उच्च माध्यमिक गणित · Grades 10–12

10द्विघात फलन और समीकरण

रैखिक फलनों के बाद सबसे सरल फलन द्विघात फलन हैं, और सबसे पहले वही हैं जिनके आलेख सचमुच वक्र होते हैं। यह अध्याय उनके लिए पूरा औज़ार-बक्सा तैयार करता है: मानक रूप, विविक्तकर, किसी द्विघात व्यंजक का चिह्न, और परवलय की ज्यामिति।

10.1 मानक रूप

परिभाषा 10.1 (द्विघात फलन)

द्विघात फलन इस रूप का फलन है

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0,

जहाँ $a$ , $b$ , $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं। व्यंजक $ax^2 + bx + c$ को द्विघात त्रिपद भी कहा जाता है।

प्रमेय 10.2 (मानक रूप)

हर द्विघात फलन को ठीक एक ही तरह से इस रूप में लिखा जा सकता है

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta, \qquad\text{जहाँ } \alpha = -\frac{b}{2a} \text{ और } \beta = f(\alpha).

यही $f$ का मानक रूप है।

उपपत्ति. हम वर्ग पूरा करते हैं। चूँकि $a \neq 0$ है, उसे पहले दो पदों में से बाहर निकाल लीजिए:

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c .

अब $x^2 + \frac{b}{a}x$ वर्ग $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac ba x + \frac{b^2}{4a^2}$ का आरंभ है, इसलिए $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ । प्रतिस्थापन करने पर:

f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\bigl(x - \alpha\bigr)^2 + \beta,

जहाँ $\alpha = -\frac{b}{2a}$ और $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ हैं। $x = \alpha$ पर मान लेने से वर्ग वाला पद मर जाता है, इसलिए $\beta = f(\alpha)$ । अद्वितीयता: $a(x-\alpha)^2 + \beta$ का प्रसार करके $x$ के गुणांक मिलाने पर $\alpha = -\frac{b}{2a}$ आवश्यक हो जाता है, और तब $\beta$ भी तय हो जाता है। ∎

उदाहरण 10.3

मान लीजिए $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ है। तब $\alpha = -\frac{-8}{2 \times 2} = 2$ और $\beta = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ , इसलिए

f(x) = 2(x - 2)^2 - 5 .

प्रसार करके जाँचिए: $2(x^2 - 4x + 4) - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ ।

प्रतिज्ञप्ति 10.4 (चरम मान और परिवर्तन)

मान लीजिए $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ है।

यदि $a > 0$ हो, तो $f$ $\intoc{-\infty}{\alpha}$ पर ह्रासमान और $\intco{\alpha}{+\infty}$ पर वर्धमान है: $f$ का न्यूनतम $\beta$ है, जो $x = \alpha$ पर प्राप्त होता है।
यदि $a < 0$ हो, तो परिवर्तन उलट जाते हैं: $f$ का $x = \alpha$ पर अधिकतम $\beta$ है।

उपपत्ति. मान लीजिए $a > 0$ है और $\alpha \leq u < v$ है। तब

f(v) - f(u) = a\bigl((v-\alpha)^2 - (u-\alpha)^2\bigr) = a\,(v - u)\,\bigl((v-\alpha) + (u-\alpha)\bigr).

हर गुणनखंड धनात्मक है: $a > 0$ , $v - u > 0$ , और $(v-\alpha) + (u-\alpha) > 0$ , क्योंकि $v > \alpha$ और $u \geq \alpha$ हैं। इसलिए $f(v) > f(u)$ : $f$ $\intco{\alpha}{+\infty}$ पर वर्धमान है। $u < v \leq \alpha$ के लिए अंतिम गुणनखंड ऋणात्मक है, इसलिए $f(v) < f(u)$ : $f$ वहाँ ह्रासमान है। अंत में सभी $x$ के लिए $f(x) - f(\alpha) = a(x-\alpha)^2 \geq 0$ , इसलिए $\beta = f(\alpha)$ न्यूनतम है। स्थिति $a < 0$ ऊपर वाली बात $-f$ पर लगाने से निकल आती है। ∎

उदाहरण 10.5

एक किसान के पास एक सीधी दीवार के सहारे आयताकार खेत घेरने के लिए $100$ मीटर बाड़ है (दीवार के साथ बाड़ की आवश्यकता नहीं)। यदि $x$ चौड़ाई हो, तो घिरा हुआ क्षेत्रफल $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ है। यहाँ $\alpha = -\frac{100}{2\times(-2)} = 25$ और $A(25) = 25 \times 50 = 1250$ हैं: क्षेत्रफल $25$ m चौड़ाई पर सबसे बड़ा होता है, और उसका मान $1250$ m $^2$ है।

10.2 मूल और गुणनखंडन

परिभाषा 10.6 (मूल, विविक्तकर)

त्रिपद $ax^2+bx+c$ का मूल समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का हल है। त्रिपद का विविक्तकर यह संख्या है:

\Delta = b^2 - 4ac .

प्रमेय 10.7 ( $ax^2+bx+c=0$ को हल करना)

यदि $\Delta > 0$ हो, तो समीकरण के दो भिन्न मूल हैं

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a},$

और $ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ।
यदि $\Delta = 0$ हो, तो समीकरण का अकेला मूल $x_0 = -\frac{b}{2a}$ है, और $ax^2+bx+c = a(x - x_0)^2$ ।
यदि $\Delta < 0$ हो, तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है, और त्रिपद का वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंडन नहीं हो सकता।

उपपत्ति. प्रमेय 10.2 में निकाले गए मानक रूप से शुरू कीजिए:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right],

क्योंकि $c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = a \times \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$ है।

1. यदि $\Delta > 0$ हो, तो $\frac{\Delta}{4a^2} = \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2$ और कोष्ठक दो वर्गों का अंतर है:

ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = a(x - x_2)(x - x_1).

गुणनफल ठीक तब शून्य है जब उसका कोई एक गुणनखंड शून्य हो, जिससे दोनों मूल मिल जाते हैं, और वे भिन्न हैं क्योंकि $\sqrt\Delta \neq 0$ है।

2. यदि $\Delta = 0$ हो, तो कोष्ठक $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ है, जो केवल $x_0 = -\frac{b}{2a}$ पर लुप्त होता है।

3. यदि $\Delta < 0$ हो, तो $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ , इसलिए कोष्ठक एक वर्ग और एक धनात्मक संख्या का योग है: वह कभी लुप्त नहीं होता, और समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है। कोई गुणनखंडन $a(x-x_1)(x-x_2)$ मूल पैदा कर देता, इसलिए ऐसा कोई गुणनखंडन नहीं है। ∎

उदाहरण 10.8

$2x^2 - 8x + 3 = 0$ हल कीजिए। यहाँ $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 64 - 24 = 40 > 0$ , इसलिए दो मूल हैं:

x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

$x^2 + x + 1 = 0$ के लिए: $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ , कोई वास्तविक हल नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 10.9 (मूलों का योग और गुणनफल)

यदि $\Delta \geq 0$ और $x_1, x_2$ मूल हों ( $\Delta = 0$ होने पर बराबर), तो

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} .

इसके उलट, योग $s$ और गुणनफल $p$ वाली दो संख्याएँ $x^2 - sx + p = 0$ के हल होती हैं।

उपपत्ति. प्रमेय 10.7 के गुणनखंडन का प्रसार कीजिए:

a(x - x_1)(x - x_2) = a x^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2 .

गुणांकों को $ax^2 + bx + c$ से मिलाने पर $-a(x_1+x_2) = b$ और $a\,x_1x_2 = c$ मिलते हैं। विलोम के लिए: यदि $u + v = s$ और $uv = p$ हों, तो $(x-u)(x-v) = x^2 - sx + p$ , इसलिए $u$ और $v$ उसके मूल हैं। ∎

उदाहरण 10.10

योग $10$ और गुणनफल $21$ वाली दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। वे $x^2 - 10x + 21 = 0$ को हल करती हैं; $\Delta = 100 - 84 = 16$ , मूल $\frac{10 \pm 4}{2} = 7$ और $3$ । मूल झट से पहचानना: चूँकि $x^2 - 5x + 4$ के गुणांक $1 - 5 + 4 = 0$ को संतुष्ट करते हैं, इसलिए संख्या $1$ एक मूल है, और दूसरा $\frac{c}{a} = 4$ है (उनका गुणनफल $\frac ca$ होना ही चाहिए)।

10.3 द्विघात व्यंजक का चिह्न

प्रमेय 10.11 (त्रिपद का चिह्न)

मान लीजिए $f(x) = ax^2+bx+c$ है, जहाँ $a \neq 0$ है।

यदि $\Delta > 0$ हो और मूल $x_1 < x_2$ हों: $f(x)$ का चिह्न $\intcc{x_1}{x_2}$ के बाहर $a$ जैसा है, और $\intoo{x_1}{x_2}$ पर $-a$ जैसा।
यदि $\Delta = 0$ हो: $f(x)$ का चिह्न सभी $x \neq x_0$ के लिए $a$ जैसा है, और वह $x_0$ पर लुप्त होता है।
यदि $\Delta < 0$ हो: $f(x)$ का चिह्न सभी $x$ के लिए $a$ जैसा है।

संक्षेप में: त्रिपद का चिह्न $a$ जैसा होता है, सिवाय उसके मूलों के बीच।

उपपत्ति. 1. $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ लिखिए और गुणनखंडों के चिह्न देखिए। यदि $x < x_1$ हो: $x - x_1$ और $x - x_2$ दोनों ऋणात्मक हैं, उनका गुणनफल धनात्मक है, इसलिए $f(x)$ का चिह्न $a$ जैसा है। यदि $x_1 < x < x_2$ हो: गुणनखंडों के चिह्न विपरीत हैं, गुणनफल ऋणात्मक है, और $f(x)$ का चिह्न $-a$ जैसा है। यदि $x > x_2$ हो: दोनों गुणनखंड धनात्मक हैं और $f(x)$ का चिह्न फिर $a$ जैसा है।

2. $f(x) = a(x - x_0)^2$ , और $x \neq x_0$ के लिए $(x-x_0)^2 > 0$ ।

3. प्रमेय 10.7 की उपपत्ति से $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]$ , और कोष्ठक सदा धनात्मक है। ∎

विधि 10.12 (द्विघात असमिकाएँ हल करना)

$ax^2 + bx + c \leq 0$ (या $\geq$ , $<$ , $>$ ) हल करने के लिए:

$\Delta$ और, यदि हों तो, मूल निकालिए;
प्रमेय 10.11 का उपयोग करके चिह्न-सारणी बनाइए (मूलों के बाहर $a$ का चिह्न);
हल-अंतराल पढ़ लीजिए, और ध्यान रखिए कि मूल स्वयं सम्मिलित हैं (चौड़ी असमिका) या नहीं (कड़ी)।

उदाहरण 10.13

$-x^2 + 3x + 4 \geq 0$ हल कीजिए। यहाँ $\Delta = 9 + 16 = 25$ , और मूल $\frac{-3 \pm 5}{-2}$ हैं, अर्थात् $x_1 = -1$ और $x_2 = 4$ । चूँकि $a = -1 < 0$ है, त्रिपद मूलों के बाहर ऋणात्मक और उनके बीच धनात्मक है। चौड़ी असमिका के साथ हल-समुच्चय $\intcc{-1}{4}$ है।

10.4 परवलय

परिभाषा 10.14 (परवलय)

द्विघात फलन $f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ का आलेख शीर्ष $S(\alpha, \beta)$ वाला एक परवलय है। $a > 0$ होने पर वह ऊपर की ओर खुलता है, $a < 0$ होने पर नीचे की ओर, और वह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \alpha$ के परितः सममित है।

टिप्पणी 10.15

सममिति की जाँच आसान है: किसी भी $h$ के लिए $f(\alpha + h) = ah^2 + \beta = f(\alpha - h)$ , इसलिए रेखा $x = \alpha$ से समान क्षैतिज दूरी पर पड़ने वाले दो बिंदुओं की ऊँचाई एक ही होती है।

x-अक्ष के सापेक्ष ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय (a > 0) की तीन स्थितियाँ: दो मूल, एक द्विगुण मूल, कोई मूल नहीं। शीर्ष S का भुज = -b/2a है। — $x$ -अक्ष के सापेक्ष ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय ( $a > 0$ ) की तीन स्थितियाँ: दो मूल, एक द्विगुण मूल, कोई मूल नहीं। शीर्ष $S$ का भुज $\alpha = -\frac{b}{2a}$ है।

दो मूलों वाले नीचे खुलने वाले त्रिपद (a < 0) का चिह्न: मूलों के बीच -a का चिह्न (छायांकित), बाहर a का। — दो मूलों वाले नीचे खुलने वाले त्रिपद ( $a < 0$ ) का चिह्न: मूलों के बीच $-a$ का चिह्न (छायांकित), बाहर $a$ का।

विधि 10.16 (परवलय पढ़ना)

$f(x) = ax^2+bx+c$ का रेखाचित्र बनाने के लिए: दिशा ( $a$ का चिह्न), शीर्ष $\left(-\frac{b}{2a},\, f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ , $y$ -अक्ष के साथ प्रतिच्छेद $(0, c)$ , और यदि हों तो मूल ज्ञात कीजिए। फिर सममिति-अक्ष $x = -\frac{b}{2a}$ हर निकाले हुए बिंदु को दो बार रख देता है।

उदाहरण 10.17

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ के लिए: ऊपर की ओर, शीर्ष $(2, -1)$ , $y$ -अक्ष को $(0,3)$ पर काटता है, मूल $1$ और $3$ (झट से पहचाने गए: $1 - 4 + 3 = 0$ )। सममिति से बिंदु $(4, 3)$ भी वक्र पर है, जो $(0, 3)$ का दर्पण-प्रतिबिंब है।

10.5 अभ्यास

अभ्यास 10.1 ★

समीकरण हल कीजिए:

x^2 - 5x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 3x - 2 = 0, \qquad x^2 + 2x + 5 = 0, \qquad 9x^2 - 6x + 1 = 0 .

हल

हल — अभ्यास 10.1.

$x^2-5x+6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , मूल $\frac{5 \pm 1}{2}$ , अर्थात् $2$ और $3$ ।

$2x^2+3x-2$ : $\Delta = 9 + 16 = 25$ , मूल $\frac{-3 \pm 5}{4}$ , अर्थात् $\frac12$ और $-2$ ।

$x^2+2x+5$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , कोई वास्तविक हल नहीं।

$9x^2-6x+1$ : $\Delta = 36 - 36 = 0$ , एक (द्विगुण) मूल $x_0 = \frac{6}{18} = \frac13$ ।

अभ्यास 10.2 ★

मानक रूप में लिखिए और परवलय का शीर्ष बताइए:

f(x) = x^2 - 6x + 11, \qquad g(x) = -2x^2 + 4x + 1, \qquad h(x) = 3x^2 + 6x .

हल

हल — अभ्यास 10.2.

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$ : शीर्ष $(3, 2)$ ।

$g(x) = -2x^2+4x+1 = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2\bigl((x-1)^2 - 1\bigr) + 1 = -2(x-1)^2 + 3$ : शीर्ष $(1, 3)$ ।

$h(x) = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 3(x+1)^2 - 3$ : शीर्ष $(-1, -3)$ ।

अभ्यास 10.3 ★

असमिकाएँ हल कीजिए:

x^2 - 3x - 10 < 0, \qquad 2x^2 + x + 3 > 0, \qquad -x^2 + 6x - 9 \geq 0 .

हल

हल — अभ्यास 10.3.

$x^2 - 3x - 10$ : $\Delta = 9 + 40 = 49$ , मूल $\frac{3 \pm 7}{2} = -2$ और $5$ ; अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए त्रिपद मूलों के कड़ाई से बीच में ऋणात्मक है: हल-समुच्चय $\intoo{-2}{5}$ है।

$2x^2 + x + 3$ : $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ और $a = 2 > 0$ : सदा धनात्मक, इसलिए हल-समुच्चय $\R$ है।

$-x^2 + 6x - 9 = -(x-3)^2$ : वह $\geq 0$ केवल वहाँ है जहाँ $(x-3)^2 \leq 0$ हो, अर्थात् $x = 3$ पर। हल-समुच्चय $\{3\}$ है।

अभ्यास 10.4 ★

$\Delta$ निकाले बिना एक स्पष्ट मूल ज्ञात कीजिए, फिर दूसरा:

x^2 - 7x + 6 = 0, \qquad 2x^2 + 5x - 7 = 0, \qquad x^2 + 4x - 5 = 0 .

(संकेत: $x = 1$ और $x = -1$ जाँचिए, फिर मूलों के गुणनफल का उपयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 10.4.

$x^2 - 7x + 6$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , इसलिए $1$ एक मूल है; मूलों का गुणनफल $6$ है, इसलिए दूसरा मूल $6$ है।

$2x^2 + 5x - 7$ : $2 + 5 - 7 = 0$ , इसलिए $1$ एक मूल है; गुणनफल $\frac{c}{a} = -\frac72$ है, इसलिए दूसरा मूल $-\frac72$ है।

$x^2 + 4x - 5$ : $1 + 4 - 5 = 0$ , इसलिए $1$ एक मूल है; गुणनफल $-5$ है, इसलिए दूसरा मूल $-5$ है।

अभ्यास 10.5 ★★

ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $14$ और गुणनफल $45$ हो। फिर परिमाप $34$ और क्षेत्रफल $60$ वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 10.5.

दोनों संख्याएँ $x^2 - 14x + 45 = 0$ (प्रतिज्ञप्ति 10.9) को हल करती हैं; $\Delta = 196 - 180 = 16$ , मूल $\frac{14 \pm 4}{2} = 9$ और $5$ ।

आयत के लिए: आधे परिमाप से लंबाई $+$ चौड़ाई $= 17$ मिलता है, और क्षेत्रफल से उनका गुणनफल $60$ । वे $x^2 - 17x + 60 = 0$ को हल करती हैं; $\Delta = 289 - 240 = 49$ , मूल $\frac{17 \pm 7}{2} = 12$ और $5$ । आयत $12 \times 5$ है।

अभ्यास 10.6 ★★

मान लीजिए $f(x) = x^2 + (m-2)x + 1$ है, जहाँ $m$ एक वास्तविक प्राचल है। $m$ के किन मानों के लिए समीकरण $f(x) = 0$ का ठीक एक हल है? किनके लिए कोई हल नहीं?

हल

हल — अभ्यास 10.6.

$\Delta = (m-2)^2 - 4$ । ठीक एक हल तब जब $\Delta = 0$ हो: $(m-2)^2 = 4$ , इसलिए $m - 2 = \pm 2$ , अर्थात् $m = 0$ या $m = 4$ । कोई हल नहीं तब जब $\Delta < 0$ हो: $(m-2)^2 < 4$ , अर्थात् $-2 < m - 2 < 2$ , यानी $0 < m < 4$ ।

अभ्यास 10.7 ★★

एक गेंद ऊपर की ओर फेंकी जाती है; $t$ सेकंड बाद उसकी ऊँचाई $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (मीटर में) है। अधिकतम कितनी ऊँचाई तक वह पहुँचती है, और किस समय? किस समय-अंतराल में गेंद कम से कम $16$ m ऊँचाई पर रहती है?

हल

हल — अभ्यास 10.7.

शीर्ष $t = -\frac{20}{2 \times (-5)} = 2$ पर है, और $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ : अधिकतम ऊँचाई $21$ m, जो $2$ सेकंड बाद मिलती है।

$h(t) \geq 16$ का अर्थ है $-5t^2 + 20t - 15 \geq 0$ , अर्थात् ( $-5$ से भाग देने पर, जिससे असमिका पलट जाती है) $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ । $t^2-4t+3$ के मूल $1$ और $3$ हैं ( $1 - 4 + 3 = 0$ , गुणनफल $3$ ), इसलिए $t^2 - 4t + 3 \leq 0$ ठीक $\intcc{1}{3}$ पर है: गेंद $t = 1$ s और $t = 3$ s के बीच कम से कम $16$ m ऊँचाई पर रहती है।

अभ्यास 10.8 ★★

$X = x^2$ रखकर समीकरण $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ हल कीजिए (द्विवर्गीय समीकरण)।

हल

हल — अभ्यास 10.8.

$X = x^2$ के साथ: $X^2 - 13X + 36 = 0$ , $\Delta = 169 - 144 = 25$ , इसलिए $X = \frac{13 \pm 5}{2} = 9$ या $4$ । $x$ पर लौटिए: $x^2 = 9$ से $x = \pm 3$ मिलता है, और $x^2 = 4$ से $x = \pm 2$ । हल-समुच्चय $\{-3, -2, 2, 3\}$ है।

अभ्यास 10.9 ★★

$x$ के किन मानों के लिए परवलय $y = x^2$ का बिंदु $M(x, x^2)$ रेखा $y = x + 2$ से कड़ाई से नीचे है? रेखाचित्र पर व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 10.9.

शर्त $x^2 < x + 2$ है, अर्थात् $x^2 - x - 2 < 0$ । चूँकि $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$ है (मूल $-1$ और $2$ ), इसलिए असमिका मूलों के कड़ाई से बीच में सही है: $x \in \intoo{-1}{2}$ । रेखाचित्र पर परवलय $y = x^2$ ठीक अपने दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं $(-1, 1)$ और $(2, 4)$ के बीच रेखा $y = x+2$ से नीचे डूब जाता है।

अभ्यास 10.10 ★★

किसी धनात्मक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\frac{13}{6}$ है। वह संख्या ज्ञात कीजिए। (द्विघात समीकरण पर लाइए।)

हल

हल — अभ्यास 10.10.

मान लीजिए $x > 0$ $x + \frac1x = \frac{13}{6}$ को संतुष्ट करता है। $6x > 0$ से गुणा करने पर: $6x^2 + 6 = 13x$ , अर्थात् $6x^2 - 13x + 6 = 0$ । तब $\Delta = 169 - 144 = 25$ और $x = \frac{13 \pm 5}{12}$ , जिससे $x = \frac32$ या $x = \frac23$ मिलता है। दोनों धनात्मक हैं और एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, जैसी अपेक्षा थी: संख्या $\frac32$ (या $\frac23$ ) है।

अभ्यास 10.11 ★★★

मान लीजिए $\mathcal P$ परवलय $y = x^2$ है और $d_m$ रेखा $y = mx - 1$ है, जहाँ $m$ एक वास्तविक प्राचल है।

$m$ के किन मानों के लिए $\mathcal P$ और $d_m$ दो बिंदुओं पर मिलते हैं? एक बिंदु पर? किसी बिंदु पर नहीं?
जब वे ठीक एक बिंदु पर छूते हैं, तब स्पर्श बिंदु निकालिए। (अध्याय 12 में आप $d_m$ को उस बिंदु पर $\mathcal P$ की स्पर्श रेखा के रूप में पहचानेंगे।)

हल

हल — अभ्यास 10.11.

1. प्रतिच्छेद $x^2 = mx - 1$ के हलों के संगत हैं, अर्थात् $x^2 - mx + 1 = 0$ के, जिसका विविक्तकर $\Delta = m^2 - 4$ है। $\abs{m} > 2$ पर दो बिंदु; $m = \pm 2$ पर ठीक एक; $-2 < m < 2$ पर कोई नहीं।

2. $m = 2$ के लिए: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ , इसलिए अकेला स्पर्श बिंदु $(1, 1)$ है। $m = -2$ के लिए: $(x+1)^2 = 0$ , स्पर्श बिंदु $(-1, 1)$ । दोनों स्थितियों में रेखा परवलय से एक ही बिंदु पर मिलती है और उसे पार नहीं करती — वह वहाँ स्पर्श रेखा है, और सचमुच उसकी प्रवणता $m = \pm 2$ $x^2$ के अवकलज $2x$ के $x = \pm 1$ पर मान के बराबर है (अध्याय 12)।

10.6 समस्या: परवलय का गुप्त बिंदु

समस्या 10.1

सप्ताहांत समस्या — नाभि और नियता: उपग्रह-तश्तरियाँ, हेडलाइट और झूला पुल सब एक ही वक्र क्यों खींचते हैं, और वह वक्र मूलतः एक ही है

हर बालकनी की हर उपग्रह-तश्तरी अपने अभिग्राही को भीतर के एक निश्चित बिंदु पर ताने रखती है; हर हेडलाइट अपना बल्ब उसी ख़ास जगह छिपाए रहती है। वह बिंदु — नाभि — वह रहस्य है जिसे परवलय यूनानी ज्यामिति के समय से सँभाले हुए है, और उसे बाहर निकालने के लिए दूरी सूत्र ही पर्याप्त है। रास्ते में यह समस्या विविक्तकर का अभ्यास कराती है, दीवारों के ऊपर से प्रक्षेप्य फेंकती है, एक पुल लटकाती है, और अंत में एक चकित कर देने वाला तथ्य सिद्ध करती है: ज़ूम की छूट दे दें तो संसार में केवल एक ही परवलय है।

भाग I — त्रिपद में प्रवाह।

$x^2 - 5x + 6 = 0$ हल कीजिए, फिर $2x^2 + x - 6 = 0$ , फिर $x^2 + x + 1 = 0$ (प्रमेय 10.7)।
$2x^2 - 4x - 6$ को गुणनखंडित रूप में और मानक रूप में लिखिए (प्रमेय 10.2)। प्रसारित रूप के साथ अब आपके पास एक ही फलन के तीन वेश हैं: बताइए कि हर वेश एक नज़र में कौन-सी विशेषता दिखा देता है (मूल, शीर्ष, $y$ -अंतःखंड)।
चिह्न के नियम (प्रमेय 10.11) से $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$ हल कीजिए।
वियेत जासूस की भूमिका में (प्रतिज्ञप्ति 10.9, जो समस्या 2.1 में बेबीलोन को आगे बढ़ाता है): योग $7$ और गुणनफल $12$ वाली दो संख्याएँ उनका समीकरण लिखकर ज्ञात कीजिए। फिर: $x^2 - 5x + c = 0$ का एक मूल $2$ है; कुछ भी हल किए बिना $c$ और दूसरा मूल ज्ञात कीजिए।
$m$ के किन मानों के लिए $x^2 + mx + 9 = 0$ का द्विगुण मूल है? किनके लिए कोई मूल नहीं? किनके लिए दो मूल?

भाग II — नाभि का पर्दा उठता है। परवलय $y = x^2$ , बिंदु $F\left(0, \frac14\right)$ और समीकरण $y = -\frac14$ वाली क्षैतिज रेखा $\delta$ पर काम कीजिए।

परवलय के किसी बिंदु $P(x, x^2)$ के लिए $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2$ का प्रसार कीजिए और दिखाइए कि वह पूर्ण वर्ग $\left(x^2 + \frac14\right)^2$ है। इससे $PF$ निकालिए।
$P$ की रेखा $\delta$ से दूरी निकालिए, और निष्कर्ष निकालिए: परवलय का हर बिंदु $F$ से उतना ही दूर है जितना $\delta$ से। ( $F$ नाभि है और $\delta$ नियता।)
विलोम सिद्ध कीजिए: ऐसा बिंदु $P(x, y)$ जिसके लिए $PF = \operatorname{dist}(P, \delta)$ हो, $y = x^2$ को संतुष्ट करता ही है। (दोनों दूरियों का वर्ग कीजिए और सरल कीजिए।) इस तरह परवलय एक बिंदुपथ है, ठीक जैसे समस्या 5.1 में वृत्त था: एक बिंदु से समान दूरी के बजाय एक बिंदु और एक रेखा से समान दूरी।
चौड़े परवलय $y = \frac{x^2}{4f}$ के लिए ( $f > 0$ के साथ) प्रश्न 6 को ढालकर दिखाइए कि नाभि $(0, f)$ है और नियता $y = -f$ । अनुप्रयोग: एक उपग्रह-तश्तरी $60$ cm चौड़ी और $9$ cm गहरी है — उसका किनारा $(30, 9)$ से होकर जाता है। $f$ ज्ञात कीजिए: अभिग्राही को शीर्ष से कितना ऊपर लटकाना चाहिए?
तश्तरियाँ काम क्यों करती हैं: अक्ष के समांतर आने वाली सभी किरणें नाभि से होकर परावर्तित होती हैं (और नाभि पर रखा बल्ब समांतर पुंज फेंकता है — हेडलाइट उलटी चलती तश्तरियाँ ही हैं)। समझाइए कि प्रश्न 7 की समान-दूरी इसे प्रशंसनीय क्यों बना देती है (किरणों को आगे बढ़ते तरंगाग्र मानिए), और बताइए कि अध्याय 12 में आने वाला कौन-सा औज़ार (अभ्यास 10.11 देखिए) प्रशंसनीयता को उपपत्ति में बदल देता है।

भाग III — परवलय काम पर।

एक गेंद पथ $y = x - \frac{x^2}{20}$ पर चलती है ( $x$ और $y$ मीटर में)। ज्ञात कीजिए कि वह कहाँ गिरती है, उसके सबसे ऊँचे बिंदु का क्षैतिज स्थान क्या है, और अधिकतम ऊँचाई कितनी है (प्रतिज्ञप्ति 10.4)।
उसी पथ पर $x = 4$ पर एक दीवार खड़ी है। वहाँ गेंद की ऊँचाई निकालिए: क्या वह $3$ m की दीवार पार कर जाती है? $4$ m की?
एक परवलयाकार मेहराब $40$ m चौड़ा है और उसकी अधिकतम ऊँचाई $10$ m है: केंद्र पर आधारित निर्देशांकों में $y = 10 - \frac{x^2}{40}$ । क्या $7$ m ऊँचा ट्रक केंद्र से $10$ m पर निकल सकता है? $15$ m पर?
$p$ यूरो टिकट-दाम पर किसी रंगमंच की आय $R(p) = p\,(120 - 2p)$ है (दाम बढ़ने पर माँग घटती है)। आय को अधिकतम करने वाला दाम और वह अधिकतम आय ज्ञात कीजिए।
गोल्डन गेट के मुख्य रस्से बहुत अच्छी यथार्थता के साथ परवलयाकार हैं (समान रूप से बँटा हुआ भार परवलय बनाता है — स्वतंत्र रूप से लटकती ज़ंजीर नहीं बनाती: उसका वक्र, कैटेनरी, कक्षा 12 के चरघातांकी फलन की माँग करता है)। $1\,280$ m की चौड़ाई और $143$ m के झोल के साथ रस्सा केंद्र से $y = 143\left(\frac{x}{640}\right)^2$ का अनुसरण करता है। $x = 320$ m पर रस्सा अपने सबसे नीचे वाले बिंदु से कितना ऊपर है?

भाग IV — रेखाएँ, स्पर्श रेखाएँ, और आख़िरी अचरज।

अभ्यास 10.11 पूरा कीजिए: बाहरी बिंदु $(0, -1)$ से होकर जाने वाली रेखाएँ $y = mx - 1$ $y = x^2$ से एक विविक्तकर के चिह्न के अनुसार मिलती हैं। $(0, -1)$ से खींची जा सकने वाली दोनों स्पर्श रेखाएँ और उनके स्पर्श बिंदु ज्ञात कीजिए।
अब भीतरी बिंदु $(0, 1)$ से होकर जाने वाली रेखाएँ $y = mx + 1$ : प्रतिच्छेद-समीकरण का विविक्तकर निकालिए और दिखाइए कि ऐसी हर रेखा परवलय को दो बार काटती है। सीख: भीतर से कोई स्पर्श रेखा नहीं — ठीक जैसे वृत्त के लिए।
नाभीय जीवा: $y = x^2$ को नाभि से होकर जाने वाली क्षैतिज रेखा $y = \frac14$ से काटिए। जीवा की लंबाई कितनी है? सामान्य नियम जाँचिए (तश्तरियों के लिए याद रखने लायक़): $y = \frac{x^2}{4f}$ के लिए नाभि से होकर नियता के समांतर जाने वाली जीवा की लंबाई $4f$ होती है।
आख़िरी अचरज: परवलय $y = x^2$ पर ज़ूम $(x, y) \mapsto (kx, ky)$ लगाइए और दिखाइए कि प्रतिबिंब ठीक $y = \frac{x^2}{k}$ है। निष्कर्ष निकालिए: हर परवलय $y = \frac{x^2}{4f}$ इकाई परवलय का ही बड़ा किया हुआ रूप है — भिन्न-भिन्न अनुपातों वाले वृत्तों और दीर्घवृत्तों के विपरीत, सभी परवलय समरूप हैं।
समापन: परवलय का चित्र पाँच पंक्तियों में — तीन वेशों वाला एक समीकरण (प्रश्न 2), एक बिंदुपथ (प्रश्न 7–8), अभियंता का परावर्तक (प्रश्न 9, 10), प्रक्षेप्य का पथ और पुल का रस्सा (प्रश्न 11–15), और ज़ूम की छूट पर एक ही वक्र (प्रश्न 19)। हर एक पर एक वाक्य।

हल

हल — समस्या 10.1.

1. $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 1$ , मूल $2$ और $3$ । $2x^2 + x - 6$ : $\Delta = 1 + 48 = 49$ , मूल $\frac{-1 \pm 7}{4}$ : $\frac32$ और $-2$ । $x^2 + x + 1$ : $\Delta = -3 < 0$ : कोई वास्तविक हल नहीं।

2. $\Delta = 16 + 48 = 64$ : मूल $3$ और $-1$ , इसलिए $2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$ ; मानक रूप $2(x - 1)^2 - 8$ । गुणनखंडित रूप मूल दिखाता है, मानक रूप शीर्ष $(1, -8)$ , और प्रसारित रूप $y$ -अंतःखंड $-6$ ।

3. मूल $1$ और $3$ , अग्र गुणांक ऋणात्मक: त्रिपद मूलों के बीच $\geq 0$ है: $x \in \intcc{1}{3}$ ।

4. संख्याएँ $x^2 - 7x + 12 = 0$ के मूल हैं: $3$ और $4$ । यदि $2$ $x^2 - 5x + c$ का एक मूल हो, तो दूसरा मूल $r$ $2 + r = 5$ (योग) को संतुष्ट करता है, इसलिए $r = 3$ , और $c = 2 \times 3 = 6$ (गुणनफल): वियेत उसे यूँ ही पढ़ लेते हैं।

5. $\Delta = m^2 - 36$ : $m = \pm 6$ के लिए द्विगुण मूल (मूल $\mp 3$ ); $-6 < m < 6$ के लिए कोई मूल नहीं; $\abs m > 6$ के लिए दो मूल।

6. $PF^2 = x^2 + \left(x^2 - \frac14\right)^2 = x^2 + x^4 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = x^4 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{16} = \left(x^2 + \frac14\right)^2$ । अतः $PF = x^2 + \frac14$ (दोनों गुणनखंड धनात्मक)।

7. $P(x, x^2)$ की क्षैतिज रेखा $y = -\frac14$ से दूरी $x^2 + \frac14$ है — ठीक $PF$ । परवलय का हर बिंदु नाभि और नियता से समान दूरी पर है।

8. $PF^2 = x^2 + \left(y - \frac14\right)^2$ और $\operatorname{dist}^2 = \left(y + \frac14\right)^2$ । समता से $x^2 + y^2 - \frac y2 + \frac{1}{16} = y^2 + \frac y2 + \frac1{16}$ मिलता है, इसलिए $x^2 = y$ : बिंदुपथ ठीक वही परवलय है। एक बिंदु और एक रेखा वक्र को जन्म देते हैं, जैसे एक बिंदु और एक दूरी ने वृत्त को दिया था।

9. $y = \frac{x^2}{4f}$ के लिए $F(0, f)$ के साथ वही प्रसार $PF^2 = x^2 + \left(\frac{x^2}{4f} - f\right)^2 = \left(\frac{x^2}{4f} + f\right)^2$ देता है: $F$ से दूरी $y = -f$ से दूरी के बराबर। तश्तरी: $9 = \frac{30^2}{4f}$ से $4f = 100$ , $f = 25$ cm मिलता है: अभिग्राही शीर्ष से चौथाई मीटर ऊपर लटकता है — $9$ cm के कटोरे से बाहर, जैसा असली तश्तरियों में दिखता है।

10. अक्ष के समांतर आता हुआ कोई तरंगाग्र नियता के स्तर तक पहुँचने में बराबर दूरियाँ तय कर चुका होता है; समान-दूरी “नियता से बराबर दूरी” को “ $F$ से बराबर दूरी” में बदल देती है: सभी परावर्तित संकेत $F$ पर एक ताल में पहुँचते हैं और एक-दूसरे को बल देते हैं — सुनना वहीं चाहिए। ईमानदार उपपत्ति के लिए हर बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता चाहिए — अध्याय 12 का अवकलज, जिसकी झलक अभ्यास 10.11 में है।

11. $y = x\left(1 - \frac{x}{20}\right)$ : $x = 20$ m पर गिरती है। शीर्ष ठीक बीच में: $x = 10$ , ऊँचाई $y(10) = 10 - 5 = 5$ m।

12. $y(4) = 4 - \frac{16}{20} = 3.2$ m: $3$ m की दीवार आराम से पार कर जाती है, पर $4$ m की दीवार से टकरा जाती है।

13. $y(10) = 10 - \frac{100}{40} = 7.5$ m $> 7$ : ट्रक केंद्र से $10$ m पर निकल जाता है। $y(15) = 10 - \frac{225}{40} = 4.375$ m: $15$ m पर नहीं।

14. $R(p) = -2p^2 + 120p$ : शीर्ष $p = \frac{120}{4} = 30$ यूरो पर, आय $R(30) = 30 \times 60 = 1\,800$ यूरो।

15. सबसे नीचे वाले बिंदु से $y(320) = 143 \times \left(\frac{320}{640}\right)^2 = \frac{143}{4} \approx 36$ m ऊपर।

16. $x^2 = mx - 1$ से $x^2 - mx + 1 = 0$ , $\Delta = m^2 - 4$ मिलता है: $\abs m > 2$ के लिए दो बिंदु, $\abs m < 2$ के लिए कोई नहीं, और $m = \pm 2$ के लिए स्पर्श जिसमें स्पर्श बिंदु $x = \frac m2 = \pm 1$ है: स्पर्श रेखाएँ $(1, 1)$ पर $y = 2x - 1$ और $(-1, 1)$ पर $y = -2x - 1$ ।

17. $x^2 = mx + 1$ से हर $m$ के लिए $\Delta = m^2 + 4 > 0$ मिलता है: सदा दो प्रतिच्छेद। किसी भीतरी बिंदु से हर रेखा वक्र को दो बार काटती है — स्पर्श रेखाएँ केवल बाहर से खींची जाती हैं, ठीक जैसे वृत्तों के लिए।

18. $y = \frac14$ $y = x^2$ से $x = \pm\frac12$ पर मिलता है: जीवा की लंबाई $1$ । $y = \frac{x^2}{4f}$ के लिए: $y = f$ से $x^2 = 4f^2$ , $x = \pm 2f$ मिलता है: लंबाई $4f$ — नाभीय चौड़ाई नाभीय दूरी की चौगुनी है (तश्तरी बनाने वाले इसे नाभिलंब कहते हैं)।

19. $y = x^2$ का कोई बिंदु $(a, a^2)$ है; उसका प्रतिबिंब $(X, Y) = (ka, ka^2)$ है, और $\frac{X^2}{k} = \frac{k^2a^2}{k} = ka^2 = Y$ : प्रतिबिंब-वक्र ठीक $y = \frac{x^2}{k}$ है। $k = 4f$ चुनकर हर परवलय तक पहुँचा जा सकता है: वे सब एक ही मूल वक्र के बड़े किए हुए रूप हैं। (वृत्त भी सब समरूप हैं — पर दीर्घवृत्त नहीं: चपटाई मायने रखती है, ज़ूम नहीं।)

20. तीन पढ़े जा सकने वाले वेशों वाला एक समीकरण; एक बिंदु और एक रेखा से समान दूरी का बिंदुपथ; वह परावर्तक जो समांतर किरणें अपनी नाभि पर इकट्ठी कर लेता है और वह रस्सा जो समान रूप से बँटा पाट उठाए रहता है; हर फेंकी गई गेंद का पथ; और, बड़ा-छोटा करने की छूट देने पर, एक अकेला वक्र — एक ही परवलय, हर जगह।