Mathematics · किताब 2 · Grades 10–12

उच्च माध्यमिक गणित

उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

25समाकलन

समाकलन एक साथ दो प्रश्नों का उत्तर देता है: किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल क्या है, और किसी फलन को उसके परिवर्तन की दर से वापस कैसे पाया जाए? कलन की मूल प्रमेय कहती है कि ये दोनों एक ही प्रश्न हैं — सत्रहवीं सदी के गणित की सबसे गहरी और सबसे उपयोगी खोज।

25.1 संतत फलन का समाकल

परिभाषा 25.1 (धनात्मक फलन का समाकल)

मान लीजिए ff [a, b]\intcc{a}{b} पर संतत और धनात्मक है। समाकल

∫abf(x)  ⁣dx\int_a^b f(x)\,\dd x

उस क्षेत्र का क्षेत्रफल है (क्षेत्रफल के मात्रकों में) जो ff के वक्र, xx-अक्ष, और ऊर्ध्वाधर रेखाओं x=ax = a तथा x=bx = b से घिरा है।

किसी भी चिह्न वाले फलन के लिए xx-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक गिने जाते हैं; और ∫baf(x)  ⁣dx=−∫abf(x)  ⁣dx\int_b^a f(x)\,\dd x = -\int_a^b f(x)\,\dd x रखा जाता है।

चिह्नित क्षेत्रफल: ∈t_02π x\, x = 0, जिसमें अक्ष के नीचे का क्षेत्र (लाल) ऊपर के क्षेत्र (नीला) को काट देता है।
चिह्नित क्षेत्रफल: ∫02πsin⁡x  ⁣dx=0\int_0^{2\pi} \sin x\,\dd x = 0, जिसमें अक्ष के नीचे का क्षेत्र (लाल) ऊपर के क्षेत्र (नीला) को काट देता है।

प्रतिज्ञप्ति 25.2 (समाकल के गुण)

मान लीजिए f,gf, g a,b,ca, b, c को समेटने वाले किसी अंतराल पर संतत हैं, और λ∈R\lambda \in \R है।

  1. रैखिकता: ∫ab(f+λg)=∫abf+λ∫abg\displaystyle\int_a^b (f + \lambda g) = \int_a^b f + \lambda \int_a^b g।
  2. शाल का संबंध: ∫acf=∫abf+∫bcf\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f।
  3. धनात्मकता: यदि [a, b]\intcc{a}{b} पर a≤ba \leq b और f≥0f \geq 0 हो, तो ∫abf≥0\displaystyle\int_a^b f \geq 0; और यदि f≤gf \leq g हो, तो ∫abf≤∫abg\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g।

उपपत्ति. शाल और धनात्मकता क्षेत्रफल वाली व्याख्या से तत्काल मिल जाते हैं (क्षेत्र साथ-साथ रखने पर क्षेत्रफल जुड़ जाते हैं; धनात्मक ऊँचाई वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल धनात्मक होता है)। तुलना धनात्मकता को g−fg - f पर लगाने से निकलती है। धनात्मक फलनों के योग के लिए रैखिकता अंतर्ज्ञान से स्पष्ट है (क्षेत्रफल एक के ऊपर एक रख दीजिए) और उसकी कठोर उपपत्ति स्नातक स्तर पर होती है; यहाँ उसे स्वीकार कर लिया जाता है। ∎

25.2 कलन की मूल प्रमेय

परिभाषा 25.3 (प्रतिअवकलज)

किसी अंतराल II पर ff का प्रतिअवकलज II पर अवकलनीय ऐसा फलन FF है जिसके लिए F′=fF' = f हो।

प्रतिज्ञप्ति 25.4

यदि FF किसी अंतराल II पर ff का प्रतिअवकलज हो, तो II पर ff के प्रतिअवकलज ठीक फलन F+cF + c, c∈Rc \in \R हैं। x0∈Ix_0 \in I और y0∈Ry_0 \in \R दिए होने पर F(x0)=y0F(x_0) = y_0 वाला अद्वितीय प्रतिअवकलज होता है।

उपपत्ति. यदि G′=F′=fG' = F' = f हो, तो अंतराल II पर (G−F)′=0(G - F)' = 0, इसलिए G−FG - F अचर है।1 इसके उलट हर F+cF + c प्रतिअवकलज है। शर्त F(x0)=y0F(x_0) = y_0 अचर को तय कर देती है। ∎

प्रमेय 25.5 (कलन की मूल प्रमेय)

मान लीजिए ff किसी अंतराल II पर संतत है और a∈Ia \in I है। फलन

F ⁣:x⟼∫axf(t)  ⁣dtF \colon x \longmapsto \int_a^x f(t)\,\dd t

II पर ff का वह प्रतिअवकलज है जो aa पर लुप्त होता है। परिणामस्वरूप, ff के किसी भी प्रतिअवकलज GG और a,b∈Ia, b \in I के लिए:

∫abf(t)  ⁣dt=[G(t)]ab=G(b)−G(a).\int_a^b f(t)\,\dd t = \bigl[G(t)\bigr]_a^b = G(b) - G(a).
उपपत्ति का विचार: वृद्धि F(x+h) - F(x) उस पतली पट्टी (नारंगी) का क्षेत्रफल है, जो लंबाई h के आधार पर ऊँचाइयों f(x) और f(x+h) वाले आयतों के बीच दबी हुई है।
उपपत्ति का विचार: वृद्धि F(x+h)−F(x)F(x+h) - F(x) उस पतली पट्टी (नारंगी) का क्षेत्रफल है, जो लंबाई hh के आधार पर ऊँचाइयों f(x)f(x) और f(x+h)f(x+h) वाले आयतों के बीच दबी हुई है।

ff के वर्धमान होने पर उपपत्ति. x∈Ix \in I और h>0h > 0 स्थिर रखिए, जहाँ x+h∈Ix + h \in I है। शाल से

F(x+h)−F(x)=∫xx+hf(t)  ⁣dt.F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,\dd t .

चूँकि ff वर्धमान है, इसलिए t∈[x, x+h]t \in \intcc{x}{x+h} के लिए f(x)≤f(t)≤f(x+h)f(x) \leq f(t) \leq f(x+h), और समाकलों की तुलना से (लंबाई hh के अंतराल पर अचर cc का समाकल chch होता है):

h f(x)≤F(x+h)−F(x)≤h f(x+h),h\,f(x) \leq F(x+h) - F(x) \leq h\,f(x+h),

इसलिए

f(x)≤F(x+h)−F(x)h≤f(x+h).f(x) \leq \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x+h).

h→0+h \to 0^+ पर सांतत्य से f(x+h)→f(x)f(x+h) \to f(x), और संपीडन प्रमेय से अंतर-भागफल f(x)f(x) की ओर जाता है; स्थिति h<0h < 0 सममित है। अतः F′=fF' = f, और F(a)=0F(a) = 0। सामान्य (अ-एकदिष्ट) संतत स्थिति स्नातक स्तर पर सिद्ध होती है।

अंत में, यदि GG कोई भी प्रतिअवकलज हो, तो G=F+cG = F + c (प्रतिज्ञप्ति 25.4), इसलिए G(b)−G(a)=F(b)−F(a)=∫abfG(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f। ∎

उदाहरण 25.6

∫01x2  ⁣dx=[x33]01=13\displaystyle\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13: परवलय के नीचे का क्षेत्रफल इकाई वर्ग का एक-तिहाई है, जैसा आर्किमिडीज़ जानते थे।

प्रतिअवकलजों की सारणी अवकलजों की सारणी से पढ़ी जाती है (uu किसी अवकलनीय फलन को और cc किसी मनमाने अचर को दर्शाता है):

f(x)f(x)प्रतिअवकलजffप्रतिअवकलज
xn (n≠−1)x^n \ (n \neq -1)xn+1n+1+c\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + cu′un (n≠−1)u'u^n \ (n \neq -1)un+1n+1+c\dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c
1x (x>0)\dfrac1x \ (x > 0)ln⁡x+c\ln x + cu′u (u>0)\dfrac{u'}{u} \ (u > 0)ln⁡u+c\ln u + c
ex\eu^xex+c\eu^x + cu′euu'\eu^ueu+c\eu^u + c
cos⁡x\cos xsin⁡x+c\sin x + cu′u (u>0)\dfrac{u'}{\sqrt u} \ (u>0)2u+c2\sqrt u + c
sin⁡x\sin x−cos⁡x+c-\cos x + c

विधि 25.7 (u′×(u का कोई व्यंजक)u' \times (u \text{ का कोई व्यंजक}) का रूप पहचानना)

किसी गुणनफल का समाकलन करने के लिए ऐसा गुणनखंड ढूँढ़िए जो किसी भीतरी फलन uu का अवकलज हो, किसी गुणक अचर तक। जैसे ∫01x ex2 ⁣dx\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x में गुणनखंड xx 12(x2)′\frac12 (x^2)' है:

∫01x ex2 ⁣dx=12[ex2]01=e−12.\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x = \frac12\left[\eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}.

प्रमेय 25.8 (खंडशः समाकलन)

मान लीजिए u,vu, v [a, b]\intcc{a}{b} पर अवकलनीय हैं और उनके अवकलज संतत हैं। तब

∫abu′(t) v(t)  ⁣dt=[u(t) v(t)]ab−∫abu(t) v′(t)  ⁣dt.\int_a^b u'(t)\,v(t)\,\dd t = \bigl[u(t)\,v(t)\bigr]_a^b - \int_a^b u(t)\,v'(t)\,\dd t .

उपपत्ति. गुणनफल के नियम से (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'; दोनों पक्षों का [a, b]\intcc{a}{b} पर समाकलन करके बाएँ पक्ष के लिए मूल प्रमेय का उपयोग करने पर [uv]ab=∫abu′v+∫abuv′\bigl[uv\bigr]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv' मिलता है। ∎

उदाहरण 25.9

∫01t et  ⁣dt\displaystyle\int_0^1 t\,\eu^{t}\,\dd t: u′=etu' = \eu^t, v=tv = t लीजिए, इसलिए u=etu = \eu^t, v′=1v' = 1:

∫01t et  ⁣dt=[t et]01−∫01et  ⁣dt=e−(e−1)=1.\int_0^1 t\,\eu^t\,\dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

25.3 अनुप्रयोग

परिभाषा 25.10 (माध्य मान)

[a, b]\intcc{a}{b} (a<ba<b) पर संतत फलन ff का माध्य मान है

μ=1b−a∫abf(t)  ⁣dt.\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\dd t .

प्रतिज्ञप्ति 25.11

यदि [a, b]\intcc{a}{b} पर m≤f≤Mm \leq f \leq M हो, तो m≤μ≤Mm \leq \mu \leq M।

उपपत्ति. असमिकाओं m≤f(t)≤Mm \leq f(t) \leq M का [a, b]\intcc{a}{b} पर समाकलन कीजिए और b−a>0b - a > 0 से भाग दीजिए। ∎

विधि 25.12 (दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल)

यदि [a, b]\intcc{a}{b} पर f≥gf \geq g हो, तो दोनों वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫ab(f(x)−g(x)) ⁣dx\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\dd x है। यदि वक्र एक-दूसरे को काटते हों, तो अंतराल को कटान-बिंदुओं पर बाँट दीजिए और ∣f−g∣\abs{f - g} का टुकड़ा-दर-टुकड़ा समाकलन कीजिए।

रेखा y = x + 1 (लाल) और परवलय y = x2 - 1 (नीला) के बीच का क्षेत्रफल ∈t_-12 ((x+1) - (x2-1) ) x = 9/2 है।
रेखा y=x+1y = x + 1 (लाल) और परवलय y=x2−1y = x^2 - 1 (नीला) के बीच का क्षेत्रफल ∫−12((x+1)−(x2−1)) ⁣dx=92\int_{-1}^{2} \bigl((x+1) - (x^2-1)\bigr)\dd x = \frac92 है।

25.4 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

निकालिए:

∫12(3x2−1x2) ⁣dx,∫0π/2cos⁡t  ⁣dt,∫01 ⁣dt2t+1.\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x, \qquad \int_0^{\pi/2} \cos t \,\dd t, \qquad \int_0^{1} \frac{\dd t}{2t+1} .
हल

हल — अभ्यास 25.1.

∫12(3x2−1x2) ⁣dx=[x3+1x]12=(8+12)−2=132.\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{1}{x^2}\right)\dd x = \left[x^3 + \frac1x\right]_1^2 = \left(8 + \tfrac12\right) - 2 = \frac{13}{2}.
∫0π/2cos⁡t  ⁣dt=[sin⁡t]0π/2=1.\int_0^{\pi/2} \cos t\,\dd t = \bigl[\sin t\bigr]_0^{\pi/2} = 1 .

u=2t+1u = 2t+1, 12t+1=12 u′u\frac{1}{2t+1} = \frac12\,\frac{u'}{u} के साथ:

∫01 ⁣dt2t+1=12[ln⁡(2t+1)]01=ln⁡32.\int_0^1 \frac{\dd t}{2t+1} = \frac12\bigl[\ln(2t+1)\bigr]_0^1 = \frac{\ln 3}{2}.

अभ्यास 25.2 ★

R\R पर f(x)=xex2f(x) = x\eu^{x^2} का वह प्रतिअवकलज FF ज्ञात कीजिए जिसके लिए F(0)=1F(0) = 1 हो।

हल

हल — अभ्यास 25.2.

x ex2=12 (x2)′ ex2x\,\eu^{x^2} = \frac12\,(x^2)'\,\eu^{x^2} के प्रतिअवकलज 12ex2+c\frac12\eu^{x^2} + c हैं। शर्त F(0)=1F(0) = 1 से 12+c=1\frac12 + c = 1 मिलता है, इसलिए

F(x)=ex2+12.F(x) = \frac{\eu^{x^2} + 1}{2}.

अभ्यास 25.3 ★

[0, π]\intcc{0}{\pi} पर f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t का माध्य मान निकालिए, और परिणाम की व्याख्या आलेख पर कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 25.3.

μ=1π∫0πsin⁡t  ⁣dt=1π[−cos⁡t]0π=2π≈0.64.\mu = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.64 .

आलेख की दृष्टि से: आधार [0, π]\intcc{0}{\pi} और ऊँचाई 2π\frac{2}{\pi} वाले आयत का क्षेत्रफल ज्या-वक्र के मेहराब जितना ही है।

अभ्यास 25.4 ★★

खंडशः समाकलन से निकालिए:

∫1eln⁡t  ⁣dtऔर∫0πtsin⁡t  ⁣dt.\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t \qquad\text{और}\qquad \int_0^{\pi} t \sin t\,\dd t .
हल

हल — अभ्यास 25.4.

u′=1u' = 1, v=ln⁡tv = \ln t लीजिए, इसलिए u=tu = t, v′=1tv' = \frac1t:

∫1eln⁡t  ⁣dt=[tln⁡t]1e−∫1e1  ⁣dt=e−(e−1)=1.\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1\,\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1 .

u′=sin⁡tu' = \sin t, v=tv = t लीजिए, इसलिए u=−cos⁡tu = -\cos t, v′=1v' = 1:

∫0πtsin⁡t  ⁣dt=[−tcos⁡t]0π+∫0πcos⁡t  ⁣dt=π+0=π.\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi .

अभ्यास 25.5 ★★

परवलय y=x2y = x^2 और रेखा y=x+2y = x + 2 के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 25.5.

वक्र वहाँ मिलते हैं जहाँ x2=x+2x^2 = x + 2, अर्थात् x∈{−1,2}x \in \{-1, 2\}, और [−1, 2]\intcc{-1}{2} पर रेखा परवलय के ऊपर है। क्षेत्रफल है

∫−12(x+2−x2) ⁣dx=[x22+2x−x33]−12=103−(−76)=92.\int_{-1}^{2} \bigl(x + 2 - x^2\bigr)\dd x = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}.

अभ्यास 25.6 ★★

मान लीजिए I=∫01 ⁣dt1+tI = \displaystyle\int_0^1 \frac{\dd t}{1 + t} है।

  1. II निकालिए।
  2. n∈Nn \in \N के लिए मान लीजिए In=∫01tn1+t ⁣dtI_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t है। दिखाइए कि In+In+1=1n+1I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}, और यह भी कि 0≤In≤1n+10 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}।
  3. निष्कर्ष निकालिए कि 1−12+13−⋯+(−1)n−1n→n→+∞ln⁡21 - \frac12 + \frac13 - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2।
हल

हल — अभ्यास 25.6.

1. I=[ln⁡(1+t)]01=ln⁡2I = \bigl[\ln(1+t)\bigr]_0^1 = \ln 2।

2.

In+In+1=∫01tn(1+t)1+t  ⁣dt=∫01tn  ⁣dt=1n+1.I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{t^n(1 + t)}{1+t}\,\dd t = \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1}.

[0, 1]\intcc{0}{1} पर 0≤tn1+t≤tn0 \leq \dfrac{t^n}{1+t} \leq t^n, इसलिए तुलना से 0≤In≤1n+10 \leq I_n \leq \frac{1}{n+1}।

3. पुनरावृत्ति से, क्रमिक निरसन वाले आगमन द्वारा,

In=(−1)n(I0−(1−12+⋯+(−1)n−1n)),I_n = (-1)^n\left(I_0 - \left(1 - \frac12 + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\right)\right),

अर्थात् ∑k=1n(−1)k−1k=ln⁡2−(−1)nIn\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \ln 2 - (-1)^n I_n (I0=ln⁡2I_0 = \ln 2 याद कीजिए)। चूँकि ∣In∣≤1n+1→0\abs{I_n} \leq \frac{1}{n+1} \to 0 है, इसलिए एकांतर हरात्मक योग ln⁡2\ln 2 की ओर जाता है।

अभ्यास 25.7 ★★

प्रस्थान के बाद पहले 100100 सेकंड में किसी रेलगाड़ी की चाल (m/s में) v(t)=30(1−e−t/50)v(t) = 30\bigl(1 - \eu^{-t/50}\bigr) से प्रतिरूपित होती है। इन 100100 सेकंडों में तय की गई दूरी और इस अंतराल पर रेलगाड़ी की औसत चाल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 25.7.

दूरी:

d=∫010030(1−e−t/50) ⁣dt=30[t+50 e−t/50]0100=30(100+50e−2−50)=1500+1500 e−2.d = \int_0^{100} 30\left(1 - \eu^{-t/50}\right)\dd t = 30\left[t + 50\,\eu^{-t/50}\right]_0^{100} = 30\left(100 + 50\eu^{-2} - 50\right) = 1500 + 1500\,\eu^{-2}.

संख्याओं में d≈1500+203=1703d \approx 1500 + 203 = 1703 m। औसत चाल: d100=15(1+e−2)≈17.0\frac{d}{100} = 15\bigl(1 + \eu^{-2}\bigr) \approx 17.0 m/s।

अभ्यास 25.8 ★★★

n≥1n \geq 1 के लिए मान लीजिए Sn=1n∑k=1n11+k/nS_n = \dfrac1n \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} है।

  1. SnS_n की व्याख्या ऐसे आयतों के क्षेत्रफल के रूप में कीजिए जो [0, 1]\intcc{0}{1} पर t↦11+tt \mapsto \frac{1}{1+t} के वक्र के नीचे के क्षेत्र का सन्निकटन करते हैं।

  2. t↦11+tt \mapsto \frac{1}{1+t} की एकदिष्टता का उपयोग करके दिखाइए कि

    Sn≤∫01 ⁣dt1+t≤Sn+1n(1−12),S_n \leq \int_0^1 \frac{\dd t}{1+t} \leq S_n + \frac1n\left(1 - \frac12\right),

    और lim⁡n→+∞Sn=ln⁡2\lim\limits_{n\to+\infty} S_n = \ln 2 निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 25.8.

1. SnS_n चौड़ाई 1n\frac1n और ऊँचाइयों f(kn)f\left(\frac kn\right), k=1,…,nk = 1, \dots, n वाले nn आयतों का कुल क्षेत्रफल है, जहाँ f(t)=11+tf(t) = \frac{1}{1+t}: यह [0, 1]\intcc{0}{1} पर ff के नीचे के क्षेत्रफल का “दाएँ सिरे” वाला आयत-सन्निकटन है।

2. ff ह्रासमान है, इसलिए हर अंतराल [k−1n, kn]\intcc{\frac{k-1}{n}}{\frac kn} पर f(kn)≤f(t)≤f(k−1n)f\left(\frac kn\right) \leq f(t) \leq f\left(\frac{k-1}{n}\right); समाकलन करके kk पर जोड़ने पर:

Sn≤∫01f(t)  ⁣dt≤Sn+1n(f(0)−f(1))=Sn+12n.S_n \leq \int_0^1 f(t)\,\dd t \leq S_n + \frac1n\bigl(f(0) - f(1)\bigr) = S_n + \frac{1}{2n}.

(अभ्यास के प्रदर्शन का बीच वाला पद, f(0)−f(1)=1−12f(0) - f(1) = 1 - \frac12 के साथ, ठीक यही परिबंध है।) अतः 0≤ln⁡2−Sn≤12n→00 \leq \ln 2 - S_n \leq \frac{1}{2n} \to 0, इसलिए Sn→ln⁡2S_n \to \ln 2।

अभ्यास 25.9 ★★★

(वालिस समाकल.) n∈Nn \in \N के लिए मान लीजिए Wn=∫0π/2sin⁡nt  ⁣dtW_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t है।

  1. W0W_0 और W1W_1 निकालिए।
  2. sin⁡n+2t=sin⁡t⋅sin⁡n+1t\sin^{n+2}t = \sin t \cdot \sin^{n+1} t लिखकर और खंडशः समाकलन करके दिखाइए कि Wn+2=n+1n+2 WnW_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}\,W_n।
  3. W2W_2, W3W_3, W4W_4 निकालिए और दिखाइए कि (Wn)(W_n) ह्रासमान तथा धनात्मक है।
हल

हल — अभ्यास 25.9.

1. W0=∫0π/2 ⁣dt=π2W_0 = \int_0^{\pi/2} \dd t = \frac{\pi}{2} और W1=[−cos⁡t]0π/2=1W_1 = \bigl[-\cos t\bigr]_0^{\pi/2} = 1।

2. u′=sin⁡tu' = \sin t, v=sin⁡n+1tv = \sin^{n+1} t के साथ खंडशः समाकलन कीजिए, इसलिए u=−cos⁡tu = -\cos t, v′=(n+1)sin⁡ntcos⁡tv' = (n+1)\sin^n t \cos t:

Wn+2=[−cos⁡tsin⁡n+1t]0π/2+(n+1)∫0π/2cos⁡2t sin⁡nt  ⁣dt=(n+1)∫0π/2(1−sin⁡2t)sin⁡nt  ⁣dt,W_{n+2} = \bigl[-\cos t \sin^{n+1} t\bigr]_0^{\pi/2} + (n+1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^n t\,\dd t = (n+1)\int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\sin^n t\,\dd t,

जहाँ कोष्ठक दोनों सिरों पर लुप्त हो जाता है। अतः Wn+2=(n+1)(Wn−Wn+2)W_{n+2} = (n+1)(W_n - W_{n+2}), अर्थात् Wn+2=n+1n+2WnW_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n।

3. W2=12W0=π4W_2 = \frac12 W_0 = \frac{\pi}{4}, W3=23W1=23W_3 = \frac23 W_1 = \frac23, W4=34W2=3π16W_4 = \frac34 W_2 = \frac{3\pi}{16}। (0, π2)\intoo{0}{\frac\pi2} पर 0<sin⁡t<10 < \sin t < 1, इसलिए sin⁡n+1t≤sin⁡nt\sin^{n+1} t \leq \sin^n t, और भीतर कड़ी असमिका के साथ; समाकलन करने पर 0<Wn+1≤Wn0 < W_{n+1} \leq W_n (वस्तुतः <<): (Wn)(W_n) ह्रासमान और धनात्मक है।

25.5 समस्या: आर्किमिडीज़ बनाम मशीन

समस्या 25.1

सप्ताहांत समस्या — परवलय के नीचे का क्षेत्रफल, बाईस सदियों में तीन तरीक़ों से निकाला गया, और लघुगणक की गुप्त पहचान एक क्षेत्रफल के रूप में

लगभग 240 ईसा पूर्व आर्किमिडीज़ ने परवलयीय खंड का यथार्थ क्षेत्रफल निकाल लिया था — बिना निर्देशांकों के, बिना सीमाओं के, बिना बीजगणित के। उन्नीस सदियों बाद रीमान के आयतों ने उसे शुद्ध शिकंजे से फिर निकाला; और अब कलन की मूल प्रमेय (प्रमेय 25.5) उसे एक ही पंक्ति में कर देती है। यह समस्या तीनों मुक़ाबले खेलती है, और फिर उसी मशीन से यह उजागर करती है कि लघुगणक असल में है क्या: एक ऐसा क्षेत्रफल जिसमें मापन की सममिति है।

भाग I — प्रवाह।

  1. ∫01(3x2−2x+1)  ⁣dx\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,\dd x, ∫1e ⁣dxx\displaystyle\int_1^{\eu} \frac{\dd x}{x}, और ∫0π/2cos⁡x  ⁣dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,\dd x निकालिए।
  2. u′uu'u-रूप पहचानिए (विधि 25.7): ∫01x ex2 ⁣dx\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^{x^2}\dd x और ∫012xx2+1  ⁣dx\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,\dd x।
  3. खंडशः (प्रमेय 25.8): ∫01x ex ⁣dx\displaystyle\int_0^1 x\,\eu^x \dd x और ∫1eln⁡x  ⁣dx\displaystyle\int_1^{\eu} \ln x\,\dd x।
  4. [0, π]\intcc{0}{\pi} पर sin⁡\sin का माध्य मान (परिभाषा 25.10) निकालिए — और ध्यान दीजिए कि वह 12\frac12 नहीं है।
  5. [0, 1]\intcc{0}{1} पर रेखा y=xy = x और परवलय y=x2y = x^2 के बीच का क्षेत्रफल निकालिए (विधि 25.12)।

भाग II — परवलय, तीन तरीक़ों से।

  1. [0, 1]\intcc{0}{1} पर y=x2y = x^2 के नीचे के क्षेत्रफल के लिए रीमान की व्यवस्था: nn बराबर आयतों पर अधोयोग LnL_n और उपरियोग UnU_n लिखिए (जैसा अभ्यास 25.8 में था)।

  2. आगमन (समस्या 20.1 की मशीन) से वर्गों के योग का सूत्र सिद्ध कीजिए:

    12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} .
  3. UnU_n और LnL_n के बंद रूप निकालिए, उनकी उभयनिष्ठ सीमा निकालिए, और निष्कर्ष निकालिए: क्षेत्रफल 13\frac13 है।
  4. अब मशीन: मूल प्रमेय से ∫01x2  ⁣dx\int_0^1 x^2\,\dd x एक ही पंक्ति में निकालिए। दोनों मेहनतों की तुलना कीजिए।
  5. आर्किमिडीज़ ने इसे अलग तरह से कहा था: परवलयीय खंड अपने अंतर्लिखित त्रिभुज का 43\frac43 होता है। (−1,1)(-1, 1) को (1,1)(1, 1) से जोड़ने वाली जीवा द्वारा y=x2y = x^2 से काटे गए खंड के लिए: समाकल से खंड का क्षेत्रफल, अंतर्लिखित त्रिभुज का क्षेत्रफल (शीर्ष (0,0)(0, 0) पर) निकालिए, और उस्ताद का अनुपात सत्यापित कीजिए।
  6. आर्किमिडीज़ की अपनी विधि: खंड को पहले बड़े त्रिभुज TT से भरिए, फिर कुल T4\frac T4 वाले दो त्रिभुजों से, फिर कुल T16\frac{T}{16} वाले चार से, और इसी तरह आगे। गुणोत्तर श्रेणी जोड़िए और 43T\frac43 T फिर से पाइए — माध्यमिक विद्यालय खंड की अनंत बार कुतरी गई चॉकलेट, जिसे एक यूनानी ज्यामितिज्ञ खा गया।
  7. एक-एक वाक्य में: निःशेषण (आर्किमिडीज़), शिकंजा (रीमान), प्रतिअवकलन (न्यूटन–लाइबनिज़) — हर एक को क्या चाहिए, और हर एक क्या देता है?

भाग III — लघुगणक एक क्षेत्रफल है। x>0x > 0 के लिए A(x)=∫1x ⁣dttA(x) = \displaystyle\int_1^x \frac{\dd t}{t} रखिए।

  1. A(1)A(1) और A′(x)A'(x) (प्रमेय 25.5) बताइए, और निष्कर्ष निकालिए कि AA ठीक परिभाषा 23.5 का प्राकृत लघुगणक है।

  2. मापन का चमत्कार: a>0a > 0 स्थिर रखिए और g(x)=A(ax)−A(x)g(x) = A(ax) - A(x) का अध्ययन कीजिए। g′g' निकालिए (शृंखला नियम), निष्कर्ष निकालिए कि gg अचर है, अचर का मान निकालिए — और शुद्ध कलन से सिद्ध फलनीय समीकरण

    ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b,\ln(ab) = \ln a + \ln b ,

    प्राप्त कीजिए: 11 से abab तक का क्षेत्रफल मापित प्रतियों में बँट जाता है।

  3. प्रश्न 14 से निकालिए: ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a और ln⁡1a=−ln⁡a\ln\frac1a = -\ln a।
  4. अभ्यास 25.8 1n+1+1n+2+⋯+12n\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} को 11+t\frac{1}{1 + t} के नीचे के आयतों के रूप में पढ़ता है: n=10n = 10 के लिए यह योग निकालिए (तीन दशमलव स्थान) और ln⁡2\ln 2 से तुलना कीजिए। कौन-से हरात्मक स्वाद वाले योग, जो पद-दर-पद अपसारी हैं, यहाँ किसी क्षेत्रफल पर अभिसरित हो जाते हैं?

भाग IV — संचयन।

  1. कोई कार t∈[0, 10]t \in \intcc{0}{10} तक चाल v(t)=3t2v(t) = 3t^2 m/s से त्वरित होती है। तय की गई दूरी, माध्य चाल, और वह क्षण निकालिए जिस पर तात्क्षणिक चाल माध्य चाल के बराबर हो जाती है।
  2. 44-मीटर की छड़ का रैखिक घनत्व ρ(x)=2+x\rho(x) = 2 + x kg/m है। उसका कुल द्रव्यमान और उसका द्रव्यमान केंद्र ∫04x ρ(x)  ⁣dx∫04ρ(x)  ⁣dx\dfrac{\int_0^4 x\,\rho(x)\,\dd x}{\int_0^4 \rho(x)\,\dd x} निकालिए — माध्यमिक विद्यालय खंड के गत्ते के त्रिभुज वाला संतुलन-बिंदु, अब बदलते भारों के साथ निकाला हुआ।
  3. वालिस के समाकल (अभ्यास 25.9): समस्या 24.1 के रैखिकीकरण का उपयोग करके W0W_0, W1W_1 और W2=∫0π/2sin⁡2t  ⁣dtW_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t\,\dd t निकालिए। (उनकी अनंत सीढ़ी स्नातक खंडों में चढ़कर π\pi के एक गुणनफल-सूत्र तक और घंटी-वक्र के प्रसामान्यीकरण तक जाती है।)
  4. समापन — समाकलन के तीन चेहरे: परिभाषा से एक क्षेत्रफल, संसार में एक संचयन (दूरी, द्रव्यमान), और मूल प्रमेय से एक प्रतिअवकलज; और उसका इतिहास तीन नामों में। अध्याय के मोती के साथ समापन कीजिए: कैलकुलेटर का कौन-सा रोज़मर्रा का बटन चुपके से 1t\frac1t के नीचे का क्षेत्रफल है — और उस क्षेत्रफल ने कौन-सी सर्वसमिका सिद्ध कर दी?
हल

हल — समस्या 25.1.

1. [x3−x2+x]01=1\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1; [ln⁡x]1e=1\left[\ln x\right]_1^{\eu} = 1; [sin⁡x]0π/2=1\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1।

2. [12ex2]01=e−12\left[\frac12 \eu^{x^2}\right]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2}; [ln⁡(x2+1)]01=ln⁡2\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2।

3. ∫01xex=[xex]01−∫01ex=e−(e−1)=1\int_0^1 x\eu^x = \left[x\eu^x\right]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1। और ∫1eln⁡x=[xln⁡x]1e−∫1e1=e−(e−1)=1\int_1^{\eu} \ln x = \left[x\ln x\right]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} 1 = \eu - (\eu - 1) = 1।

4. 1π∫0πsin⁡x  ⁣dx=2π≈0.64\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,\dd x = \frac{2}{\pi} \approx 0.64: ज्या-मेहराब की औसत ऊँचाई 2π\frac2\pi है, जो आधे से साफ़ अधिक है — मेहराब अपनी चोटी के पास मोटा है।

5. ∫01(x−x2)  ⁣dx=12−13=16\int_0^1 (x - x^2)\,\dd x = \frac12 - \frac13 = \frac16।

6. Ln=1n∑k=0n−1(kn)2L_n = \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac kn\right)^2 और Un=1n∑k=1n(kn)2U_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2: चौड़ाई 1n\frac1n वाले आयत, जिनकी ऊँचाइयाँ बाएँ सिरे (वक्र के नीचे) या दाएँ सिरे (ऊपर) पर पढ़ी गई हैं।

7. n=1n = 1 के लिए सत्य (1=1⋅2⋅361 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6})। यदि वह nn के लिए सही हो, तो (n+1)2(n+1)^2 जोड़ने पर

n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=(n+1)(2n2+n+6n+6)6=(n+1)(n+2)(2n+3)6,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\left(2n^2 + n + 6n + 6\right)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},

जो n+1n + 1 पर वही सूत्र है: वंशानुगति, हो गया।

8. Un=1n3⋅n(n+1)(2n+1)6=(1+1n)(2+1n)6→26=13U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \frac26 = \frac13, और Ln=Un−1n→13L_n = U_n - \frac1n \to \frac13: अपनी सीढ़ियों के बीच दबा हुआ क्षेत्रफल ठीक 13\frac13 है।

9. ∫01x2  ⁣dx=[x33]01=13\int_0^1 x^2\,\dd x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13: एक ही पंक्ति। मूल प्रमेय अनंत शिकंजे को एक ही प्रतिअवकलज के मान-निर्धारण में बदल देती है — इसीलिए उसे मूल कहा जाता है।

10. खंड: ∫−11(1−x2)  ⁣dx=2−23=43\int_{-1}^{1}(1 - x^2)\,\dd x = 2 - \frac23 = \frac43। आधार जीवा (लंबाई 22, ऊँचाई 11 पर) और शीर्ष (0,0)(0,0) वाला त्रिभुज: क्षेत्रफल 12×2×1=1\frac12 \times 2 \times 1 = 1। अनुपात: 43\frac43 — ठीक आर्किमिडीज़ की प्रमेय, उसी मशीन से सत्यापित जो उनके पास नहीं थी।

11. T(1+14+116+… )=T⋅11−14=43TT\left(1 + \frac14 + \frac{1}{16} + \dots\right) = T \cdot \frac{1}{1 - \frac14} = \frac43 T (अनुपात 14\frac14 वाली गुणोत्तर श्रेणी): T=1T = 1 के साथ खंड का क्षेत्रफल फिर 43\frac43। आर्किमिडीज़ ने यह श्रेणी शुद्ध ज्यामितीय तर्क से जोड़ी थी — चॉकलेट जैसी चौथाई-चौथाई कुतरन, सीमाओं के शब्द बनने से दो सहस्राब्दी पहले।

12. निःशेषण को कोई चतुर ज्यामितीय स्व-समरूपता चाहिए और वह स्थिति-दर-स्थिति यथार्थ क्षेत्रफल देती है; रीमान को केवल एकदिष्टता चाहिए और वह योग निकालने की क़ीमत पर सार्वभौमिक परिभाषा देता है; और मूल प्रमेय को अवकलजों का पूरा भवन चाहिए तथा वह उसकी भरपाई क्षेत्रफलों को एक-पंक्ति की गणना बनाकर कर देती है।

13. A(1)=0A(1) = 0 और A′(x)=1xA'(x) = \frac1x (मूल प्रमेय): AA (0, +∞)\intoo{0}{+\infty} पर 1x\frac1x का वह प्रतिअवकलज है जो 11 पर लुप्त होता है — और वही ठीक प्राकृत लघुगणक है।

14. g′(x)=aax−1x=0g'(x) = \frac{a}{ax} - \frac1x = 0: gg अचर है; x=1x = 1 पर: g(1)=A(a)−A(1)=A(a)g(1) = A(a) - A(1) = A(a)। अतः सभी xx के लिए A(ax)=A(a)+A(x)A(ax) = A(a) + A(x), और x=bx = b के साथ: ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b। अतिपरवलय का क्षेत्रफल क्षैतिज पैमाने की परवाह नहीं करता: tt को aa गुना खींचने पर 1t\frac1t aa गुना दब जाता है, और क्षेत्रफल बच जाता है — लघुगणकों का जुड़ना मापन की सममिति ही है।

15. दोहराने पर: ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a (nn पर आगमन)। और 0=ln⁡1=ln⁡(a⋅1a)=ln⁡a+ln⁡1a0 = \ln 1 = \ln\left(a \cdot \frac1a\right) = \ln a + \ln\frac1a: ln⁡1a=−ln⁡a\ln\frac1a = -\ln a।

16. 111+112+⋯+120≈0.669\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} \approx 0.669, जबकि ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693: 11+t\frac{1}{1+t} के नीचे दस आयत, और पहले ही बहुत पास। हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है, पर nn से 2n2n तक उसके टुकड़े ln⁡2\ln 2 पर आ बैठते हैं: घिसटता हुआ अपसरण, जिसे एक क्षेत्रफल नाप लेता है।

17. दूरी: ∫0103t2  ⁣dt=1000\int_0^{10} 3t^2\,\dd t = 1000 m। माध्य चाल: 100100 m/s। v=100v = 100 वाला क्षण: 3t2=1003t^2 = 100: t=1003≈5.77t = \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5.77 s।

18. द्रव्यमान: ∫04(2+x)  ⁣dx=8+8=16\int_0^4 (2 + x)\,\dd x = 8 + 8 = 16 kg। आघूर्ण: ∫04(2x+x2)  ⁣dx=16+643=1123\int_0^4 (2x + x^2)\,\dd x = 16 + \frac{64}{3} = \frac{112}{3}। द्रव्यमान केंद्र: 112/316=73≈2.33\frac{112/3}{16} = \frac73 \approx 2.33 m — भारी दाहिने सिरे ने उसे बीच से आगे धकेल दिया, जैसा अंतर्ज्ञान माँगता है।

19. W0=π2W_0 = \frac\pi2; W1=[−cos⁡t]0π/2=1W_1 = \left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = 1; और W2=∫0π/21−cos⁡2t2  ⁣dt=π4W_2 = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2}\,\dd t = \frac\pi4।

20. क्षेत्रफल: परिभाषा, जो सीढ़ियों के बीच दबी है। संचयन: चालों से दूरियाँ, घनत्वों से द्रव्यमान — समाकल एक चलते जोड़ के रूप में। प्रतिअवकलज: मूल प्रमेय, जो आर्किमिडीज़ के धैर्य में से न्यूटन और लाइबनिज़ का छोटा रास्ता है। और मोती: ln⁡\ln का बटन 1t\frac1t के नीचे का क्षेत्रफल है, और उस क्षेत्रफल की मापन-सममिति ही सर्वसमिका ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b है।

  1. किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है, यह प्रमेय 22.7 से निकलता है: वह वर्धमान और ह्रासमान दोनों है। ↩