उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

13अनुक्रम: पहला पाठ्यक्रम

अनुक्रम किसी नियम से बनी संख्याओं की सूची है: बचत खाते के क्रमिक शेष, या वर्ष-दर-वर्ष किसी समष्टि का आकार। यह अध्याय उन दो परिवारों का अध्ययन करता है जो अनुप्रयोगों पर छाए हुए हैं — समांतर अनुक्रम, जो बराबर डग भरकर बढ़ते हैं, और गुणोत्तर अनुक्रम, जो बराबर अनुपात से बढ़ते हैं। सीमाओं का कठोर सिद्धांत अध्याय 20 में विकसित होता है।

13.1 अनुक्रम को परिभाषित करना

परिभाषा 13.1 (अनुक्रम)

अनुक्रम $(u_n)$ हर पूर्णांक $n \geq 0$ (या $n \geq 1$ ) के साथ एक वास्तविक संख्या $u_n$ जोड़ देता है, जो उसका सूचक $n$ वाला पद है। अनुक्रम इस तरह दिया जा सकता है:

स्पष्ट रूप से, $n$ के पदों में $u_n$ का सूत्र देकर: जैसे $u_n = n^2 + 1$ ;
पुनरावर्ती रूप से, उसका पहला पद और हर पद से अगले पद तक जाने का नियम देकर: जैसे $u_0 = 3$ और $u_{n+1} = 2u_n - 1$ ।

उदाहरण 13.2

$u_n = n^2 + 1$ के लिए: $u_0 = 1$ , $u_1 = 2$ , $u_2 = 5$ , और सीधे $u_{10} = 101$ । $u_0 = 3$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ के लिए: $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ — हर पद के लिए पिछला पद चाहिए; $u_{10}$ तक पहुँचने में दस क़दम लगते हैं (या कोई सामान्य सूत्र, अभ्यास 13.11 देखिए)।

13.2 समांतर अनुक्रम

परिभाषा 13.3 (समांतर अनुक्रम)

कोई अनुक्रम सार्व अंतर $d$ वाला समांतर अनुक्रम है यदि हर पद पिछले पद में $d$ जोड़कर मिलता हो:

u_{n+1} = u_n + d \quad n \text{ के लिए}.

समतुल्य रूप से: अंतर $u_{n+1} - u_n$ अचर है और $d$ के बराबर।

प्रमेय 13.4 (व्यापक पद)

यदि $(u_n)$ पहले पद $u_0$ और सार्व अंतर $d$ वाला समांतर अनुक्रम हो, तो

u_n = u_0 + n\,d \quad n \geq 0 \text{ के लिए}, \qquad\text{और अधिक सामान्यतः } u_n = u_p + (n - p)\,d .

उपपत्ति. $u_0$ से $u_n$ तक जाने में नियम “ $d$ जोड़िए” $n$ बार लगाया जाता है: एक क़दम से $u_1 = u_0 + d$ मिलता है, दो क़दम से $u_2 = u_0 + 2d$ , और $n$ क़दमों के बाद हर प्रयोग ने एक-एक $d$ दिया है, इसलिए $u_n = u_0 + nd$ । (इस “और इसी तरह आगे” को अध्याय 20 में आगमन द्वारा कठोर बनाया गया है।) व्यापक सूत्र $u_p$ से $u_n$ तक के $n - p$ क़दम गिनने से निकल आता है। ∎

प्रमेय 13.5 (क्रमागत पूर्णांकों का योग)

हर पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

और अधिक सामान्य रूप से, किसी समांतर अनुक्रम के क्रमागत पदों का योग है

(\text{पदों की संख्या}) \times \frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2}.

उपपत्ति. योग $S$ को दो बार लिखिए, दूसरी बार उल्टे क्रम में, और स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़िए:

\begin{array}{ccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \dots & + & n\\ S & = & n & + & (n-1) & + & \dots & + & 1\\ \hline 2S & = & (n+1) & + & (n+1) & + & \dots & + & (n+1) \end{array}

$n$ स्तंभ हैं और हर स्तंभ का योग $n + 1$ है, इसलिए $2S = n(n+1)$ । किसी भी समांतर अनुक्रम के लिए यही जोड़ी बनाना काम करता है: पहला $+$ अंतिम $=$ , दूसरा $+$ अंत से दूसरा $= \dots$ , क्योंकि बाएँ सिरे पर एक क़दम आगे बढ़ने ( $+d$ ) की भरपाई दाएँ सिरे पर एक क़दम पीछे हटने ( $-d$ ) से हो जाती है। ∎

उदाहरण 13.6

$1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ । विषम संख्याओं $1 + 3 + \dots + 99$ का योग ( $50$ पद) $50 \times \frac{1 + 99}{2} = 2500$ है।

13.3 गुणोत्तर अनुक्रम

परिभाषा 13.7 (गुणोत्तर अनुक्रम)

कोई अनुक्रम सार्व अनुपात $q \neq 0$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम है यदि हर पद पिछले पद को $q$ से गुणा करके मिलता हो:

u_{n+1} = q\,u_n \quad n \text{ के लिए}.

समतुल्य रूप से, जब कोई पद लुप्त न हो: अनुपात $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ अचर है और $q$ के बराबर।

प्रमेय 13.8 (व्यापक पद)

यदि $(u_n)$ पहले पद $u_0$ और अनुपात $q$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम हो, तो

u_n = u_0\, q^n \quad n \geq 0 \text{ के लिए}, \qquad\text{और अधिक सामान्यतः } u_n = u_p\, q^{\,n-p} .

उपपत्ति. वही क़दम-गिनती जो प्रमेय 13.4 में थी: $u_0$ से $u_n$ तक नियम “ $q$ से गुणा कीजिए” $n$ बार लगता है, जिससे गुणनखंड $q^n$ जुड़ जाता है। ∎

प्रमेय 13.9 (गुणोत्तर योग)

हर वास्तविक $q \neq 1$ और पूर्णांक $n \geq 0$ के लिए:

1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.

उपपत्ति. मान लीजिए $S = 1 + q + \dots + q^n$ है। $q$ से गुणा कीजिए: $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$ । घटाइए:

S - qS = \bigl(1 + q + \dots + q^n\bigr) - \bigl(q + q^2 + \dots + q^{n+1}\bigr) = 1 - q^{\,n+1},

क्योंकि हर बीच का पद दोनों योगों में एक-एक बार आता है और कट जाता है। अतः $(1 - q)S = 1 - q^{\,n+1}$ , और $1 - q \neq 0$ से भाग देने पर सूत्र मिल जाता है। ∎

उदाहरण 13.10

$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047$ : शतरंज की बिसात के खानों पर चावल के दाने दुगुने करते जाने पर $64$ -वें खाने से बहुत पहले ही कोई भी अनाज-भंडार पिट जाता है, जहाँ कुल $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ हो जाता है।

बराबर डग बनाम बराबर अनुपात: समांतर अनुक्रम (u_n+1 = u_n + 0.9, नीला) एक रेखा का अनुसरण करता है, जबकि गुणोत्तर अनुक्रम (u_n+1 = 1.2\,u_n, लाल) एक चरघातांकी वक्र का, जो अंततः उससे कहीं आगे निकल जाता है। — बराबर डग बनाम बराबर अनुपात: समांतर अनुक्रम ( $u_{n+1} = u_n + 0.9$ , नीला) एक रेखा का अनुसरण करता है, जबकि गुणोत्तर अनुक्रम ( $u_{n+1} = 1.2\,u_n$ , लाल) एक चरघातांकी वक्र का, जो अंततः उससे कहीं आगे निकल जाता है।

विधि 13.11 (अनुक्रम का प्रकार पहचानना)

$u_{n+1} - u_n$ निकालकर सरल कीजिए। यदि परिणाम कोई अचर $d$ हो, तो अनुक्रम समांतर है। अन्यथा $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ निकालकर सरल कीजिए (पद शून्येतर हों): कोई अचर $q$ मिलने का अर्थ है गुणोत्तर। यदि दोनों में से कोई अचर न हो, तो अनुक्रम इनमें से किसी प्रकार का नहीं है — केवल पहले कुछ पदों से निष्कर्ष कभी मत निकालिए।

उदाहरण 13.12

$u_n = 3 \times 5^n$ के लिए: सभी $n$ के लिए $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3 \times 5^{n+1}}{3 \times 5^n} = 5$ : अनुपात $5$ वाला गुणोत्तर। $u_n = n^2$ के लिए: $u_1 - u_0 = 1$ , पर $u_2 - u_1 = 3$ , और $\frac{u_1}{u_0}$ तो परिभाषित ही नहीं है — न समांतर, न गुणोत्तर।

13.4 एकदिष्टता

परिभाषा 13.13 (एकदिष्ट अनुक्रम)

अनुक्रम $(u_n)$ वर्धमान है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} \geq u_n$ हो, और ह्रासमान है यदि सभी $n$ के लिए $u_{n+1} \leq u_n$ हो।

विधि 13.14 (एकदिष्टता का अध्ययन)

$u_{n+1} - u_n$ के चिह्न का अध्ययन कीजिए। धनात्मक पदों वाले अनुक्रमों के लिए इसके बदले $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ की $1$ से तुलना की जा सकती है।

उदाहरण 13.15

समांतर अनुक्रम $d \geq 0$ होने पर वर्धमान ( $u_{n+1} - u_n = d$ ) और $d \leq 0$ होने पर ह्रासमान होता है। $u_0 > 0$ और $q > 1$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम वर्धमान है: $u_{n+1} - u_n = u_0 q^n (q - 1) > 0$ ; और $u_0 > 0$ तथा $0 < q < 1$ वाला ह्रासमान।

13.5 दीर्घ काल का व्यवहार, अनौपचारिक रूप से

जब $n$ बहुत बड़ा हो जाता है तब $u_n$ का क्या होता है? $d > 0$ वाले समांतर अनुक्रम के पद $u_0 + nd$ अंततः किसी भी नियत संख्या से आगे निकल जाते हैं। $0 < q < 1$ वाले गुणोत्तर अनुक्रम के पद $u_0 q^n$ सिकुड़कर $0$ की ओर जाते हैं: मान लीजिए $0.9$ से बार-बार गुणा करना किसी भी आरंभिक मान को घिस डालता है। और $q > 1$ के लिए पद फट पड़ते हैं, जैसा उदाहरण 13.10 में हुआ।

टिप्पणी 13.16

इन कथनों को पूरी तरह सुनिश्चित किया जा सकता है — “पद अंततः $0$ की किसी भी दी हुई दूरी के भीतर टिके रहते हैं” — और सिद्ध भी। यही सीमाओं का सिद्धांत है, जो अध्याय 20 का आरंभिक विषय है।

13.6 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

हर अनुक्रम के लिए $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ निकालिए:

u_n = \frac{n}{n+1}; \qquad u_0 = 5,\ u_{n+1} = 3u_n - 2; \qquad u_n = (-1)^n\,n .

हल

हल — अभ्यास 13.1.

$u_n = \frac{n}{n+1}$ : $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac23$ , $u_3 = \frac34$ ।

$u_0 = 5$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ : $u_1 = 13$ , $u_2 = 37$ , $u_3 = 109$ ।

$u_n = (-1)^n n$ : $u_1 = -1$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = -3$ ।

अभ्यास 13.2 ★

$(u_n)$ $u_0 = 7$ और $d = -3$ वाला समांतर अनुक्रम है। $u_{10}$ और $u_{25}$ निकालिए। $(v_n)$ $v_3 = 11$ और $v_8 = 26$ वाला समांतर अनुक्रम है। सार्व अंतर और $v_0$ ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.2.

$u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = -23$ और $u_{25} = 7 - 75 = -68$ ।

$(v_n)$ के लिए: $v_8 = v_3 + 5d$ से $26 = 11 + 5d$ मिलता है, इसलिए $d = 3$ ; फिर $v_0 = v_3 - 3d = 11 - 9 = 2$ ।

अभ्यास 13.3 ★

$(u_n)$ $u_0 = 5$ और $q = 2$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम है। $u_8$ निकालिए। $(v_n)$ धनात्मक पदों वाला गुणोत्तर अनुक्रम है जिसमें $v_2 = 12$ और $v_4 = 48$ हैं। अनुपात और $v_0$ ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.3.

$u_8 = 5 \times 2^8 = 1280$ ।

$(v_n)$ के लिए: $v_4 = v_2\, q^2$ से $48 = 12 q^2$ मिलता है, इसलिए $q^2 = 4$ और $q = 2$ (पद धनात्मक हैं)। फिर $v_0 = \frac{v_2}{q^2} = \frac{12}{4} = 3$ ।

अभ्यास 13.4 ★

निकालिए:

1 + 2 + 3 + \dots + 500, \qquad 4 + 7 + 10 + \dots + 61, \qquad 1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^{10}} .

हल

हल — अभ्यास 13.4.

$1 + \dots + 500 = \frac{500 \times 501}{2} = 125\,250$ ।

$4 + 7 + \dots + 61$ $d = 3$ और $\frac{61 - 4}{3} + 1 = 20$ पदों वाला समांतर अनुक्रम है: योग $20 \times \frac{4 + 61}{2} = 650$ ।

$1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{10}}$ $q = \frac12$ और $11$ पदों वाला गुणोत्तर अनुक्रम है: $\frac{1 - (1/2)^{11}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \frac{1}{2048}\right) = \frac{2047}{1024}$ ।

अभ्यास 13.5 ★

बताइए कि हर अनुक्रम समांतर है, गुणोत्तर है, या इनमें से कोई नहीं:

u_n = 4n - 1; \qquad v_n = \frac{2^n}{3^{n+1}}; \qquad w_n = n^2 + n .

हल

हल — अभ्यास 13.5.

$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) - 1 - 4n + 1 = 4$ : $d = 4$ वाला समांतर।

$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{2^n} = \frac23$ : $q = \frac23$ वाला गुणोत्तर।

$w_0 = 0$ , $w_1 = 2$ , $w_2 = 6$ : अंतर $2$ और $4$ अलग-अलग हैं, इसलिए समांतर नहीं; $\frac{w_1}{w_0}$ तो परिभाषित ही नहीं है, और अनुपात $\frac{w_2}{w_1} = 3 \neq \frac{w_3}{w_2} = 2$ : इनमें से कोई नहीं।

अभ्यास 13.6 ★★

एक रंगमंच में $20$ पंक्तियाँ हैं: पहली पंक्ति में $16$ सीटें हैं, और हर पंक्ति में अपनी पिछली पंक्ति से $2$ सीटें अधिक हैं। अंतिम पंक्ति में कितनी सीटें हैं? पूरे रंगमंच में कितनी?

हल

हल — अभ्यास 13.6.

पंक्तियों के आकार समांतर हैं: पहला पद $16$ , अंतर $2$ । अंतिम (बीसवीं) पंक्ति में $16 + 19 \times 2 = 54$ सीटें हैं। कुल $20 \times \frac{16 + 54}{2} = 700$ सीटें हैं।

अभ्यास 13.7 ★★

जीवाणुओं की एक समष्टि हर घंटे दुगुनी हो जाती है; दोपहर को $500$ जीवाणु हैं। रात 8 बजे कितने होंगे? कितने पूरे घंटों के बाद समष्टि पहली बार दस लाख से आगे निकल जाती है? ( $2$ की क्रमिक घातें आज़माकर हल कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 13.7.

$n$ घंटों बाद समष्टि $500 \times 2^n$ है। रात 8 बजे $n = 8$ : $500 \times 256 = 128\,000$ जीवाणु। हमें $500 \times 2^n > 10^6$ चाहिए, अर्थात् $2^n > 2000$ : चूँकि $2^{10} = 1024$ और $2^{11} = 2048$ हैं, इसलिए समष्टि पहली बार $11$ पूरे घंटों के बाद, यानी रात 11 बजे, दस लाख से आगे निकलती है।

अभ्यास 13.8 ★★

एक बचतकर्ता हर महीने $100$ यूरो ऐसे खाते में जमा करता है जो मौजूदा शेष पर प्रति माह $0.2\%$ ब्याज देता है (ब्याज जमा से ठीक पहले चढ़ाया जाता है)। मान लीजिए $c_n$ $n$ -वीं जमा के ठीक बाद का शेष है, इसलिए $c_1 = 100$ और $c_{n+1} = 1.002\,c_n + 100$ । $c_2$ और $c_3$ निकालिए, और समझाइए कि $(c_n)$ न समांतर है न गुणोत्तर।

हल

हल — अभ्यास 13.8.

$c_2 = 1.002 \times 100 + 100 = 200.20$ और $c_3 = 1.002 \times 200.20 + 100 \approx 300.60$ । अंतर $c_2 - c_1 = 100.20$ और $c_3 - c_2 \approx 100.40$ बराबर नहीं हैं, इसलिए $(c_n)$ समांतर नहीं है; अनुपात $\frac{c_2}{c_1} = 2.002$ और $\frac{c_3}{c_2} \approx 1.50$ भी बराबर नहीं हैं, इसलिए वह गुणोत्तर भी नहीं है। (इस जैसी मिली-जुली “गुणा करो फिर जोड़ो” वाली पुनरावृत्तियाँ अभ्यास 13.11 की सहायक-अनुक्रम वाली तरकीब से हल होती हैं।)

अभ्यास 13.9 ★★

अनुक्रमों

u_n = n^2 - 8n \ (n \geq 0), \qquad v_n = \frac{3^n}{n!}\ (n \geq 1),

की एकदिष्टता का अध्ययन कीजिए, जहाँ $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ है। ( $(v_n)$ के लिए $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ की $1$ से तुलना कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 13.9.

$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 8(n+1) - n^2 + 8n = 2n - 7$ : $n \leq 3$ के लिए ऋणात्मक, $n \geq 4$ के लिए धनात्मक। इसलिए $(u_n)$ घटकर $u_4 = 16 - 32 = -16$ तक जाता है, फिर बढ़ता है: वह एकदिष्ट नहीं है।

$(v_n)$ के पद धनात्मक हैं और

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1},

जो $n \leq 1$ के लिए $> 1$ , $n = 2$ के लिए $= 1$ , और $n \geq 3$ के लिए $< 1$ है: अनुक्रम $v_2 = v_3 = \frac92$ तक बढ़ता है, फिर घटता है।

अभ्यास 13.10 ★★

$u_0 = 3$ और $d = 4$ वाले किसी समांतर अनुक्रम के पहले $n$ पदों का योग $903$ है। $n$ ज्ञात कीजिए। ( $n$ में द्विघात समीकरण बनाइए और अध्याय 10 का उपयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 13.10.

पहले $n$ पद $u_0, \dots, u_{n-1}$ हैं, जहाँ $u_0 = 3$ और $u_{n-1} = 3 + 4(n-1) = 4n - 1$ । उनका योग है

n \times \frac{3 + (4n-1)}{2} = n(2n + 1) = 903,

इसलिए $2n^2 + n - 903 = 0$ । यहाँ $\Delta = 1 + 4 \times 2 \times 903 = 7225 = 85^2$ , और $n = \frac{-1 + 85}{4} = 21$ (ऋणात्मक मूल छोड़ दिया गया)। जाँच: $21 \times 43 = 903$ ।

अभ्यास 13.11 ★★★

मान लीजिए $u_0 = 3$ और $u_{n+1} = 2u_n - 1$ हैं।

$u_1, u_2, u_3$ निकालिए और $u_n$ के लिए कोई सूत्र अनुमानित कीजिए।
मान लीजिए $v_n = u_n - 1$ है। दिखाइए कि $(v_n)$ गुणोत्तर है, और उसका अनुपात तथा पहला पद बताइए।
$u_n$ का स्पष्ट सूत्र निकालिए और अपने अनुमान की पुष्टि कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.11.

1. $u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$ : हर पद $4, 8, 16$ से एक अधिक है, जिससे $u_n = 2^{n+1} + 1$ का अनुमान बनता है।

2. $v_n = u_n - 1$ के साथ:

v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n,

इसलिए $(v_n)$ अनुपात $2$ और पहला पद $v_0 = u_0 - 1 = 2$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम है।

3. अतः $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ और $u_n = v_n + 1 = 2^{n+1} + 1$ , जिससे अनुमान की पुष्टि हो जाती है। ( $v_n$ में घटाई गई संख्या $1$ $x \mapsto 2x - 1$ का स्थिर बिंदु है; यही विचार अध्याय 20 में $u_{n+1} = au_n + b$ के लिए फिर लौटता है।)

13.7 समस्या: ब्रह्मा की मीनार और फिबोनाच्ची के ख़रगोश

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — दो पौराणिक पुनरावृत्तियाँ: वह मीनार जो संसार का अंत कर देगी, वह अनुक्रम जो सोने की तरह बढ़ता है, और वह सहायक तरकीब जो ऋणों को साध लेती है

गणित की लोक-कथाओं पर दो अनुक्रमों का राज है। एक ब्रह्मा की मीनार की चालें गिनता है — सोने की चौंसठ तश्तरियाँ, जिनके स्थानांतरण से, कथा कहती है, संसार का अंत हो जाएगा। दूसरा फिबोनाच्ची के ख़रगोश गिनता है और स्वर्ण अनुपात छिपाए रखता है। न कोई समांतर है, न गुणोत्तर — और दोनों इसी अध्याय के हथियारों के आगे हथियार डाल देते हैं: पुनरावृत्तियाँ, गुणोत्तर योग (प्रमेय 13.9), और अभ्यास 13.11 की सहायक-अनुक्रम वाली तरकीब, जो आपके गृह-ऋण का हिसाब भी लगा देती है।

भाग I — ब्रह्मा की मीनार। पहेली: घटते आकार की $n$ तश्तरियाँ खूँटी A पर लगी हैं; पूरे ढेर को खूँटी C पर ले जाइए, एक बार में एक तश्तरी, और किसी छोटी तश्तरी पर बड़ी कभी न रखिए (खूँटी B सहायता कर सकती है)। मान लीजिए $h_n$ न्यूनतम चालों की संख्या है।

(सिक्कों से) खेलिए और $h_1$ , $h_2$ , $h_3$ दर्ज कीजिए।
पुनरावृत्ति $h_{n+1} = 2h_n + 1$ के पीछे की रणनीति समझाइए: सबसे बड़ी तश्तरी के हिलने से पहले और बाद में क्या होना ही चाहिए?
अभ्यास 13.11 की तरकीब से पुनरावृत्ति हल कीजिए: $v_n = h_n + 1$ रखिए, दिखाइए कि $(v_n)$ गुणोत्तर है, और $h_n = 2^n - 1$ निष्कर्ष निकालिए।
कथा की मीनार में $64$ तश्तरियाँ हैं, और भिक्षु प्रति सेकंड एक तश्तरी हटाते हैं। $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ का उपयोग करके स्थानांतरण का समय वर्षों में आँकिए (एक वर्ष लगभग $3 \times 10^7$ सेकंड का होता है; उदाहरण 13.10 से तुलना कीजिए, जो एक और कहानी में वही दैत्य है)। क्या हमें चिंता करनी चाहिए?
कोई भी रणनीति $2^n - 1$ चालों से कम में क्यों नहीं कर सकती? तर्क दीजिए कि कोई भी हल $h_{n+1} \geq 2 h_n + 1$ मानता है: सबसे नीचे वाली तश्तरी के हिलने से ठीक पहले और ठीक बाद ऊपर की $n$ तश्तरियों के बारे में क्या सच होना ही चाहिए?

भाग II — फिबोनाच्ची। $F_1 = F_2 = 1$ और $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ परिभाषित कीजिए (हर पद अपने से पहले के दो पदों का योग — माध्यमिक विद्यालय खंड का वही लय-गणना वाला नियम, अब अपने यूरोपीय नाम के साथ)।

$F_1$ से $F_{12}$ तक गिनाइए।
दिखाइए कि $(F_n)$ न समांतर है न गुणोत्तर, पर वह $n = 2$ से आगे निरंतर वर्धमान है (विधि 13.14 और पुनरावृत्ति से)।
योग-सर्वसमिका

$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$

क्रमिक निरसन से सिद्ध कीजिए: हर $F_k$ को $F_{k+2} - F_{k+1}$ लिखिए और देखिए कि योग कैसे ढह जाता है। $n = 6$ के लिए इसकी पुष्टि कीजिए।
वर्गों की सर्वसमिका $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$ सिद्ध कीजिए, और इसके लिए $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k^2$ के साथ क्रमिक निरसन कीजिए। $n = 4$ के लिए पुष्टि कीजिए। (चित्र: भुजाओं $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ वाले वर्ग एक आयत को भर देते हैं — यही प्रसिद्ध फिबोनाच्ची सर्पिल का ढाँचा है।)
कासीनी सर्वसमिका कहती है $F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ । $n = 4, 5, 6$ के लिए उसकी पुष्टि कीजिए — और माध्यमिक विद्यालय खंड की क्षेत्रफल वाली समस्या में खेली गई “ग़ायब वर्ग” की तरकीब का इंजन पहचानिए।
पुनरावृत्ति से दिखाइए कि $F_{n+2} \geq 2 F_n$ : फिबोनाच्ची हर दो क़दम में कम से कम दुगुना हो जाता है — वह अनुपात $\sqrt2$ वाले गुणोत्तर अनुक्रम से कम तेज़ नहीं बढ़ता।
$n = 3$ से $10$ तक अनुपात $r_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ निकालिए (तीन दशमलव स्थान)। यह मानते हुए कि वे किसी सीमा $L$ पर आ बैठते हैं, संबंध $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ को सीमा तक ले जाइए और हल कीजिए: ख़रगोश समस्या 2.1 की किस संख्या की पूजा करते हैं?

भाग III — सहायक तरकीब, बैंक में।

अभ्यास 13.11 को सामान्य कीजिए: $a \neq 1$ वाले $u_{n+1} = a\,u_n + b$ के लिए $\ell = \frac{b}{1 - a}$ रखिए (स्थिर बिंदु)। दिखाइए कि $v_n = u_n - \ell$ अनुपात $a$ वाला गुणोत्तर है, और निष्कर्ष निकालिए $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ ।
एक ऋण: $10\,000$ यूरो, प्रति माह $1\,\%$ ब्याज पर, और प्रति माह $300$ यूरो की अदायगी, इसलिए ऋण $d_{n+1} = 1.01\,d_n - 300$ मानता है। प्रश्न 13 लगाइए (पहले स्थिर बिंदु!) और $d_n$ का स्पष्ट सूत्र निकालिए।
कैलकुलेटर से वह पहला महीना ज्ञात कीजिए जिसमें ऋण चुक जाता है, और कुल चुकाई गई राशि भी। उधार लेने का अपना ख़र्च कितना पड़ा?
$50\,000$ निवासियों का एक नगर प्रति वर्ष $2\,\%$ बढ़ता है और उसके ऊपर $1\,000$ नए लोग आ बसते हैं: $p_{n+1} = 1.02\,p_n + 1000$ । स्पष्ट सूत्र और $10$ वर्षों बाद की जनसंख्या बताइए।

भाग IV — दो राजपरिवार।

$1 + 2 + 3 + \dots + 1000$ निकालिए (प्रमेय 13.5 — माध्यमिक विद्यालय खंड का नन्हे गाउस वाला योग, अब औपचारिक रूप में), और $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{19}$ (प्रमेय 13.9)।
समांतर अनुक्रम $7, 12, 17, \dots, 502$ का योग निकालिए (कितने पद?)।
बचत योजना: हर महीने $100$ यूरो जमा, प्रति माह $0.5\,\%$ की कमाई; $n$ -वीं जमा के बाद शेष $100\left(1.005^{n-1} + \dots + 1.005 + 1\right)$ है। $5$ वर्षों बाद का शेष निकालिए ( $n = 60$ )।
समापन — अनुक्रम साधने का बक्सा: स्पष्ट बनाम पुनरावर्ती वर्णन; दोनों राजपरिवार और उनके योग-सूत्र; वह सहायक अनुक्रम जो एकघात पुनरावृत्तियों को गुणोत्तर में बदल देता है; और फिबोनाच्ची, दोनों परिवारों से बाहर का पहला नागरिक, जो आज सर्वसमिकाओं से सधा है और पूरी तरह पकड़े जाने के लिए आव्यूहों (कक्षा 12) तथा सीमाओं की प्रतीक्षा में है। हर एक पर एक वाक्य।

हल

हल — समस्या 13.1.

1. $h_1 = 1$ , $h_2 = 3$ , $h_3 = 7$ ।

2. सबसे बड़ी तश्तरी हटाने के लिए उसके ऊपर की $n$ तश्तरियों को पहले बची हुई खूँटी पर जाना पड़ता है ( $h_n$ चालें); बड़ी तश्तरी पार होती है ( $1$ चाल); फिर $n$ तश्तरियों को उसके ऊपर वापस चढ़ना पड़ता है ( $h_n$ चालें): $h_{n+1} = 2h_n + 1$ ।

3. $v_{n+1} = h_{n+1} + 1 = 2h_n + 2 = 2v_n$ : $v_1 = 2$ के साथ अनुपात $2$ वाला गुणोत्तर, इसलिए $v_n = 2^n$ और $h_n = 2^n - 1$ ।

4. $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ सेकंड; प्रति वर्ष $3 \times 10^7$ सेकंड से भाग देने पर: लगभग $6 \times 10^{11}$ वर्ष — छह सौ अरब वर्ष, यानी ब्रह्मांड की आयु का चालीस गुना। भिक्षु चाय के विश्राम ले सकते हैं।

5. किसी भी वैध हल में सबसे नीचे वाली तश्तरी की पहली चाल पर विचार कीजिए: उस क्षण बाक़ी $n$ तश्तरियों का बची हुई एक ही खूँटी पर होना ज़रूरी है (उन्हें वहाँ पहुँचाने में कम से कम $h_n$ चालें), और नीचे वाली तश्तरी की अंतिम चाल के बाद उन सबको उसके ऊपर लौटना पड़ता है (कम से कम $h_n$ चालें और): किसी भी हल को कम से कम $2h_n + 1$ चालें चाहिए। पुनरावृत्ति छत ही नहीं, फ़र्श भी है: $2^n - 1$ इष्टतम है।

6. $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144$ ।

7. समांतर नहीं ( $2 - 1 = 1$ , पर $3 - 2 = 1$ , $5 - 3 = 2$ : अंतर बदलते हैं); गुणोत्तर नहीं ( $\frac21 = 2$ , पर $\frac32 = 1.5$ )। वर्धमान: $n \geq 2$ के लिए $F_{n+1} - F_n = F_{n-1} > 0$ ।

8. $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ , इसलिए

\sum_{k=1}^{n} F_k = (F_3 - F_2) + (F_4 - F_3) + \dots + (F_{n+2} - F_{n+1}) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

$n = 6$ के लिए: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F_8 - 1 = 21 - 1$ ।

9. $F_k F_{k+1} - F_{k-1} F_k = F_k (F_{k+1} - F_{k-1}) = F_k \cdot F_k = F_k^2$ ; जोड़ने पर क्रमिक निरसन से $F_n F_{n+1} - F_1 F_0$ मिलता है ( $F_0 = 0$ के साथ): वर्गों का योग $F_n F_{n+1}$ है। $n = 4$ के लिए: $1 + 1 + 4 + 9 = 15 = F_4 F_5 = 3 \times 5$ ।

10. $F_5 F_3 - F_4^2 = 5 \times 2 - 9 = 1$ ; $F_6 F_4 - F_5^2 = 8 \times 3 - 25 = -1$ ; $F_7 F_5 - F_6^2 = 13 \times 5 - 64 = 1$ : बारी-बारी से $\pm 1$ । $F_{n+1} F_{n-1}$ और $F_n^2$ के बीच का यही एक इकाई का अंतर वह जादूगर वाला खोया-या-पाया गया वर्ग-इकाई है: $F_n \times F_n$ के वर्ग को काटकर $F_{n+1} \times F_{n-1}$ के आयत में जोड़ने पर एक इकाई बननी या निगली जानी ही है — वही पतली फाँक।

11. $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \geq F_n + F_n = 2F_n$ (अनुक्रम बढ़ता है): हर दो सूचकों में कम से कम दुगुना — यानी प्रति सूचक अनुपात $\sqrt2$ वाले गुणोत्तर से कम नहीं।

12. $1.5$ ; $1.667$ ; $1.6$ ; $1.625$ ; $1.615$ ; $1.619$ ; $1.618$ ; $1.618$ । यदि $r_n \to L$ हो: $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ से, $F_{n+1}$ से भाग देने पर, $r_{n+1} = 1 + \frac{1}{r_n}$ , इसलिए $L = 1 + \frac1L$ , अर्थात् $L^2 = L + 1$ : $L = \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2}$ , जो समस्या 2.1 का स्वर्ण अनुपात है। ख़रगोश सोने में बढ़ते हैं।

13. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a u_n + b - \ell$ ; चूँकि $\ell = a\ell + b$ है, यह $a(u_n - \ell) = a v_n$ है: अनुपात $a$ वाला गुणोत्तर। अतः $v_n = a^n v_0$ और $u_n = a^n (u_0 - \ell) + \ell$ ।

14. स्थिर बिंदु: $\ell = 1.01\ell - 300$ से $\ell = 30\,000$ मिलता है। इसलिए $d_n = 1.01^n (10\,000 - 30\,000) + 30\,000 = 30\,000 - 20\,000 \times 1.01^n$ ।

15. $d_n \leq 0$ के लिए $1.01^n \geq 1.5$ चाहिए: $1.01^{40} \approx 1.489$ , $1.01^{41} \approx 1.504$ : $41$ -वीं अदायगी ऋण चुका देती है (और वह $300$ से कुछ कम है)। कुल चुकाई गई राशि: $41 \times 300 = 12\,300$ यूरो से कुछ ही कम — उधार लिए गए $10\,000$ पर लगभग $2\,300$ यूरो ब्याज पड़ा।

16. स्थिर बिंदु $\ell = \frac{1000}{1 - 1.02} = -50\,000$ , इसलिए $p_n = 1.02^n \times 100\,000 - 50\,000$ । $10$ वर्षों बाद: $1.02^{10} \approx 1.219$ : $p_{10} \approx 71\,900$ निवासी।

17. $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500\,500$ ; और $2^{20} - 1 = 1\,048\,575$ ।

18. $7$ से $502$ तक $5$ के डग में: $\frac{502 - 7}{5} + 1 = 100$ पद; योग $= 100 \times \frac{7 + 502}{2} = 25\,450$ ।

19. शेष $= 100 \times \frac{1.005^{60} - 1} {1.005 - 1} \approx 100 \times \frac{0.3489}{0.005} \approx 6\,977$ यूरो — जिसमें $6\,000$ जमा किए गए और लगभग $977$ कमाए गए: गुणोत्तर योग बैंक की मातृभाषा हैं।

20. स्पष्ट सूत्र “ $u_{1000}$ क्या है” का उत्तर तुरंत दे देते हैं; पुनरावृत्तियाँ बताती हैं कि तंत्र असल में कैसे बदलते हैं — और कला दूसरे को पहले में बदल देने की है। समांतर अनुक्रम जोड़ते हैं, गुणोत्तर गुणा करते हैं, और हर परिवार के पास अपना योग-सूत्र है (गाउस की जोड़ी बनाना; दुगुना करने वाली तरकीब)। स्थिर-बिंदु-और-सहायक वाली तरकीब हर एकघात पुनरावृत्ति को गुणोत्तर में बदल देती है — ऋण, जनसंख्याएँ और मीनार, सब इसी के आगे झुक गए। फिबोनाच्ची किसी भी परिवार को नहीं मानता, फिर भी क्रमिक निरसन की सर्वसमिकाओं ने उसके योग और वर्ग पकड़ लिए; उसका पूरा चित्र (एक यथार्थ सूत्र, वह स्वर्ण सीमा) अभी और मज़बूत औज़ारों की प्रतीक्षा में है।