Mathematics · किताब 2 · Grades 10–12

उच्च माध्यमिक गणित

उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

31अंतरिक्ष में सदिश, रेखाएँ और समतल

सदिश और निर्देशांक उपलब्ध हो जाने पर त्रिविमीय ज्यामिति गणनीय हो जाती है: रेखाओं को प्राचलिक निरूपण मिल जाते हैं, समतलों को कार्तीय समीकरण, और अदिश गुणनफल कोण तथा दूरियाँ नाप लेता है। यह अध्याय यही औज़ार-बक्सा बनाता है और उससे प्रतिच्छेद तथा दूरी की चिरपरिचित समस्याएँ हल करता है।

31.1 अंतरिक्ष में सदिश

अंतरिक्ष के सदिश वही नियम मानते हैं जो समतल में थे: वे जुड़ते हैं, गुणित होते हैं, और AB→=CD→\vect{AB} = \vect{CD} ठीक तब है जब ABDCABDC समांतर चतुर्भुज हो। निर्देशांक-पद्धति (O;ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k) में हर सदिश के निर्देशांक (x,y,z)(x, y, z) होते हैं।

परिभाषा 31.1 (संरेखता, समतलीयता)

दो सदिश संरेखी हैं यदि एक दूसरे का गुणज हो। तीन सदिश u⃗,v⃗,w⃗\vec u, \vec v, \vec w समतलीय हैं यदि उनमें से किसी एक को शेष दोनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सके, जैसे w⃗=au⃗+bv⃗\vec w = a\vec u + b\vec v।

प्रतिज्ञप्ति 31.2

यदि u⃗,v⃗,w⃗\vec u, \vec v, \vec w समतलीय न हों, तो अंतरिक्ष का हर सदिश xu⃗+yv⃗+zw⃗x\vec u + y\vec v + z\vec w के रूप में अद्वितीय ढंग से बँट जाता है।

उपपत्ति का विचार. जिस सदिश को बाँटना है उसके सिरे से w⃗\vec w के समांतर रेखा खींचिए; वह u⃗,v⃗\vec u, \vec v के समतल से एक ही बिंदु पर मिलती है, जो सदिश को उस समतल में पड़ने वाले घटक (समतल-ज्यामिति से अद्वितीय रूप से xu⃗+yv⃗x\vec u + y\vec v) और w⃗\vec w के अनुदिश एक घटक में बाँट देता है। अद्वितीयता: दो विभाजनों का अंतर किसी एक सदिश को शेष दो के पदों में व्यक्त कर देता, जो असमतलीयता का खंडन है। ∎

31.2 रेखाएँ और समतल

परिभाषा 31.3 (रेखा का प्राचलिक निरूपण)

A(xA,yA,zA)A(x_A, y_A, z_A) से होकर दिक् सदिश u⃗(a,b,c)≠0⃗\vec u (a, b, c) \neq \vec 0 वाली रेखा बिंदुओं का यह समुच्चय है

M(xA+ta,  yA+tb,  zA+tc),t∈R.M(x_A + ta,\; y_A + tb,\; z_A + tc), \qquad t \in \R .

परिभाषा 31.4 (समतल)

AA से होकर दो असंरेखी सदिशों u⃗,v⃗\vec u, \vec v द्वारा दिशित समतल उन बिंदुओं MM का समुच्चय है जिनके लिए AM→=su⃗+tv⃗\vect{AM} = s\vec u + t\vec v, (s,t)∈R2(s, t) \in \R^2 हों।

बाएँ: A से होकर दिशा u वाली रेखा, जिस पर प्राचल t अंकित है। दाएँ: A से होकर u और v द्वारा दिशित समतल; समतल का हर बिंदु M AM = s u + t v के रूप में मिल जाता है। बाएँ: A से होकर दिशा u वाली रेखा, जिस पर प्राचल t अंकित है। दाएँ: A से होकर u और v द्वारा दिशित समतल; समतल का हर बिंदु M AM = s u + t v के रूप में मिल जाता है।
बाएँ: AA से होकर दिशा u⃗\vec u वाली रेखा, जिस पर प्राचल tt अंकित है। दाएँ: AA से होकर u⃗\vec u और v⃗\vec v द्वारा दिशित समतल; समतल का हर बिंदु MM AM→=su⃗+tv⃗\vect{AM} = s\vec u + t\vec v के रूप में मिल जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 31.5 (सापेक्ष स्थितियाँ)

दो भिन्न समतल या तो समांतर होते हैं या किसी रेखा पर मिलते हैं। कोई रेखा और समतल या तो समांतर होते हैं (और रेखा समतल में समाई भी हो सकती है) या एक ही बिंदु पर मिलते हैं। अंतरिक्ष की दो रेखाएँ प्रतिच्छेदी, कड़ाई से समांतर, समरूप, या विषमतलीय (असमतलीय) हो सकती हैं।

रूपरेखा. ये आपतन के कथन हैं; निर्देशांकों में हर स्थिति-विश्लेषण किसी रैखिक निकाय को हल करके उसके हल गिनने पर सिमट आता है — विधि 31.10 देखिए। ∎

31.3 अदिश गुणनफल

परिभाषा 31.6 (अदिश गुणनफल)

u⃗\vec u और v⃗\vec v का अदिश गुणनफल है

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

जहाँ ∥u⃗∥\norm{\vec u} u⃗\vec u की लंबाई है। यदि दोनों सदिश शून्येतर हों, तो u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta, जहाँ θ\theta उनके बीच का कोण है; और किसी लंबकोणिक निर्देशांक-पद्धति में

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′.\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

दो सदिश लांबिक हैं यदि उनका अदिश गुणनफल 00 हो।

प्रतिज्ञप्ति 31.7 (गुण)

अदिश गुणनफल सममित (u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u), द्विरैखिक ((au⃗+bv⃗)⋅w⃗=a u⃗⋅w⃗+b v⃗⋅w⃗(a\vec u + b\vec v)\cdot \vec w = a\,\vec u\cdot\vec w + b\,\vec v\cdot \vec w) है, और u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2≥0\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2 \geq 0।

उपपत्ति. लंबकोणिक पद्धति में तीनों गुण सूत्र xx′+yy′+zz′xx' + yy' + zz' पर तत्काल दिख जाते हैं, और वह सूत्र स्वयं परिभाषा तथा लंबाइयों की पाइथागोरस गणना से निकलता है: ∥u⃗∥2=x2+y2+z2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 + z^2। ∎

परिभाषा 31.8 (अभिलंब सदिश)

किसी समतल P\mathcal P का अभिलंब सदिश वह शून्येतर सदिश है जो P\mathcal P में पड़े हर सदिश के लांबिक हो (इतना पर्याप्त है कि वह P\mathcal P की दो असंरेखी दिशाओं के लांबिक हो)।

समतल P का अभिलंब सदिश n P की हर दिशा के लांबिक है। M_0 से डाले गए लंब का पाद H M_0 की समतल से दूरी साकार करता है।
समतल P\mathcal P का अभिलंब सदिश n⃗\vec n P\mathcal P की हर दिशा के लांबिक है। M0M_0 से डाले गए लंब का पाद HH M0M_0 की समतल से दूरी साकार करता है।

प्रमेय 31.9 (समतल का कार्तीय समीकरण)

किसी लंबकोणिक निर्देशांक-पद्धति में AA से होकर अभिलंब सदिश n⃗(a,b,c)\vec n(a, b, c) वाले समतल का समीकरण

ax+by+cz+d=0,a x + b y + c z + d = 0,

है, जहाँ d=−(axA+byA+czA)d = -(ax_A + by_A + cz_A) है। इसके उलट, (a,b,c)≠(0,0,0)(a,b,c) \neq (0,0,0) वाला ऐसा हर समीकरण अभिलंब सदिश (a,b,c)(a, b, c) वाला एक समतल बताता है।

उपपत्ति. M∈P  ⟺  AM→⊥n⃗  ⟺  a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0M \in \mathcal P \iff \vect{AM} \perp \vec n \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0, जिसका प्रसार वही समीकरण है। इसके उलट, समीकरण का कोई भी हल-बिंदु AA लीजिए; वही गणना उल्टी चलाने पर दिखता है कि हल-समुच्चय {M:AM→⋅n⃗=0}\{M : \vect{AM}\cdot\vec n = 0\} है, यानी AA से होकर n⃗\vec n के लांबिक समतल। ∎

विधि 31.10 (व्यवहार में प्रतिच्छेद)

प्रतिज्ञप्ति 31.11 (बिंदु से समतल तक की दूरी)

किसी लंबकोणिक पद्धति में M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) की समतल P:ax+by+cz+d=0\mathcal P : ax + by + cz + d = 0 से दूरी है

dist⁡(M0,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2.\operatorname{dist}(M_0, \mathcal P) = \frac{\abs{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

उपपत्ति. मान लीजिए HH P\mathcal P पर M0M_0 का लांबिक प्रक्षेप है: लंब का पाद, इसलिए HM0→\vect{HM_0} इकाई अभिलंब n⃗∥n⃗∥\frac{\vec n}{\norm{\vec n}} का संरेखी है, और दूरी ∣HM0→⋅n⃗∥n⃗∥∣\abs{\vect{HM_0}\cdot \frac{\vec n}{\norm{\vec n}}} है। किसी भी H∈PH \in \mathcal P के लिए HM0→⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(axH+byH+czH)=ax0+by0+cz0+d\vect{HM_0}\cdot\vec n = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_H + by_H + cz_H) = ax_0 + by_0 + cz_0 + d (HH पर समीकरण का उपयोग करके), जिससे ∥n⃗∥=a2+b2+c2\norm{\vec n} = \sqrt{a^2+b^2+c^2} से भाग देने पर सूत्र निकल आता है। ∎

उदाहरण 31.12

मूल बिंदु की समतल x+2y+2z−6=0x + 2y + 2z - 6 = 0 से दूरी: ∣−6∣1+4+4=63=2\frac{\abs{-6}}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2।

31.4 अभ्यास

सभी अभ्यासों में निर्देशांक-पद्धति लंबकोणिक है।

अभ्यास 31.1 ★

मान लीजिए A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(3,1,1)B(3, 1, 1) और C(2,−1,3)C(2, -1, 3) हैं। क्या बिंदु AA, BB, CC संरेख हैं? रेखा (AB)(AB) का प्राचलिक निरूपण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.1.

AB→(2,1,−1)\vect{AB}(2, 1, -1) और AC→(1,−1,1)\vect{AC}(1, -1, 1) समानुपाती नहीं हैं (21≠1−1\frac21 \neq \frac{1}{-1}), इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं। रेखा (AB)(AB):

(x,y,z)=(1+2t,  t,  2−t),t∈R.(x, y, z) = (1 + 2t,\; t,\; 2 - t), \qquad t \in \R .

अभ्यास 31.2 ★

A(1,1,0)A(1, 1, 0) से होकर अभिलंब सदिश n⃗(2,−1,3)\vec n(2, -1, 3) वाले समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए। क्या बिंदु B(0,2,1)B(0, 2, 1) उसका है?

हल

हल — अभ्यास 31.2.

2(x−1)−(y−1)+3(z−0)=02(x - 1) - (y - 1) + 3(z - 0) = 0, अर्थात्

2x−y+3z−1=0.2x - y + 3z - 1 = 0 .

B(0,2,1)B(0,2,1) के लिए: 0−2+3−1=00 - 2 + 3 - 1 = 0: हाँ, BB समतल पर है।

अभ्यास 31.3 ★

शीर्षों A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,1,0)B(1, 1, 0) और C(1,0,1)C(1, 0, 1) वाले त्रिभुज का AA पर कोण (निकटतम अंश तक) निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 31.3.

AB→(1,1,0)\vect{AB}(1,1,0), AC→(1,0,1)\vect{AC}(1,0,1):

cos⁡A^=AB→⋅AC→∥AB→∥ ∥AC→∥=12 2=12,\cos\widehat{A} = \frac{\vect{AB}\cdot\vect{AC}}{\norm{\vect{AB}}\,\norm{\vect{AC}}} = \frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac12,

इसलिए A^=60∘\widehat A = 60^\circ।

अभ्यास 31.4 ★★

A(1,2,0)A(1, 2, 0) से होकर दिशा u⃗(1,−1,2)\vec u(1, -1, 2) वाली रेखा D\mathcal D, और समतल P:2x+y−z+1=0\mathcal P : 2x + y - z + 1 = 0 पर विचार कीजिए। D∩P\mathcal D \cap \mathcal P ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.4.

D\mathcal D के बिंदु: (1+t, 2−t, 2t)(1 + t,\, 2 - t,\, 2t)। P\mathcal P के समीकरण में रखने पर:

2(1+t)+(2−t)−2t+1=5−t=0  ⟺  t=5.2(1+t) + (2 - t) - 2t + 1 = 5 - t = 0 \iff t = 5 .

अद्वितीय प्रतिच्छेद बिंदु: (6,−3,10)(6, -3, 10)।

अभ्यास 31.5 ★★

मान लीजिए P:x−y+2z=1\mathcal P : x - y + 2z = 1 और Q:2x+y+z=4\mathcal Q : 2x + y + z = 4 हैं। दिखाइए कि P\mathcal P और Q\mathcal Q किसी रेखा पर मिलते हैं और उसका प्राचलिक निरूपण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.5.

अभिलंब सदिश (1,−1,2)(1, -1, 2) और (2,1,1)(2, 1, 1) संरेखी नहीं हैं, इसलिए दोनों समतल किसी रेखा पर मिलते हैं। दोनों समीकरण जोड़ने पर 3x+3z=53x + 3z = 5, इसलिए x=53−zx = \frac53 - z; फिर पहला समीकरण y=x+2z−1=23+zy = x + 2z - 1 = \frac23 + z देता है। z=tz = t के साथ:

(x,y,z)=(53−t,  23+t,  t),t∈R,(x, y, z) = \left(\frac53 - t,\; \frac23 + t,\; t\right), \qquad t \in \R,

यह दिक् सदिश (−1,1,1)(-1, 1, 1) वाली रेखा है। (दोनों समीकरण ज्यों के त्यों संतुष्ट होते हैं।)

अभ्यास 31.6 ★★

दिखाइए कि रेखाएँ

D1:(x,y,z)=(1+t,  2t,  3−t),D2:(x,y,z)=(2+s,  1+s,  1+2s)\mathcal D_1 : (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; 3 - t), \qquad \mathcal D_2 : (x, y, z) = (2 + s,\; 1 + s,\; 1 + 2s)

विषमतलीय हैं (समतलीय नहीं)।

हल

हल — अभ्यास 31.6.

दिशाएँ u⃗1(1,2,−1)\vec u_1(1, 2, -1) और u⃗2(1,1,2)\vec u_2(1, 1, 2) संरेखी नहीं हैं, इसलिए रेखाएँ समांतर नहीं हैं। प्रतिच्छेद के लिए

1+t=2+s,2t=1+s,3−t=1+2s.1 + t = 2 + s, \qquad 2t = 1 + s, \qquad 3 - t = 1 + 2s .

चाहिए। पहले दो t=1+st = 1 + s और 2(1+s)=1+s2(1+s) = 1 + s देते हैं, इसलिए s=−1s = -1, t=0t = 0; पर तब तीसरा 3=−13 = -1 बनता है, जो असंभव है। न कोई उभयनिष्ठ बिंदु, न समांतरता: रेखाएँ विषमतलीय हैं।

अभ्यास 31.7 ★★

मान लीजिए P:2x−y+2z−3=0\mathcal P : 2x - y + 2z - 3 = 0 है।

  1. M0(3,1,1)M_0(3, 1, 1) की P\mathcal P से दूरी निकालिए।
  2. P\mathcal P पर M0M_0 के लांबिक प्रक्षेप HH के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, और दूरी M0HM_0H जाँचिए।
हल

हल — अभ्यास 31.7.

1. dist⁡=∣2⋅3−1+2⋅1−3∣4+1+4=43\operatorname{dist} = \dfrac{\abs{2\cdot3 - 1 + 2\cdot1 - 3}} {\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}।

2. n⃗(2,−1,2)\vec n(2, -1, 2) के साथ H=M0+t n⃗H = M_0 + t\,\vec n, और tt ऐसा चुनकर कि H∈PH \in \mathcal P हो:

2(3+2t)−(1−t)+2(1+2t)−3=4+9t=0  ⟺  t=−49.2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) - 3 = 4 + 9t = 0 \iff t = -\frac49 .

अतः H(199,139,19)H\left(\frac{19}{9}, \frac{13}{9}, \frac19\right), और

M0H=∥t n⃗∥=49×3=43,M_0H = \norm{t\,\vec n} = \frac49 \times 3 = \frac43,

जो दूरी-सूत्र से मेल खाता है।

अभ्यास 31.8 ★★★

घन ABCDEFGHABCDEFGH की भुजा 11 है; निर्देशांक ऐसे रखिए कि A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,0,0)B(1,0,0), D(0,1,0)D(0,1,0), E(0,0,1)E(0,0,1) हों (AA से चलने वाले सदिशों C=B+DC = B + D, F=B+EF = B + E, G=B+D+EG = B + D + E, H=D+EH = D + E के साथ)।

  1. दिखाइए कि विकर्ण (AG)(AG) समतल (BDE)(BDE) के लांबिक है।
  2. AA की समतल (BDE)(BDE) से दूरी और वह बिंदु निकालिए जहाँ (AG)(AG) उसे भेदता है।
हल

हल — अभ्यास 31.8.

निर्देशांक: G(1,1,1)G(1,1,1), और समतल (BDE)(BDE) B(1,0,0)B(1,0,0), D(0,1,0)D(0,1,0), E(0,0,1)E(0,0,1) से होकर जाता है।

1. समतल (BDE)(BDE) का समीकरण x+y+z=1x + y + z = 1 है (तीनों बिंदु उसे संतुष्ट करते हैं और वे संरेख नहीं हैं), इसलिए n⃗(1,1,1)\vec n(1,1,1) उसका अभिलंब है। चूँकि AG→=(1,1,1)=n⃗\vect{AG} = (1,1,1) = \vec n है, इसलिए विकर्ण (AG)(AG) समतल (BDE)(BDE) के लांबिक है।

2. A(0,0,0)A(0,0,0) से दूरी: ∣0+0+0−1∣3=13=33\frac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}। रेखा (AG)(AG) (t,t,t)(t, t, t) है; वह समतल से तब मिलती है जब 3t=13t = 1: बिंदु (13,13,13)\left(\frac13, \frac13, \frac13\right) पर, जो त्रिभुज BDEBDE का केन्द्रक है।

अभ्यास 31.9 ★★★

(चतुष्फलक का आयतन.) मान लीजिए A(1,1,1)A(1,1,1), B(2,1,0)B(2,1,0), C(0,2,1)C(0,2,1) और D(2,2,2)D(2,2,2) हैं।

  1. जाँचिए कि AB→\vect{AB}, AC→\vect{AC}, AD→\vect{AD} समतलीय नहीं हैं (बिंदु सचमुच का चतुष्फलक बनाते हैं)।
  2. ऐसा सदिश n⃗\vec n ज्ञात कीजिए जो BC→\vect{BC} और BD→\vect{BD} दोनों के लांबिक हो, और समतल (BCD)(BCD) का कार्तीय समीकरण निकालिए।
  3. AA की समतल (BCD)(BCD) से दूरी और त्रिभुज BCDBCD का क्षेत्रफल निकालिए, और इसके लिए u⃗,v⃗\vec u, \vec v द्वारा रचे गए त्रिभुज के लिए सूत्र क्षेत्रफल=12∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2\text{क्षेत्रफल} = \frac12\sqrt{\norm{\vec u}^2\norm{\vec v}^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2} काम में लाइए।
  4. चतुष्फलक का आयतन निकालिए (V=13×आधार का क्षेत्रफल×ऊँचाईV = \frac13 \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई})।
हल

हल — अभ्यास 31.9.

1. AB→(1,0,−1)\vect{AB}(1, 0, -1), AC→(−1,1,0)\vect{AC}(-1, 1, 0), AD→(1,1,1)\vect{AD}(1, 1, 1)। यदि AD→=aAB→+bAC→\vect{AD} = a\vect{AB} + b\vect{AC} हो, तो निर्देशांक a−b=1a - b = 1, b=1b = 1, −a=1-a = 1 देते हैं: पहले दो a=2a = 2 अनिवार्य कर देते हैं, जो a=−1a = -1 का खंडन है। समतलीय नहीं।

2. BC→(−2,1,1)\vect{BC}(-2, 1, 1), BD→(0,1,2)\vect{BD}(0, 1, 2)। n⃗⋅BC→=n⃗⋅BD→=0\vec n \cdot \vect{BC} = \vec n \cdot \vect{BD} = 0 हल कीजिए: b+2c=0b + 2c = 0 से b=−2cb = -2c; फिर −2a−2c+c=0-2a - 2c + c = 0 c=−2ac = -2a देता है। a=1a = 1 के साथ: n⃗(1,4,−2)\vec n(1, 4, -2)। B(2,1,0)B(2,1,0) से होकर समतल:

x+4y−2z−6=0.x + 4y - 2z - 6 = 0 .

3. A(1,1,1)A(1,1,1) से दूरी: ∣1+4−2−6∣21=321\dfrac{\abs{1 + 4 - 2 - 6}}{\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}}। BCDBCD का क्षेत्रफल: ∥BC→∥2=6\norm{\vect{BC}}^2 = 6, ∥BD→∥2=5\norm{\vect{BD}}^2 = 5, BC→⋅BD→=3\vect{BC}\cdot\vect{BD} = 3, इसलिए

क्षेत्रफल=126×5−9=212.\text{क्षेत्रफल} = \frac12\sqrt{6 \times 5 - 9} = \frac{\sqrt{21}}{2}.

4.

V=13×212×321=12.V = \frac13 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac12 .

31.5 समस्या: घन को काटना

समस्या 31.1

सप्ताहांत समस्या — एक समतल घन को काटकर पूर्ण षट्भुज बना देता है, कोनों में एक सम चतुष्फलक छिपा है, और विकर्ण का कोण हर हीरे की आकृति गढ़ता है

घन को काटिए तो आप वर्ग और आयत की अपेक्षा करते हैं — फिर भी एक प्रसिद्ध कटान सम षट्भुज बना देता है, और कोनों के चार चतुर कटान पीछे एक सम चतुष्फलक छोड़ जाते हैं। ये दोनों अचरज, और वह 109.5∘109.5^\circ का कोण जिसकी पूजा कार्बन परमाणु करते हैं, इसी अध्याय के औज़ार-बक्से के आगे झुक जाते हैं: प्राचलिक रेखाएँ, समतल-समीकरण और अदिश गुणनफल (प्रमेय 31.9, प्रतिज्ञप्ति 31.11)। पूरे समय अभ्यास 31.8 का घन काम में लाइए: भुजा 11, A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,0,0)B(1,0,0), D(0,1,0)D(0,1,0), E(0,0,1)E(0,0,1), C(1,1,0)C(1,1,0), F(1,0,1)F(1,0,1), H(0,1,1)H(0,1,1), G(1,1,1)G(1,1,1)।

भाग I — प्रवाह।

  1. B(1,0,0)B(1,0,0) से होकर अभिलंब सदिश (1,1,1)(1,1,1) वाले समतल का समीकरण, AA से होकर (1,1,1)(1,1,1) द्वारा दिशित रेखा का प्राचलिक निरूपण, और उनका प्रतिच्छेद बिंदु लिखिए।
  2. AA की उस समतल से दूरी निकालिए (प्रतिज्ञप्ति 31.11)।
  3. क्या सदिश (1,−1,0)(1,-1,0) और (1,1,−2)(1,1,-2) लांबिक हैं?
  4. समतलों x+y+z=1x + y + z = 1 और 2x+2y+2z=52x + 2y + 2z = 5 की स्थिति क्या है? और AA से होकर (1,1,0)(1,1,0) द्वारा दिशित रेखा की पहले समतल के सापेक्ष स्थिति?
  5. घन की छह कोरों [BC],[CD],[DH],[HE],[EF],[FB][BC], [CD], [DH], [HE], [EF], [FB] के मध्यबिंदु गिनाइए, और जाँचिए कि छहों समीकरण x+y+z=32x + y + z = \frac32 को संतुष्ट करते हैं।

भाग II — षट्भुजीय काट। मान लीजिए PP समतल x+y+z=32x + y + z = \frac32 है।

  1. दिखाइए कि PP बड़े विकर्ण (AG)(AG) पर लंब है और घन के केंद्र से होकर जाता है।
  2. काट के चारों ओर प्रश्न 5 के क्रमागत मध्यबिंदुओं के बीच की दूरियाँ निकालिए: आपको क्या मिलता है?
  3. काट के बहुभुज का किसी एक शीर्ष पर कोण निकालिए (दो क्रमागत कोर-सदिश और एक बिंदु-गुणनफल)। निष्कर्ष निकालिए: काट एक सम षट्भुज है।
  4. षट्भुज का परिमाप और क्षेत्रफल निकालिए, और उसके क्षेत्रफल की तुलना घन के किसी फलक से कीजिए। (जानकारी के लिए: इकाई घन की सबसे बड़ी समतल काट 1×21 \times \sqrt2 वाला विकर्ण आयत है, जिसका क्षेत्रफल 2\sqrt2 है — सम षट्भुज को रजत पदक मिलता है।)
  5. विकर्ण (AG)(AG) PP को कहाँ भेदता है? जाँचिए कि भेदन-बिंदु [AG][AG] का मध्यबिंदु है।
  6. कटान को सरकाइए: cc के 00 से 33 तक बढ़ने पर काटों x+y+z=cx + y + z = c का वर्णन कीजिए — c=12c = \frac12 के लिए काट निकालिए (कौन-सा बहुभुज, किस आकार का?), और उस रूपांतर की कहानी कहिए जो c=32c = \frac32 पर आपके षट्भुज से होकर गुज़रती है।
  7. कोई समतल घन को सात भुजाओं वाले बहुभुज में क्यों नहीं काट सकता? (काट की हर भुजा को कहाँ पड़ना ही चाहिए?)

भाग III — छिपा हुआ चतुष्फलक।

  1. कोने वाले चतुष्फलक ABDEABDE का आयतन निकालिए (आधार, ऊँचाई, और वह एक-तिहाई वाला सूत्र जिसे माध्यमिक विद्यालय खंड ने स्वीकार किया था — अभ्यास 31.9 ऐसे आयतन सामान्य रूप से निकाल देता है)।
  2. चारों शीर्ष BB, DD, EE, GG: जोड़े-जोड़े छहों दूरियाँ निकालिए और निष्कर्ष निकालिए कि BDEGBDEG सम चतुष्फलक है। फिर घन में से कोने वाले चतुष्फलक घटाकर उसका आयतन निकालिए।
  3. घन के केंद्र की समतल (BDE)(BDE) से दूरी निकालिए।
  4. हीरे का कोण: घन के विकर्णों AG→\vect{AG} और BH→\vect{BH} के बीच का कोण निकालिए। उसका संपूरक, लगभग 109.5∘109.5^\circ, हीरे और मेथेन में बंधों के बीच का कोण है — किसी कार्बन परमाणु के चारों ओर के चार इलेक्ट्रॉन-युग्म प्रश्न 14 के चतुष्फलक के कोने ही क्यों चुनते हैं?

भाग IV — सचमुच त्रिविमीय।

  1. B(1,0,0)B(1,0,0) से होकर (0,1,1)(0,1,1) द्वारा दिशित रेखा षट्भुज के समतल PP को कहाँ भेदती है, यह ज्ञात कीजिए।
  2. दिखाइए कि रेखाएँ (AB)(AB) और (EG)(EG) न मिलती हैं न समांतर हैं: विषमतलीय रेखाएँ, यानी वह परिघटना जो किसी समतल में हो ही नहीं सकती।
  3. PP पर BB का लांबिक प्रक्षेप निकालिए (BB से अभिलंब के अनुदिश समतल तक चलिए), और जाँचिए कि आपका बिंदु PP के समीकरण को संतुष्ट करता है।
  4. समापन — अंतरिक्ष के भूमापक का बक्सा: भेदन के लिए प्राचलिक रेखाएँ, कोणों और दूरियों के लिए अभिलंब सदिश, काटों के लिए समतल-समीकरण; और घन वह खेल का मैदान जहाँ उन्होंने एक षट्भुज, एक सम चतुष्फलक, हीरे का कोण और विषमतलीय रेखाओं की एक जोड़ी पैदा कर दी। हर एक पर एक वाक्य।
हल

हल — समस्या 31.1.

1. समतल: x+y+z=1x + y + z = 1। रेखा: (t,t,t)(t, t, t)। प्रतिच्छेद: 3t=13t = 1: (13,13,13)\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)।

2. ∣0+0+0−1∣3=13=33\dfrac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}।

3. 1−1+0=01 - 1 + 0 = 0: लांबिक।

4. वही अभिलंब (1,1,1)(1,1,1), पर 52≠1\frac52 \neq 1: कड़ाई से समांतर समतल। रेखा: दिशा (1,1,0)⋅(1,1,1)=2≠0(1,1,0) \cdot (1,1,1) = 2 \neq 0: समतल के समांतर नहीं, इसलिए वह उसे एक बिंदु पर भेदती है।

5. मध्यबिंदु: (1,12,0)\left(1, \frac12, 0\right), (12,1,0)\left(\frac12, 1, 0\right), (0,1,12)\left(0, 1, \frac12\right), (0,12,1)\left(0, \frac12, 1\right), (12,0,1)\left(\frac12, 0, 1\right), (1,0,12)\left(1, 0, \frac12\right): हर एक के निर्देशांकों का योग 32\frac32 है।

6. PP का अभिलंब (1,1,1)(1,1,1) है, जो (AG)(AG) की दिशा है: लंब। केंद्र (12,12,12)\left(\frac12,\frac12,\frac12\right) के निर्देशांकों का योग 32\frac32 है: यानी वह PP पर है।

7. क्रमागत मध्यबिंदुओं का अंतर (−12,12,0)\left(-\frac12, \frac12, 0\right) जैसे सदिश हैं: हर बार लंबाई 22\frac{\sqrt2}{2} — छह बराबर भुजाएँ।

8. (12,1,0)\left(\frac12, 1, 0\right) पर: कोर-सदिश (12,−12,0)\left(\frac12, -\frac12, 0\right) और (−12,0,12)\left(-\frac12, 0, \frac12\right): बिंदु-गुणनफल −14-\frac14, परिमाण 22\frac{\sqrt2}{2}: cos⁡=−12\cos = -\frac12: कोण 120∘120^\circ। बराबर भुजाएँ, बराबर 120∘120^\circ कोण: एक सम षट्भुज।

9. परिमाप 6×22=32≈4.246 \times \frac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4.24। क्षेत्रफल 6×34×12=334≈1.306 \times \frac{\sqrt3}{4} \times \frac12 = \frac{3\sqrt3}{4} \approx 1.30: किसी फलक (क्षेत्रफल 11) से बड़ा — यानी डिब्बे की किसी भी भुजा से बड़ी काट; केवल विकर्ण आयत (2≈1.41\sqrt2 \approx 1.41) उसे हरा पाता है।

10. (t,t,t)(t,t,t) PP से t=12t = \frac12 पर मिलता है: यानी केंद्र — जो [AG][AG] का मध्यबिंदु है (AA t=0t = 0 पर, GG t=1t = 1 पर)।

11. c=12c = \frac12 के लिए: समतल AA के कोने पर तीनों कोरों को (12,0,0)\left(\frac12,0,0\right), (0,12,0)\left(0,\frac12,0\right), (0,0,12)\left(0,0,\frac12\right) पर काटता है: भुजा 22\frac{\sqrt2}{2} वाला समबाहु त्रिभुज। cc बढ़ने पर त्रिभुज बड़ा होता जाता है, उसके कोने कटकर षट्भुज बन जाते हैं (जो ठीक c=32c = \frac32 पर सम है), और फिर चित्र सममित रूप से सिकुड़कर GG के कोने पर त्रिभुज बन जाता है: यही रत्न-कटाई जैसा रूपांतर है।

12. काट की हर भुजा कटान-समतल का घन के किसी एक फलक के साथ प्रतिच्छेद है, और कोई समतल किसी फलक (सपाट बहुभुज) से अधिक से अधिक एक रेखाखंड में मिलता है: अतः अधिक से अधिक 66 भुजाएँ। सात असंभव है; तीन से छह तक सब होते हैं (प्रश्न 8 और 11 उनमें से दो दिखा देते हैं)।

13. आधार ABDABD: क्षेत्रफल 12\frac12 का समकोण त्रिभुज; ऊँचाई AE=1AE = 1: आयतन 13×12×1=16\frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16।

14. B,D,E,GB, D, E, G में से हर युग्म ठीक दो निर्देशांकों में 11 से भिन्न है: छहों दूरियाँ 2\sqrt2 के बराबर — यानी सम। घन BDEGBDEG और ABDEABDE के सर्वांगसम चार कोने वाले चतुष्फलकों में बँट जाता है: आयतन 1−4×16=131 - 4 \times \frac16 = \frac13।

15. समतल (BDE)(BDE): x+y+z=1x + y + z = 1; केंद्र (12,12,12)\left(\frac12,\frac12,\frac12\right): दूरी ∣32−1∣3=123=36\frac{\abs{\frac32 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{6}।

16. AG→=(1,1,1)\vect{AG} = (1,1,1), BH→=(−1,1,1)\vect{BH} = (-1,1,1): cos⁡θ=−1+1+13=13\cos\theta = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac13: θ≈70.5∘\theta \approx 70.5^\circ, संपूरक ≈109.5∘\approx 109.5^\circ। चार इलेक्ट्रॉन-युग्म एक-दूसरे को धकेलते हैं और कार्बन के चारों ओर जितना दूर हो सके उतना फैल जाते हैं: इष्टतम व्यवस्था सम चतुष्फलक के कोने हैं, जिनकी केंद्र-से-शीर्ष दिशाएँ ठीक इसी कोण पर मिलती हैं — हीरा प्रश्न 14 का ही रवा है।

17. PP पर (1,t,t)(1, t, t): 1+2t=321 + 2t = \frac32: t=14t = \frac14: बिंदु (1,14,14)\left(1, \frac14, \frac14\right)।

18. (AB)(AB): बिंदु (t,0,0)(t, 0, 0); (EG)(EG): बिंदु (s,s,1)(s, s, 1)। मिलने के लिए तीसरे निर्देशांक में 0=10 = 1 चाहिए: कभी नहीं। समांतर होने के लिए (1,0,0)(1,0,0) और (1,1,0)(1,1,0) का संरेखी होना चाहिए: नहीं। न मिलती हैं न समांतर हैं: विषमतलीय — अलग-अलग मंज़िलों के दो गलियारे।

19. PP पर B+t(1,1,1)=(1+t,t,t)B + t(1,1,1) = (1 + t, t, t): 1+3t=321 + 3t = \frac32: t=16t = \frac16: प्रक्षेप (76,16,16)\left(\frac76, \frac16, \frac16\right), जिसके निर्देशांकों का योग 32\frac32 है: यानी वह PP पर है, जैसा चाहिए था।

20. प्राचलिक रेखाएँ भेदती हैं (प्रश्न 1, 10, 17); अभिलंब सदिश कोण और दूरियाँ नापते हैं (प्रश्न 2, 8, 15, 16); और समतल-समीकरण काटें तराशते हैं (त्रिभुज-से-षट्भुज वाला रूपांतर)। और खेल के मैदान ने आतिथ्य का पूरा मोल चुका दिया: वर्गों के डिब्बे में एक सम षट्भुज, कोनों में एक सम चतुष्फलक, हीरे का कोण, और दो ऐसी रेखाएँ जो एक-दूसरे को अनदेखा कर देती हैं — वह ज्यामिति जो केवल अंतरिक्ष ही दे सकता है।