोह $120$ dB नापता है: दोनों की ध्वनि-तीव्रताओं में कितने गुने का अंतर है?
भूकंपीय आयाम $10$ गुना होने पर भूकंप का परिमाण $1$ बढ़ जाता है, और मुक्त ऊर्जा आयाम $^{3/2}$ की तरह बढ़ती है। परिमाण- $5$ और परिमाण- $7$ के भूकंपों की तुलना कीजिए: पहले आयाम का अनुपात, फिर ऊर्जा का।
रसायन: $\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}]$ । नींबू के रस का pH $2$ है और दूध का pH $6.5$ : उनकी अम्ल-सांद्रताओं का अनुपात क्या है?
संगीत: हर सप्तक आवृत्ति को दुगुना कर देता है। पियानो के सबसे नीचे वाले A ( $27.5$ Hz) से सबसे ऊपर वाले C ( $4\,186$ Hz) तक कुंजी-पटल कितने सप्तक में फैला है? और हमारी इंद्रियाँ — श्रवण, दृष्टि, भूकंप का अनुभव — लघुगणकीय मापक्रम क्यों पसंद करती हैं? (एक वाक्य।)
गणक-पट्टी, जो $350$ वर्षों तक अभियंताओं का कैलकुलेटर रही: दो पट्टियाँ ऐसे अंकित कि चिह्न $x$ तक की लंबाई $\ln x$ के समानुपाती हो। समझाइए कि एक पट्टी को दूसरी पर सरकाने से संख्याएँ कैसे गुणा हो जाती हैं, और प्रतिज्ञप्ति 23.6 की वह सर्वसमिका बताइए जो यह काम करती है।

भाग IV — $\eu$ के निशान।

अभ्यास 23.8 से: समीकरण $\eu^x = kx$ ( $x > 0$ ) के $0$ , $1$ या $2$ हल होते हैं, जो $k$ की किसी सीमा के सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करता है। परिणाम फिर से बताइए — और उसके पीछे का ज्यामितीय तथ्य जाँचिए: रेखा $y = \eu x$ ठीक वही है जो मूल बिंदु से होकर चरघातांकी फलन को स्पर्श करती है।
“बस चूक गए” वाला अचर: जीतने की प्रायिकता $\frac1n$ वाले $n$ लॉटरी टिकटों के साथ $\P(\text{कोई जीत नहीं}) = \left(1 - \frac1n\right)^n$ । $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right)$ से (मानक सीमा $\frac{\ln(1 + u)}{u} \to 1$ का उपयोग करके) उसकी सीमा निकालिए, और समस्या 19.1 के रहस्यमय $0.368$ से मिलाइए।
$37\,\%$ का नियम: यादृच्छिक क्रम में साक्षात्कार किए जा रहे $n$ उम्मीदवारों में से सर्वोत्तम चुनने के लिए (लौटना मना है) इष्टतम रणनीति पहले $\frac{n}{\eu} \approx 37\,\%$ को अस्वीकार कर देती है और फिर पहले ऐसे उम्मीदवार को ले लेती है जो अब तक के सबसे अच्छे से भी अच्छा हो — और उसकी सफलता की प्रायिकता लगभग $\frac1\eu$ होती है। प्रश्न 18 और 19 के दोनों $\frac1\eu$ कहाँ से आते हैं — साझा तंत्र बताइए (अनेक स्वतंत्र, छोटी संभावना वाली घटनाएँ), और $\frac1\eu$ तीन दशमलव स्थानों तक निकालिए।
समापन — $\eu$ का चित्र: चक्रवृद्धि की छत (प्रश्न 10); वह आधार जिसकी $0$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ठीक $1$ है (प्रश्न 3 और 4); वह वृद्धि जिसे कोई बहुपद नहीं पकड़ पाता (प्रश्न 4); “बस चूक गए” और इष्टतम ठहराव का अचर (प्रश्न 18–19); और उसका प्रतिलोम $\ln$ , जो गुणनफलों को योगों में (प्रश्न 16) और दशकों को इंचों में (भाग III) बदल देता है। हर एक पर एक वाक्य।

हल

हल — समस्या 23.1.

1. $x = \frac{\ln 5}{2}$ . $3x - 1 = \eu^2$ : $x = \frac{\eu^2 + 1}{3}$ . $u = \eu^x$ के साथ: $u^2 - 3u + 2 = (u - 1)(u - 2) = 0$ : $x = 0$ या $x = \ln 2$ ।

2. $\frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$ ; $3 + \frac12 = \frac72$ ; $\frac52$ ।

3. $f'(x) = \eu^x - 1$ : $0$ से पहले ऋणात्मक, बाद में धनात्मक: न्यूनतम $f(0) = 0$ , इसलिए हर जगह $f \geq 0$ : $\eu^x \geq 1 + x$ । $x = \ln(1 + u)$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 + u \geq 1 + \ln(1 + u)$ , अर्थात् $\ln(1 + u) \leq u$ ।

4. $x^2\eu^{-x} = \frac{x^2}{\eu^x} \to 0$ और $\frac{\ln x}{x} \to 0$ : चरघातांकी फलन घातों को कुचल देता है, और घातें लघुगणकों को। और $\frac{\eu^x - 1}{x} = \frac{\eu^x - \eu^0}{x - 0} \to \exp'(0) = 1$ ।

5. $f'(x) = \ln x + 1$ : $\eu^{-1}$ पर शून्य, उससे पहले ऋणात्मक, बाद में धनात्मक: न्यूनतम $f\!\left(\frac1\eu\right) = -\frac1\eu$ ; और $0^+$ पर $x \ln x \to 0$ : वक्र मूल बिंदु से निकलता है, $-\frac1\eu$ तक डुबकी लगाता है, और फिर चढ़ जाता है।

6. $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4$ वर्ष।

7. यथार्थ: $23.4$ , $11.9$ , $8.0$ वर्ष; 72 का नियम: $24$ , $12$ , $8$ । चूँकि $\ln(1+r) \approx r$ , इसलिए $\frac{\ln 2}{\ln(1+r)} \approx \frac{0.693}{r}$ , अर्थात् $\frac{69.3}{\text{\% में दर}}$ ; बैंकर $72$ तक पूर्णांकित कर लेते हैं क्योंकि वह $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ से बहुत सुंदर तरह से बँट जाता है — मौखिक गणित एक दशमलव की यथार्थता से बाज़ी मार ले जाता है।

8. $2^{t/20} = \eu^{t \ln 2 / 20}$ : प्रति मिनट $\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ । $24 \times 60 = 1440$ मिनट बाद: $2^{72} \approx 4.7 \times 10^{21}$ जीवाणु — यानी एक ही दिन में एक कोशिका से पृथ्वी की रेत के कणों से भी अधिक। यह प्रतिरूप तभी तक ईमानदार है जब तक भोजन और जगह हैं: असली वृद्धि मुड़कर लॉजिस्टिक S-वक्र बन जाती है (समस्या 22.1 का महामारी-विज्ञानी वाला वक्र)।

9. 23:00 बजे ( $8$ घंटे): $100 \times 2^{-8/5} \approx 33$ mg। $10$ mg से नीचे: $2^{-t/5} < 0.1$ से $t > 5\,\frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 16.6$ घंटे मिलते हैं: यानी अगली सुबह लगभग 7:40 — तीन बजे की एस्प्रेसो की पूँछ लंबी होती है।

10. वार्षिक: $2$ । मासिक: $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613$ । दैनिक: $\approx 2.715$ । छत: $\eu = 2.71828\ldots$ (अभ्यास 23.9) — लगातार चक्रवृद्धि पर लोभ अभिसरित हो जाता है।

11. यदि रोगी चरघातांकी रूप से बढ़ें, $c(t) = c_0 \eu^{\lambda t}$ , तो $\ln c(t) = \ln c_0 + \lambda t$ : प्रवणता $\lambda$ वाली सीधी रेखा — यानी वृद्धि-दर। लघुगणकीय आलेख पर सीधा हिस्सा चरघातांकी चरण ही है, और उसकी तीखी ढाल महामारी की लय है।

12. $120 - 60 = 60$ dB का अर्थ है $10\log_{10}(I_2/I_1) = 60$ : समारोह बातचीत से $10^6$ — यानी दस लाख गुना — अधिक तीव्र है।

13. आयाम: $10^{7-5} = 100$ । ऊर्जा: $100^{3/2} = 1000$ : परिमाण के दो अंक ऊर्जा में तीन कोटियाँ छिपाए बैठे हैं।

14. $10^{6.5 - 2} = 10^{4.5} \approx 32\,000$ : नींबू का रस दूध से तीस हज़ार गुना अधिक अम्लीय है — pH रसायन की खाइयों को जेब में समा जाने वाले मापक्रम में दबा देता है।

15. $\log_2\!\frac{4186}{27.5} = \frac{\ln(4186/27.5)}{\ln 2} \approx 7.25$ : पियानो सात सप्तक से ज़रा ही अधिक में फैला है। इंद्रियाँ उद्दीपनों के अनुपात पर प्रतिक्रिया करती हैं — तीव्रता दुगुनी होना एक क़दम जैसा लगता है, चाहे शुरुआत कहीं से भी हो — इसलिए बोध लघुगणकीय मापक्रम पर बना है, और उसके लिए गढ़े गए मात्रक भी।

16. $a$ वाली पट्टी को $b$ की स्थिति वाली पट्टी से सिरा-से-सिरा जोड़ने पर लंबाइयाँ $\ln a + \ln b$ जुड़ जाती हैं, और उस कुल लंबाई पर बैठा अंकन $\eu^{\ln a + \ln b} = ab$ पढ़ता है: गणक-पट्टी लघुगणक जोड़कर गुणनफल निकाल देती है — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ (प्रतिज्ञप्ति 23.6) जो लकड़ी में उकेरा गया है।

17. $\intoo{0}{+\infty}$ पर $\frac{\eu^x}{x}$ का न्यूनतम $x = 1$ पर $\eu$ है: $k < \eu$ के लिए कोई हल नहीं, $k = \eu$ के लिए ठीक एक, $k > \eu$ के लिए दो। स्पर्श रेखा से जाँच: $a = 1$ पर $\eu^x$ की स्पर्श रेखा $y = \eu + \eu(x - 1) = \eu x$ है: वह मूल बिंदु से होकर जाती है — वही सीमा-रेखा, जो $(1, \eu)$ पर वक्र को छूकर निकल जाती है।

18. $n \ln\!\left(1 - \frac1n\right) = \frac{\ln(1 - 1/n)}{-1/n} \times (-1) \to -1$ , इसलिए $\left(1 - \frac1n\right)^n \to \eu^{-1} \approx 0.368$ : समस्या 19.1 का $0.999^{1000} \approx 0.368$ , समझाया हुआ — लॉटरी का “बस चूक गए” वाला अचर $\frac1\eu$ है।

19. दोनों “अनेक स्वतंत्र घटनाएँ, और हर एक अकेले में असंभाव्य” की सीमांत आकृति हैं: आकार $\frac1n$ की $n$ संभावनाओं में से एक भी न चलने की संभावना $\eu^{-1}$ की ओर जाती है, और सचिव वाला नियम अपनी अस्वीकार-खिड़की इस तरह सुर में बाँधता है कि सफलता उसी अचर पर सिमट आए। $\frac1\eu \approx 0.368$ ।

20. चक्रवृद्धि की छत; वह अकेला आधार जिसकी $0$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $1$ है (और इसीलिए कलन उसे इतना चाहता है); वह वृद्धि जो हर घात से आगे निकल जाती है; वह अचर जहाँ “बस चूक गए” और इष्टतम ठहराव आ बैठते हैं; और लघुगणक — गुणा जो जोड़ बन गया, और संसार के सबसे जंगली परिसर जो एक पटरी पर मोड़ दिए गए।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

प्राकृत लघुगणक

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