فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

12الدارات الكهربائية والاستطاعة

اضغط مفتاحًا: فيضيء مصباح، لأن مولّدًا على بعد كيلومترات كثيرة يدفع الشحنة في حلقة من النحاس عبر جدارك. وقد رسمت السنوات السابقة خريطة الدارة — التيار والتوتر وقانون أوم. ويعيد هذا الفصل فتحها بدفتر حسابات الفصل 9: ما الذي يحاسب عليه العدّاد، ولماذا تتوهّج الأسلاك الرقيقة، ولماذا تشتغل الشبكة عند $400\,\mathrm{kV}$ .

12.1 الشحنة في حركة

تعريف 12.1 (التيار والكولوم)

التيار الكهربائي تدفق منظَّم للشحنة (وهي الإلكترونات في المعدن). وشدته $I$ ، بوحدة الأمبير ( $\mathrm{A}$ )، هي الشحنة العابرة لمقطع من السلك في الثانية: فالتيار الثابت $I$ الجاري مدة $t$ ينقل الشحنة

q = I\,t ,

بوحدة الكولوم ( $\mathrm{C}$ )، حيث $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . والشحنة الأولية $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . ويقاس التيار بمقياس تيار يُدرج على التسلسل.

مثال 12.2 (الصاعقة في مقابل الهاتف)

تحمل ضربة برق نحو $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ مدة نحو $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : أي $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ . أما هاتفك، عند $2.0\,\mathrm{A}$ ، فينقل الشحنة نفسها كل $1.5$ ثانية.

تعريف 12.3 (التوتر والفولط)

التوتر $U$ بين نقطتين من دارة، بوحدة الفولط ( $\mathrm{V}$ )، هو الطاقة المتبادَلة لكل وحدة شحنة تنتقل بينهما: أي $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ ، ومن ثم فإن شحنة $q$ تعبر جهازًا تحت التوتر $U$ تتبادل معه الطاقة $E = qU$ . ويقيسه مقياس توتر يوصَّل على التفرع.

قضية 12.4 (قوانين الدارة)

في دارة تشتغل في نظام دائم:

قانون العقدة: مجموع التيارات الواصلة إلى عقدة يساوي مجموع التيارات المغادرة لها؛
قانون التسلسل: التوترات على مسار تتجمع: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ؛
قانون التفرع: فرعان يلتقيان عند النقطتين نفسيهما يحملان التوتر نفسه.

برهان. في النظام الدائم لا تتراكم الشحنة في أي موضع، فما يدخل عقدةً يخرج منها. والطاقة لكل كولوم تجميعية على مسار وهي لا تتوقف إلا على طرفيه — لا على الفرع المسلوك بينهما. ∎

12.2 قانون أوم وشبكات المقاومات

تعريف 12.5 (المقاومة)

مقاومة ناقل هي النسبة $R = U/I$ بين التوتر بين طرفيه والتيار المارّ فيه، وتقاس بوحدة الأوم ( $\Omega$ ): أي $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

قضية 12.6 (قانون أوم)

في ناقل معدني محفوظ عند درجة حرارة ثابتة، تكون $R$ ثابتة: أي أن التوتر والتيار متناسبان،

U = R\,I .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 12.7

هو قانون تجريبي لا قانون كوني: فالثنائي، أو شعيرة مصباح متوهّج، أو جلدك أنت، لا تخضع له. أما لماذا تخضع له المعادن فيُشتقّ في المجلدات الجامعية.

قضية 12.8 (المقاومات على التسلسل وعلى التفرع)

مقاومتان على التسلسل تكافئان مقاومة واحدة $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ؛ ومقاومتان على التفرع تكافئان مقاومة واحدة $R_{\text{p}}$ تُعطى بالعلاقة

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{أي}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

برهان. على التسلسل: يعبر التيار $I$ نفسه كلتيهما وتتجمع التوترات (القضية 12.4)، ومنه $U = (R_1 + R_2)\,I$ . وعلى التفرع: تقع كلتاهما تحت التوتر $U$ نفسه وتتجمع التيارات، ومنه $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ . ∎

التسلسل (يمينًا): تيار واحد، والتوترات تتجمع. والتفرع (يسارًا): توتر واحد، والتيارات تتجمع.

مثال 12.9 (المقاومة المكافئة)

$R_1 = 100\,\Omega$ و $R_2 = 150\,\Omega$ : على التسلسل، $250\,\Omega$ ؛ وعلى التفرع، $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — أي أقل من كلتيهما: فالتيار يجد طريقًا ثانيًا.

12.3 الطاقة والاستطاعة في دارة

قضية 12.10 (الاستطاعة الكهربائية)

الجهاز الذي يقع تحت التوتر $U$ ويعبره تيار $I$ يتلقى الطاقة بالمعدل

P = U\,I , \qquad\text{أي}\quad E = U\,I\,t \ \text{خلال زمن } t .

برهان. خلال زمن $t$ تعبر الشحنة $q = It$ الجهازَ (التعريف 12.1) ويسلّم كل كولوم $U$ جولًا (التعريف 12.3): ومنه $E = qU = UIt$ . ∎

قضية 12.11 (الاستطاعة في مقاومة)

المقاومة $R$ التي يجري فيها تيار $I$ تبدّد

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .

برهان. عوّض قانون أوم في $P = UI$ : فتحصل على $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ . ∎

مثال 12.12 (قراءة لوحة بيانات)

غلاية مكتوب عليها “ $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ ” تسحب $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ ومقاومتها $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ . وإذا اشتغلت $150\,\mathrm{s}$ استعملت $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — أي نحو سنتين.

ملاحظة 12.13 (الجول والكيلوواط ساعة)

يعدّ العدّاد الكيلوواط ساعة (التعريف 9.17): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . فالجول وحدة الفيزيائي؛ أما الكيلوواط ساعة فيسعّر الفواتير.

استطاعات الأجهزة على محور لوغاريتمي: فكل ما يسخّن (بالأحمر) يعيش على بعد عامل قدره عشرة فوق كل ما يحسب أو يضيء (بالأزرق).

12.4 مفعول جول: من المحمصة إلى برج النقل

تعريف 12.14 (مفعول جول)

التبديد $P = RI^2$ الذي يحوّل الطاقة الكهربائية حرارةً في كل مقاومة هو مفعول جول. فالمدافئ والغلايات والمحمصات والمصابيح القديمة مقاومات بالتصميم؛ و المِصهر سلك رفيع معايَر لينصهر — فيفتح الدارة — حين يتجاوز التيار حدّه.

مثال 12.15 (لماذا تشتغل أبراج النقل على توتر عالٍ)

تحتاج قرية $P = 100\,\mathrm{kW}$ عبر خط مقاومته $R_\ell = 5.0\,\Omega$ . فإذا وُصّلت عند $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ ويبدّد الخط $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — أي ضعف ما يُوصَّل: وهذا سخف. وعند $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ و $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ . أي تيار أقلّ أربعين مرة، وضياع أقلّ $1600$ مرة.

توصيل : رفع U عند P = UI ثابتة يقلّص I، ويهبط الضياع مع I2. — توصيل المثال 12.15: رفع $U$ عند $P = UI$ ثابتة يقلّص $I$ ، ويهبط الضياع مع $I^2$ .

ملاحظة 12.16 (قاعدة الشبكة الحديدية)

عند استطاعة موصَّلة ثابتة $P = UI$ ، يهبط ضياع الخط $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ مثل مربع توتر النقل. ومن هنا: حوّل إلى أعلى ( $400\,\mathrm{kV}$ ) للسفر، وإلى أسفل ( $230\,\mathrm{V}$ ) للعيش معه.

ملاحظة 12.17 (سلامة المنزل)

خط قدره $230\,\mathrm{V}$ محميّ بمصهر $16\,\mathrm{A}$ يغذّي على الأكثر $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : فغلايتان معًا تصهران المصهر — وهو بالتصميم الحلقة الأرفع والأضعف، وهو أرخص بكثير من حريق داخل الجدار.

12.5 البطاريات الحقيقية: القوة المحركة الكهربائية

تعريف 12.18 (القوة المحركة والمقاومة الداخلية)

تحوّل البطارية الطاقة الكيميائية إلى كهربائية. و قوتها المحركة الكهربائية $\mathcal{E}$ ، بالفولط، هي الطاقة التي تسلّمها لكل كولوم يعبرها؛ أما مقاومتها الداخلية $r$ فتفسّر مفعول جول داخل كيميائها. والنموذج: منبع مثالي $\mathcal{E}$ على التسلسل مع $r$ (والحرف المزخرف $\mathcal{E}$ : لأن $E$ للطاقة).

قضية 12.19 (التوتر بين المربطين)

البطارية التي توصّل تيارًا $I$ تُظهر بين مربطيها

U = \mathcal{E} - r\,I .

برهان. يوفّر الكيمياء $\mathcal{E}I$ ، وتأكل المقاومة الداخلية $rI^2$ ، وتتلقى الدارة $UI$ : فيعطي انحفاظ الطاقة (الفصل 9) العلاقة $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ . ∎

مثال 12.20 (بطارية تحت حمل)

بطارية ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ ، $r = 1.0\,\Omega$ ) تغذّي مصباحًا مقاومته $R = 8.0\,\Omega$ . وتخضع الحلقة للعلاقة $\mathcal{E} = rI + RI$ ، ومنه $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ و $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : فيتلقى المصباح $8.0\,\mathrm{W}$ بينما تبدّد البطارية $1.0\,\mathrm{W}$ في تسخين نفسها.

مميزة تفريغ بطارية : تقع النقاط المقيسة على المستقيم U = E - rI، وميله -r = -1.0\, V/ A. — مميزة تفريغ بطارية المثال 12.20: تقع النقاط المقيسة على المستقيم $U = \mathcal{E} - rI$ ، وميله $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

ملاحظة 12.21 (المستقبِلات)

المحرك أو البطارية أثناء الشحن يجريان التحويل معكوسًا: فيمتصّان تحت $U = \mathcal{E}' + r'I$ ، ويحوّلان $\mathcal{E}'I$ إلى حركة أو كيمياء ويضيّعان $r'I^2$ . فالمنابع تدفع، والمستقبِلات تدفع مقابلةً.

مثال 12.22 (مردود بطارية)

مردود (التعريف 9.12) التفريغ أعلاه: أي $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ مفيدة من $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ ، ومنه $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — وهو يهبط كلما تسلّق التيار: فالبطاريات الكادحة تشتغل ساخنة.

12.6 تمارين

تمرين 12.1 ★

تُشحن بطارية هاتف بتيار ثابت $2.0\,\mathrm{A}$ مدة $90\,\mathrm{min}$ . فأيّ شحنة تعبر الكابل، بالكولوم؟ وكم شحنة أولية هي ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )؟

حل

حل التمرين 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ . وعدد الشحنات الأولية: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ .

تمرين 12.2 ★

مقاومة $220\,\Omega$ بين طرفي $12\,\mathrm{V}$ : فأيّ تيار يجري؟ وعنصر تسخين يسحب $0.50\,\mathrm{A}$ عند $230\,\mathrm{V}$ : فأيّ مقاومة له؟

حل

حل التمرين 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ؛ $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ .

تمرين 12.3 ★

احسب المقاومة المكافئة للمقاومتين $R_1 = 120\,\Omega$ و $R_2 = 60\,\Omega$ على التسلسل، ثم على التفرع. وأيّهما أصغر من كلتيهما، ولماذا؟

حل

حل التمرين 12.3.

على التسلسل: $120 + 60 = 180\,\Omega$ . وعلى التفرع: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — أي أصغر من كلتيهما: فالتوتر نفسه، لكن التيار يجد مسارًا ثانيًا، فيزداد التيار الكلي وتقلّ المقاومة.

تمرين 12.4 ★

مِكواة سفر تسحب $8.7\,\mathrm{A}$ عند $230\,\mathrm{V}$ . احسب استطاعتها، ثم الطاقة التي تستعملها في $4.0\,\mathrm{min}$ ، بالجول وبالكيلوواط ساعة.

حل

حل التمرين 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ . وفي $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

تمرين 12.5 ★

يوصّل شاحن حاسوب محمول $60\,\mathrm{W}$ مدة $5.0\,\mathrm{h}$ في اليوم: فما الطاقة اليومية بالكيلوواط ساعة وبالجول، والكلفة بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ؟

حل

حل التمرين 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . والكلفة: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ يورو في اليوم.

تمرين 12.6 ★★

مدفأة كهربائية مقنَّنة على $1200\,\mathrm{W}$ عند $230\,\mathrm{V}$ .

احسب مقاومتها والتيار الذي تسحبه.
وإذا وُصّلت (بالمقاومة نفسها) بمنبع $115\,\mathrm{V}$ ، فأيّ استطاعة توصّل؟ ولماذا ليست النصف؟

حل

حل التمرين 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ؛ $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ .

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : أي الربع، لا النصف، لأن تنصيف $U$ ينصّف كذلك $I$ ، و $P = UI \propto U^2$ .

تمرين 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ و $R_2 = 20\,\Omega$ على التسلسل بين طرفي $12\,\mathrm{V}$ . احسب التيار، والتوتر بين طرفي كل مقاومة، والاستطاعة المبدَّدة في كلٍّ منهما؛ وتحقّق من أن مجموع الاستطاعتين $UI$ .

حل

حل التمرين 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ ، ومنه $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ . و $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ ، $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (والمجموع $12\,\mathrm{V}$ )؛ و $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ ، $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : والمجموع $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ ، كما يجب.

تمرين 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ و $R_2 = 30\,\Omega$ على التفرع بين طرفي $12\,\mathrm{V}$ . احسب تيار كل فرع، والتيار الكلي، والمقاومة المكافئة بطريقتين.

حل

حل التمرين 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ ، $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ ، والمجموع $I = 0.60\,\mathrm{A}$ . والمكافئة: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ ، وفعلًا $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ .

تمرين 12.9 ★★

توصّل بطارية $U = 5.5\,\mathrm{V}$ عند $I = 0.50\,\mathrm{A}$ ، و $U = 4.0\,\mathrm{V}$ عند $I = 2.0\,\mathrm{A}$ . جِد قوتها المحركة $\mathcal{E}$ و مقاومتها الداخلية $r$ ، ثم تيار القصر $\mathcal{E}/r$ .

حل

حل التمرين 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ و $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ؛ وبالطرح، $1.5\,r = 1.5$ ، ومنه $r = 1.0\,\Omega$ و $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ . وفي القصر: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ .

تمرين 12.10 ★★

خط مطبخ قدره $230\,\mathrm{V}$ محميّ بمصهر $16\,\mathrm{A}$ . وتشتغل غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ ومحمصة $1.0\,\mathrm{kW}$ معًا: فهل يصمد المصهر؟ ثم يضيف أحدهم مدفأة $1.5\,\mathrm{kW}$ : بيّن أنه ينصهر.

حل

حل التمرين 12.10.

الغلاية $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ ، والمحمصة $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : والمجموع $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ ، فيصمد المصهر. ومع المدفأة $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : يصير المجموع $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ ، فينصهر (أو بالمكافئ، $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ ).

تمرين 12.11 ★★

تحتاج ورشة $10\,\mathrm{kW}$ عبر كابل تغذية مقاومته $2.0\,\Omega$ . احسب التيار وضياع جول إذا وُصّلت الاستطاعة عند $200\,\mathrm{V}$ ، ثم عند $4.0\,\mathrm{kV}$ . وقارن الضياعين واشرح النسبة.

حل

حل التمرين 12.11.

عند $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ ، والضياع $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — أي نصف ما يُوصَّل. وعند $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$ ، والضياع $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ . والنسبة $400 = 20^2$ : فعشرون ضعف التوتر تعني تيارًا أقلّ عشرين مرة، و الضياع يتغير مثل $I^2$ .

تمرين 12.12 ★★★

باستعمال ثلاث مقاومات متطابقة قدرها $60\,\Omega$ جميعًا، أحصِ كل مقاومة مكافئة متمايزة (تسلسل، تفرع، مختلط)؛ واحسب كلًّا منها.

حل

حل التمرين 12.12.

أربعة تركيبات: الثلاث على التسلسل، $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ؛ والثلاث على التفرع، $60/3 = 20\,\Omega$ ؛ وواحدة على التسلسل مع اثنتين على التفرع، $60 + 30 = 90\,\Omega$ ؛ وواحدة على التفرع مع اثنتين على التسلسل، $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ .

تمرين 12.13 ★★★

بطارية ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ ، $r = 1.5\,\Omega$ ) تغذّي مقاومة $R = 6.0\,\Omega$ .

احسب $I$ و $U$ ، والاستطاعة المفيدة في $R$ ، والاستطاعة الضائعة في $r$ ، والمردود.
بيّن أن الاستطاعة التي تتلقاها مقاومة متغيرة $R$ ، أي $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ ، تكون أعظمية حين $R = r$ (تلميح: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ )، واحسب تلك القيمة العظمى.

حل

حل التمرين 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ؛ $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ؛ والمفيدة $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ؛ والضائعة $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ؛ و $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ .

2. بالتلميح، $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ؛ والمقدار بين القوسين أصغر ما يكون ( $= 4r$ ) حين $R = r$ بالضبط، ومنه $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ .

تمرين 12.14 ★★★

غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ مردودها $0.90$ تُغلي $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ (وتسخين الماء يتطلب $4180\,\mathrm{J}$ لكل كيلوغرام ولكل درجة). احسب الحرارة اللازمة، والطاقة الكهربائية المسحوبة، وزمن التسخين، والكلفة بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

حل

حل التمرين 12.14.

الحرارة: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . والكهربائية: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . والزمن: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ ، أي دون ثلاث دقائق. والكلفة: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ، أي نحو $2.6$ سنتات.

تمرين 12.15 ★★★

بطارية سيارة: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ ، $r = 0.020\,\Omega$ ، وسعتها $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ .

حوّل السعة إلى الكولوم، وقدّر الطاقة المخزونة ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) بالجول وبالكيلوواط ساعة.
يسحب المُقلِع $150\,\mathrm{A}$ : احسب التوتر بين المربطين، و الاستطاعة الموصَّلة، والاستطاعة الضائعة في الداخل.
اشرح لماذا تخفت المصابيح الأمامية أثناء إدارة المحرك.

حل

حل التمرين 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ؛ $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ؛ والموصَّلة $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ؛ والضائعة $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ .

3. تقع المصابيح الأمامية بين المربطين: وأثناء الإدارة يهبط التوتر بين المربطين من $12.7$ إلى $9.7\,\mathrm{V}$ ، فتتلقى استطاعة أقلّ وتخفت.

12.7 مسألة: من السدّ إلى المحمصة

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — رحلة الألف كيلومتر لكيلوواط ساعة، من الماء الساقط إلى الخبز المحمّر، مع فاتورة الرحلة كاملة

سدّ جبلي يحبس الماء على ارتفاع $200\,\mathrm{m}$ فوق عنفاته، وهي تبتلع $50\,\mathrm{m}^{3}$ — أي $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — في الثانية؛ وتحوّل العنفة والمولّد التناوبي بمردود $0.90$ . وعبر خط مقاومته الكلية $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ ذهابًا وإيابًا) تغذّي المحطة مدينةً تنتظر فيها محمصتك $900\,\mathrm{W}$ عند $230\,\mathrm{V}$ . ويعطي المولّد $20\,\mathrm{kV}$ ؛ وتحوّل المحوّلات (ومردود كلٍّ منها $0.99$ ) التوترات كما نشاء. وتُباع الكهرباء بسعر $0.25$ يورو لكل $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ؛ و $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

الجزء I — عند السدّ.

كم طاقة كامنة يحرّرها الماء الساقط في كل ثانية؟ استنتج الاستطاعة المتاحة للعنفات.
وأيّ استطاعة كهربائية تغادر المولّد؟
وعند $20\,\mathrm{kV}$ مباشرة من المولّد، أيّ تيار يجري؟
احسب ضياع جول $R_\ell I^2$ عند ذلك التيار وقارنه بخرج المحطة. واستنتج.
استطاعة المدينة $P = UI$ يحدّدها الطلب. فما السبيل الوحيد إلى تقليص $I$ ، وأيّ جهاز يؤديه؟

الجزء II — على الخط.

محوّلة، تُعامَل في هذا السؤال بلا ضياع، ترفع $88\,\mathrm{MW}$ إلى $400\,\mathrm{kV}$ : فأيّ تيار يجري الآن؟
احسب ضياع الخط الجديد، بالميغاواط.
وأيّ جزء من خرج المحطة يضيع في الخط؟
بيّن أن الجزء الضائع يساوي $R_\ell P/U^2$ ، وتحقّق من أنه يفسّر العامل بين السؤالين 4 و7.
احسب هبوط التوتر $R_\ell I$ على طول الخط عند $400\,\mathrm{kV}$ . أيتوافق مع السؤال 8؟

الجزء III — في المطبخ.

حوّل $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ إلى الجول؛ فماذا يضرب العدّاد؟
احسب تيار المحمصة ومقاومتها عند $230\,\mathrm{V}$ .
ثلاث دقائق من التحميص: الطاقة بالجول و بالكيلوواط ساعة، وثمنها.
تبدّد المحمصة $RI^2$ : اشرح في جملة واحدة لماذا تكون الصيغة نفسها ضياعًا على الخط ومنتَجًا في المطبخ.
تتقاسم المحمصة مصهر $16\,\mathrm{A}$ مع غلاية $2.2\,\mathrm{kW}$ : فهل يصمد المصهر؟ ثم تنضمّ مدفأة $2.0\,\mathrm{kW}$ : فماذا الآن؟

الجزء IV — التدقيق.

تحمل أسلاك البيت نفسها، ومقاومتها $0.05\,\Omega$ ، التيارَ $13.5\,\mathrm{A}$ في السؤال 15: احسب الضياع وجزأه من نحو $3.1\,\mathrm{kW}$ الموصَّلة.
سلسِل المردودات (العنفة-المولّد، والرفع، والخط، والخفض، وأسلاك البيت) في مردود شبكة كلي واحد.
وكم كيلوغرامًا (وكم مترًا مكعبًا) من ماء السدّ يجب أن يسقط ليبلغ كيلوواط ساعة واحد محمصتك؟
احسب الجزء الضائع $R_\ell P/U^2$ في السؤال 9 عند $U = 20\,\mathrm{kV}$ . وماذا تعني قيمة تفوق $1$ ؟
بيت القصيد — ثمن المسافة: في جملتين، كم يكلّف كيلوواط ساعة محمَّص الجبلَ، وأيّ جزء منه يموت في الطريق، وأيّ حيلة واحدة تجعل ذلك ممكنًا؟

حل

حل المسألة 12.1.

1. في كل ثانية، $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : فالاستطاعة المتاحة $98\,\mathrm{MW}$ .

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ .

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ .

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — أي سبعة أضعاف خرج المحطة: فالنقل عند $20\,\mathrm{kV}$ مستحيل.

5. مع بقاء $P = UI$ ثابتة، لا يقلّص $I$ إلا رفع $U$ : أي محوّلة.

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ .

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : أي نحو $1.8\%$ .

9. الجزء $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : فمن $20\,\mathrm{kV}$ إلى $400\,\mathrm{kV}$ يهبط بمقدار $20^2 = 400$ ، وفعلًا $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : أي $1.8\%$ من $400\,\mathrm{kV}$ ، وهو الجزء نفسه في السؤال 8، لأن $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ .

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : فالعدّاد يضرب الاستطاعة المسحوبة في زمن سحبها، ثم يجمع.

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ؛ $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ .

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : أي نحو $1.1$ سنتات.

14. فيزياء $RI^2$ واحدة؛ إنما تختلف الغاية — فعلى الخط تكون الحرارة غير مرغوبة، وفي المحمصة تكون الحرارة هي المنتَج.

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : يصمد. ومع المدفأة $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : يصير المجموع $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ ، فينصهر المصهر.

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : أي $9.1/3100 \approx 0.3\%$ من الاستطاعة الموصَّلة — وهو مهمَل على أسلاك قصيرة.

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ .

18. يحتاج كيلوواط ساعة محمَّص واحد $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ في المنبع: أي $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ، ونحو $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ من الماء.

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ . و“جزء” يفوق $1$ يعني أن الخط سيبدّد أكثر مما يحمل: أي أن التوصيل مستحيل عند ذلك التوتر أصلًا.

20. يكلّف كيلوواط ساعة محمَّص واحد الجبلَ نحو طنّين — أي $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — من الماء الساقط من $200\,\mathrm{m}$ ، ويموت نحو $14\%$ من الطاقة في الطريق، ومعظمه في العنفات والمحوّلات (ودون $2\%$ في $1000\,\mathrm{km}$ من الخط). أما الحيلة الواحدة التي تجعل الرحلة ممكنة فهي المحوّلة: فالرفع إلى $400\,\mathrm{kV}$ يقسم التيار على $20$ ويقسم ضياع جول على $400$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد