Mathematics · किताब 2 · Grades 10–12

उच्च माध्यमिक गणित

उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

24त्रिकोणमितीय फलन

फलन cos⁡\cos और sin⁡\sin वृत्त की ज्यामिति को विश्लेषण में बदल देते हैं। वास्तविक रेखा को इकाई वृत्त पर लपेटकर परिभाषित ये फलन आवर्ती फलनों के आदिरूप हैं, और उनके अवकलज उन्हें दोलन के समीकरण y′′=−yy'' = -y का हल बना देते हैं।

24.1 इकाई वृत्त

परिभाषा 24.1 (कोज्या और ज्या)

मान लीजिए C\mathcal{C} किसी लंबकोणिक निर्देशांक-पद्धति के मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। हर वास्तविक tt के साथ वह बिंदु M(t)M(t) जोड़िए जो बिंदु I(1,0)I(1,0) से C\mathcal{C} के अनुदिश लंबाई ∣t∣\abs{t} लपेटने पर मिलता है — t≥0t \geq 0 होने पर वामावर्त और अन्यथा दक्षिणावर्त। तब cos⁡t\cos t और sin⁡t\sin t M(t)M(t) के निर्देशांक हैं:

M(t)=(cos⁡t,sin⁡t).M(t) = (\cos t, \sin t).

चूँकि वृत्त की परिधि 2π2\pi है, इसलिए tt के 2π2\pi बढ़ने पर बिंदु M(t)M(t) वही रहता है; और चूँकि M(t)M(t) इकाई वृत्त पर है:

प्रतिज्ञप्ति 24.2 (मूलभूत सर्वसमिकाएँ)

सभी t∈Rt \in \R और k∈Zk \in \Z के लिए:

cos⁡2t+sin⁡2t=1,cos⁡(t+2kπ)=cos⁡t,sin⁡(t+2kπ)=sin⁡t,\cos^2 t + \sin^2 t = 1, \qquad \cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t,
cos⁡(−t)=cos⁡t,sin⁡(−t)=−sin⁡t,\cos(-t) = \cos t, \qquad \sin(-t) = -\sin t,
cos⁡(π−t)=−cos⁡t,sin⁡(π−t)=sin⁡t,cos⁡(π2−t)=sin⁡t,sin⁡(π2−t)=cos⁡t.\cos(\pi - t) = -\cos t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) = \cos t .

उपपत्ति. पहली सर्वसमिका इकाई वृत्त का समीकरण है; शेष वृत्त की सममितियाँ व्यक्त करती हैं: M(−t)M(-t) xx-अक्ष में M(t)M(t) का परावर्तन है, M(π−t)M(\pi - t) yy-अक्ष में, और M(π2−t)M(\frac\pi2 - t) रेखा y=xy = x में। ∎

कंठस्थ रखने योग्य मान:

tt00π6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}
[6pt] cos⁡t\cos t1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
[6pt] sin⁡t\sin t0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11

प्रतिज्ञप्ति 24.3 (योग सूत्र)

सभी a,b∈Ra, b \in \R के लिए:

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\begin{align*} \cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, & \sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{align*}

विशेष रूप से cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a और sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2 \sin a \cos a।

उपपत्ति. सदिश u→=(cos⁡a,sin⁡a)\vect{u} = (\cos a, \sin a) और v→=(cos⁡b,sin⁡b)\vect{v} = (\cos b, \sin b) इकाई सदिश हैं जो a−ba - b का कोण बनाते हैं; उनका अदिश गुणनफल cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos a\cos b + \sin a \sin b (निर्देशांकों से) और ∥u→∥ ∥v→∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\norm{\vect u}\,\norm{\vect v}\cos(a-b) = \cos(a - b) (ज्यामिति से) दोनों के बराबर है, और यही तीसरा सूत्र है। bb के स्थान पर −b-b रखने पर पहला मिलता है; ज्या वाले सूत्र sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac\pi2 - x) की सहायता से निकलते हैं। द्विकोण सूत्र b=ab = a वाली स्थिति को cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1 के साथ मिलाने से मिलते हैं। ∎

24.2 विश्लेषणात्मक अध्ययन

प्रमेयिका 24.4 (मूलभूत सीमा)

lim⁡t→0sin⁡tt=1औरlim⁡t→0cos⁡t−1t=0.\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \qquad\text{और}\qquad \lim_{t \to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0 .

उपपत्ति. 0<t<π20 < t < \frac{\pi}{2} के लिए इकाई वृत्त में तीन क्षेत्रफलों की तुलना कीजिए: त्रिभुज OIM(t)OIM(t), त्रिज्यखंड OIM(t)OIM(t), और आधार OIOI तथा ऊँचाई tan⁡t\tan t वाला समकोण त्रिभुज:

sin⁡t2≤t2≤tan⁡t2.\frac{\sin t}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\tan t}{2}.
तीन एक-दूसरे में समाए क्षेत्रफल: त्रिभुज OIM (नीला, क्षेत्रफल t/2), त्रिज्यखंड (लाल चाप से घिरा, क्षेत्रफल t/2), और ऊँचाई t वाला समकोण त्रिभुज (नारंगी, क्षेत्रफल t/2)।
तीन एक-दूसरे में समाए क्षेत्रफल: त्रिभुज OIMOIM (नीला, क्षेत्रफल sin⁡t2\frac{\sin t}{2}), त्रिज्यखंड (लाल चाप से घिरा, क्षेत्रफल t2\frac{t}{2}), और ऊँचाई tan⁡t\tan t वाला समकोण त्रिभुज (नारंगी, क्षेत्रफल tan⁡t2\frac{\tan t}{2})।

पहली असमिका से sin⁡tt≤1\frac{\sin t}{t} \leq 1 मिलता है; दूसरी से cos⁡t≤sin⁡tt\cos t \leq \frac{\sin t}{t}। t→0+t \to 0^+ पर cos⁡t→1\cos t \to 1 (सांतत्य से), और संपीडन प्रमेय sin⁡tt→1\frac{\sin t}{t} \to 1 दे देती है; सम-विषमता इसे t→0t \to 0 तक बढ़ा देती है। दूसरी सीमा के लिए

cos⁡t−1t=cos⁡2t−1t(cos⁡t+1)=−sin⁡tt⋅sin⁡tcos⁡t+1→t→0−1⋅02=0.\frac{\cos t - 1}{t} = \frac{\cos^2 t - 1}{t(\cos t + 1)} = -\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{\sin t}{\cos t + 1} \xrightarrow[t\to0]{} -1 \cdot \frac{0}{2} = 0. \qedhere

∎

प्रमेय 24.5 (ज्या और कोज्या के अवकलज)

फलन sin⁡\sin और cos⁡\cos R\R पर अवकलनीय हैं, और

(sin⁡)′=cos⁡,(cos⁡)′=−sin⁡.(\sin)' = \cos, \qquad (\cos)' = -\sin .

अधिक सामान्य रूप से, (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b) और (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)।

उपपत्ति. योग सूत्रों से

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x cos⁡h−1h+cos⁡x sin⁡hh→h→0sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x,\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x\,\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h} \xrightarrow[h\to0]{} \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x,

जहाँ प्रमेयिका 24.4 का उपयोग हुआ है। cos⁡\cos के लिए गणना ठीक वैसी ही है, और सामान्य रूप शृंखला नियम से निकलता है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 24.6 (परिवर्तन)

[0, π]\intcc{0}{\pi} पर cos⁡\cos 11 से −1-1 तक घटता है। [−π2, π2]\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2} पर sin⁡\sin −1-1 से 11 तक बढ़ता है। दोनों फलन 2π2\pi-आवर्ती हैं और उनका परिसर [−1, 1]\intcc{-1}{1} है; cos⁡\cos सम है और sin⁡\sin विषम।

उपपत्ति. (0, π)\intoo{0}{\pi} पर (cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0, क्योंकि वहाँ बिंदु M(t)M(t) की कोटि धनात्मक है; इसी तरह (−π2, π2)\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2} पर (sin⁡)′=cos⁡>0(\sin)' = \cos > 0। आवर्तिता और सम-विषमता प्रतिज्ञप्ति 24.2 से आती हैं। ∎

(नीला) और (लाल) के वक्र।
cos⁡\cos (नीला) और sin⁡\sin (लाल) के वक्र।

विधि 24.7 (cos⁡x=a\cos x = a और sin⁡x=a\sin x = a हल करना)

a∈[−1, 1]a \in \intcc{-1}{1} के लिए कोई एक विशेष हल α\alpha ज्ञात कीजिए (मानों की सारणी या कैलकुलेटर से)। तब सभी हल ये हैं:

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ या x=−α+2kπ,k∈Z;\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ या } x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z;
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ या x=π−α+2kπ,k∈Z.\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ या } x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \Z.

असमिकाओं के लिए इकाई वृत्त पर हल वाले चाप ढूँढ़िए और एक आवर्तकाल के भीतर के अंतराल पढ़ लीजिए।

उदाहरण 24.8

(−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में cos⁡x=12\cos x = \frac12 हल कीजिए: एक विशेष हल π3\frac\pi3 है, इसलिए हल x=π3x = \frac\pi3 और x=−π3x = -\frac\pi3 हैं। पूरे R\R में: x=±π3+2kπx = \pm\frac\pi3 + 2k\pi, k∈Zk \in \Z।

24.3 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

प्रतिज्ञप्ति 24.2 की सर्वसमिकाओं का उपयोग करके cos⁡2π3\cos\frac{2\pi}{3}, sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}, cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4} और sin⁡(−π3)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

cos⁡2π3=cos⁡(π−π3)=−cos⁡π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12।

sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12।

cos⁡7π4=cos⁡(2π−π4)=cos⁡(−π4)=22\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}।

sin⁡(−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}।

अभ्यास 24.2 ★

f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^2 x, g(x)=cos⁡(3x)+xsin⁡xg(x) = \cos(3x) + x\sin x और h(x)=sin⁡x2+cos⁡xh(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x} का अवकलन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.2.

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2xf'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x (शृंखला नियम)।

g′(x)=−3sin⁡(3x)+sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = -3\sin(3x) + \sin x + x\cos x (शृंखला और गुणनफल के नियम)।

भागफल का नियम:

h′(x)=cos⁡x (2+cos⁡x)−sin⁡x (−sin⁡x)(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2.h'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) - \sin x\,(-\sin x)}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2+\cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^2}.

अभ्यास 24.3 ★

(−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में, फिर R\R में हल कीजिए:

(a) sin⁡x=32;(b) cos⁡(2x)=22.\text{(a) } \sin x = \frac{\sqrt3}{2}; \qquad \text{(b) } \cos\left(2x\right) = \frac{\sqrt2}{2} .
हल

हल — अभ्यास 24.3.

(a) sin⁡x=32\sin x = \frac{\sqrt3}{2} का एक विशेष हल π3\frac\pi3 है। व्यापक हल: x=π3+2kπx = \frac\pi3 + 2k\pi या x=π−π3+2kπ=2π3+2kπx = \pi - \frac\pi3 + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi। (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में: x∈{π3,2π3}x \in \left\{\frac\pi3, \frac{2\pi}{3}\right\}।

(b) cos⁡2x=22=cos⁡π4\cos 2x = \frac{\sqrt2}{2} = \cos\frac\pi4 से 2x=±π4+2kπ2x = \pm\frac\pi4 + 2k\pi मिलता है, इसलिए x=±π8+kπx = \pm\frac\pi8 + k\pi। (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में: x∈{−7π8,−π8,π8,7π8}x \in \left\{-\frac{7\pi}{8}, -\frac\pi8, \frac\pi8, \frac{7\pi}{8}\right\}।

अभ्यास 24.4 ★★

योग सूत्रों का उपयोग करके cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} और sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12} के यथार्थ मान निकालिए। (संकेत: π12=π3−π4\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}।)

हल

हल — अभ्यास 24.4.

a=π3a = \frac\pi3, b=π4b = \frac\pi4 के साथ:

cos⁡π12=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=12⋅22+32⋅22=2+64,\cos\frac{\pi}{12} = \cos a\cos b + \sin a \sin b = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4},
sin⁡π12=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=32⋅22−12⋅22=6−24.\sin\frac{\pi}{12} = \sin a\cos b - \cos a \sin b = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

अभ्यास 24.5 ★★

[0, 2π]\intcc{0}{2\pi} में असमिका 2sin⁡2x−sin⁡x−1≥02\sin^2 x - \sin x - 1 \geq 0 हल कीजिए। (संकेत: sin⁡x\sin x में द्विघात का गुणनखंडन कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 24.5.

s=sin⁡xs = \sin x रखिए: 2s2−s−1=(2s+1)(s−1)≥02s^2 - s - 1 = (2s + 1)(s - 1) \geq 0 ठीक तब जब s≤−12s \leq -\frac12 या s=1s = 1 हो।

sin⁡x=1\sin x = 1 से x=π2x = \frac\pi2 मिलता है। sin⁡x≤−12\sin x \leq -\frac12: इकाई वृत्त पर क्षैतिज रेखा y=−12y = -\frac12 के नीचे का चाप, जो [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} में x∈[7π6, 11π6]x \in \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} है। अतः

S={π2}∪[7π6, 11π6].S = \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \intcc{\frac{7\pi}{6}}{\frac{11\pi}{6}} .

अभ्यास 24.6 ★★

सीमाएँ निकालिए:

lim⁡x→0sin⁡3xx,lim⁡x→01−cos⁡xx2,lim⁡x→+∞xsin⁡1x.\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{x}, \qquad \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} x \sin\frac{1}{x}.
हल

हल — अभ्यास 24.6.

sin⁡3xx=3 sin⁡3x3x→3⋅1=3\dfrac{\sin 3x}{x} = 3\,\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3 (u=3x→0u = 3x \to 0 के साथ संयोजन)।

1−cos⁡x=sin⁡2x1+cos⁡x1 - \cos x = \dfrac{\sin^2 x}{1 + \cos x} का उपयोग करने पर:

1−cos⁡xx2=(sin⁡xx) ⁣211+cos⁡x→x→01⋅12=12.\frac{1 - \cos x}{x^2} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\!2} \frac{1}{1 + \cos x} \xrightarrow[x\to0]{} 1 \cdot \frac12 = \frac12 .

u=1x→0+u = \frac1x \to 0^+ प्रतिस्थापित करने पर: xsin⁡1x=sin⁡uu→1x \sin\frac1x = \frac{\sin u}{u} \to 1।

अभ्यास 24.7 ★★

[0, 2π]\intcc{0}{2\pi} पर फलन f(x)=x+cos⁡xf(x) = x + \cos x का अध्ययन कीजिए: परिवर्तन और चरम मान। दिखाइए कि ff R\R पर वर्धमान है, यद्यपि f′f' अनंत बिंदुओं पर लुप्त होता है।

हल

हल — अभ्यास 24.7.

सभी xx के लिए f′(x)=1−sin⁡x≥0f'(x) = 1 - \sin x \geq 0, और समता ठीक तब जब sin⁡x=1\sin x = 1 हो, अर्थात् x=π2+2kπx = \frac\pi2 + 2k\pi। [0, 2π]\intcc{0}{2\pi} पर ff f(0)=1f(0) = 1 से f(2π)=2π+1f(2\pi) = 2\pi + 1 तक बढ़ता है (π2\frac{\pi}{2} पर f′f' का शून्य अलग-थलग है, इसलिए वृद्धि निरंतर भी है); न्यूनतम 00 पर 11, अधिकतम 2π2\pi पर 2π+12\pi + 1। R\R पर हर जगह f′≥0f' \geq 0 है और शून्य केवल अलग-थलग बिंदुओं पर, इसलिए प्रमेय 22.7 से ff (निरंतर) वर्धमान है, यद्यपि f′f' हर π2+2kπ\frac\pi2 + 2k\pi पर लुप्त हो जाता है।

अभ्यास 24.8 ★★★

मान लीजिए (A,B)≠(0,0)(A,B) \neq (0,0) के साथ f(x)=Acos⁡x+Bsin⁡xf(x) = A\cos x + B \sin x है।

  1. दिखाइए कि ff को R=A2+B2R = \sqrt{A^2 + B^2} और किसी उपयुक्त φ\varphi के साथ f(x)=Rcos⁡(x−φ)f(x) = R\cos(x - \varphi) लिखा जा सकता है।
  2. ff के अधिकतम और न्यूनतम निकालिए, और (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1 हल कीजिए।
हल

हल — अभ्यास 24.8.

1. मान लीजिए R=A2+B2>0R = \sqrt{A^2 + B^2} > 0 है। बिंदु (AR,BR)\left(\frac AR, \frac BR\right) इकाई वृत्त पर है, इसलिए ऐसा φ\varphi है कि cos⁡φ=AR\cos\varphi = \frac AR और sin⁡φ=BR\sin\varphi = \frac BR हों। तब

Rcos⁡(x−φ)=R(cos⁡xcos⁡φ+sin⁡xsin⁡φ)=Acos⁡x+Bsin⁡x=f(x).R\cos(x - \varphi) = R\bigl(\cos x\cos\varphi + \sin x \sin\varphi\bigr) = A\cos x + B\sin x = f(x).

2. चूँकि cos⁡\cos का परिसर [−1, 1]\intcc{-1}{1} है, इसलिए ff का अधिकतम RR और न्यूनतम −R-R है। cos⁡x+sin⁡x\cos x + \sin x के लिए: A=B=1A = B = 1, R=2R = \sqrt2, φ=π4\varphi = \frac\pi4, इसलिए समीकरण 2cos⁡(x−π4)=1\sqrt2\cos\left(x - \frac\pi4\right) = 1 बन जाता है, अर्थात् cos⁡(x−π4)=22\cos\left(x - \frac\pi4\right) = \frac{\sqrt2}{2}, जिससे x−π4=±π4+2kπx - \frac\pi4 = \pm\frac\pi4 + 2k\pi मिलता है: (−π, π]\intoc{-\pi}{\pi} में x∈{0,π2}x \in \left\{0, \frac\pi2\right\}।

अभ्यास 24.9 ★★★

दिखाइए कि sin⁡\sin और cos⁡\cos दोनों अवकल समीकरण y′′=−yy'' = -y को संतुष्ट करते हैं। इसके उलट, मान लीजिए yy y(0)=ay(0) = a और y′(0)=by'(0) = b वाला y′′=−yy'' = -y का कोई हल है; दिखाइए कि y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin। (संकेत: g=(y−acos⁡−bsin⁡)g = (y - a\cos - b\sin) और “ऊर्जा” E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2 पर विचार कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 24.9.

(sin⁡)′′=(cos⁡)′=−sin⁡(\sin)'' = (\cos)' = -\sin और (cos⁡)′′=(−sin⁡)′=−cos⁡(\cos)'' = (-\sin)' = -\cos: दोनों y′′=−yy'' = -y को हल करते हैं।

मान लीजिए g=y−acos⁡−bsin⁡g = y - a\cos - b\sin है। तब g′′=−gg'' = -g (अवकलन की रैखिकता), g(0)=y(0)−a=0g(0) = y(0) - a = 0 और g′(0)=y′(0)−b=0g'(0) = y'(0) - b = 0। E=g2+(g′)2E = g^2 + (g')^2 रखिए। तब

E′=2gg′+2g′g′′=2gg′−2g′g=0,E' = 2g g' + 2g' g'' = 2g g' - 2g' g = 0,

इसलिए EE अचर है और E(0)=0E(0) = 0 के बराबर। दो वर्गों का योग सर्वत्र लुप्त होने से g=0g = 0 अनिवार्य हो जाता है, अतः y=acos⁡+bsin⁡y = a\cos + b\sin।

24.4 समस्या: लोलक का रहस्य

समस्या 24.1

सप्ताहांत समस्या — एक ज्यामितीय सीमा ज्या और कोज्या के अवकलज चलाती है, और उन्हीं से सारा दोलन: स्प्रिंग, लोलक, विस्पंद, और वह मीटर जो बनते-बनते रह गया

जितनी भी घड़ियाँ कभी टिक-टिक कर पाईं और जितने भी तार कभी बजे, सब एक ही गणित मानते हैं: विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल, अतः समीकरण y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y, अतः कोज्याएँ। इस सबकी जड़ में एक भोली-सी दिखने वाली सीमा बैठी है, sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 — जिसका वादा कक्षा 9 में हुआ था, जिसका उपयोग प्रमेय 24.5 ने किया, और जिसकी उपपत्ति यहाँ एक चित्र से मिलती है। यह समस्या उसी सीमा से चढ़कर एक मीटर के लोलक के झूले तक जाती है, और बताती है कि मीटर बाल-बाल उससे परिभाषित होने से क्यों बच गया।

भाग I — मूलभूत सीमा।

  1. संख्याओं से तैयारी: x=0.1x = 0.1 और x=0.01x = 0.01 के लिए sin⁡xx\frac{\sin x}{x} निकालिए (रेडियन में!)।
  2. 0<x<π20 < x < \frac\pi2 के साथ इकाई वृत्त पर सैंडविच: प्रारंभिक ज्यामिति से इन क्षेत्रफलों को व्यक्त कीजिए: (क) शीर्षों OO, A(1,0)A(1,0) और वृत्त-बिंदु M(cos⁡x,sin⁡x)M(\cos x, \sin x) वाला त्रिभुज; (ख) त्रिज्यखंड OAMOAM; (ग) समकोण त्रिभुज OATOAT, जहाँ T(1,tan⁡x)T(1, \tan x)।
  3. क्षेत्रफलों के सैंडविच से sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x निकालिए, फिर cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, और संपीडन प्रमेय से निष्कर्ष निकालिए कि lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 (सम-विषमता x<0x < 0 सँभाल लेती है)।
  4. lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac12 निकालिए (संयुग्मी से गुणा कीजिए)।
  5. समझाइए कि यही सीमा प्रमेय 24.5 का इंजन क्यों है (sin⁡′(0)\sin'(0) क्या है?), और यह भी कि वह एक पुराना क़र्ज़ कैसे चुका देती है: किस अर्थ में रेडियन ही कोण का वह अकेला मात्रक है जिसके लिए sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos बिना किसी अचर के सही रहता है?

भाग II — सरल आवर्त गति।

  1. शृंखला नियम से जाँचिए कि y(t)=Rcos⁡(ωt−φ)y(t) = R\cos(\omega t - \varphi) y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y को संतुष्ट करता है।
  2. स्प्रिंग पर लटका द्रव्यमान y′′=−4yy'' = -4y मानता है, जहाँ y(0)=3y(0) = 3 और y′(0)=8y'(0) = 8 हैं। यह स्वीकार करते हुए (अभ्यास 24.9 से) कि सभी हल Acos⁡2t+Bsin⁡2tA\cos 2t + B\sin 2t के रूप के हैं, AA और BB ज्ञात कीजिए।
  3. हल को Rcos⁡(2t−φ)R\cos(2t - \varphi) (अभ्यास 24.8) के रूप में फिर से लिखिए: आयाम RR, आवर्तकाल, और कला φ\varphi बताइए (तीन दशमलव स्थान)।
  4. द्रव्यमान पहली बार साम्य स्थिति y=0y = 0 से किस समय गुज़रता है?
  5. लोलक: लंबाई LL की डोरी पर लटका गोलक ठीक-ठीक θ′′=−gLsin⁡θ\theta'' = -\frac gL \sin\theta मानता है — जो प्रारंभिक फलनों से हल नहीं होता। छोटे झूलों के लिए sin⁡θ\sin\theta के स्थान पर θ\theta रखिए (भाग I उसे उचित ठहराता है!) और आवर्तकाल T=2πLgT = 2\pi\sqrt{\frac Lg} निकालिए। L=1L = 1 m (g=9.81g = 9.81) के लिए TT निकालिए: गैलीलियो की प्रसिद्ध खोज — यह सूत्र किस पर निर्भर नहीं करता?
  6. सेकंड-लोलक: कौन-सी लंबाई ठीक T=2T = 2 s देती है? 1791 की विज्ञान अकादमी मीटर को परिभाषित करने के लिए इस लंबाई और चतुर्थांश-याम्योत्तर के एक करोड़वें भाग के बीच झिझक रही थी — दोनों दावेदारों में कितने मिलीमीटर का अंतर है?

भाग III — योग सूत्र काम पर।

  1. योग सूत्रों (प्रतिज्ञप्ति 24.3) से दिखाइए कि cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = -\sin x और sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x: वृत्तीय अवकलन एक चौथाई चक्कर है — प्रमेय 24.5 के साथ संगति जाँचिए।
  2. गुणनफल-से-योग वाली सर्वसमिका cos⁡acos⁡b=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos a \cos b = \frac12\left(\cos(a - b) + \cos(a + b)\right) और रैखिकीकरण cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} निकालिए (समाकलन वाला अध्याय आपका आभारी होगा)।
  3. विस्पंद: sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin\frac{p + q}{2} \cos\frac{p - q}{2} निकालिए, और उसे 440440 तथा 444444 Hz के दो स्वरित्र द्विभुजों पर लगाइए: कान कौन-सा स्वर सुनता है, और प्रति सेकंड कितनी धड़कनें? (वाद्यवृंद इसी तरह अपने साज़ मिलाते हैं।)
  4. त्रिकोण-कोण सर्वसमिका cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x निकालिए (3x=2x+x3x = 2x + x लिखिए)। x=20∘x = 20^\circ रखने पर cos⁡20∘\cos 20^\circ को कौन-सा त्रिघात समीकरण संतुष्ट करना पड़ता है? (यह त्रिघात अकेले वर्गमूलों से हल नहीं होता, और ठीक इसीलिए कोण का त्रिभाजन दो सहस्राब्दी तक पटरी और परकार को हराता रहा — पूरी कहानी स्नातक खंडों में है।)
  5. कोई प्रत्यावर्ती धारा I(t)=3cos⁡(100πt)+33sin⁡(100πt)I(t) = 3\cos(100\pi t) + 3\sqrt3 \sin(100\pi t) है। उसे Rcos⁡(100πt−φ)R\cos(100\pi t - \varphi) के रूप में फिर से लिखिए: शिखर धारा और कला क्या हैं?

भाग IV — दोलन करता संसार।

  1. आवर्तकाल: sin⁡2t\sin^2 t का (सबसे छोटा) आवर्तकाल क्या है (प्रश्न 13 का उपयोग कीजिए)? और sin⁡(2t)+sin⁡(3t)\sin(2t) + \sin(3t) का?
  2. असली लोलक अवमंदित होता है: y(t)=e−t/10cos⁡(2πt)y(t) = \eu^{-t/10}\cos(2\pi t)। गति का वर्णन कीजिए, t=10t = 10 पर अन्वालोप का मान निकालिए (एक पुराना मित्र प्रकट होता है, समस्या 23.1), और उस अध्याय का नाम बताइए जहाँ ऐसे हलों वाले समीकरण हल किए जाते हैं।
  3. हर कंपन पर ज्या और कोज्या का राज क्यों है? भौतिकी-से-गणित का शब्दकोश दो वाक्यों में दीजिए (विस्थापन के समानुपाती प्रत्यानयन बल →\rightarrow कौन-सा समीकरण →\rightarrow कौन-से हल), और बताइए कि अभ्यास 24.9 इस दावे में क्या जोड़ता है।
  4. समापन: अध्याय की चाप चार क़दमों में — एक ज्यामितीय सीमा, दो अवकलज, एक अवकल समीकरण, और सारा दोलन। और ईमानदार तारांकन: बड़े झूलों के लिए लोलक का सच्चा आवर्तकाल एक दीर्घवृत्तीय समाकल माँगता है, जिसे बिजली की गति से निकालता है … गाउस का समांतर–गुणोत्तर माध्य, यानी समस्या 20.1 की मिठाई। शृंखला के धागे आपस में बँध जाते हैं।
हल

हल — समस्या 24.1.

1. 0.99833…0.99833\ldots और 0.99998…0.99998\ldots: घिसटकर 11 की ओर।

2. त्रिभुज OAMOAM: आधार 11, ऊँचाई sin⁡x\sin x: क्षेत्रफल sin⁡x2\frac{\sin x}{2}। त्रिज्यखंड OAMOAM: इकाई वृत्त-चक्रिका का x2π\frac{x}{2\pi} अंश: क्षेत्रफल x2\frac x2। त्रिभुज OATOAT: आधार 11, ऊँचाई tan⁡x\tan x: क्षेत्रफल tan⁡x2\frac{\tan x}{2}।

3. त्रिभुज त्रिज्यखंड के भीतर बैठा है और त्रिज्यखंड बड़े त्रिभुज के भीतर: sin⁡x2<x2<tan⁡x2\frac{\sin x}{2} < \frac x2 < \frac{\tan x}{2}, अर्थात् sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x। sin⁡x<x\sin x < x से sin⁡xx<1\frac{\sin x}{x} < 1; और x<tan⁡x=sin⁡xcos⁡xx < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} से, cos⁡xx>0\frac{\cos x}{x} > 0 से गुणा करने पर, cos⁡x<sin⁡xx\cos x < \frac{\sin x}{x}। x→0+x \to 0^+ पर cos⁡x→1\cos x \to 1: शिकंजे में, sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1; और sin⁡xx\frac{\sin x}{x} सम है, इसलिए द्विपक्षीय सीमा 11 है।

4. 1−cos⁡xx2=1−cos⁡2xx2(1+cos⁡x)=(sin⁡xx)211+cos⁡x→1×12\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \times \frac12।

5. sin⁡′(0)=lim⁡h→0sin⁡h−0h=1\sin'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h - 0}{h} = 1: ज्या और कोज्या का पूरा अवकलन इसी एक सीमा से बहता है। अंशों में नापने पर सीमा π180\frac{\pi}{180} होती, और हर अवकलज उसी अचर को घसीटता: रेडियन ठीक वही मात्रक है जो दोलन के कलन को स्वच्छ बना देता है।

6. y′=−Rωsin⁡(ωt−φ)y' = -R\omega\sin(\omega t - \varphi), y′′=−Rω2cos⁡(ωt−φ)=−ω2yy'' = -R\omega^2\cos(\omega t - \varphi) = -\omega^2 y।

7. ω=2\omega = 2। y(0)=A=3y(0) = A = 3; y′(0)=2B=8y'(0) = 2B = 8: B=4B = 4: y=3cos⁡2t+4sin⁡2ty = 3\cos 2t + 4\sin 2t।

8. R=9+16=5R = \sqrt{9 + 16} = 5; आवर्तकाल 2π2=π\frac{2\pi}{2} = \pi; कला φ=arctan⁡43≈0.927\varphi = \arctan\frac43 \approx 0.927: y=5cos⁡(2t−0.927)y = 5\cos(2t - 0.927)।

9. 5cos⁡(2t−φ)=05\cos(2t - \varphi) = 0 पहली बार तब जब 2t−φ=π22t - \varphi = \frac\pi2: t=π/2+0.9272≈1.25t = \frac{\pi/2 + 0.927}{2} \approx 1.25 s।

10. sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta के साथ: θ′′=−gLθ\theta'' = -\frac gL \theta: ω=gL\omega = \sqrt{\frac gL} वाली सरल आवर्त गति, आवर्तकाल T=2πω=2πLgT = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac Lg}। L=1L = 1 के लिए: T≈2.006T \approx 2.006 s। आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता (छोटे झूलों के लिए) — गैलीलियो की समकालिकता, वही तथ्य जो लोलक-घड़ियों को संभव बनाता है।

11. L=g(T2π)2=9.81π2≈0.994L = g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{9.81}{\pi^2} \approx 0.994 m: सेकंड-लोलक याम्योत्तर वाले मीटर से लगभग 66 mm छोटा है। अकादमी ने याम्योत्तर चुना (गुरुत्व जगह-जगह बदलता है, जो लोलक को धोखा दे देता है); यदि gg बाल भर बड़ा होता, तो हमारा मीटर टिक-टिक करता।

12. cos⁡(x+π2)=cos⁡xcos⁡π2−sin⁡xsin⁡π2=−sin⁡x\cos\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x \cos\frac\pi2 - \sin x \sin\frac\pi2 = -\sin x; sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x + \frac\pi2\right) = \cos x। इसलिए ज्या का अवकलन ज्या को एक चौथाई चक्कर खिसका देता है (cos⁡\cos), फिर दोबारा (−sin⁡-\sin), फिर दोबारा, और चार क़दमों में घर वापसी: अवकलन वृत्त को घुमा देता है।

13. cos⁡(a∓b)\cos(a \mp b) के दोनों प्रसार जोड़ने पर: cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)=2cos⁡acos⁡b\cos(a-b) + \cos(a+b) = 2\cos a\cos b। a=b=xa = b = x के साथ: 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x, अर्थात् cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}।

14. p=p+q2+p−q2p = \frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2} और उसके दर्पण qq को खोलकर जोड़ने पर: sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}। 440440 और 444444 Hz के लिए: 442442 Hz का एक स्वर, जिसकी प्रबलता cos⁡(2π⋅2t)\cos(2\pi \cdot 2t) से मॉडुलित होती है — और प्रबलता प्रति सेकंड 44 बार चोटी छूती है (अन्वालोप का निरपेक्ष मान): यानी चार विस्पंद प्रति सेकंड, जो स्वरित्रों के मिल जाने पर लुप्त हो जाते हैं।

15. cos⁡3x=cos⁡2xcos⁡x−sin⁡2xsin⁡x=(2cos⁡2x−1)cos⁡x−2sin⁡2xcos⁡x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x = \cos 2x\cos x - \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - 2\sin^2 x\cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x। x=20∘x = 20^\circ पर: cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac12, इसलिए c=cos⁡20∘c = \cos 20^\circ 8c3−6c−1=08c^3 - 6c - 1 = 0 को संतुष्ट करता है — एक ऐसा त्रिघात जिसका कोई वर्गमूल वाला हल नहीं: 20∘20^\circ की रचना, अर्थात् 60∘60^\circ का त्रिभाजन, पटरी और परकार की पहुँच से बाहर है।

16. R=9+27=6R = \sqrt{9 + 27} = 6; tan⁡φ=333=3\tan\varphi = \frac{3\sqrt3}{3} = \sqrt3: φ=π3\varphi = \frac\pi3: I(t)=6cos⁡(100πt−π3)I(t) = 6\cos\left(100\pi t - \frac\pi3\right): शिखर 66 ऐम्पियर, कला-विलंब 60∘60^\circ।

17. sin⁡2t=1−cos⁡2t2\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}: आवर्तकाल π\pi। sin⁡2t\sin 2t का आवर्तकाल π\pi है और sin⁡3t\sin 3t का 2π3\frac{2\pi}{3}: योग सबसे छोटे उभयनिष्ठ गुणज 2π2\pi के बाद दोहराता है।

18. सिकुड़ते अन्वालोप ±e−t/10\pm\eu^{-t/10} के भीतर आवर्तकाल 11 का दोलन: हर झूला लगभग 10 %10\,\% नीचा। t=10t = 10 पर अन्वालोप e−1≈0.368\eu^{-1} \approx 0.368 है — फिर वही समस्या 23.1 वाला अचर। ऐसे अवमंदित हलों वाले समीकरण (y′′+ay′+by=0y'' + a y' + b y = 0) अवकल समीकरणों वाले अध्याय में हल होते हैं।

19. विस्थापन के समानुपाती पीछे खींचने वाला बल y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y देता है; और अभ्यास 24.9 दिखाता है कि उस समीकरण के हल ठीक cos⁡\cos और sin⁡\sin के संयोजन ही हैं — अस्तित्व दिखाकर, अद्वितीयता अभ्यास से: कंपन के पास ज्यावक्रीय होने के सिवा कोई चारा नहीं।

20. एक सीमा (sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1, दबे हुए क्षेत्रफलों से), दो अवकलज (sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos, cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin), एक समीकरण (y′′=−ω2yy'' = -\omega^2 y), और घड़ियों, तारों, धाराओं तथा ज्वारों का पूरा संसार। तारांकन: बड़े झूलों के लिए T=4Lg⋅π/2M(1,cos⁡(θ0/2))T = 4\sqrt{\frac Lg} \cdot \frac{\pi/2}{M(1, \cos(\theta_0/2))} — समस्या 20.1 का समांतर–गुणोत्तर माध्य दीर्घवृत्तीय समाकल को मुट्ठी भर पुनरावृत्तियों में निकाल देता है: गाउस की डायरी और गैलीलियो का लोलक, बस एक सूत्र की दूरी पर।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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