उच्च माध्यमिक गणित · Cursos 10–12

5निर्देशांक ज्यामिति

देकार्त का महान विचार यह था कि बिंदुओं को संख्या-युग्मों से बताया जाए, जिससे ज्यामिति की समस्याएँ गणनाएँ बन जाएँ। केवल दो सूत्रों — मध्यबिंदु और दूरी — से यह सिद्ध किया जा सकता है कि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, कोई चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है, या तीन बिंदु संरेख हैं, और इसके लिए एक भी सहायक रेखा खींचने की आवश्यकता नहीं पड़ती।

5.1 समतल में निर्देशांक

परिभाषा 5.1 (निर्देशांक-पद्धति)

समतल की निर्देशांक-पद्धति में एक मूल बिंदु $O$ और $O$ से होकर जाने वाले दो अंकित अक्ष होते हैं: क्षैतिज $x$ -अक्ष और ऊर्ध्वाधर $y$ -अक्ष। तब हर बिंदु $M$ के अपने अद्वितीय निर्देशांक $(x, y)$ होते हैं: उसका भुज $x$ और उसकी कोटि $y$ । पद्धति लंबकोणिक तब कहलाती है जब अक्ष परस्पर लंब हों और दोनों पर लंबाई का एक ही मात्रक हो। इस अध्याय की सभी पद्धतियाँ लंबकोणिक हैं।

समतल का हर बिंदु दो संख्याओं से नियत होता है: पहले भुज (क्षैतिज), फिर कोटि (ऊर्ध्वाधर)।

5.2 रेखाखंड का मध्यबिंदु

प्रतिज्ञप्ति 5.2 (मध्यबिंदु सूत्र)

मान लीजिए $A(x_A, y_A)$ और $B(x_B, y_B)$ हैं। रेखाखंड $[AB]$ के मध्यबिंदु $I$ के निर्देशांक हैं

I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

उपपत्ति. क्षैतिज निर्देशांकों पर विचार कीजिए। $A$ से $B$ तक जाने में भुज $x_B - x_A$ बदलता है; ठीक आधे रास्ते पड़ने वाले बिंदु का भुज

x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2},

है, अर्थात् दोनों भुजों का माध्य। यही गणना कोटियों पर भी लागू होती है। ∎

उदाहरण 5.3

$A(-1, 4)$ और $B(5, -2)$ के साथ $[AB]$ का मध्यबिंदु है

I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).

यह सूत्र उल्टी दिशा में भी चलता है: यदि $A(-1, 4)$ हो और मध्यबिंदु $I(2, 1)$ हो, तो $B$ $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ और $\frac{4 + y_B}{2} = 1$ को संतुष्ट करता है, इसलिए $x_B = 5$ और $y_B = -2$ : बिंदु $B$ $I$ के परितः $A$ का सममित बिंदु है।

5.3 दो बिंदुओं के बीच की दूरी

प्रमेय 5.4 (दूरी सूत्र)

लंबकोणिक पद्धति में $A(x_A, y_A)$ और $B(x_B, y_B)$ के बीच की दूरी है

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.

उपपत्ति. मान लीजिए $C$ बिंदु $(x_B, y_A)$ है: उसकी ऊँचाई $A$ जैसी है और भुज $B$ जैसा, इसलिए त्रिभुज $ACB$ में $C$ पर समकोण है। उसकी भुजाएँ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाखंड हैं, जिनकी लंबाइयाँ $AC = \abs{x_B - x_A}$ और $CB = \abs{y_B - y_A}$ हैं। पाइथागोरस प्रमेय से

AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,

और वर्गमूल लेने पर (दोनों पक्ष अऋणात्मक हैं) सूत्र मिल जाता है। ∎

दूरी सूत्र वस्तुतः एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर भुजा पर बने समकोण त्रिभुज ACB पर लगाई गई पाइथागोरस प्रमेय है। — दूरी सूत्र वस्तुतः एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर भुजा पर बने समकोण त्रिभुज $ACB$ पर लगाई गई पाइथागोरस प्रमेय है।

उदाहरण 5.5

$A(1, 1)$ और $B(5, 3)$ के साथ:

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .

दूरियाँ प्रायः यथार्थ (वर्गमूल वाले) रूप में ही रखी जाती हैं; यदि दशमलव उत्तर चाहिए तो केवल अंत में पूर्णांकित कीजिए।

टिप्पणी 5.6

बिंदुओं के क्रम से कोई अंतर नहीं पड़ता: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ । पर वर्ग लगाना मत भूलिए! दूरी $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$ नहीं है।

5.4 ज्यामिति में सूत्रों का उपयोग

विधि 5.7 (त्रिभुज की प्रकृति)

तीन बिंदु $A$ , $B$ , $C$ उनके निर्देशांकों से दिए हों तो:

दूरी सूत्र से तीनों वर्ग-लंबाइयाँ $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ निकालिए (वर्ग बनाए रखने से वर्गमूलों से बचाव होता है);
दो वर्ग-लंबाइयाँ बराबर हों $\Rightarrow$ त्रिभुज समद्विबाहु है;
यदि सबसे बड़ी वर्ग-लंबाई शेष दोनों के योग के बराबर हो, तो पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से त्रिभुज सबसे लंबी भुजा के सामने वाले शीर्ष पर समकोण है।

उदाहरण 5.8

मान लीजिए $A(0, 1)$ , $B(4, 3)$ और $C(2, -3)$ हैं। तब

\begin{align*} AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\ AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\ BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 . \end{align*}

पहले, $AB^2 = AC^2$ , इसलिए $AB = AC$ : त्रिभुज $A$ पर समद्विबाहु है। इसके अतिरिक्त $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$ , इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से त्रिभुज $A$ पर समकोण भी है।

विधि 5.9 (समांतर चतुर्भुज पहचानना)

चतुर्भुज $ABCD$ समांतर चतुर्भुज ठीक तब है जब उसके विकर्णों $[AC]$ और $[BD]$ का मध्यबिंदु एक ही हो। अतः: मध्यबिंदु सूत्र से दोनों मध्यबिंदु निकालिए और उनकी तुलना कीजिए।

उदाहरण 5.10

मान लीजिए $A(-1, 0)$ , $B(2, 2)$ , $C(5, 1)$ और $D(2, -1)$ हैं। $[AC]$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$ है; $[BD]$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) = (2, \frac12)$ है। दोनों एक ही हैं, इसलिए $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है।

ABCD समांतर चतुर्भुज है क्योंकि उसके दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही I(2, 1/2) है। — $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है क्योंकि उसके दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही $I(2, \frac12)$ है।

5.5 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

मान लीजिए $A(2, 5)$ और $B(-4, 1)$ हैं। $[AB]$ के मध्यबिंदु के निर्देशांक और दूरी $AB$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 5.1.

मध्यबिंदु: $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1, 3)$ । दूरी:

AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

अभ्यास 5.2 ★

मान लीजिए $A(3, -2)$ और $I(1, 2)$ हैं। वह बिंदु $B$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $I$ $[AB]$ का मध्यबिंदु हो।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

$I$ $[AB]$ का मध्यबिंदु है, इसका अर्थ है $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ और $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$ , इसलिए $x_B = -1$ और $y_B = 6$ : $B(-1, 6)$ ।

अभ्यास 5.3 ★

बिंदुओं $P(4, 1)$ , $Q(-3, 2)$ और $R(0, -5)$ में से कौन-सा मूल बिंदु $O(0,0)$ के सबसे निकट है? उत्तर यथार्थ दूरियों के साथ दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 5.3.

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ ; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ ; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$ । चूँकि $13 < 17 < 25$ है और वर्गमूल वर्धमान है, इसलिए मूल बिंदु के सबसे निकट $Q$ है।

अभ्यास 5.4 ★

आलेख-कागज़ पर बिंदु $A(1, 2)$ , $B(5, 4)$ , $C(7, 0)$ अंकित कीजिए, फिर गणना करके दिखाइए कि त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है। क्या वह समकोण भी है?

हल

हल — अभ्यास 5.4.

वर्ग-लंबाइयाँ:

\begin{align*} AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\ BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\ AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 . \end{align*}

$AB = BC$ : त्रिभुज $B$ पर समद्विबाहु है। इसके अतिरिक्त $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$ : पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से वह $B$ पर समकोण भी है।

अभ्यास 5.5 ★★

मान लीजिए $A(-2, 1)$ , $B(1, 3)$ , $C(4, 1)$ और $D(1, -1)$ हैं।

दिखाइए कि $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है।
$AB$ और $BC$ निकालिए। क्या $ABCD$ समचतुर्भुज है (सभी भुजाएँ बराबर)?
$AC$ और $BD$ निकालिए। क्या $ABCD$ आयत है (विकर्ण बराबर)?

हल

हल — अभ्यास 5.5.

1. $[AC]$ का मध्यबिंदु: $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$ ; $[BD]$ का मध्यबिंदु: $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$ । मध्यबिंदु एक ही है: $ABCD$ समांतर चतुर्भुज है।

2. $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ और $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$ : $AB \neq BC$ , इसलिए समचतुर्भुज नहीं।

3. $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ और $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$ : $AC \neq BD$ , इसलिए आयत नहीं। $ABCD$ एक साधारण समांतर चतुर्भुज है।

अभ्यास 5.6 ★★

केंद्र $\Omega(2, 1)$ और त्रिज्या $5$ वाले वृत्त में वे सभी बिंदु हैं जो $\Omega$ से $5$ दूरी पर हैं। बिंदुओं $A(5, 5)$ , $B(-1, -3)$ , $C(6, 2)$ में से कौन इस वृत्त पर हैं? कौन उसके भीतर? कौन बाहर?

हल

हल — अभ्यास 5.6.

$\Omega(2,1)$ तक की वर्ग-दूरियाँ निकालिए और $5^2 = 25$ से तुलना कीजिए:

\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad \Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad \Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .

$A$ और $B$ वृत्त पर हैं; $C$ उसके भीतर है ( $17 < 25$ )।

अभ्यास 5.7 ★★

मान लीजिए $A(1, 1)$ और $B(7, 5)$ हैं। $x$ -अक्ष के वे सभी बिंदु $M(x, 0)$ ज्ञात कीजिए जो $A$ और $B$ से समान दूरी पर हैं। ( $MA^2 = MB^2$ लिखिए और $x$ के लिए हल कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 5.7.

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ और $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$ । $MA^2 = MB^2$ रखने पर:

x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74 \ \Longleftrightarrow\ 12x = 72 \ \Longleftrightarrow\ x = 6 .

ऐसा अकेला बिंदु $M(6, 0)$ है।

अभ्यास 5.8 ★★

मान लीजिए $A(0, 3)$ , $B(4, 1)$ हैं।

$[AB]$ के मध्यबिंदु $I$ के निर्देशांक निकालिए।
दिखाइए कि $M(2, 2) = I$ , फिर $MA$ , $MB$ निकालकर सत्यापित कीजिए कि $M$ $A$ और $B$ से समान दूरी पर है।
$y$ -अक्ष पर एक दूसरा बिंदु ज्ञात कीजिए जो $A$ और $B$ से समान दूरी पर हो।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

1. $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$ ।

2. $M(2,2)$ सचमुच $I$ है। और $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$ , $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$ : मध्यबिंदु दोनों सिरों से समान दूरी पर है, जैसी अपेक्षा थी।

3. ऐसा $N(0, y)$ खोजिए जिसके लिए $NA^2 = NB^2$ हो:

(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2 \ \Longleftrightarrow\ 9 - 6y = 16 + 1 - 2y \ \Longleftrightarrow\ -4y = 8,

इसलिए $y = -2$ : बिंदु $N(0, -2)$ ।

अभ्यास 5.9 ★★

बिंदु $A(-1, -1)$ , $B(3, 1)$ और $C(11, 5)$ दिए हैं। $AB$ , $BC$ और $AC$ निकालिए और निष्कर्ष निकालिए कि $A$ , $B$ , $C$ संरेख हैं। (तीन बिंदु संरेख ठीक तब होते हैं जब तीनों दूरियों में सबसे बड़ी शेष दोनों के योग के बराबर हो।)

हल

हल — अभ्यास 5.9.

\begin{align*} AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\ BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\ AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 . \end{align*}

तब $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$ : त्रिभुज असमिका यहाँ समता बन जाती है, इसलिए $B$ रेखाखंड $[AC]$ पर है — तीनों बिंदु संरेख हैं।

अभ्यास 5.10 ★★★

मान लीजिए $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं, जहाँ $a, b > 0$ है, और मान लीजिए $I$ $[AB]$ का मध्यबिंदु है। गणना करके दिखाइए कि $OI = IA = IB$ है, जहाँ $O$ मूल बिंदु है। (यह एक चिरपरिचित प्रमेय सिद्ध करता है: समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्यबिंदु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।)

हल

हल — अभ्यास 5.10.

$[AB]$ का मध्यबिंदु $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$ है। तब

OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}, \qquad IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},

और $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ भी। तीनों वर्ग-दूरियाँ बराबर हैं, इसलिए $OI = IA = IB$ : समकोण त्रिभुज $OAB$ के कर्ण का मध्यबिंदु तीनों शीर्षों से समान दूरी पर है (वही उसके परिवृत्त का केंद्र है)।

5.6 समस्या: देकार्त का पुल — वृत्त के समीकरण और अपनी जगह पहचानना

समस्या 5.1

सप्ताहांत समस्या — वृत्त समीकरण बन जाता है, पुरानी प्रमेय गणनाएँ बन जाती हैं, और तीन संकेत-स्तंभ किसी बिंदु का पता लगा लेते हैं: बीजगणित से त्रिदूरी-निर्धारण

1637 में रने देकार्त ने दो महाद्वीपों के बीच एक पुल बनाया: ज्यामिति का हर वक्र समीकरण बन गया, और हर ज्यामितीय प्रश्न एक गणना। यह समस्या उस पुल पर दोनों दिशाओं में चलती है — दूरी सूत्र (प्रमेय 5.4) से वृत्त का समीकरण निकालती है, चिरपरिचित प्रमेयों को बीजगणित की तीन पंक्तियों में फिर सिद्ध करती है, और वहाँ समाप्त होती है जहाँ आज इस पुल पर सबसे अधिक आवागमन है: दूरी के संकेतों से स्थिति निकालना, जो GPS का समतल-पृथ्वी वाला हृदय है।

भाग I — वृत्त को समीकरण मिलता है।

बिंदु $M(x, y)$ केंद्र $\Omega(2, 1)$ और त्रिज्या $5$ वाले वृत्त पर ठीक तब होता है जब $\Omega M = 5$ हो। इस शर्त का वर्ग करके वृत्त का समीकरण प्राप्त कीजिए:

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$
सदस्यता जाँचिए: $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ में से कौन वृत्त पर हैं, कौन भीतर, कौन बाहर?
भेस बदले हुए वृत्त:

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

में वर्ग पूरे कीजिए (समस्या 2.1) और उसका केंद्र तथा त्रिज्या बताइए।
यही $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ के साथ कीजिए। पूरा किया हुआ रूप क्या प्रकट करता है? कसौटी बताइए: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ कब एक वृत्त बताता है, कब एक अकेला बिंदु, और कब कुछ भी नहीं?
प्रश्न 3 के वृत्त को क्षैतिज रेखा $y = 3$ से काटिए: प्रतिस्थापन करके हल कीजिए। कितने बिंदु मिले, और ऐसी रेखा का ज्यामितीय नाम क्या है?

भाग II — पुरानी प्रमेय तीन पंक्तियों में।

माध्यमिक विद्यालय खंड की वृत्त-प्रमेय (हर अर्धवृत्त में एक समकोण) को बीजगणित से फिर सिद्ध कीजिए: मान लीजिए $A(-r, 0)$ और $B(r, 0)$ किसी व्यास के सिरे हैं और $M(x, y)$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ का कोई बिंदु। $MA^2 + MB^2$ निकालिए और पाइथागोरस के विलोम से निष्कर्ष निकालिए कि $\widehat{AMB}$ समकोण है।
माध्यिका प्रमेय: $A(-a, 0)$ , $B(a, 0)$ के साथ (जिससे $[AB]$ का मध्यबिंदु मूल बिंदु $I$ हो जाता है) दिखाइए कि हर बिंदु $M(x, y)$ के लिए

$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$
जब $AB = 6$ हो तब $MA^2 + MB^2 = 26$ वाले बिंदुओं $M$ का बिंदुपथ निकालिए: कौन-सा वक्र, कौन-सा केंद्र, कौन-सी त्रिज्या?
एक अलग बिंदुपथ: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; $MA = 2\,MB$ वाले सभी बिंदु ज्ञात कीजिए। (वर्ग कीजिए, प्रसार कीजिए, वर्ग पूरे कीजिए: एक प्रसिद्ध वृत्त प्रकट होता है — अपोलोनियस उसे निर्देशांकों के बिना ही जानता था।)
एक-दो वाक्यों में: देकार्त का पुल इस बात में क्या बदल देता है कि प्रमेय कैसे सिद्ध होती हैं? प्रश्न 6 की तुलना माध्यमिक विद्यालय खंड की वृत्त-प्रमेय (हर अर्धवृत्त में एक समकोण) की आयत वाली उपपत्ति से कीजिए।

भाग III — तीन संकेत-स्तंभ आपको ढूँढ़ लेते हैं। आपकी स्थिति $M(x, y)$ अज्ञात है। संकेत-स्तंभ $P(0, 0)$ आपकी दूरी $5$ नापता है; संकेत-स्तंभ $Q(6, 0)$ भी $5$ नापता है।

दोनों वृत्त-समीकरण लिखिए, उन्हें घटाइए, और देखिए कि वर्ग कट जाते हैं: कौन-सा सरल समीकरण बचता है? उसे किसी एक वृत्त के साथ मिलाकर दो संभावित स्थितियाँ ज्ञात कीजिए।
तीसरा संकेत-स्तंभ $R(0, 8)$ आपकी दूरी $5$ नापता है। हर संभावित स्थिति से उसकी दूरी निकालिए और तय कीजिए कि आप कहाँ हैं।
समझाइए कि दो वृत्त-समीकरणों को घटाने पर हमेशा एक रेखा का समीकरण क्यों मिलता है (कौन-से पद कटते हैं?), और जब दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर मिलते हों तब वह रेखा ज्यामितीय रूप से क्या है।
वास्तविक उपग्रह-स्थिति-निर्धारण अंतरिक्ष में और अपूर्ण घड़ियों के साथ काम करता है: हर उपग्रह (संकेत के यात्रा-काल से) एक दूरी देता है, यानी एक गोला। किसी अभिग्राही के पास कितने अज्ञात होते हैं (स्थिति और उसकी अपनी घड़ी की त्रुटि), और इसीलिए GPS कम से कम चार उपग्रह क्यों सुनता है?
यथार्थता: मान लीजिए संकेत-स्तंभ $P$ की दूरी वस्तुतः $5$ के बजाय $5.1$ है (शेष सब वैसा ही)। प्रश्न 11 का घटाव फिर से करके नया $x$ ज्ञात कीजिए, और बताइए कि आकलन कितना खिसका। (समस्या 1.1 के त्रुटि-आकलन वाले विचारों से तुलना कीजिए।)

भाग IV — भूमापक का औज़ार-बक्सा।

पानी भरने का सबसे छोटा रास्ता: $A(1, 5)$ पर एक शिविर, $B(7, 3)$ पर एक गोशाला, और अक्ष $y = 0$ के साथ-साथ बहती एक सीधी नदी। $A$ से नदी तक और फिर $B$ तक कम से कम चलकर जाने के लिए: $B$ का नदी के आरपार परावर्तन $B'$ लीजिए और देखिए कि रेखाखंड $[AB']$ नदी को कहाँ काटता है। वह प्रतिच्छेद बिंदु और न्यूनतम कुल लंबाई बताइए। (विचार वही है जो माध्यमिक विद्यालय खंड के बिलियर्ड-टप्पे वाले अभ्यास का था, पर अब पूरी तरह गणनीय।)
एक प्रतिद्वंद्वी रास्ते पर न्यूनतमता की पुष्टि कीजिए: $Q(3, 0)$ होकर कुल रास्ता निकालिए और जाँचिए कि वह आपके उत्तर से हार जाता है।
चतुर्भुज $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ का पूरा वर्गीकरण कीजिए: समांतर चतुर्भुज? समचतुर्भुज? आयत? वर्ग? (विधि 5.9, विधि 5.7 — विकर्णों की भी तुलना कीजिए।)
$A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ दिए होने पर ऐसा $D$ ज्ञात कीजिए कि $ABCD$ समांतर चतुर्भुज हो (माध्यमिक विद्यालय खंड की अर्ध-घूर्णन वाली सप्ताहांत समस्या की विकर्ण-मध्यबिंदु वाली तरकीब, अब सूत्रों में)।
समापन: तीन औज़ार — मध्यबिंदु सूत्र, दूरी सूत्र, और वृत्त-समीकरणों का घटाव। हर एक के लिए बताइए कि उसने इस समस्या में किस तरह का प्रश्न सुलझाया, और यह भी कि अगले दो अध्याय इस बक्से में क्या जोड़ते हैं (दिशाएँ और प्रवणताएँ: सदिश और रेखा-समीकरण)।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. दूरी सूत्र (प्रमेय 5.4) से $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ — वर्ग करना निरापद है, क्योंकि दोनों पक्ष धनात्मक हैं।

2. $A$ : $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$ : वृत्त पर। $B$ : $16 + 9 = 25$ : वह भी उस पर। $D$ : $4 + 9 = 13 < 25$ : भीतर।

3. $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ और $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ , इसलिए समीकरण $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ बन जाता है: केंद्र $(3, -2)$ , त्रिज्या $5$ ।

4. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$ : वर्गों का योग कभी ऋणात्मक नहीं होता — कोई बिंदु इसे संतुष्ट नहीं करता: रिक्त समुच्चय। सामान्य रूप से $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ $c > 0$ होने पर त्रिज्या $\sqrt c$ का वृत्त है, $c = 0$ होने पर अकेला बिंदु $(h, k)$ , और $c < 0$ होने पर रिक्त।

5. $y = 3$ के साथ: $(x - 3)^2 + 25 = 25$ , इसलिए $(x - 3)^2 = 0$ : अकेला बिंदु $(3, 3)$ । एक ही स्पर्श बिंदु: रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है।

6. $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ ( $x^2 + y^2 = r^2$ का उपयोग करके)। चूँकि $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$ है, त्रिभुज $AMB$ $MA^2 + MB^2 = AB^2$ संतुष्ट करता है: वह $M$ पर समकोण है (पाइथागोरस का विलोम) — तीन पंक्तियाँ, जैसा वादा था।

7. $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$ , और $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$ । सर्वसमिका सिद्ध।

8. $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ से $MI^2 = 4$ मिलता है: केंद्र मध्यबिंदु $I$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त।

9. $MA^2 = 4\,MB^2$ : $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$ , अर्थात् $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$ , या $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ : पूरा करने पर $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — केंद्र $(4, 0)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त (अनुपात $2$ का अपोलोनियस वृत्त)।

10. यह पुल रचनाओं को गणनाओं में बदल देता है: न कोई सहायक आयत, न स्थितियों का विश्लेषण — एक प्रसार और प्रमेय हाथ में। क़ीमत यह है कि गणनाएँ ज्यामितीय अंतर्दृष्टि कम देती हैं; चिरपरिचित उपपत्ति दिखाती है कि क्यों, और बीजगणितीय दिखाती है कि है — काम करने वाला गणितज्ञ दोनों साथ रखता है।

11. $x^2 + y^2 = 25$ और $(x - 6)^2 + y^2 = 25$ । घटाने पर: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$ , अर्थात् $12x - 36 = 0$ : $x = 3$ । फिर $9 + y^2 = 25$ : $y = \pm 4$ । संभावित स्थितियाँ $(3, 4)$ और $(3, -4)$ ।

12. $(3, 4)$ से $R(0, 8)$ तक: $\sqrt{9 + 16} = 5$ — मेल खाता है। $(3, -4)$ से: $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — ग़लत। आप $(3, 4)$ पर हैं।

13. दोनों समीकरणों में वही $x^2 + y^2$ है (या प्रसार के बाद समान गुणांक वाले पद): घटाने पर वर्ग कट जाते हैं और प्रथम घात का समीकरण बचता है — एक रेखा। जब दोनों वृत्त दो बार मिलते हैं, तब वह रेखा दोनों मिलन-बिंदुओं से होकर जाती है: वही उभयनिष्ठ जीवा की रेखा है।

14. चार अज्ञात: तीन निर्देशांक और अभिग्राही की घड़ी की त्रुटि (सस्ती घड़ी, जिसे गणित सुधार देता है)। हर उपग्रह एक समीकरण देता है, इसलिए चार उपग्रह चार अज्ञातों के लिए चार समीकरण देते हैं — और अधिक उपग्रह यथार्थता बढ़ा देते हैं।

15. अब घटाने पर $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx 3.084$ मिलता है: एक दूरी में $10$ cm की त्रुटि ने यहाँ आकलन को लगभग $8$ cm खिसका दिया। त्रुटियाँ हर सूत्र में से होकर फैलती हैं — समस्या 1.1 की अंतराल-अंकगणित वाली सावधानी, अब निर्देशांकों के साथ।

16. $B' (7, -3)$ । रेखा $(AB')$ की प्रवणता $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ है और वह $y = 0$ को $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$ पर काटती है: पानी $P(4.75,\ 0)$ पर पीजिए। न्यूनतम लंबाई: $AP + PB = AP + PB' = AB' = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ ।

17. $Q(3, 0)$ होकर: $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5 \approx 10.39 > 10$ । परावर्तन वाली सीधी रेखा जीतती है।

18. विकर्णों के मध्यबिंदु: $[AC]$ : $(3, 3)$ ; $[BD]$ : $(3, 3)$ — बराबर: समांतर चतुर्भुज। भुजाएँ: $AB = \sqrt{10} = AD$ : समचतुर्भुज। विकर्ण: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$ : आयत नहीं, अतः वर्ग भी नहीं। निर्णय: समचतुर्भुज, और इससे अधिक कुछ नहीं।

19. $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) = (2, -2)$ : तब $[AC]$ और $[BD]$ का मध्यबिंदु एक ही $\left(\frac52, 1\right)$ है।

20. मध्यबिंदु सूत्र: समांतर चतुर्भुज और केंद्र (प्रश्न 18, 19)। दूरी सूत्र: वृत्त, बिंदुपथ, त्रिभुजों की प्रकृति, सबसे छोटे रास्ते (प्रश्न 1–9, 16)। वृत्त-समीकरणों का घटाव: वह रेखा जो स्थिति बता देती है (प्रश्न 11–15)। बक्से में जो नहीं है: दिशाओं का स्वच्छ बीजगणित — सदिश — और प्रवणताओं का — रेखा-समीकरण तथा निकाय: अगले दो अध्याय ठीक यही देते हैं।