उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

4आधार फलन

गिने-चुने कुछ सरल फलन — एकघात, वर्ग, व्युत्क्रम, वर्गमूल, घन — हर जगह दिखते हैं, अकेले या मिलकर। उनके आलेख और परिवर्तन कंठस्थ हों तो अनेक समस्याएँ एक त्वरित रेखाचित्र भर रह जाती हैं। यह अध्याय एक-एक करके उनका अध्ययन करता है और अध्याय 3 की तुलना-तकनीक से उनके परिवर्तन सिद्ध करता है।

4.1 एकघात फलन

परिभाषा 4.1 (एकघात फलन)

एकघात फलन इस रूप का फलन है

f(x) = mx + p,

जहाँ $m$ और $p$ नियत वास्तविक संख्याएँ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा है: $m$ प्रवणता है और $p$ $y$ -अंतःखंड (रेखा ऊर्ध्वाधर अक्ष को $(0, p)$ पर काटती है)। जब $p = 0$ हो तब फलन रैखिक होता है: $f(x) = mx$ समानुपात व्यक्त करता है।

प्रतिज्ञप्ति 4.2 (प्रवणता और परिवर्तन)

मान लीजिए $f(x) = mx + p$ है।

किन्हीं दो भिन्न निवेशों $u \neq v$ के लिए: $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (प्रवणता निवेश में एक मात्रक परिवर्तन पर निर्गम का परिवर्तन है)।
यदि $m > 0$ हो, तो $f$ $\R$ पर निरंतर वर्धमान है; यदि $m < 0$ हो, तो निरंतर ह्रासमान; और यदि $m = 0$ हो, तो अचर।

उपपत्ति. 1. $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ निकालिए, फिर $v - u \neq 0$ से भाग दीजिए।

2. यदि $u < v$ हो, तो $f(v) - f(u) = m(v-u)$ का चिह्न $m$ के चिह्न जैसा है, क्योंकि $v - u > 0$ : धनात्मक $m$ से $f(u) < f(v)$ मिलता है (वर्धमान), और ऋणात्मक $m$ से $f(u) > f(v)$ (ह्रासमान)। ∎

दो एकघात फलन: m = 1/2 > 0 के लिए वर्धमान, m = -1 < 0 के लिए ह्रासमान। एक मात्रक दाईं ओर बढ़ने पर y में m का परिवर्तन होता है। — दो एकघात फलन: $m = \frac12 > 0$ के लिए वर्धमान, $m = -1 < 0$ के लिए ह्रासमान। एक मात्रक दाईं ओर बढ़ने पर $y$ में $m$ का परिवर्तन होता है।

उदाहरण 4.3

वह एकघात फलन ज्ञात कीजिए जिसका आलेख $A(1, 3)$ और $B(4, 9)$ से होकर जाता है। प्रवणता है

m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .

फिर $f(x) = 2x + p$ , और $f(1) = 3$ से $2 + p = 3$ मिलता है, इसलिए $p = 1$ : $f(x) = 2x + 1$ । $B$ से जाँच: $f(4) = 9$ ।

4.2 वर्ग फलन

प्रतिज्ञप्ति 4.4 (वर्ग फलन)

$\R$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^2$ :

$\intoc{-\infty}{0}$ पर निरंतर ह्रासमान और $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है, और $x = 0$ पर उसका न्यूनतम $0$ है;
सभी $x$ के लिए $f(-x) = f(x)$ संतुष्ट करता है: उसका आलेख, एक परवलय, ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः सममित है।

उपपत्ति. 1. मान लीजिए $0 \leq u < v$ है। तब

f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,

क्योंकि $v - u > 0$ और $v + u > 0$ : $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर निरंतर वर्धमान है। यदि $u < v \leq 0$ हो, तो $v - u > 0$ पर $v + u < 0$ , इसलिए $f(v) - f(u) < 0$ : निरंतर ह्रासमान। अंत में सभी $x$ के लिए $x^2 \geq 0 = f(0)$ ।

2. $(-x)^2 = x^2$ ; इसलिए बिंदु $(x, x^2)$ और $(-x, x^2)$ , जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के आरपार एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, दोनों आलेख पर हैं। ∎

टिप्पणी 4.5 (वर्ग और क्रम)

चूँकि वर्ग फलन ऋणात्मक ओर घटता है, इसलिए वर्ग लेने पर ऋणात्मक संख्याओं का क्रम पलट जाता है: $-3 < -2$ पर $9 > 4$ । चिह्न जाँचे बिना किसी असमिका के दोनों पक्षों का वर्ग कभी मत कीजिए।

4.3 व्युत्क्रम फलन

प्रतिज्ञप्ति 4.6 (व्युत्क्रम फलन)

$x \neq 0$ के लिए परिभाषित फलन $f(x) = \dfrac1x$ :

$\intoo{-\infty}{0}$ पर निरंतर ह्रासमान है और $\intoo{0}{+\infty}$ पर भी निरंतर ह्रासमान;
$f(-x) = -f(x)$ संतुष्ट करता है: उसका आलेख, एक अतिपरवलय, मूल बिंदु के परितः सममित है।

उपपत्ति. 1. मान लीजिए $0 < u < v$ है। तब

f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,

क्योंकि $u - v < 0$ और $uv > 0$ : $\intoo{0}{+\infty}$ पर निरंतर ह्रासमान। $\intoo{-\infty}{0}$ पर उसी भागफल में $u - v < 0$ और फिर $uv > 0$ है (दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल), इसलिए $f$ वहाँ भी घटता है।

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$ । ∎

टिप्पणी 4.7

सावधान: $\frac1x$ अपने पूरे प्रांत पर ह्रासमान नहीं है। $u = -1$ से $v = 1$ तक जाने पर मान $-1$ से उछलकर $1$ हो जाता है। दोनों शाखाओं का अध्ययन अलग-अलग करना चाहिए।

परवलय y = x2 (ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः सममित) और अतिपरवलय y = 1x (दो शाखाएँ, मूल बिंदु के परितः सममित)। — परवलय $y = x^2$ (ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः सममित) और अतिपरवलय $y = \frac1x$ (दो शाखाएँ, मूल बिंदु के परितः सममित)।

4.4 वर्गमूल और घन

प्रतिज्ञप्ति 4.8 (वर्गमूल फलन)

$\intco{0}{+\infty}$ पर परिभाषित फलन $f(x) = \sqrt{x}$ निरंतर वर्धमान है।

उपपत्ति. मान लीजिए $0 \leq u < v$ है। संयुग्मी से गुणा और भाग कीजिए:

\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,

क्योंकि $v - u > 0$ और $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (ध्यान दीजिए कि $v > 0$ , इसलिए $\sqrt v > 0$ )। ∎

प्रतिज्ञप्ति 4.9 (घन फलन)

$\R$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3$ निरंतर वर्धमान है, और उसका आलेख मूल बिंदु के परितः सममित है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

वर्गमूल (केवल x ≥ 0 के लिए परिभाषित) और घन, दोनों वर्धमान। — वर्गमूल (केवल $x \geq 0$ के लिए परिभाषित) और घन, दोनों वर्धमान।

प्रतिज्ञप्ति 4.10 ( $x$ , $x^2$ और $\sqrt x$ की तुलना)

$0 < x < 1$ के लिए: $x^2 < x < \sqrt x$ । $x > 1$ के लिए: $\sqrt x < x < x^2$ । $x = 0$ और $x = 1$ पर तीनों मान बराबर हैं।

उपपत्ति. मान लीजिए $0 < x < 1$ है। $x < 1$ को $x > 0$ से गुणा करने पर $x^2 < x$ मिलता है। आगे, $x < \sqrt x$ : चूँकि दोनों पक्ष धनात्मक हैं और धनात्मक संख्याओं पर वर्ग लेना वर्धमान है, यह असमिका $x^2 < x$ के तुल्य है, जो अभी सिद्ध हो चुकी। $x > 1$ के लिए $x > 1$ को $x$ से गुणा करने पर $x^2 > x$ मिलता है, और वर्ग वाले उसी तर्क से $\sqrt x < x$ निकलता है। ∎

तीनों वक्र (0,0) और (1,1) पर एक-दूसरे को काटते हैं और वहीं अपना क्रम बदल लेते हैं: 0 और 1 के बीच x2 सबसे छोटा और √ x सबसे बड़ा है; 1 के आगे क्रम उलट जाता है। — तीनों वक्र $(0,0)$ और $(1,1)$ पर एक-दूसरे को काटते हैं और वहीं अपना क्रम बदल लेते हैं: $0$ और $1$ के बीच $x^2$ सबसे छोटा और $\sqrt x$ सबसे बड़ा है; $1$ के आगे क्रम उलट जाता है।

विधि 4.11 (प्रतिबिंबों की तुलना)

किसी आधार फलन $f$ के लिए $f(a)$ और $f(b)$ की तुलना करने के लिए:

$a$ और $b$ को ऐसे अंतराल में रखिए जहाँ $f$ के परिवर्तन ज्ञात हों;
यदि $f$ वहाँ बढ़ता है, तो प्रतिबिंब निवेशों के क्रम में ही रहते हैं; यदि $f$ घटता है, तो क्रम उलट जाता है;
यदि $a$ और $b$ एकदिष्टता के एक ही अंतराल में न हों, तो पहले चिह्नों को सँभालिए (जैसे वर्ग के लिए: एक ऋणात्मक और एक धनात्मक निवेश)।

उदाहरण 4.12

$\dfrac{1}{2.3}$ और $\dfrac{1}{2.4}$ की तुलना कीजिए: दोनों निवेश $\intoo{0}{+\infty}$ में हैं, जहाँ व्युत्क्रम फलन घटता है, और $2.3 < 2.4$ है, इसलिए $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$ । अब $(-1.2)^2$ और $(-1.5)^2$ की तुलना कीजिए: $\intoc{-\infty}{0}$ पर वर्ग घटता है, और $-1.5 < -1.2$ है, इसलिए $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — और सचमुच $2.25 > 1.44$ ।

4.5 अभ्यास

अभ्यास 4.1 ★

हर एकघात फलन के लिए उसकी प्रवणता और $y$ -अंतःखंड बताइए, और यह भी कि वह वर्धमान है या ह्रासमान:

f(x) = 3x - 2, \qquad g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad h(x) = 7, \qquad k(x) = -x .

हल

हल — अभ्यास 4.1.

$f$ : प्रवणता $3$ , अंतःखंड $-2$ , वर्धमान। $g$ : प्रवणता $-\frac12$ , अंतःखंड $4$ , ह्रासमान। $h$ : प्रवणता $0$ , अंतःखंड $7$ , अचर। $k$ : प्रवणता $-1$ , अंतःखंड $0$ , ह्रासमान (और रैखिक)।

अभ्यास 4.2 ★

वह एकघात फलन ज्ञात कीजिए जिसका आलेख $(2, 1)$ और $(5, 10)$ से होकर जाता है; फिर वह जो $(-1, 4)$ और $(3, -4)$ से होकर जाता है।

हल

हल — अभ्यास 4.2.

$(2,1)$ और $(5,10)$ से होकर: प्रवणता $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} = 3$ ; फिर $1 = 3 \times 2 + p$ से $p = -5$ मिलता है: $f(x) = 3x - 5$ ।

$(-1,4)$ और $(3,-4)$ से होकर: प्रवणता $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ ; फिर $4 = -2 \times (-1) + p$ से $p = 2$ मिलता है: $f(x) = -2x + 2$ ।

अभ्यास 4.3 ★

कैलकुलेटर के बिना तुलना कीजिए:

(3.1)^2 \text{ और } (3.2)^2; \qquad (-2.7)^2 \text{ और } (-2.8)^2; \qquad \frac{1}{5.1} \text{ और } \frac{1}{5.2}; \qquad \sqrt{17} \text{ और } \sqrt{15}.

हल

हल — अभ्यास 4.3.

$(3.1)^2 < (3.2)^2$ : वर्ग धनात्मक संख्याओं पर बढ़ता है।

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$ : वर्ग ऋणात्मक संख्याओं पर घटता है और $-2.8 < -2.7$ ।

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$ : व्युत्क्रम धनात्मक संख्याओं पर घटता है।

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$ : वर्गमूल बढ़ता है।

अभ्यास 4.4 ★

वर्ग फलन के आलेख का उपयोग करके $x^2 = 16$ हल कीजिए, फिर $x^2 \leq 16$ , फिर $x^2 > 9$ ।

हल

हल — अभ्यास 4.4.

$x^2 = 16$ : दो हल, $x = 4$ और $x = -4$ (क्षैतिज रेखा $y = 16$ परवलय को दो बार काटती है)।

$x^2 \leq 16$ : परवलय दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं के बीच रेखा से नीचे है: $x \in \intcc{-4}{4}$ ।

$x^2 > 9$ : परवलय $\intcc{-3}{3}$ के बाहर $y = 9$ से कड़ाई से ऊपर है: $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$ ।

अभ्यास 4.5 ★

मान लीजिए $x \in \intoo{0}{1}$ है। संख्याओं $x$ , $x^2$ , $x^3$ और $\sqrt x$ को छोटे से बड़े के क्रम में रखिए, और अपने उत्तर की जाँच $x = 0.25$ से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.5.

$0 < x < 1$ के लिए: $x < 1$ को बार-बार $x$ से गुणा करने पर $x^3 < x^2 < x$ मिलता है, और प्रतिज्ञप्ति 4.10 से $x < \sqrt x$ मिलता है, इसलिए

x^3 < x^2 < x < \sqrt x .

$x = 0.25$ से जाँच: $x^3 = 0.015625$ , $x^2 = 0.0625$ , $x = 0.25$ , $\sqrt x = 0.5$ ।

अभ्यास 4.6 ★★

पहले आलेख से और फिर बीजगणित से हल कीजिए: $\dfrac1x = 2$ , और $x > 0$ के लिए $\dfrac1x < 2$ । यदि $x < 0$ की भी अनुमति दे दें तो क्या बदलता है?

हल

हल — अभ्यास 4.6.

$\frac1x = 2$ का अद्वितीय हल $x = \frac12$ है (अतिपरवलय क्षैतिज रेखा $y = 2$ से एक ही बार मिलता है, धनात्मक शाखा पर)।

$x > 0$ के लिए: $\frac1x < 2$ । $x > 0$ से गुणा करने पर $1 < 2x$ , इसलिए $x > \frac12$ : हल-समुच्चय $\intoo{\frac12}{+\infty}$ ।

यदि $x < 0$ की भी अनुमति हो: हर ऋणात्मक $x$ $\frac1x < 0 < 2$ को संतुष्ट करता है, इसलिए पूरा हल-समुच्चय $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$ है।

अभ्यास 4.7 ★★

यह जानते हुए कि वर्ग फलन $\intoc{-\infty}{0}$ पर घटता है और $\intco{0}{+\infty}$ पर बढ़ता है, $x^2$ को निम्नलिखित स्थितियों में घेरिए:

\text{(a) } x \in \intcc{2}{5}; \qquad \text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1}; \qquad \text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.

(स्थिति (c) में सावधान रहिए: $x^2$ का न्यूनतम किसी सिरे पर नहीं है।)

हल

हल — अभ्यास 4.7.

(a) $\intcc{2}{5}$ पर सभी निवेश धनात्मक हैं और वर्ग करना वर्धमान है: $4 \leq x^2 \leq 25$ ।

(b) $\intcc{-3}{-1}$ पर वर्ग करना ह्रासमान है: सबसे बड़ा वर्ग $-3$ से आता है: $1 \leq x^2 \leq 9$ ।

(c) $\intcc{-2}{3}$ पर अंतराल में $0$ आ जाता है, जहाँ वर्ग अपना न्यूनतम $0$ पाता है; अधिकतम $(-2)^2 = 4$ और $3^2 = 9$ में से बड़ा वाला है। इसलिए $0 \leq x^2 \leq 9$ ।

अभ्यास 4.8 ★★

एक टैक्सी कंपनी $4$ का नियत शुल्क और उसके ऊपर $1.5$ प्रति किलोमीटर लेती है; दूसरी कोई नियत शुल्क नहीं लेती और $2$ प्रति किलोमीटर लेती है। हर क़ीमत को दूरी $x$ के एकघात फलन से व्यक्त कीजिए, दोनों रेखाएँ खींचिए, और ज्ञात कीजिए कि किस दूरी से आगे पहली कंपनी सस्ती पड़ती है।

हल

हल — अभ्यास 4.8.

पहली कंपनी: $f(x) = 1.5x + 4$ ; दूसरी: $g(x) = 2x$ । पहली तब सस्ती है जब

1.5x + 4 < 2x \ \Longleftrightarrow\ 4 < 0.5x \ \Longleftrightarrow\ x > 8 .

$8$ km से आगे पहली कंपनी सस्ती है; ठीक $8$ km पर दोनों $16$ लेती हैं।

अभ्यास 4.9 ★★

दिखाइए कि सभी $a, b \geq 0$ के लिए $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ है। (संकेत: दोनों पक्ष अऋणात्मक हैं, इसलिए उनके वर्गों की तुलना कीजिए।) समता कब होती है?

हल

हल — अभ्यास 4.9.

दोनों पक्ष अऋणात्मक हैं, इसलिए यह असमिका उनके वर्गों वाली असमिका के तुल्य है:

\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b \qquad\text{और}\qquad \left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .

चूँकि $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$ है, दूसरा वर्ग कम से कम पहले जितना है, जिससे $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$ सिद्ध हो जाता है। समता ठीक तब है जब $\sqrt a \sqrt b = 0$ हो, अर्थात् जब $a = 0$ या $b = 0$ हो।

अभ्यास 4.10 ★★★

मान लीजिए $x \neq 1$ के लिए परिभाषित $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ है।

दिखाइए कि सभी $x \neq 1$ के लिए $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ है।
व्युत्क्रम फलन के परिवर्तनों से $\intoo{1}{+\infty}$ पर $f$ के परिवर्तन निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 4.10.

1. दाहिने पक्ष को उभयनिष्ठ हर पर लाइए:

2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1} = f(x).

2. $\intoo{1}{+\infty}$ पर, $x$ बढ़ने पर $x - 1$ बढ़ता है और धनात्मक बना रहता है, इसलिए $\frac{3}{x-1}$ घटता है (व्युत्क्रम फलन, धनात्मक अचर $3$ से गुणित), इसलिए $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ घटता है: $f$ $\intoo{1}{+\infty}$ पर निरंतर ह्रासमान है।

4.6 समस्या: प्रकृति के नियम आधार फलनों में बोलते हैं

समस्या 4.1

सप्ताहांत समस्या — ब्रेक-दूरी $v^2$ की तरह बढ़ती है, उत्तोलक $1/d$ मानते हैं, ग्रह $a^{3/2}$ का अनुसरण करते हैं: आधार फलनों से भौतिकी पढ़ना

कोई भी भौतिकी की पुस्तक खोलिए और हर पृष्ठ पर वही चंद आलेख मिलेंगे: परवलय, अतिपरवलय, मूल-वक्र। प्रकृति अपने नियम इसी अध्याय के आधार फलनों से लिखती है — और उनकी आकृतियाँ जान लेना (प्रतिज्ञप्ति 4.4, प्रतिज्ञप्ति 4.6, प्रतिज्ञप्ति 4.8, प्रतिज्ञप्ति 4.9) कार रोकने, उत्तोलक सँभालने और ग्रहों का समय नापने के लिए पर्याप्त है। भव्य समापन है केप्लर का तीसरा नियम, जो सौरमंडल के आँकड़ों से सीधे पढ़ लिया जाता है।

भाग I — ब्रेक लगाने का वर्ग नियम। सूखी सड़क पर कार की ब्रेक-दूरी के लिए एक मोटा नियम: $v$ km/h की चाल पर $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ मीटर।

$30$ , $50$ , $90$ और $130$ km/h पर ब्रेक-दूरियाँ निकालिए।
चाल दुगुनी करने पर ब्रेक-दूरी कितने गुनी हो जाती है? वर्ग फलन के मापन-गुण से समझाइए, और $50 \to 100$ km/h पर जाँचिए।
अपराध-विज्ञान: फिसलन के निशान $50$ m नापे गए। सूत्र चालक को किस चाल का दोषी ठहराता है (km/h तक)? किस आधार फलन ने उत्तर दिया — और किस प्रांत पर यह पठन असंदिग्ध है (प्रतिज्ञप्ति 4.8)?
एक km/h अधिक होने से बढ़ने वाली अतिरिक्त दूरी की तुलना कम और अधिक चाल पर कीजिए: $d(31) - d(30)$ और $d(91) - d(90)$ निकालिए। परवलय का कौन-सा गुण (प्रतिज्ञप्ति 4.4) इन दोनों उत्तरों में झलकता है?
वास्तविक रुकने में प्रतिक्रिया-काल भी जुड़ता है — लगभग एक सेकंड, जिसमें कार $0.28v$ मीटर चल जाती है: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ । $D(50)$ और $D(130)$ निकालिए। शहर की चाल पर दोनों पदों — एकघात और वर्ग — में कौन-सा हावी रहता है, और राजमार्ग पर कौन-सा?

भाग II — रोज़मर्रा के अतिपरवलय।

उत्तोलक तब संतुलित होता है जब बल $\times$ दूरी दोनों ओर बराबर हो। $60$ kg का एक बच्चा आधार से $2$ m दूर बैठता है; दूसरी ओर दूरी $d$ पर संतुलनकारी बल $F(d) = \frac{120}{d}$ है (किलोग्राम-तुल्य में)। $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ निकालिए।
व्युत्क्रम फलन के परिवर्तन (प्रतिज्ञप्ति 4.6) उत्तोलकों के बारे में क्या कहते हैं — और आर्किमिडीज़ की डींग (“मुझे खड़े होने की जगह दो, मैं पृथ्वी हिला दूँगा”) अतिपरवलय की पूँछ में कैसे छिपी है? $d = 0$ किस कारण वर्जित है?
ध्वनि और प्रकाश दूरी के वर्ग के साथ मंद पड़ते हैं: किसी दीये से $1$ m दूर तीव्रता $100$ मात्रक है; $2$ , $3$ और $10$ m पर उसे बताइए। घातांक $2$ को एक गोले से समझाइए: दूरी $d$ पर प्रकाश कितने क्षेत्रफल पर फैल चुका होता है (माध्यमिक विद्यालय खंड की आर्किमिडीज़ की समाधि वाली समस्या)?
विद्यालय की सैर के लिए बस का ख़र्च $600$ यूरो है, जो $n$ सहभागियों में बराबर बँटता है। $n = 10, 20, 30$ के लिए प्रति व्यक्ति ख़र्च की सारणी बनाइए, ज्ञात कीजिए कि कितने सहभागी होने पर वह $25$ यूरो या उससे कम रह जाता है, और बताइए कि $n$ बढ़ने पर अतिपरवलय की आकृति क्या वादा करती है — और क्या करने से मना कर देती है।
$x$ पोस्टर बनाने का ख़र्च $2x + 3$ यूरो है ( $3$ यूरो का प्रारंभिक जमाव)। दिखाइए कि प्रति पोस्टर औसत ख़र्च $a(x) = 2 + \frac3x$ है, उसके परिवर्तन बताइए, और उसकी क्षैतिज अनन्तस्पर्शी की आर्थिक व्याख्या कीजिए। (अभ्यास 4.10 के बीजगणित से तुलना कीजिए।)

भाग III — केप्लर का सामंजस्य। हर ग्रह के लिए मान लीजिए $a$ सूर्य से उसकी माध्य दूरी है (खगोलीय मात्रकों में, पृथ्वी $= 1$ ) और $T$ उसका आवर्तकाल (वर्षों में)। आँकड़े: मंगल $a = 1.52$ , $T = 1.88$ ; बृहस्पति $a = 5.20$ , $T = 11.86$ ; शनि $a = 9.54$ , $T = 29.4$ ।

पृथ्वी, मंगल और बृहस्पति के लिए $a^3$ और $T^2$ निकालिए। 1618 में केप्लर ने क्या देखा था?
नियम को फलन के रूप में बताइए: $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ । इसे शनि पर जाँचिए।
दो भविष्यवाणियाँ: एक क्षुद्रग्रह $a = 4$ AU पर परिक्रमा करता है — उसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए (संख्याएँ पूरी निकलती हैं); एक धूमकेतु हर $27$ वर्ष लौटता है — उसकी माध्य दूरी ज्ञात कीजिए (कोई पूर्ण घन ढूँढ़िए)।
यह नियम किन तीन आधार फलनों को आपस में गूँथता है? और उसका मापन-नियम: $a$ को $4$ से गुणा करने पर $T$ का क्या होता है? (क्षुद्रग्रह की पृथ्वी से तुलना करके जाँचिए।)
केप्लर ने यह नियम टाइको ब्राहे के आँकड़ों में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण द्वारा उसकी व्याख्या से सत्तर वर्ष पहले पढ़ लिया था। एक वाक्य में: संख्याओं की सारणी में आधार फलन पहचान लेने की शक्ति के बारे में यह प्रसंग क्या कहता है?

भाग IV — कछुआ और ख़रगोश।

$\sqrt x$ , $x$ और $x^2$ को $\intoo{0}{1}$ पर और $\intoo{1}{+\infty}$ पर क्रम में रखिए (प्रतिज्ञप्ति 4.10), और दोनों क्रमों की जाँच $x = 0.25$ और $x = 4$ पर कीजिए।
$\sqrt x > x$ को पूरी तरह हल कीजिए ( $x \geq 0$ के लिए सावधानी से वर्ग कीजिए और चिह्न-सारणी से समाप्त कीजिए)।
अब घन भी लाइए: $x$ , $x^2$ , $x^3$ को $x = 0.5$ पर और $x = 2$ पर क्रम में रखिए, और वे सभी बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ वर्ग और घन फलन एक-दूसरे को काटते हैं।
दो बचत योजनाएँ $t$ वर्षों बाद $100\sqrt t$ यूरो (योजना A) या $10 t^2$ यूरो (योजना B) देती हैं। दिखाइए कि B, A से आगे तब निकलती है जब $t^3 = 100$ हो, और पार करने का समय महीने तक बताइए। दीर्घ काल में मूलों और घातों के बारे में क्या सीख मिली?
समापन: इस समस्या के हर नियम के लिए — ब्रेक ( $v^2$ ), उत्तोलक ( $1/d$ ), दीया ( $1/d^2$ ), केप्लर ( $a^{3/2}$ ), योजना A ( $\sqrt t$ ) — एक-एक उपवाक्य में बताइए कि उसके आधार आलेख की कौन-सी विशेषता भौतिक अर्थ उठाए हुए है (तेज़ होती चढ़ाई, ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी, फैलता गोला, मापन-घातांक, धीमी पड़ती वृद्धि)। निष्कर्ष: आधार फलन वर्णमाला हैं; प्रकृति उन्हीं से लिखती है।

हल

हल — समस्या 4.1.

1. $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) = 81$ m; $d(130) = 169$ m।

2. $v$ दुगुना करने पर $\frac v{10}$ दुगुना होता है और उसका वर्ग $4$ गुना: $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$ । चाल दुगुनी, दूरी चौगुनी — वर्ग फलन का मापन-गुण।

3. $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ से $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$ मिलता है, इसलिए $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h। उत्तर वर्गमूल ने दिया; पठन असंदिग्ध है क्योंकि चालें धनात्मक होती हैं, और $\intco{0}{+\infty}$ पर वर्ग फलन कड़ाई से चढ़ता है (प्रतिज्ञप्ति 4.8: एक ही धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब)।

4. $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, जबकि $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: वही $+1$ km/h अधिक चाल पर तीन गुना अधिक दूरी माँगता है। परवलय केवल चढ़ता ही नहीं, वह तीखा भी होता जाता है — उसकी चढ़ाई की दर $x$ के साथ बढ़ती है।

5. $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 = 205.4$ m। शहर में एकघात (प्रतिक्रिया) वाला पद बड़ा हिस्सा है; राजमार्ग पर वर्ग वाला पद उसे कुचल देता है — एकघात एक-सी चाल से बढ़ता है, वर्ग भाग खड़ा होता है।

6. $F(0.5) = 240$ , $F(1) = 120$ , $F(3) = 40$ ।

7. व्युत्क्रम फलन घटता है: आधार से जितना दूर, उतना कम बल चाहिए — और पर्याप्त लंबी भुजा ( $d$ विशाल) के साथ कितना ही छोटा बल कितने ही बड़े भार को संतुलित कर सकता है: आर्किमिडीज़ की डींग अतिपरवलय की पूँछ में बसती है, जो $0$ के पास पहुँचती है पर उस तक कभी नहीं पहुँचती। और $d = 0$ वर्जित मान है: भुजा नहीं, तो उत्तोलक नहीं — वही ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी।

8. $2$ m पर $\frac{100}{4} = 25$ , $3$ m पर $\frac{100}{9} \approx 11$ , $10$ m पर $1$ । दूरी $d$ पर प्रकाश $4\pi d^2$ क्षेत्रफल के गोले पर फैल चुका होता है (माध्यमिक विद्यालय खंड की आर्किमिडीज़ की समाधि वाली समस्या): वही ऊर्जा $d^2$ की तरह बढ़ते क्षेत्रफल से बँटती है — इसीलिए व्युत्क्रम वर्ग।

9. $n = 10, 20, 30$ के लिए प्रति व्यक्ति $60$ , $30$ , $20$ यूरो। $\frac{600}{n} \leq 25$ के लिए: $n \geq 24$ सहभागी। अतिपरवलय $n$ बढ़ने पर लगातार सस्ता होता हिस्सा देने का वादा करता है — और $0$ तक पहुँचने से सदा मना कर देता है: बस कभी मुफ़्त नहीं होती।

10. $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$ : $\intoo{0}{+\infty}$ पर ह्रासमान (व्युत्क्रम फलन खिसका हुआ), और अनन्तस्पर्शी $y = 2$ के पास पहुँचता हुआ। आर्थिक रूप से: नियत $3$ यूरो को अधिक पोस्टरों पर फैलाने से प्रति नग ख़र्च घटकर सामग्री के अटल $2$ यूरो की ओर चला जाता है — पैमाने की मितव्ययिता, पर एक कठोर तल के साथ।

11. पृथ्वी: $a^3 = 1$ , $T^2 = 1$ । मंगल: $1.52^3 \approx 3.51$ और $1.88^2 \approx 3.53$ । बृहस्पति: $5.20^3 \approx 140.6$ और $11.86^2 \approx 140.7$ । केप्लर ने जो देखा: हर ग्रह के लिए $T^2 = a^3$ — पूरे आकाश के लिए एक ही नियम।

12. $T = \sqrt{a^3}$ : शनि के लिए $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ वर्ष, प्रेक्षित $29.4$ के मुक़ाबले: नियम दशमांश तक सही उतरता है।

13. क्षुद्रग्रह: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ वर्ष। धूमकेतु: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$ , इसलिए $a = 9$ AU।

14. वर्ग ( $T^2$ ), घन ( $a^3$ ) और वर्गमूल ( $T$ निकालने के लिए)। मापन: $a$ को $4$ से गुणा करने पर $T$ $4\sqrt4 = 8$ गुना हो जाता है — जैसा क्षुद्रग्रह पुष्ट करता है ( $a$ पृथ्वी का चार गुना, $T$ आठ गुना)।

15. संख्याओं की एक सारणी, जिसे चंद आधार फलनों की आकृतियों से मिलाया गया, ने ब्रह्मांड का एक नियम दे दिया — और वह भी यह जानने से सत्तर वर्ष पहले कि वह क्यों सही है। फलन पहचान लेना विज्ञान का आधा काम है।

16. $\intoo{0}{1}$ पर: $x^2 < x < \sqrt x$ ; $\intoo{1}{+\infty}$ पर: $\sqrt x < x < x^2$ । जाँच: $x = 0.25$ पर $0.0625 < 0.25 < 0.5$ ; $x = 4$ पर $2 < 4 < 16$ ।

17. $x \geq 0$ के लिए दोनों पक्ष $\geq 0$ हैं, इसलिए $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff x \in \intoo{0}{1}$ ।

18. $x = 0.5$ पर: $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x = 0.5$ । $x = 2$ पर: $2 < 4 < 8$ : क्रम पलट जाता है। $x^2$ और $x^3$ के प्रतिच्छेद: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$ : $x = 0$ और $x = 1$ पर।

19. $10t^2 = 100\sqrt t$ से $t^2 = 10\sqrt t$ मिलता है; वर्ग करने पर $t^4 = 100t$ , इसलिए $t^3 = 100$ और $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ वर्ष — लगभग $4$ वर्ष $8$ महीने। (तब दोनों योजनाएँ लगभग $215$ यूरो देती हैं।) सीख: मूल शुरू में दौड़ लगाते हैं, घातें हर मैराथन जीतती हैं।

20. ब्रेक: परवलय का तीखा होते जाना ही चाल का ख़तरा है। उत्तोलक: $0$ पर ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी और लंबी पूँछ ही यंत्रकार का लाभ हैं। दीया: फैलते गोले का $d^2$ मंद पड़ना तय करता है। केप्लर: घातांक $\frac32$ सौरमंडल की लय है। योजना A: मूल का चपटा होते जाना धीमे बचतकर्ता की नियति है। पाँच आलेख, पाँच नियम: प्रकृति की वर्णमाला सचमुच।