उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

14त्रिकोणमिति: इकाई वृत्त

त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुजों में जन्म लेती है, पर उसका असली घर इकाई वृत्त है, जहाँ कोज्या और ज्या किसी भी वास्तविक संख्या के फलन बन जाते हैं। यह अध्याय रेडियन, वास्तविक रेखा को वृत्त पर लपेटना, कंठस्थ रखने योग्य यथार्थ मान, और वे सममितियाँ स्थापित करता है जिनसे सभी चिरपरिचित सर्वसमिकाएँ जन्म लेती हैं। $\cos$ और $\sin$ का फलनों के रूप में अध्ययन — परिवर्तन, अवकलज — अध्याय 24 में किया जाता है।

14.1 रेडियन और लपेटना

परिभाषा 14.1 (रेडियन)

मान लीजिए $\mathcal C$ मूल बिंदु $O$ पर केंद्रित त्रिज्या $1$ का वृत्त है, और $I(1, 0)$ है। $\mathcal C$ के केंद्र पर बने किसी कोण का रेडियन माप वह चाप-लंबाई है जो वह $\mathcal C$ पर काटता है। चूँकि पूरे वृत्त की परिधि $2\pi$ है:

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad}, \qquad 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ .

विधि 14.2 (रूपांतरण)

अंश और रेडियन समानुपाती हैं: अंश से रेडियन में जाने के लिए $\frac{\pi}{180}$ से गुणा कीजिए, और उलटी दिशा में $\frac{180}{\pi}$ से। जैसे $60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ , और $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ$ ।

परिभाषा 14.3 (रेखा को वृत्त पर लपेटना)

हर वास्तविक संख्या $t$ के साथ $\mathcal C$ का वह बिंदु $M(t)$ जोड़िए जो $I$ से वृत्त पर $\abs t$ दूरी चलकर मिलता है, $t \geq 0$ होने पर वामावर्त और $t < 0$ होने पर दक्षिणावर्त। चूँकि परिधि $2\pi$ है, संख्याएँ $t$ और $t + 2k\pi$ ( $k \in \Z$ ) एक ही बिंदु पर पहुँचती हैं: $M(t + 2k\pi) = M(t)$ ।

उदाहरण 14.4

$M(0) = I$ ; $M\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)$ , जो वृत्त का शीर्ष है; $M(\pi) = (-1, 0)$ ; $M\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = (0, -1)$ ; और $M\!\left(\frac{9\pi}{4}\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) = M\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ।

14.2 कोज्या और ज्या

परिभाषा 14.5 (कोज्या और ज्या)

हर वास्तविक $t$ के लिए $t$ की कोज्या और ज्या इकाई वृत्त के बिंदु $M(t)$ के निर्देशांक हैं:

M(t) = (\cos t,\ \sin t).

इकाई वृत्त: वास्तविक संख्या t, जो I से वामावर्त लपेटी जाती है, बिंदु M(t) पर पहुँचती है, और उसी के निर्देशांक t तथा t को परिभाषित करते हैं। — इकाई वृत्त: वास्तविक संख्या $t$ , जो $I$ से वामावर्त लपेटी जाती है, बिंदु $M(t)$ पर पहुँचती है, और उसी के निर्देशांक $\cos t$ तथा $\sin t$ को *परिभाषित* करते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 14.6 (पहले गुण)

सभी $t \in \R$ और $k \in \Z$ के लिए:

-1 \leq \cos t \leq 1, \qquad -1 \leq \sin t \leq 1, \qquad \cos^2 t + \sin^2 t = 1,

\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \qquad \sin(t + 2k\pi) = \sin t .

उपपत्ति. $M(t)$ इकाई वृत्त पर है, इसलिए उसके निर्देशांक $-1$ और $1$ के बीच हैं, और वे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ को संतुष्ट करते हैं, जो सर्वसमिका $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ ही है। आवर्तिता $M(t + 2k\pi) = M(t)$ (परिभाषा 14.3) को ही दोहराती है। ∎

उदाहरण 14.7

यदि $\sin t = \frac35$ और $t \in \intcc{\frac\pi2}{\pi}$ हो (दूसरा चतुर्थांश), तो $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , इसलिए $\cos t = \pm\frac45$ ; दूसरे चतुर्थांश में भुज ऋणात्मक होता है, अतः $\cos t = -\frac45$ ।

कंठस्थ रखने योग्य मान:

$t$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
[6pt] $\cos t$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$
[6pt] $\sin t$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$

टिप्पणी 14.8

याद रखने की एक तरकीब: ज्याएँ $\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}$ की तरह पढ़ी जाती हैं, और कोज्याएँ वही सूची उल्टे क्रम में हैं।

14.3 संबद्ध कोण

प्रतिज्ञप्ति 14.9 (संबद्ध कोण)

सभी $t \in \R$ के लिए:

\begin{aligned} \cos(-t) &= \cos t, & \sin(-t) &= -\sin t,\\ \cos(\pi - t) &= -\cos t, & \sin(\pi - t) &= \sin t,\\ \cos(\pi + t) &= -\cos t, & \sin(\pi + t) &= -\sin t,\\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \sin t, & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - t\right) &= \cos t . \end{aligned}

उपपत्ति. हर पंक्ति वृत्त की एक सममिति व्यक्त करती है।

$M(-t)$ $x$ -अक्ष में $M(t)$ का परावर्तन है: भुज अपरिवर्तित रहता है, कोटि का चिह्न बदल जाता है।

$M(\pi - t)$ $y$ -अक्ष में $M(t)$ का परावर्तन है: $\pi$ से पीछे की ओर $t$ चलना $0$ से आगे की ओर $t$ चलने के (क्षैतिज रूप से) सामने पहुँचता है। भुज का चिह्न बदलता है, कोटि अपरिवर्तित रहती है।

$M(\pi + t)$ $M(t)$ के व्यास के दूसरे सिरे पर है (आधा चक्कर): दोनों निर्देशांकों के चिह्न बदल जाते हैं।

$M\!\left(\frac\pi2 - t\right)$ विकर्ण रेखा $y = x$ में $M(t)$ का परावर्तन है, जो दोनों निर्देशांक आपस में बदल देती है। ∎

चारों संबद्ध बिंदु: M(-t) x-अक्ष में M(t) का दर्पण है, M(π - t) y-अक्ष में, और M(π + t) व्यास के दूसरे सिरे पर है। की हर सर्वसमिका इसी चित्र से पढ़ ली जाती है। — चारों संबद्ध बिंदु: $M(-t)$ $x$ -अक्ष में $M(t)$ का दर्पण है, $M(\pi - t)$ $y$ -अक्ष में, और $M(\pi + t)$ व्यास के दूसरे सिरे पर है। प्रतिज्ञप्ति 14.9 की हर सर्वसमिका इसी चित्र से पढ़ ली जाती है।

उदाहरण 14.10

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac\pi3\right) = -\cos\frac\pi3 = -\frac12$ , और $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac\pi6\right) = -\sin\frac\pi6 = -\frac12$ । पाँच मानों की सारणी, सममितियों से बढ़ाकर, पूरे वृत्त को ढक लेती है।

14.4 त्रिकोणमितीय समीकरण हल करना

प्रमेय 14.11 (समीकरण $\cos t = \cos a$ और $\sin t = \sin a$ )

वास्तविक संख्याओं $t$ और $a$ के लिए:

\cos t = \cos a \iff t = a + 2k\pi \ \text{या}\ t = -a + 2k\pi \quad (k \in \Z),

\sin t = \sin a \iff t = a + 2k\pi \ \text{या}\ t = \pi - a + 2k\pi \quad (k \in \Z).

उपपत्ति. इकाई वृत्त के दो बिंदुओं के भुज ठीक तब बराबर होते हैं जब वे या तो बराबर हों या $x$ -अक्ष में एक-दूसरे के परावर्तन हों; प्रतिज्ञप्ति 14.9 से $M(a)$ का परावर्तन $M(-a)$ है। इसलिए $\cos t = \cos a$ का अर्थ है $M(t) = M(a)$ या $M(t) = M(-a)$ , अर्थात् $2\pi$ के किसी गुणज तक $t = \pm a$ । इसी तरह कोटियों का बराबर होना बिंदुओं के बराबर होने या $y$ -अक्ष में परावर्तन होने का अर्थ रखता है, और $M(a)$ का परावर्तन $M(\pi - a)$ है। ∎

विधि 14.12 (किसी अंतराल पर $\cos t = c$ हल करना)

ज्ञात मानों की सारणी से एक ऐसा कोण $a$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\cos a = c$ हो;
व्यापक हल $t = \pm a + 2k\pi$ लिखिए (प्रमेय 14.11);
वे पूर्णांक $k$ चुनिए जो माँगे गए अंतराल में ले जाएँ, और हल गिनाइए।

$\sin t = c$ के लिए $t = a + 2k\pi$ या $t = \pi - a + 2k\pi$ के साथ इसी तरह आगे बढ़िए।

उदाहरण 14.13

$\intoc{-\pi}{\pi}$ पर $\cos t = \frac12$ हल कीजिए। $\cos a = \frac12$ का एक हल $a = \frac{\pi}{3}$ है। व्यापक हल $t = \frac\pi3 + 2k\pi$ और $t = -\frac\pi3 + 2k\pi$ हैं। $\intoc{-\pi}{\pi}$ के भीतर केवल $k = 0$ ही योगदान देता है: $t \in \left\{-\frac\pi3,\ \frac\pi3\right\}$ ।

$\intco{0}{2\pi}$ पर $\sin t = -\frac{\sqrt2}{2}$ हल कीजिए। एक कोण $a = -\frac\pi4$ है; हल $t = -\frac\pi4 + 2k\pi$ और $t = \pi + \frac\pi4 + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ हैं। $\intco{0}{2\pi}$ में: $t = \frac{7\pi}{4}$ ( $k = 1$ से) और $t = \frac{5\pi}{4}$ ।

t = 1/2 हल करना: ऊर्ध्वाधर रेखा x = 1/2 (नारंगी) इकाई वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, जो x-अक्ष में सममित हैं — इसीलिए हलों के दो परिवार t = ± π3 + 2kπ मिलते हैं। — $\cos t = \frac12$ हल करना: ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac12$ (नारंगी) इकाई वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, जो $x$ -अक्ष में सममित हैं — इसीलिए हलों के दो परिवार $t = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ मिलते हैं।

14.5 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

रेडियन में बदलिए: $30^\circ$ , $45^\circ$ , $120^\circ$ , $270^\circ$ । अंशों में बदलिए: $\frac{\pi}{5}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{7\pi}{4}$ , $\frac{2\pi}{9}$ ।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

रेडियन में: $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ , $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ , $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ ।

अंशों में: $\frac{\pi}{5} = 36^\circ$ , $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ , $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ$ , $\frac{2\pi}{9} = 40^\circ$ ।

अभ्यास 14.2 ★

हर एक को $2\pi$ के सापेक्ष $\intoc{-\pi}{\pi}$ के किसी मान पर लाकर बिंदु $M(t)$ इकाई वृत्त पर अंकित कीजिए:

t = \frac{2\pi}{3},\quad t = -\frac{\pi}{4},\quad t = \frac{17\pi}{6},\quad t = -\frac{7\pi}{2},

हल

हल — अभ्यास 14.2.

$\frac{2\pi}{3}$ और $-\frac{\pi}{4}$ पहले से ही $\intoc{-\pi}{\pi}$ में हैं: क्रमशः दूसरा और चौथा चतुर्थांश।

$\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ : दूसरा चतुर्थांश, ऋणात्मक $x$ -अक्ष के पास।

$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$ : वृत्त का शीर्ष, $(0, 1)$ ।

अभ्यास 14.3 ★

सारणी और संबद्ध कोणों का उपयोग करके यथार्थ मान बताइए:

\cos\frac{3\pi}{4}, \quad \sin\frac{5\pi}{6}, \quad \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right), \quad \sin\frac{4\pi}{3}, \quad \cos\frac{11\pi}{6} .

हल

हल — अभ्यास 14.3.

$\cos\frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac\pi4\right) = -\cos\frac\pi4 = -\frac{\sqrt2}{2}$ ।

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac\pi6\right) = \sin\frac\pi6 = \frac12$ ।

$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ ।

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac\pi3\right) = -\sin\frac\pi3 = -\frac{\sqrt3}{2}$ ।

$\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\left(-\frac\pi6 + 2\pi\right) = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}{2}$ ।

अभ्यास 14.4 ★

$t \in \intoo{-\frac\pi2}{0}$ के साथ $\cos t = \frac{5}{13}$ दिया हो, तो $\sin t$ का यथार्थ मान निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , इसलिए $\sin t = \pm\frac{12}{13}$ । $\intoo{-\frac\pi2}{0}$ पर (चौथा चतुर्थांश) कोटि ऋणात्मक है: $\sin t = -\frac{12}{13}$ ।

अभ्यास 14.5 ★★

किसी भी वास्तविक $x$ के लिए सरल कीजिए:

A = \cos(\pi + x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac\pi2 - x\right) - \cos x, \qquad B = \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) + \sin(-x) .

हल

हल — अभ्यास 14.5.

प्रतिज्ञप्ति 14.9 का उपयोग करने पर:

A = (-\cos x) + \cos x + \cos x - \cos x = 0 ,

B = \sin x + (-\sin x) + (-\sin x) = -\sin x .

अभ्यास 14.6 ★★

$\intoc{-\pi}{\pi}$ पर हल कीजिए:

\cos t = \frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin t = \frac12, \qquad \cos t = -1 .

हल

हल — अभ्यास 14.6.

$\cos t = \frac{\sqrt3}{2}$ : एक हल $\frac\pi6$ है, इसलिए $t = \pm\frac\pi6$ ( $2k\pi$ के खिसकाव अंतराल से बाहर ले जाते हैं)।

$\sin t = \frac12$ : $t = \frac\pi6$ या $t = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ ।

$\cos t = -1$ : भुज $-1$ वाला अकेला बिंदु $M(\pi)$ है, इसलिए $t = \pi$ ।

अभ्यास 14.7 ★★

$\intco{0}{2\pi}$ पर हल कीजिए:

\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos t = 0, \qquad 2\sin t + 1 = 0 .

हल

हल — अभ्यास 14.7.

$\sin t = -\frac{\sqrt3}{2}$ : $a = -\frac\pi3$ से परिवार $-\frac\pi3 + 2k\pi$ और $\pi + \frac\pi3 + 2k\pi$ हैं; $\intco{0}{2\pi}$ में: $t = \frac{4\pi}{3}$ और $t = \frac{5\pi}{3}$ ।

$\cos t = 0$ : $t = \frac\pi2$ और $t = \frac{3\pi}{2}$ ।

$2\sin t + 1 = 0$ का अर्थ है $\sin t = -\frac12$ : $a = -\frac\pi6$ से, $\intco{0}{2\pi}$ में: $t = \frac{7\pi}{6}$ और $t = \frac{11\pi}{6}$ ।

अभ्यास 14.8 ★★

$\R$ पर समीकरण $\cos 2t = \cos t$ हल कीजिए। ( $a = t$ के साथ प्रमेय 14.11 का उपयोग कीजिए, और हलों के दोनों परिवारों की चर्चा कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 14.8.

प्रमेय 14.11 से $\cos 2t = \cos t$ का अर्थ है $2t = t + 2k\pi$ या $2t = -t + 2k\pi$ , अर्थात् $t = 2k\pi$ या $t = \frac{2k\pi}{3}$ ( $k \in \Z$ )। पहला परिवार दूसरे में समा जाता है ( $k$ को $3$ का गुणज लेने पर), इसलिए हल-समुच्चय

S = \left\{\frac{2k\pi}{3} : k \in \Z\right\}

है — वृत्त पर तीनों बिंदु $M(0)$ , $M\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ , $M\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)$ ।

अभ्यास 14.9 ★★

दिखाइए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए

\bigl(\cos x + \sin x\bigr)^2 + \bigl(\cos x - \sin x\bigr)^2 = 2 .

हल

हल — अभ्यास 14.9.

दोनों वर्गों का प्रसार करके $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:

(\cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x) = 1 + 1 = 2 .

अभ्यास 14.10 ★★

त्रिज्या $30$ cm का एक पहिया बिना फिसले लुढ़कता है। जब साइकिल $1.5$ m आगे बढ़ती है तब वह कितने कोण से (पहले रेडियन में, फिर अंशों में) घूमता है? पहिये के एक पूरे चक्कर में साइकिल कितनी दूर बढ़ती है?

हल

हल — अभ्यास 14.10.

बिना फिसले लुढ़कने का अर्थ है कि चाप-लंबाई तय की गई दूरी के बराबर है: $r\theta = 150$ cm से $\theta = \frac{150}{30} = 5$ rad $= 5 \times \frac{180}{\pi} \approx 286.5^\circ$ मिलता है। एक पूरे चक्कर में साइकिल परिधि $2\pi \times 30 = 60\pi \approx 188.5$ cm, यानी लगभग $1.88$ m आगे बढ़ती है।

अभ्यास 14.11 ★★★

$\intoc{-\pi}{\pi}$ पर असमिका $\cos t \leq \frac12$ हल कीजिए। (इकाई वृत्त का रेखाचित्र बनाइए, वह भाग अंकित कीजिए जहाँ भुज अधिक से अधिक $\frac12$ है, और $t$ के मानों का अंतराल पढ़ लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 14.11.

इकाई वृत्त पर ठीक $\frac12$ भुज वाले बिंदु $M\!\left(\pm\frac\pi3\right)$ हैं। भुज अधिक से अधिक $\frac12$ वाले बिंदु ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac12$ के बाईं ओर का चाप बनाते हैं, जिस पर $t$ $\frac\pi3$ से $\pi$ तक, या $-\pi$ से $-\frac\pi3$ तक जाने पर चला जाता है। अतः $\intoc{-\pi}{\pi}$ पर:

S = \intoc{-\pi}{-\frac{\pi}{3}} \cup \intcc{\frac{\pi}{3}}{\pi}.

(सिरे $\pm\frac\pi3$ सम्मिलित हैं, क्योंकि असमिका चौड़ी है।)

14.6 समस्या: विशाल चक्र और ज्वार

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — रेडियन लुढ़की हुई दूरी के रूप में, और इकाई वृत्त हर आवर्ती परिघटना की मुख्य घड़ी के रूप में

विशाल चक्र आपको एक वृत्त पर घुमाता है; ज्वार बंदरगाह के पानी को उसी गणितीय वृत्त पर ऊपर-नीचे ले जाता है। हर आवर्ती परिघटना — पहिये, ज्वार, ध्वनि, ऋतुएँ — अपनी समय-सारणी इसी अध्याय के इकाई वृत्त (परिभाषा 14.5) से पढ़ती है, और विधि 14.12 के समीकरण ठीक-ठीक समय बता देते हैं। यह समस्या रूपांतरण करती है, लपेटती है, प्रतिरूप बनाती है और हल करती है — और रास्ते में यह भी तय कर देती है कि गणितज्ञ कोण रेडियन में क्यों नापते हैं।

भाग I — रेडियन, लुढ़की हुई दूरी।

रेडियन में बदलिए: $30^\circ$ , $135^\circ$ , $300^\circ$ ; और अंशों में: $\frac{3\pi}{4}$ , $\frac{5\pi}{6}$ (विधि 14.2)।
रेडियन का सारा मर्म: त्रिज्या $r$ वाले वृत्त पर कोण $t$ (रेडियन में) का चाप ठीक $r\,t$ लंबा होता है। त्रिज्या $3$ m वाले वृत्त पर $2$ रेडियन का कोण कितना चाप काटता है? (कहीं कोई $\pi$ नहीं — यही तो बात है।)
त्रिज्या $30$ cm का एक पहिया बिना फिसले $1$ km लुढ़कता है। वह कितने रेडियन घूमा है, और वे कितने पूरे चक्कर हुए?
इकाई वृत्त पर रखिए और यथार्थ मान निकालिए: $\cos\frac{2\pi}{3}$ , $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$ , और $\cos\frac{19\pi}{6}$ (पहले $2\pi$ के सापेक्ष घटाइए; प्रतिज्ञप्ति 14.9)।
कोई कोण $t \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ $\sin t = \frac35$ को संतुष्ट करता है। $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ और चतुर्थांश का उपयोग करके $\cos t$ तथा $\tan t$ ज्ञात कीजिए।

भाग II — विशाल चक्र। एक विशाल चक्र की त्रिज्या $60$ m है, उसका केंद्र ज़मीन से $65$ m ऊपर है, और वह हर $30$ मिनट में एक चक्कर पूरा करता है। आप समय $t = 0$ (मिनट में) पर सबसे नीचे वाले बिंदु से सवार होते हैं, इसलिए आपकी ऊँचाई यह मानती है:

h(t) = 65 - 60 \cos\!\left(\frac{\pi t}{15}\right).

सूत्र को पुष्ट कीजिए: $t$ मिनट बाद घूमा हुआ कोण जाँचिए, $t = 0$ पर ऊँचाई जाँचिए, और ऋण चिह्न की व्याख्या कीजिए।
$t = 7.5$ , $t = 15$ और $t = 20$ मिनट पर अपनी ऊँचाई निकालिए (यथार्थ मान)।
आप पहली बार $95$ m पर कब होते हैं? (विधि 14.12 के साथ $h(t) = 95$ हल कीजिए।)
सवारी के किस समय-अंतराल में आप कम से कम $95$ m ऊँचाई पर होते हैं — और कुल कितनी देर? (अभ्यास 14.11 से तुलना कीजिए।)
ऊँचाई सबसे तेज़ी से कहाँ बदलती है? पहले मिनट की चढ़ाई ( $h(1) - h(0)$ ) की तुलना मिनट $7$ और $8$ के बीच की चढ़ाई से कीजिए, और अपना प्रेक्षण शब्दों में रखिए (इसे यथार्थ बनाने वाला औज़ार — ज्यावक्रीय फलन का अवकलज — कक्षा 12 में आता है)।
अभियंता की बारी: ऐसे चक्र का ऊँचाई-सूत्र रचिए जिसकी अधिकतम ऊँचाई $40$ m, न्यूनतम ऊँचाई $4$ m और आवर्तकाल $12$ मिनट हो, और सवारी $t = 0$ पर सबसे नीचे से शुरू हो।

भाग III — ज्वार और वृत्त की सममितियाँ। किसी बंदरगाह में आधी रात के $t$ घंटे बाद पानी की गहराई, मीटर में, यह है:

d(t) = 7 + 3 \sin\!\left(\frac{\pi t}{6}\right).

अधिकतम और न्यूनतम गहराई, वे समय जब वे पहली बार आती हैं, और ज्वार का आवर्तकाल बताइए।
एक मालवाहक जहाज़ को $8.5$ m पानी चाहिए। $\intco{0}{12}$ पर $d(t) \geq 8.5$ हल कीजिए: वह किस खिड़की में भीतर आ सकता है, और वह खिड़की कितनी लंबी है? अगली खिड़की कब खुलती है?
संबद्ध कोणों की दो सर्वसमिकाएँ सीधे वृत्त की सममितियों से फिर निकालिए — $\sin(\pi - t) = \sin t$ (ऊर्ध्वाधर अक्ष में दर्पण) और $\cos(\pi + t) = -\cos t$ (आधा चक्कर) — और पूरक सर्वसमिका $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ बताइए।
सम-विषमता (समस्या 11.1 की शब्दावली): $\sin$ , $\cos$ और $t \mapsto \sin t + t^3$ को सम या विषम बताइए, और वृत्त से एक-एक पंक्ति की उपपत्ति दीजिए।
$\intco{0}{2\pi}$ पर हल कीजिए: $2\sin^2 t - \sin t - 1 = 0$ । (भेस बदला हुआ द्विघात: समस्या 10.1 की तरह गुणनखंडन कीजिए, फिर वृत्त पढ़ लीजिए।)

भाग IV — गणितज्ञ का कोण।

$1$ रेडियन कितने अंश का होता है? और फिर कैलकुलेटर का एक जाल: $\sin(1)$ (रेडियन विधा) और $\sin(1^\circ)$ में कौन बड़ा है — और मोटे तौर पर कितने गुना? कैलकुलेटर की सेटिंग के बारे में क्या सीख मिली?
वृत्त का उपयोग करके $\intco{0}{2\pi}$ पर $\cos t = \sin t$ हल कीजिए (भुज और कोटि कहाँ बराबर होते हैं?)।
छोटे कोणों के लिए चाप और उसकी ज्या लगभग एक ही होते हैं: $\sin(0.1)$ की तुलना $0.1$ से कीजिए (पाँच दशमलव स्थान) और आपेक्षिक त्रुटि बताइए। यही “लघु-कोण सन्निकटन” जहाज़ और लोलक चलाता है; इसके पीछे की प्रमेय ( $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ) कक्षा 12 के सीमाओं वाले अध्याय का सितारा है।
समापन — इकाई वृत्त मुख्य घड़ी के रूप में, हर मद पर एक वाक्य: रेडियन कोणों को ईमानदार संख्याओं में बदल देते हैं (चाप $=$ त्रिज्या $\times$ कोण); कोज्या और ज्या घड़ी की सुई की छाया और ऊँचाई हैं; वृत्त की सममितियाँ ही सर्वसमिकाएँ हैं; $\cos t = c$ हल करना घड़ी से समय पढ़ना है; और हर आवर्ती परिघटना — पहिया, ज्वार, ध्वनि — यही घड़ी है, बस वेश बदले हुए।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ; $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ ; $300^\circ = \frac{5\pi}{3}$ । और $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$ ; $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ ।

2. लंबाई $r\,t = 3 \times 2 = 6$ m। रेडियन चाप-लंबाई को एक सीधा गुणनफल बना देते हैं — अंश हर सूत्र में एक $\frac{\pi}{180}$ घसीट लाते।

3. घूमे हुए रेडियन $= \frac{\text{दूरी}} {\text{त्रिज्या}} = \frac{1000}{0.30} \approx 3\,333$ rad; $2\pi$ से भाग देने पर: लगभग $530$ पूरे चक्कर।

4. $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$ ; $\sin\left(-\frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2}{2}$ ; $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ , इसलिए $\cos\frac{19\pi}{6} = \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ ।

5. $\cos^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ ; दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है: $\cos t = -\frac45$ , और $\tan t = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac34$ ।

6. $t$ मिनट में चक्र $\frac{t}{30} \times 2\pi = \frac{\pi t}{15}$ घूमता है। $t = 0$ पर: $h = 65 - 60 = 5$ m — यानी सबसे नीचे का सवारी-मंच (केंद्र की ऊँचाई घटा त्रिज्या)। ऋण चिह्न आपको तब केंद्र से नीचे रखता है जब घूमा हुआ कोण $0$ हो।

7. $h(7.5) = 65 - 60\cos\frac{\pi}{2} = 65$ m (केंद्र की ऊँचाई); $h(15) = 65 + 60 = 125$ m (शिखर); $h(20) = 65 - 60\cos\frac{4\pi}{3} = 65 + 30 = 95$ m।

8. $65 - 60\cos\frac{\pi t}{15} = 95$ से $\cos\frac{\pi t}{15} = -\frac12$ मिलता है: पहला हल $\frac{\pi t}{15} = \frac{2\pi}{3}$ , अर्थात् $t = 10$ मिनट।

9. $\frac{\pi t}{15} \in \intcc{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{3}}$ के लिए $\cos\frac{\pi t}{15} \leq -\frac12$ , अर्थात् $t \in \intcc{10}{20}$ : सवारी के दस मिनट $95$ m से ऊपर, जो $t = 15$ पर शिखर के परितः सममित हैं।

10. पहला मिनट:

h(1) - h(0) = 60\left(1 - \cos\frac{\pi}{15}\right) \approx 1.3 \text{ m}.

मिनट $7$ और $8$ के बीच:

60\left(\cos\frac{7\pi}{15} - \cos\frac{8\pi}{15}\right) \approx 12.5 \text{ m}

— यानी लगभग दस गुना अधिक। ऊँचाई सबसे तेज़ी से तब बदलती है जब केंद्र के स्तर से गुज़रा जाता है, और सबसे नीचे तथा सबसे ऊपर के पास वह लगभग ठहर जाती है: ज्यावक्र अपने बीच में तीखा और अपने सिरों पर सपाट होता है।

11. त्रिज्या $= \frac{40 - 4}{2} = 18$ m, केंद्र $4 + 18 = 22$ m पर, आवर्तकाल $12$ मिनट: $h(t) = 22 - 18\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ ।

12. $\sin\frac{\pi t}{6} = 1$ होने पर अधिकतम $7 + 3 = 10$ m: पहली बार $t = 3$ पर (सुबह 3 बजे); न्यूनतम $4$ m पहली बार $t = 9$ पर; आवर्तकाल $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ घंटे।

13. $\frac{\pi t}{6} \in \intcc{\frac\pi6}{\frac{5\pi}{6}}$ के लिए $\sin\frac{\pi t}{6} \geq \frac12$ : $t \in \intcc{1}{5}$ — यानी रात 1 बजे से सुबह 5 बजे तक की चार घंटे की खिड़की, जो एक आवर्तकाल बाद $t \in \intcc{13}{17}$ पर फिर खुलती है (दोपहर 1 बजे से शाम 5 बजे तक)।

14. ऊर्ध्वाधर अक्ष का दर्पण कोण $t$ वाले बिंदु को कोण $\pi - t$ वाले बिंदु पर भेजता है और कोटि बनाए रखता है: $\sin(\pi - t) = \sin t$ । केंद्र के परितः आधा चक्कर $t$ को $\pi + t$ पर भेजता है और दोनों निर्देशांकों के चिह्न बदल देता है: $\cos(\pi + t) = -\cos t$ । और विकर्ण का दर्पण भुज तथा कोटि आपस में बदल देता है: $\cos\left(\frac\pi2 - t\right) = \sin t$ — पूरक कोणों वाला वही “को”।

15. $\sin(-t) = -\sin t$ : विषम (उसके आलेख की अर्ध-घूर्णन सममिति); $\cos(-t) = \cos t$ : सम (दर्पण)। और $\sin t + t^3$ दो विषम फलनों का योग है: विषम।

16. गुणनखंडन: $(2\sin t + 1)(\sin t - 1) = 0$ : $\sin t = 1$ से $t = \frac\pi2$ मिलता है; $\sin t = -\frac12$ से $t = \frac{7\pi}{6}$ और $t = \frac{11\pi}{6}$ । वृत्त पर तीन हल।

17. $1$ rad $= \frac{180}{\pi} \approx 57.3^\circ$ । इसलिए $\sin(1) \approx 0.841$ जबकि $\sin(1^\circ) \approx 0.0175$ : लगभग $50$ का गुणक। सीख: किसी भी त्रिकोणमितीय पठन पर भरोसा करने से पहले विधा की बत्ती देख लीजिए।

18. भुज और कोटि विकर्ण पर बराबर होते हैं: $t = \frac\pi4$ और $t = \frac{5\pi}{4}$ ।

19. $\sin(0.1) = 0.09983\ldots$ बनाम $0.1$ : आपेक्षिक त्रुटि लगभग $0.17\,\%$ । छोटे कोणों के लिए जीवा चाप से चिपकी रहती है — और कक्षा 12 की सीमा $\frac{\sin t}{t} \to 1$ ठीक इसी प्रेक्षण को प्रमेय बना देती है।

20. रेडियन: कोण $=$ इकाई वृत्त पर चाप, इसलिए कोण लंबाइयों की तरह गणना में आ जाते हैं। कोज्या और ज्या: घड़ी की सुई के निर्देशांक — ज़मीन पर छाया, दीवार पर ऊँचाई। वृत्त की सममितियाँ: सर्वसमिकाओं की पूरी सूची, जो दर्पणों और अर्ध-घूर्णनों से पढ़ ली जाती है। समीकरण $\cos t = c$ : घड़ी की समय-सारणी, जिसमें वृत्त हर हल एक साथ दिखा देता है। वेश: पहिये ने $65 - 60\cos$ पहना, ज्वार ने $7 + 3\sin$ — वही घड़ी, वही गणित।

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