उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

7रेखाओं के समीकरण और रैखिक निकाय

निर्देशांक समतल की सरल रेखा एक समीकरण से बताई जाती है, और दो रेखाएँ मिलकर समीकरणों का एक निकाय बनाती हैं जिसके हल उनके प्रतिच्छेद बिंदु होते हैं। यह अध्याय तीन भाषाओं को जोड़ता है — ज्यामितीय (रेखाएँ), बीजगणितीय (समीकरण) और फलनात्मक (अध्याय 4 के एकघात फलन) — और रैखिक निकाय हल करने के दो मानक तरीक़े सिखाता है।

7.1 रेखा का समीकरण

प्रमेय 7.1 (संक्षिप्त समीकरण)

किसी निर्देशांक-पद्धति में:

हर अ-ऊर्ध्वाधर रेखा का एक समीकरण इस रूप का होता है

$y = mx + p ,$

जिसमें $m$ (प्रवणता) और $p$ ( $y$ -अंतःखंड) अद्वितीय रूप से नियत हैं — यही रेखा का संक्षिप्त समीकरण है;
हर ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x = c$ होता है;
कोई बिंदु रेखा पर ठीक तब होता है जब उसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करें।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

प्रतिज्ञप्ति 7.2 (दो बिंदुओं से प्रवणता)

$A(x_A, y_A)$ और $B(x_B, y_B)$ से होकर जाने वाली (अ-ऊर्ध्वाधर) रेखा की प्रवणता, जहाँ $x_A \neq x_B$ है, यह है:

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \qquad \text{(``$x$ में परिवर्तन पर $y$ में परिवर्तन'')।}

उपपत्ति. दोनों बिंदु $y = mx + p$ को संतुष्ट करते हैं, इसलिए $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$ ; अब $x_B - x_A \neq 0$ से भाग दीजिए। ∎

तीन तरह की रेखाएँ: तिरछी (m ≠ 0), क्षैतिज (m = 0), और ऊर्ध्वाधर (कोई संक्षिप्त समीकरण नहीं — समीकरण x = c है)। — तीन तरह की रेखाएँ: तिरछी ( $m \neq 0$ ), क्षैतिज ( $m = 0$ ), और ऊर्ध्वाधर (कोई संक्षिप्त समीकरण नहीं — समीकरण $x = c$ है)।

विधि 7.3 (दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना)

$A$ और $B$ दिए हों, जहाँ $x_A \neq x_B$ है:

प्रवणता $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ निकालिए;
$y = mx + p$ लिखिए और $p$ ज्ञात करने के लिए $A$ (या $B$ ) के निर्देशांक प्रतिस्थापित कीजिए;
अंतिम समीकरण की जाँच दूसरे बिंदु से कीजिए।

यदि $x_A = x_B$ हो, तो रेखा ऊर्ध्वाधर है: उसका समीकरण $x = x_A$ है।

उदाहरण 7.4

$A(1, 5)$ और $B(3, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा। प्रवणता: $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$ । फिर $y = -2x + p$ ; बिंदु $A$ से $5 = -2 \times 1 + p$ मिलता है, इसलिए $p = 7$ । समीकरण: $y = -2x + 7$ । $B$ से जाँच: $-2 \times 3 + 7 = 1$ ।

प्रतिज्ञप्ति 7.5 (समांतर रेखाएँ)

दो अ-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ समांतर हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणता एक ही हो। दो भिन्न समांतर रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता; भिन्न प्रवणताओं वाली दो रेखाओं का ठीक एक होता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $y = mx + p$ और $y = m'x + p'$ दोनों रेखाएँ हैं। कोई उभयनिष्ठ बिंदु $mx + p = m'x + p'$ को हल करता है, अर्थात् $(m - m')x = p' - p$ को। यदि $m \neq m'$ हो, तो इसका ठीक एक हल $x = \frac{p' - p}{m - m'}$ है: एक प्रतिच्छेद बिंदु। यदि $m = m'$ हो, तो समीकरण $0 = p' - p$ बन जाता है: $p \neq p'$ होने पर कोई हल नहीं (भिन्न समांतर रेखाएँ), और $p = p'$ होने पर हर $x$ हल है (एक ही रेखा)। इस प्रकार समांतरता (कोई प्रतिच्छेद न होना, या बराबर होना) $m = m'$ के तुल्य है। ∎

टिप्पणी 7.6 (दिक् सदिश)

रेखा $y = mx + p$ दाईं ओर हर एक मात्रक पर $m$ मात्रक ऊपर चढ़ती है, इसलिए सदिश $\vec u\,(1, m)$ रेखा का एक दिक् सदिश है: रेखा $\vec u$ के समांतर है। दो रेखाएँ समांतर ठीक तब हैं जब उनके दिक् सदिश संरेखी हों (प्रमेय 6.13)।

7.2 रैखिक निकाय

परिभाषा 7.7 (रैखिक निकाय)

अज्ञातों $x$ और $y$ में दो रैखिक समीकरणों का निकाय समीकरणों का एक ऐसा युग्म है

\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}

जिसे एक साथ संतुष्ट करना है। हल वह युग्म $(x, y)$ है जो दोनों को संतुष्ट करे। हर समीकरण एक रेखा बताता है, इसलिए निकाय हल करने का अर्थ है दो रेखाओं का प्रतिच्छेद ज्ञात करना।

विधि 7.8 (प्रतिस्थापन)

किसी एक समीकरण को किसी एक अज्ञात के लिए हल कीजिए — सबसे आसान वाला चुनिए, जैसे $y$ को $x$ के पदों में व्यक्त कीजिए;
इस व्यंजक को दूसरे समीकरण में रखिए, जिसमें अब केवल $x$ बचता है;
$x$ के लिए हल कीजिए, फिर चरण 1 से $y$ निकालिए;
युग्म की जाँच दोनों मूल समीकरणों में कीजिए।

उदाहरण 7.9

$\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ को प्रतिस्थापन से हल कीजिए। दूसरे समीकरण से $y = 3x - 3$ मिलता है। इसे पहले में रखिए:

x + 2(3x - 3) = 8 \ \Longleftrightarrow\ x + 6x - 6 = 8 \ \Longleftrightarrow\ 7x = 14 \ \Longleftrightarrow\ x = 2 ,

फिर $y = 3 \times 2 - 3 = 3$ । हल युग्म $(2, 3)$ है। जाँच: $2 + 2 \times 3 = 8$ और $3 \times 2 - 3 = 3$ ।

विधि 7.10 (विलोपन)

हर समीकरण को ऐसी सोची-समझी संख्या से गुणा कीजिए कि किसी एक अज्ञात के गुणांक दोनों समीकरणों में परस्पर विपरीत हो जाएँ;
समीकरणों को जोड़िए: वह अज्ञात लुप्त हो जाता है;
बचे हुए एक-अज्ञात समीकरण को हल कीजिए, फिर पीछे रखकर दूसरा अज्ञात ज्ञात कीजिए;
युग्म की जाँच दोनों मूल समीकरणों में कीजिए।

उदाहरण 7.11

$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ को विलोपन से हल कीजिए। $y$ का विलोप करने के लिए पहले समीकरण को $2$ से और दूसरे को $3$ से गुणा कीजिए:

\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}

इन्हें जोड़ने पर $19x = 38$ , इसलिए $x = 2$ । $2x + 3y = 7$ में रखने पर $4 + 3y = 7$ , इसलिए $y = 1$ । हल: $(2, 1)$ । दूसरे समीकरण में जाँच: $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$ ।

रैखिक निकाय ज्यामिति की दृष्टि से: हर समीकरण एक रेखा है, और का हल (2,1) उनका प्रतिच्छेद बिंदु है। — रैखिक निकाय ज्यामिति की दृष्टि से: हर समीकरण एक रेखा है, और उदाहरण 7.11 का हल $(2,1)$ उनका प्रतिच्छेद बिंदु है।

टिप्पणी 7.12 (कितने हल?)

दो रेखाओं की तरह रैखिक निकाय का भी सामान्यतः ठीक एक हल होता है (असमांतर रेखाएँ), और अपवाद स्वरूप कोई नहीं (भिन्न समांतर रेखाएँ) या अनंत (एक ही रेखा दो बार)। प्रमेय 6.13 की कसौटी निर्णय कर देती है: निकाय का अद्वितीय हल ठीक तब है जब $ab' - a'b \neq 0$ हो।

उदाहरण 7.13 (निकाय से प्रतिरूपण)

तीन कॉपियों और दो क़लमों का दाम $8$ है; एक कॉपी और चार क़लमों का दाम $6$ है। मान लीजिए $x$ एक कॉपी का और $y$ एक क़लम का दाम है:

\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x + 4y = 6 . \end{cases}

दूसरे समीकरण से $x = 6 - 4y$ ; प्रतिस्थापन करने पर $3(6 - 4y) + 2y = 8$ , इसलिए $18 - 10y = 8$ , जिससे $y = 1$ और फिर $x = 2$ मिलता है। कॉपी का दाम $2$ और क़लम का दाम $1$ है।

7.3 अभ्यास

अभ्यास 7.1 ★

हर रेखा के लिए प्रवणता और $y$ -अंतःखंड पढ़िए, और उसका रेखाचित्र बनाइए:

y = 2x - 3, \qquad y = -\tfrac13 x + 1, \qquad y = 4, \qquad x = -2 .

हल

हल — अभ्यास 7.1.

$y = 2x - 3$ : प्रवणता $2$ , अंतःखंड $-3$ । $y = -\frac13 x + 1$ : प्रवणता $-\frac13$ , अंतःखंड $1$ । $y = 4$ : प्रवणता $0$ , अंतःखंड $4$ (क्षैतिज रेखा)। $x = -2$ : ऊर्ध्वाधर रेखा, न प्रवणता, न संक्षिप्त समीकरण।

अभ्यास 7.2 ★

क्या बिंदु $A(2, 7)$ रेखा $y = 3x + 1$ का है? और $B(-1, -1)$ ? और बिंदु $C(4, 13)$ ?

हल

हल — अभ्यास 7.2.

$3 \times 2 + 1 = 7$ : हाँ, $A$ रेखा पर है। $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$ : $B$ नहीं है। $3 \times 4 + 1 = 13$ : हाँ, $C$ रेखा पर है।

अभ्यास 7.3 ★

इनसे होकर जाने वाली रेखा का संक्षिप्त समीकरण ज्ञात कीजिए:

\text{(a) } A(0, 2) \text{ और } B(3, 8); \qquad \text{(b) } A(-1, 5) \text{ और } B(2, -4); \qquad \text{(c) } A(4, 1) \text{ और } B(4, 6).

हल

हल — अभ्यास 7.3.

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ और $p = y_A = 2$ (बिंदु $A$ $y$ -अक्ष पर है): $y = 2x + 2$ ।

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$ ; फिर $5 = -3 \times (-1) + p$ से $p = 2$ मिलता है: $y = -3x + 2$ ।

अभ्यास 7.4 ★

रेखाओं $y = 3x - 1$ , $y = -3x + 2$ , $y = 3x + 5$ , $y = \frac{6x + 2}{2}$ में से कौन-सी परस्पर समांतर हैं? और वस्तुतः कौन-सी बराबर हैं?

हल

हल — अभ्यास 7.4.

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$ । प्रवणता $3$ वाली रेखाएँ $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 5$ और $y = 3x + 1$ हैं: ये तीनों परस्पर समांतर हैं; इनमें से कोई दो बराबर नहीं हैं (अंतःखंड भिन्न हैं), और इनमें से कोई $y = -3x + 2$ के समांतर नहीं है।

अभ्यास 7.5 ★

प्रतिस्थापन से हल कीजिए:

\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases} \qquad\text{तो}\qquad \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y = 3 . \end{cases}

हल

हल — अभ्यास 7.5.

पहला निकाय: $3x + y = 9$ में $y = 2x - 1$ रखिए: $3x + 2x - 1 = 9$ , इसलिए $5x = 10$ , $x = 2$ , फिर $y = 3$ । हल: $(2, 3)$ ।

दूसरा निकाय: $x - y = 4$ से $x = y + 4$ । तब $2(y + 4) + 3y = 3$ , इसलिए $5y = -5$ , $y = -1$ , फिर $x = 3$ । हल: $(3, -1)$ ।

अभ्यास 7.6 ★

विलोपन से हल कीजिए:

\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad\text{तो}\qquad \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x + 5y = 8 . \end{cases}

हल

हल — अभ्यास 7.6.

पहला निकाय: समीकरणों को जोड़ने पर $y$ का विलोप हो जाता है: $2x = 14$ , $x = 7$ ; फिर $7 + y = 10$ से $y = 3$ मिलता है। हल: $(7, 3)$ ।

दूसरा निकाय: पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $-2$ से गुणा कीजिए:

\begin{cases} 15x + 10y = 60 \\ -4x - 10y = -16 \end{cases}

जोड़ने पर: $11x = 44$ , इसलिए $x = 4$ ; फिर $3 \times 4 + 2y = 12$ से $y = 0$ मिलता है। हल: $(4, 0)$ ।

अभ्यास 7.7 ★★

बिना हल किए बताइए कि हर निकाय के कितने हल हैं:

\begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = -6 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ -4x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 0 . \end{cases}

हल

हल — अभ्यास 7.7.

हर स्थिति में $ab' - a'b$ निकालिए।

पहली: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$ , और दूसरा समीकरण पहले का $-2$ गुना है: एक ही रेखा दो बार, अनंत हल।

दूसरी: फिर $ab' - a'b = 0$ , पर दाहिने पक्ष $-2$ के अनुपात में नहीं हैं ( $1 \neq -6$ ): दो भिन्न समांतर रेखाएँ, कोई हल नहीं।

तीसरी: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$ : ठीक एक हल।

अभ्यास 7.8 ★★

विद्यालय के नाटक के दो सौ टिकट बिके, कुछ $5$ के (बच्चे) और कुछ $9$ के (वयस्क), और कुल $1352$ मिले। हर तरह के कितने टिकट बिके?

हल

हल — अभ्यास 7.8.

मान लीजिए $x$ बच्चों के टिकटों की संख्या है और $y$ वयस्कों के टिकटों की:

\begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 9y = 1352 . \end{cases}

पहले समीकरण से $x = 200 - y$ ; प्रतिस्थापन करने पर $5(200 - y) + 9y = 1352$ , इसलिए $1000 + 4y = 1352$ , $y = 88$ , फिर $x = 112$ । अतः $112$ बच्चों के और $88$ वयस्कों के टिकट। जाँच: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$ ।

अभ्यास 7.9 ★★

मान लीजिए $d$ रेखा $y = 2x - 3$ है और $A(1, 4)$ है।

$A$ से होकर जाने वाली और $d$ के समांतर रेखा $d'$ का समीकरण बताइए।
$d'$ का $x$ -अक्ष के साथ प्रतिच्छेद बिंदु निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 7.9.

1. समांतर होने का अर्थ है वही प्रवणता $2$ : $y = 2x + p$ , जहाँ $4 = 2 \times 1 + p$ , इसलिए $p = 2$ : $d'\colon y = 2x + 2$ ।

2. $x$ -अक्ष पर $y = 0$ : $2x + 2 = 0$ से $x = -1$ मिलता है। प्रतिच्छेद बिंदु $(-1, 0)$ है।

अभ्यास 7.10 ★★★

मान लीजिए $A(0, 0)$ , $B(6, 2)$ और $C(2, 4)$ हैं।

त्रिभुज $ABC$ की $A$ से और $B$ से खींची गई माध्यिकाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए (माध्यिका किसी शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है)।
उनका प्रतिच्छेद बिंदु $G$ निकालिए, और जाँचिए कि $G$ तीसरी माध्यिका पर भी है। (आपको यह मिलना चाहिए कि $G$ के निर्देशांक $A$ , $B$ , $C$ के निर्देशांकों के माध्य हैं।)

हल

हल — अभ्यास 7.10.

1. $[BC]$ का मध्यबिंदु: $A' = \left(\frac{6+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ । $A(0,0)$ से खींची माध्यिका की प्रवणता $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$ है: समीकरण $y = \frac34 x$ ।

$[AC]$ का मध्यबिंदु: $B' = (1, 2)$ । $B(6, 2)$ से खींची माध्यिका की प्रवणता $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$ है: वह क्षैतिज रेखा $y = 2$ है।

2. प्रतिच्छेद: $\frac34 x = 2$ से $x = \frac83$ मिलता है, इसलिए $G\left(\frac83, 2\right)$ । तीसरी माध्यिका $C(2,4)$ को $[AB]$ के मध्यबिंदु $C' = (3, 1)$ से जोड़ती है; उसकी प्रवणता $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$ है, समीकरण $y = -3x + 10$ । $x = \frac83$ पर: $y = -8 + 10 = 2$ : $G$ उस पर है। और सचमुच $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$ : केन्द्रक शीर्षों के निर्देशांकों का माध्य ले लेता है।

7.4 समस्या: एक हल, कोई नहीं, या अनंत

समस्या 7.1

सप्ताहांत समस्या — दो रेखाओं की तीन संभव नियतियाँ, एक सारणिक उनमें से चुनाव करता है, और संसार की सबसे पुरानी पाठ्यपुस्तक यह पहले से जानती थी

दो रैखिक समीकरण, दो अज्ञात: वे जो रेखा-युग्म खींचते हैं वह एक बार कट सकता है, कभी नहीं कट सकता, या दोनों एक ही रेखा हो सकती हैं — और हर रैखिक निकाय इन तीन नियतियों में से एक पाता है। यह समस्या उनका वर्गीकरण करती है, उस संख्या से मिलाती है जो निर्णय करती है (सदिशों वाले अध्याय की पुरानी परिचित), चीनी नौ अध्याय की दो हज़ार साल पुरानी तीतर-और-ख़रगोश वाली पहेली हल करती है, और क्षेत्रों के कोनों पर समाप्त होती है — उस इष्टतमीकरण का पहला क़दम जिसे आज हर विमान-कंपनी और हर कारख़ाना काम में लाता है।

भाग I — रेखा, धाराप्रवाह।

$(1, 2)$ और $(3, 8)$ से होकर जाने वाली रेखा का संक्षिप्त समीकरण ज्ञात कीजिए (विधि 7.3)।
$y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ और $y = -x + 7$ में से कौन-सी दो रेखाएँ समांतर हैं (प्रतिज्ञप्ति 7.5), और असमांतर युग्म कहाँ मिलते हैं? (एक प्रतिच्छेद निकालिए।)
$(2, 1)$ और $(2, 5)$ से होकर जाने वाली रेखा: उसका कोई संक्षिप्त समीकरण $y = mx + p$ क्यों नहीं है, और उसका समीकरण क्या है?
क्या बिंदु $(4, 11)$ रेखा $y = 3x - 1$ पर है? और $(-1, -5)$ ?
$(0, 3)$ से होकर जाने वाली और प्रवणता $-2$ वाली रेखा: उसका समीकरण, उसके दोनों अक्ष-अंतःखंड, और वह जो त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में से काटती है उसका क्षेत्रफल बताइए।

भाग II — तीन नियतियाँ।

प्रतिस्थापन (विधि 7.8) से हल कीजिए: $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
विलोपन (विधि 7.10) से हल कीजिए: $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
दोनों निकायों का वर्गीकरण कीजिए — और रेखाओं से उसकी व्याख्या कीजिए:

$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases} \qquad\text{और}\qquad \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$

पूरा त्रिविभाजन बताइए: काटती हुईं, समांतर, समरूप — एक हल, कोई नहीं, अनंत।
सामान्य निकाय $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ के लिए निर्णायक संख्या $ad - bc$ है — वही सारणिक जो समस्या 6.1 की संरेखता-जाँच में था। इस संयोग की व्याख्या कीजिए (कौन-से दो सदिश ठीक तब संरेखी होते हैं जब रेखाएँ समांतर या समरूप हों?), और प्रश्न 7 तथा 8 के तीनों निकायों के लिए $ad - bc$ का मान निकालिए।
$m$ के किस मान के लिए $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ का कोई हल नहीं है? $m$ के शेष सभी मानों के लिए निकाय हल कीजिए … या कम से कम बताइए कि आप कैसे करेंगे।

भाग III — नौ अध्याय।

गणितीय कला के नौ अध्याय से (चीन, लगभग 2000 वर्ष पूर्व): एक पिंजरे में तीतर और ख़रगोश हैं — कुल $35$ सिर और $94$ टाँगें। हर तरह के कितने हैं?
एक रस की दुकान $60\,\%$ -फल वाले शरबत को $20\,\%$ -फल वाले पेय के साथ मिलाकर $35\,\%$ फल वाला $30$ L तैयार करती है। हर एक कितने लीटर?
किसी दो अंकों की संख्या के अंकों का योग $12$ है; अंक आपस में बदलने पर वह $18$ घट जाती है। निकाय बनाने के लिए माध्यमिक विद्यालय खंड की अंक-बीजगणित वाली सप्ताहांत समस्या का बीजगणित काम में लाकर उसे ज्ञात कीजिए।
बेकरी में $3$ कॉफ़ी और $2$ क्रोसां का दाम $9.10$ यूरो है; $2$ कॉफ़ी और $3$ क्रोसां का दाम $8.90$ यूरो। सुंदर ढंग से हल कीजिए: दोनों समीकरणों को जोड़ने से और घटाने से आपको सीधे-सीधे क्या-क्या पता चलता है?
एक बाज़ार की दुकान का दावा है: $2$ सेब $+ 1$ नाशपाती $5$ यूरो में, और $4$ सेब $+ 2$ नाशपाती $9$ यूरो में। हल कीजिए — या बल्कि यह बताइए कि निकाय की नियति उस दुकान के गणित के बारे में क्या उजागर करती है।

भाग IV — कोनों का राज।

रेखा $y = 3x - 1$ समतल को दो भागों में बाँट देती है। मूल बिंदु किस ओर है? समुच्चय $y > 3x - 1$ का वर्णन कीजिए और बताइए कि किसी बिंदु की उसके प्रति जाँच कैसे की जाती है।
चार प्रतिबंधों

$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4, \qquad y \leq 2x + 1,$

से परिभाषित क्षेत्र खींचिए और उसके चारों कोने के बिंदु निकालिए।
प्रश्न 17 के क्षेत्र पर एक कारख़ाने का लाभ $P = 3x + 2y$ है। चारों कोनों पर $P$ का मान निकालिए। यह मानते हुए कि ऐसे क्षेत्र पर ऐसी रैखिक राशि का अधिकतम सदा किसी कोने पर ही मिलता है (कल्पना कीजिए कि रेखाएँ $3x + 2y = c$ ( $c$ अचर) आरपार बहती जा रही हैं), इष्टतम उत्पादन-योजना बताइए।
माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-थर्मामीटर वाली सप्ताहांत समस्या की दो टैक्सियाँ निकाय के रूप में: $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ लिखिए और हल कीजिए, और हल की व्याख्या कीजिए।
समापन, शब्दकोश: एक समीकरण $\leftrightarrow$ एक रेखा; एक निकाय $\leftrightarrow$ तीन नियतियों वाली दो रेखाएँ, जिनमें $ad - bc$ निर्णय करता है; अनेक असमिकाएँ $\leftrightarrow$ एक ऐसा क्षेत्र जिसके कोने इष्टतम उठाए रहते हैं। इसे तीन वाक्यों में लिखिए — आपने अभी रैखिक बीजगणित और रैखिक प्रोग्रामन दोनों के प्रवेश-कक्ष का चक्कर लगाया है, और दोनों पूरे के पूरे स्नातक खंडों में बनते हैं।

हल

हल — समस्या 7.1.

1. प्रवणता $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ ; $(1, 2)$ से होकर: $y = 3x - 1$ ।

2. $y = 3x - 1$ और $y = 3x + 4$ : वही प्रवणता, समांतर (और भिन्न)। $y = 3x - 1$ को $y = -x + 7$ से काटने पर: $3x - 1 = -x + 7$ से $x = 2$ , $y = 5$ मिलता है: बिंदु $(2, 5)$ ।

3. दोनों बिंदुओं का $x = 2$ एक ही है: रेखा ऊर्ध्वाधर है, समीकरण $x = 2$ । संक्षिप्त रूप $y = mx + p$ इस प्रश्न का उत्तर देता है कि “प्रति $x$ कितना $y$ ”, और ऊर्ध्वाधर रेखा यह मानने से मना कर देती है: उसकी प्रवणता अनंत होगी।

4. $3 \times 4 - 1 = 11$ : हाँ, $(4, 11)$ रेखा पर है। $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$ : नहीं।

5. $y = -2x + 3$ ; अक्षों को $(0, 3)$ और $\left(\frac32, 0\right)$ पर काटती है। त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$ ।

6. प्रतिस्थापन करने पर: $3x + 2x - 3 = 7$ , $x = 2$ , $y = 1$ : हल $(2, 1)$ ।

7. जोड़ने पर: $7x = 7$ , $x = 1$ ; फिर $3y = 6$ , $y = 2$ : हल $(1, 2)$ ।

8. पहला निकाय: दूसरा समीकरण पहले का दुगुना है: एक ही रेखा दो बार गिनी गई — अनंत हल ( $2x - y = 3$ के सभी बिंदु)। दूसरा निकाय: बाएँ पक्ष उसी अनुपात में हैं, दाहिने नहीं ( $2 \times 3 = 6 \neq 1$ ): दो समांतर रेखाएँ — कोई हल नहीं। त्रिविभाजन: भिन्न प्रवणताएँ $\to$ एक प्रतिच्छेद; समान प्रवणता, भिन्न अंतःखंड $\to$ समांतर, कोई हल नहीं; सब कुछ समान $\to$ एक ही रेखा, अनंत हल।

9. रेखाओं के दिक् सदिश $(-b, a)$ और $(-d, c)$ हैं (या: प्रवणताएँ $-\frac ab$ और $-\frac cd$ ), और वे संरेखी ठीक तब हैं जब $ad - bc = 0$ हो — समस्या 6.1 वाला सारणिक नई नौकरी पर। मान: प्रश्न 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$ : अद्वितीय हल। प्रश्न 8: दोनों के लिए $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ : समांतर-या-समरूप, और अचर पद दोनों स्थितियों को अलग कर देते हैं।

10. $ad - bc = 6 - 2m$ : $m = 3$ के लिए शून्य। वहाँ $x + 3y = 3$ के मुक़ाबले $2x + 6y = 7$ : पहले को दुगुना करने पर $2x + 6y = 6 \neq 7$ मिलता है: समांतर, कोई हल नहीं। $m \neq 3$ के लिए विलोपन अद्वितीय हल $y = \frac{1}{6 - 2m}$ , फिर $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$ देता है।

11. $p + r = 35$ , $2p + 4r = 94$ : आधा करने पर $p + 2r = 47$ , इसलिए $r = 12$ और $p = 23$ : तेईस तीतर, बारह ख़रगोश — नौ अध्याय का अपना उत्तर।

12. $x + y = 30$ और $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 = 10.5$ : पहले में से $0.2 \times$ घटाने पर $0.4x = 4.5$ : $x = 11.25$ L शरबत, $y = 18.75$ L पेय।

13. अंक $a$ , $b$ : $a + b = 12$ और $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$ , इसलिए $a - b = 2$ : $a = 7$ , $b = 5$ : संख्या $75$ है।

14. जोड़ने पर: $5c + 5r = 18$ , इसलिए $c + r = 3.60$ — एक कॉफ़ी और एक क्रोसां। घटाने पर: $c - r = 0.20$ । अतः $c = 1.90$ और $r = 1.70$ यूरो: सममित छोटे रास्ते ने बिना किसी प्रतिस्थापन के हल कर दिया।

15. पहले दावे को दुगुना करने पर $4$ सेब $+ 2$ नाशपाती $= 10$ यूरो में मिलनी चाहिए, पर दुकान $9$ लेती है: निकाय असंगत है — समांतर रेखाएँ, रिक्त हल-समुच्चय। निर्णय: दोनों दाम एक साथ सही नहीं हो सकते; या तो कोई छूट छिपी है, या हिसाब।

16. मूल बिंदु पर: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$ : सत्य, इसलिए $(0,0)$ क्षेत्र $y > 3x - 1$ में है (रेखा के ऊपर)। किसी भी बिंदु को रखकर जाँच लीजिए: असमिका सत्य निकले तो ऊपर, नहीं तो नीचे।

17. कोने: $(0, 0)$ ; $(4, 0)$ (अक्ष और $x + y = 4$ ); $(0, 1)$ (अक्ष और $y = 2x + 1$ ); और $x + y = 4$ तथा $y = 2x + 1$ : $x = 1$ , $y = 3$ : $(1, 3)$ ।

18. $P(0,0) = 0$ ; $P(4, 0) = 12$ ; $P(0, 1) = 2$ ; $P(1, 3) = 9$ । अधिकतम कोने $(4, 0)$ पर: योजना $x = 4$ , $y = 0$ से $12$ मिलता है — कोनों का राज, जैसा बहती समांतर रेखाएँ $3x + 2y = c$ दिखा देती हैं।

19. $1.5x + 3 = 2x$ से $x = 6$ , $y = 12$ मिलता है: छह किलोमीटर पर दोनों टैक्सियाँ बारह यूरो लेती हैं — माध्यमिक विद्यालय खंड की दो-थर्मामीटर वाली सप्ताहांत समस्या का वही बराबरी वाला बिंदु, अब किसी निकाय का अद्वितीय हल।

20. किसी रैखिक समीकरण के हल एक रेखा खींचते हैं; निकाय दो रेखाएँ एक साथ रख देता है, और $ad - bc$ एक नज़र में बता देता है कि वे एक बार कटती हैं (शून्येतर) या समांतर-या-समरूप वाली स्थितियों में गिरती हैं (शून्य)। इसके बदले असमिकाएँ ढेर कर दीजिए तो हल एक बहुभुजीय क्षेत्र बनाते हैं जिसके कोने हर रैखिक इष्टतम उठाए रहते हैं। रैखिक बीजगणित सारणिक को किसी भी संख्या के अज्ञातों तक सामान्य कर देता है; रैखिक प्रोग्रामन कोनों को उद्योग बना देता है।