فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

20الأمواج الميكانيكية

مساء السبت، وملعب ممتلئ: تجتاح موجة من المتفرجين الواقفين المدرجاتِ دورةً كاملة في أقل من دقيقة، ومع ذلك لا يغادر أحد مقعده. وحلقة الحصاة تعبر البركة بينما لا تفعل الفلّينة إلا أن ترتفع وتنخفض. ويدرس هذا الفصل المسافر نفسه — أي الموجة — والأعداد الأربعة التي تروّضها: السرعة والتأخير والدور وطول الموجة — وهي تكفي لقراءة زلزال من شريط ورق.

20.1 الاضطراب ينتقل والوسط يبقى

تعريف 20.1 (الموجة الميكانيكية)

الموجة الميكانيكية اضطراب ينتشر في وسط مادي — حبل أو ماء أو هواء أو صخر — حاملًا طاقة دون نقل مادة: فكل جزء من الوسط يتأرجح برهةً في مكانه، ويسلّم الحركة، ثم يستقرّ.

مثال 20.2 (لا نقل للمادة)

في موجة الملعب يكون “الوسط” هو الجمهور: فالمنتقل هو فعل الوقوف، بينما يحتفظ كل متفرج بمقعده. وعلى البركة تتوسع الحلقة لكن فلّينة طافية لا تفعل إلا أن ترتفع وتنخفض في مكانها.

تعريف 20.3 (الأمواج المستعرضة والطولية)

تكون الموجة مستعرضة إذا تحرك الوسط عموديًّا على الانتشار: فتنطلق حدبة على حبل منفوض بينما لا يتحرك كل نقطة منه إلا صعودًا وهبوطًا. وتكون طولية إذا تحرك الوسط على امتداد الانتشار: فتنتقل منطقة من اللفّات المضغوطة على زنبرك مدفوع، وكل لفّة تتأرجح في مكانها.

المستعرضة (الحبل): يتحرك الوسط عموديًّا على الانتشار. والطولية (الزنبرك): تنتقل التضاغطات، وتتأرجح اللفّات في مكانها.

ملاحظة 20.4 (الصوت طولي)

الصوت هو الموجة الطولية بامتياز: فالهواء المضغوط — أي الضغط الأعلى (الفصل 7) — ينتقل من المنبع إلى طبلة الأذن؛ وقد خُصّص له الفصل 21. أما الزلازل فترسل النوعين معًا: فأمواج P تضغط الصخر، وأمواج S تهزّه جانبيًّا.

20.2 السرعة والتأخير

تعريف 20.5 (سرعة الانتشار)

سرعة انتشار موجةٍ هي المسافة التي يقطعها الاضطراب مقسومة على الزمن المستغرَق: $v = d/t$ . وهي سرعة الشكل المنتقل، لا سرعة الوسط.

نبضة على حبل مصوَّرة مرتين: انتقلت القمة 2.4\, m في 0.30\, s، ومنه v = 8.0\, m/ s — فالشكل ينتقل، و الحبل يبقى. — نبضة على حبل مصوَّرة مرتين: انتقلت القمة $2.4\,\mathrm{m}$ في $0.30\,\mathrm{s}$ ، ومنه $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فالشكل ينتقل، و الحبل يبقى.

قضية 20.6 (الوسط يحدّد السرعة)

في الاضطرابات الصغيرة، لا تتوقف سرعة الانتشار إلا على الوسط، لا على شكل الاضطراب ولا على حجمه. فعلى حبل مشدود، تزداد $v$ مع الشدّ وتقلّ مع الكتلة في المتر: فالمشدود الخفيف سريع، والمرتخي الثقيل بطيء.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 20.7 (أين تقيم الصيغة)

تُشتقّ صيغة سرعة الحبل الدقيقة في مجلد السنة الأولى؛ وهذه السنة تكفي الوقائع التجريبية أعلاه.

مثال 20.8 (سرعات الصوت)

ينتقل الصوت بسرعة $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الهواء، و $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الماء، و $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الفولاذ — فكلما ازداد الوسط صلابة ازداد سرعة. ومن هنا أذن أفلام الغرب الملتصقة بالسكة: فالفولاذ يعلن القطار أولًا.

تعريف 20.9 (التأخير)

الموجة التي سرعتها $v$ تبلغ نقطة على المسافة $d$ بعد تأخير قدره $\tau = d/v$ : فنقطتان تفصل بينهما $d$ تكرّران الحركة نفسها، وتتأخر الأبعد بمقدار $\tau$ — أي القياس بالصدى في الفصل 8، مقروءًا معكوسًا.

قضية 20.10 (التراكب بلا تفاعل)

حيث تتراكب موجتان، يكون انتقال الوسط في كل لحظة مجموع الانتقالين اللذين تحدثهما كلٌّ منهما وحدها؛ وبعد التقاطع تواصل كل موجة سيرها دون تغير — وهو مشتقّ في مجلد السنة الثانية من خطّية معادلات الحركة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 20.11 (نبضتان متقاطعتان)

أرسِل حدبة صاعدة من كل طرف من حبل: فحيث تلتقيان، يرتفع الحبل برهةً إلى مجموع الارتفاعين؛ ثم تخرج حدبتان سليمتان — كما تبلغ محادثتان متقاطعتان مستمعيهما.

20.3 الأمواج الدورية: الدورية المزدوجة

تعريف 20.12 (الموجة الدورية)

حين يكرّر المنبع حركته بدور $T$ وتواتر $f = 1/T$ (الفصل 8)، أنشأ في الوسط موجة دورية: فتكرّر كل نقطة حركتها هي بالدور $T$ ، وتتأخر كلٌّ عن جيرانها بتأخير الانتقال.

تعريف 20.13 (طول الموجة)

تُظهر صورة لحظية لموجة دورية نمطًا يتكرر في الفضاء؛ ودوره المكاني — من قمة إلى قمة — هو طول الموجة $\lambda$ ، بالمتر. والموجة الدورية مزدوجة الدورية: بدور $T$ في الزمن عند كل نقطة، ودور $\lambda$ في الفضاء في كل لحظة.

مبرهنة 20.14 (علاقة الموجة)

الموجة الدورية التي سرعتها $v$ ودورها $T$ وتواترها $f$ طول موجتها $\lambda = v\,T = v/f$ .

برهان. خلال دور واحد ينزلق النمط إلى الأمام مسافة $v\,T$ ؛ لكن المنبع — ومن ثم كل نقطة — يكون عندئذٍ قد عاد إلى حالته الابتدائية، فينطبق النمط المنزلق على الأصلي: أي أن مسافة التكرار هي $v\,T$ . ∎

الجيب نفسه مرتين: تتكرر الصورة اللحظية كل في الفضاء، وتتكرر إشارة النقطة الواحدة كل T في الزمن؛ و= v\,T. — الجيب نفسه مرتين: تتكرر الصورة اللحظية كل $\lambda$ في الفضاء، وتتكرر إشارة النقطة الواحدة كل $T$ في الزمن؛ و $\lambda = v\,T$ .

ملاحظة 20.15 (التواتر يخصّ المنبع)

عند الانتقال من وسط إلى آخر — كالصوت من الهواء إلى الماء — تحفظ الموجة تواترها، الذي يمليه المنبع، بينما تتغير سرعتها؛ وبحسب $\lambda = v/f$ يتغير طول الموجة معها.

مثال 20.16 (نغمة لا، في الهواء وتحت الماء)

نغمة لا عند $440\,\mathrm{Hz}$ في الفصل 8 طول موجتها $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ في الهواء و $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ في الماء: فالنغمة نفسها، ممدودةً بالوسط الأسرع.

تعريف 20.17 (على توافق الطور وعلى تعاكسه)

نقطتان تفصل بينهما عدد صحيح من أطوال الموجة، $d = k\lambda$ ، تتحركان تحركًا متطابقًا في كل لحظة: فهما على توافق الطور. أما النقطتان اللتان تفصل بينهما $d = (k + \tfrac12)\lambda$ فتتحركان متعاكستين دائمًا — قمة في مقابل قاع: فهما على تعاكس الطور.

طريقة 20.18 (قراءة الدورية المزدوجة)

على تسجيل $y(t)$ عند نقطة ثابتة، اقرأ $T$ من قمة إلى قمة؛ ومنه $f = 1/T$ .
وعلى صورة لحظية $y(x)$ عند لحظة ثابتة، اقرأ $\lambda$ من قمة إلى قمة.
استنتج $v = \lambda/T = \lambda f$ ؛ وتحقّق من ذلك بتوقيت مباشر $v = d/\tau$ متى توفّر.
ولا تخلط بين المخططين أبدًا: فمحور أحدهما يحمل الثواني، ومحور الآخر يحمل الأمتار.

20.4 جبهات الموجة والتوهين

تعريف 20.19 (جبهة الموجة)

جبهة الموجة خط (أو سطح) من النقاط تبلغها الموجة في اللحظة نفسها — كخط قمة على البركة. ومن منبع نقطي تكون جبهات الموجة دوائر متوسعة؛ وبعيدًا عن أي منبع تكون شبه مستقيمة. وتنتشر الموجة عموديًّا على جبهاتها، والقمم المتتالية تفصل بينها $\lambda$ .

تعريف 20.20 (التوهين)

تناقص سعة موجة أثناء انتشارها هو توهينها. وسببان يتجمعان: فطاقة جبهة موجة دائرية تُتقاسم على قمة تزداد طولًا، و الوسط يمتصّ قليلًا في العبور. أما الجبهات المستقيمة فتفلت من السبب الأول — وبذلك يعبر موج طويل لعاصفة بعيدة محيطًا.

جبهات موجة دائرية، يفصل بينها طول موجة واحد، تخبو كلما انتشرت الطاقة على قمم أطول؛ أما الجبهات المستقيمة (يسارًا) فتخبو ببطء.

20.5 تمارين

تمرين 20.1 ★

تجري موجة ملعب على حلقة المدرجات البالغة $320\,\mathrm{m}$ في $40\,\mathrm{s}$ . (أ) احسب سرعتها. (ب) وهل يدور أي متفرج حول الحلقة؟ فما الذي يدور؟ (ج) يقف كل متفرج بعد $1.5\,\mathrm{s}$ من جاره الذي يبعد $12\,\mathrm{m}$ : تحقّق من الاتساق.

حل

حل التمرين 20.1.

(أ) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) لا يتحرك أي متفرج على امتداد الحلقة: فالمنتقل هو الاضطراب (أي فعل الوقوف)، لا الجمهور. (ج) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهو متسق.

تمرين 20.2 ★

مستعرضة أم طولية؟ (أ) نبضة على حبل يُنفض صعودًا وهبوطًا؛ (ب) تضاغط يُرسل على زنبرك؛ (ج) الصوت في الهواء؛ (د) تموّج بركة (السطح يرتفع وينخفض عموديًّا، والحلقة تنتقل أفقيًّا)؛ (ه) أمواج P الزلزالية (تضغط في جهة الانتقال) وأمواج S (تهزّ جانبيًّا).

حل

حل التمرين 20.2.

(أ) مستعرضة؛ (ب) طولية؛ (ج) طولية؛ (د) مستعرضة؛ (ه) P طولية، وS مستعرضة.

تمرين 20.3 ★

يبلغك الرعد بعد $4.0\,\mathrm{s}$ من الومضة. (أ) فكم تبعد الصاعقة ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )؟ (ب) ويسمع غطّاس التأخير نفسه بين ومضة ودويّ تحت الماء ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): فكم يبعد ذلك المنبع؟ (ج) وما الذي يجب أن تعرفه قبل تحويل التأخير إلى مسافة؟

حل

حل التمرين 20.3.

(أ) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ . (ب) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ . (ج) سرعة الانتشار في الوسط المقطوع.

تمرين 20.4 ★

احسب طول موجة صوت تواتره $440\,\mathrm{Hz}$ في الهواء وفي الماء. وحين يعبر الصوت من الهواء إلى الماء، أيّ المقادير $f$ و $v$ و $\lambda$ يتغير، وأيّها يبقى ثابتًا؟

حل

حل التمرين 20.4.

$\lambda = v/f$ : أي $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ في الهواء، و $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ في الماء. ويبقى التواتر ثابتًا (فالمنبع يمليه)؛ أما $v$ و $\lambda$ فيتغيران كلاهما.

تمرين 20.5 ★

على بركة، تفصل بين قمم التموّج المتجاورة $12\,\mathrm{cm}$ وتتقدم الحلقات بسرعة $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . جِد طول الموجة والدور و التواتر.

حل

حل التمرين 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ؛ $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ؛ $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ .

تمرين 20.6 ★★

تُصوَّر نبضة على حبل طويل مرتين، يفصل بينهما $0.30\,\mathrm{s}$ : فتقع قمتها عند $x = 1.0\,\mathrm{m}$ ، ثم عند $3.4\,\mathrm{m}$ . (أ) فما السرعة؟ (ب) ومتى تبلغ النبضة الجدار عند $x = 7.0\,\mathrm{m}$ ؟ (ج) وشريط معقود عند $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : فما حركته عند مرور النبضة؟

حل

حل التمرين 20.6.

(أ) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) ومن الصورة الأولى يبقى على القمة $6.0\,\mathrm{m}$ : أي $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ بعدها. (ج) ويرتفع الشريط ثم ينخفض، عرضيًّا خالصًا، ويبقى عند $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : فالحبل لا ينتقل.

تمرين 20.7 ★★

نبضتان صاعدتان، ارتفاعاهما $3.0\,\mathrm{cm}$ و $2.0\,\mathrm{cm}$ ، تنتقلان إحداهما نحو الأخرى بسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لكلٍّ، والقمتان تفصل بينهما $4.0\,\mathrm{m}$ . (أ) فمتى تتطابق القمتان؟ (ب) وما أقصى ارتفاع للحبل عندئذٍ؟ (ج) والسؤالان نفساهما لو كانت النبضة الصغيرة نازلة. (د) وما حال الحبل بعد ذلك مباشرة؟

حل

حل التمرين 20.7.

(أ) سرعة الاقتراب $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، والفجوة $4.0\,\mathrm{m}$ : ومنه $t = 1.0\,\mathrm{s}$ . (ب) بالتراكب: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ . (ج) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ . (د) تخرج نبضتان سليمتان وتواصلان سيرهما دون تغير، كأنهما لم تلتقيا قط.

تمرين 20.8 ★★

(أ) حبلا غسيل يحملان الشدّ نفسه؛ وتُرسَل نبضة على كلٍّ منهما. فأيّهما أسرع: الرفيع أم الغليظ؟ ولماذا؟ (ب) ويشدّ عازف قيثارة وترًا: فماذا يحدث لسرعة الموجة؟ (ج) وهل يجعل النفض بضعف القوة (أي نبضة أعلى) النبضةَ تنتقل أسرع؟

حل

حل التمرين 20.8.

(أ) الرفيع: فكتلة أقلّ في المتر عند الشدّ نفسه تعني موجة أسرع. (ب) تزداد (لأن الشدّ أعلى). (ج) لا: فالسرعة لا تتوقف إلا على الوسط، لا على حجم النبضة.

تمرين 20.9 ★★

يضرب عامل سكة على بعد $1.8\,\mathrm{km}$ ؛ وأنت تصغي بأذن على الفولاذ. احسب زمني الوصول عبر السكة ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) وعبر الهواء ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )، والفاصل بين الطرقتين.

حل

حل التمرين 20.9.

السكة: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ؛ والهواء: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ؛ والفارق $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ .

تمرين 20.10 ★★

يحمل حبل موجة دورية طول موجتها $24\,\mathrm{cm}$ . فهل النقطتان على توافق الطور أو على تعاكسه أو لا هذا ولا ذاك، عند تباعد قدره (أ) $48\,\mathrm{cm}$ ؛ (ب) $12\,\mathrm{cm}$ ؛ (ج) $36\,\mathrm{cm}$ ؛ (د) $30\,\mathrm{cm}$ ؛ (ه) $6.0\,\mathrm{cm}$ ؟

حل

حل التمرين 20.10.

بأخذ $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ : (أ) $2\lambda$ ، فعلى توافق الطور؛ (ب) $\lambda/2$ ، فعلى تعاكس الطور؛ (ج) $\tfrac32\lambda$ ، فعلى تعاكس الطور؛ (د) $1.25\lambda$ ، فلا هذا ولا ذاك؛ (ه) $\lambda/4$ ، فلا هذا ولا ذاك.

تمرين 20.11 ★★

يرسل زلزال أمواج P بسرعة $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ وأمواج S بسرعة $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، ودورهما $2.0\,\mathrm{s}$ . احسب طولي الموجة، وقارنهما ببناية، واشرح لماذا يرتفع حيّ بأكمله وينخفض معًا تقريبًا.

حل

حل التمرين 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ؛ $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — أي مئات أضعاف حجم بناية. والنقاط الأقرب بكثير من $\lambda$ تكون شبه متوافقة الطور، فيتحرك الحيّ كله معًا.

تمرين 20.12 ★★★

يُظهر تسجيل ارتفاع الماء عند عوّامة قممًا كل $0.50\,\mathrm{s}$ ؛ وتُظهر صورة جوية قممًا تفصل بينها $0.75\,\mathrm{m}$ . (أ) جِد $T$ و $f$ . (ب) جِد $\lambda$ . (ج) استنتج السرعة. (د) وتركب العوّامة قمةً عند $t = 0$ : فمتى تركب القمة التالية؟ (ه) وهل نقطة تبعد $1.875\,\mathrm{m}$ على توافق الطور مع العوّامة، أم على تعاكسه، أم لا هذا ولا ذاك؟

حل

حل التمرين 20.12.

(أ) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ ، $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ . (ب) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ . (ج) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) عند $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ . (ه) $1.875/0.75 = 2.5$ طول موجة $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : أي تعاكس الطور.

تمرين 20.13 ★★★

تكمل عوّامة راسية $10$ تذبذبة كاملة في $80\,\mathrm{s}$ على موج طويل منتظم تفصل بين قممه $120\,\mathrm{m}$ . (أ) جِد الدور و التواتر. (ب) جِد سرعة الموج، بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (ج) وكم تستغرق قمة عند العوّامة الآن لتبلغ الشاطئ الذي يبعد $900\,\mathrm{m}$ ؟ (د) وهل تنجرف العوّامة إلى الشاطئ معها؟

حل

حل التمرين 20.13.

(أ) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ ، $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ . (ب) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (ج) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ . (د) لا: فالأمواج لا تنقل مادة — والعوّامة الراسية لا تفعل إلا أن ترتفع وتنخفض.

تمرين 20.14 ★★★

نبضتان متطابقتان، إحداهما صاعدة والأخرى نازلة، تنتقلان إحداهما نحو الأخرى بسرعة $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لكلٍّ، ومركزاهما يفصل بينهما $6.0\,\mathrm{m}$ . (أ) فمتى يتطابق مركزاهما، وكيف يبدو الحبل عندئذٍ؟ (ب) وهل يكون الحبل ساكنًا عندئذٍ؟ وأين ذهبت الطاقة؟ (ج) وماذا يحدث تاليًا؟ (د) ولماذا لا يعني “مسطّح للحظة” أن “لا شيء هناك”؟

حل

حل التمرين 20.14.

(أ) بالاقتراب بسرعة $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على مدى $6.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ؛ ويتلاشى الانتقالان المتعاكسان — فيصير الحبل مسطّحًا للحظة. (ب) لا: فنقاطه متحركة (إذ تتجمع السرعات العرضية ولا تتلاشى)؛ والطاقة كلها حركية. (ج) وتعاود النبضتان الظهور وتواصلان سيرهما دون تغير. (د) فالحبل المسطّح يحمل سرعة، ومن ثم طاقة: فالموجة مخزونة للحظة في الحركة، لا في الشكل.

تمرين 20.15 ★★★

ينتشر تموّج حصاة على بركة ساكنة. (أ) احسب طول القمة عند $r = 0.50\,\mathrm{m}$ وعند $r = 8.0\,\mathrm{m}$ ؛ فما عامل النمو؟ (ب) وتُحفظ طاقة القمة تقريبًا: فماذا يحدث للطاقة في المتر، وللسعة؟ (ج) ولماذا يتوهّن موج طويل ذو جبهة مستقيمة أقلّ بكثير؟ (د) ولماذا لا تتوهّن موجة الملعب البتة؟

حل

حل التمرين 20.15.

(أ) $2\pi r$ : أي $3.1\,\mathrm{m}$ و $50\,\mathrm{m}$ — ومنه $\times 16$ . (ب) وتهبط الطاقة في المتر بالعامل $16$ ، فتهبط السعة (لأن الطاقة تنمو مع السعة). (ج) والجبهات المستقيمة لا تطول: فلا يبقى إلا الامتصاص. (د) والوسط نشط: فكل متفرج يقف على طاقة عضلاته هو، فيعيد تزويد الموجة.

20.6 مسألة: قراءة مخطط زلزالي

مسألة 20.1

مسألة نهاية الأسبوع — قراءة مخطط زلزالي: موجتان تنطلقان من صدع مكسور، وثلاث دوائر تحدّد مركز الزلزال، وموجة ثالثة بطيئة تعطي ساحلًا إنذاره

مناوبة ليلية في مرصد للزلازل. عند الساعة 09:14:32 تقفز إبرة المحطة A: تموّجات سريعة حادّة، ثم تأرجحات أبطأ أوسع. لقد كسر زلزال صخرًا في مكان ما؛ وتنطلق موجتان عبر القشرة: أمواج P، وهي تضاغطات بسرعة $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، وأمواج S، وهي هزّ جانبي بسرعة $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

الجزء I — موجتان وساعة واحدة.

انطلاقًا من الأوصاف أعلاه، صنّف أمواج P وS بين مستعرضة وطولية.
وأيّ موجة تصل أولًا إلى كل محطة؟ احسب زمني انتقالهما على $d = 120\,\mathrm{km}$ .
بيّن أن الفارق بين وصول P وS هو $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ واحسبه من أجل $d = 120\,\mathrm{km}$ .
استنتج قاعدة قياس المسافة عند عالم الزلازل $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ وبيّن أن المعامل نحو $8.4\,\mathrm{km}$ لكل ثانية من الفارق.
ولماذا ينمو الفارق مع المسافة — ولماذا تكون تلك هدية لمحطة لم تشهد بداية الزلزال قط؟

الجزء II — دوائر على الخريطة.

تقيس المحطة A فارقًا قدره $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . فكم يبعد مركز الزلزال عن A؟
اشرح لماذا تضع هذه القراءة الواحدة مركز الزلزال على دائرة، لا على نقطة.
وتقيس المحطتان B وC فارقين قدرهما $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ و $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : فما مسافتاهما إلى مركز الزلزال؟
اشرح كيف تحدّد الدوائر الثلاث معًا مركز الزلزال.
بلغت موجة P المحطة A عند 09:14:32. احسب زمن انتقالها من مركز الزلزال، وزمن نشوء الزلزال.

الجزء III — الموجة التي تعبر المحيط. تلتقي الدوائر الثلاث في عرض البحر: فقد انكسر الصدع تحت قاع البحر وحرّك عمود الماء. والأمواج الطويلة على الماء العميق تنتقل بسرعة يحدّدها العمق — نحو $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في المحيط المفتوح، ونحو $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ قرب شاطئ (نقبله هنا؛ وتُشتقّ الصيغة في مجلد السنة الأولى). ويقع ميناء على بعد $D = 600\,\mathrm{km}$ من مركز الزلزال.

حوّل $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ وسمِّ مركبةً سرعة إبحارها مقاربة.
وكم يستغرق التسونامي ليبلغ الميناء؟
ويحسّ مقياس الزلازل في الميناء موجة P أولًا. فبعد كم من الوقت؟ وإذا انطلق الإنذار في تلك اللحظة، فكم زمنًا من الإنذار يناله الساحل قبل التسونامي؟
ودور التسونامي في البحر نحو $15\,\mathrm{min}$ . احسب طول موجته هناك، واشرح لماذا لا تلاحظه سفينة.
وباقترابه من الشاطئ تهبط السرعة إلى $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بينما يبقى الدور ثابتًا. احسب طول الموجة الجديد. فماذا يجب أن يحدث للموجة وهي تتكدّس؟

الجزء IV — الطاقة، والتقرير. يحرّر زلزال قوي من رتبة $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ، تحملها الأمواج.

احسب طول جبهة موجة دائرية على بعد $10\,\mathrm{km}$ من مركز الزلزال، ثم على بعد $210\,\mathrm{km}$ ؛ فبأي عامل نمت؟
استنتج لماذا يضعف الهزّ مع المسافة حتى في قشرة بلا ضياع — وسمِّ السبب الثاني الذي تضيفه قشرة حقيقية.
السائل لا يقاوم القصّ. وتسجّل محطات الجهة البعيدة موجة P ولا تسجّل موجة S: فماذا يكشف ذلك عن نواة الأرض؟
القطار السريع في فصل الطاقة للسنة السابقة (الفصل 18) يحمل نحو $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ من الطاقة الحركية: فكم قطارًا كهذا يساوي $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ؟
التقرير، في جملتين: أين ومتى وقع الزلزال، وكم إنذارًا نال الميناء؟ أعطِ الأعداد الثلاثة.

حل

حل المسألة 20.1.

1. تضغط أمواج P في جهة الانتقال: فهي طولية؛ وتهزّ أمواج S جانبيًّا: فهي مستعرضة.

2. تصل P، وهي الأسرع، أولًا في كل مكان. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ؛ $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ .

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ؛ ومن أجل $120\,\mathrm{km}$ : $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ .

4. حُلّ لإيجاد $d$ : $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ لكل ثانية من الفارق.

5. $\Delta t \propto d$ : فتسجيل محطة واحدة يعطي مسافتها إلى مركز الزلزال دون معرفة زمن النشوء.

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

7. يعطي الفارق مسافة لا اتجاهًا: فيقع مركز الزلزال في مكان ما على الدائرة ذات نصف القطر $d_A$ حول A.

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ؛ $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

9. تلتقي دائرتان في نقطتين؛ وتنتقي الثالثة إحداهما: فالتقاطع المشترك هو مركز الزلزال.

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : فقد بدأ الزلزال عند $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ .

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — أي طائرة ركاب نفّاثة في إبحارها.

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ .

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ . والإنذار: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ .

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : أي ارتفاع نحو متر ممتدًّا على $180\,\mathrm{km}$ — فتتسلق السفينة ميلًا غير محسوس على مدى دقائق عدة.

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : فتتكدّس الموجة عشرين ضعفًا، وتنحشر طاقتها في طول أقصر، فيجب أن ينمو ارتفاعها — فينتصب التسونامي عند الشاطئ.

16. $2\pi r$ : أي $63\,\mathrm{km}$ ، ثم $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — ومنه $\times 21$ .

17. تُتقاسم الطاقة نفسها على جبهة أطول $21\times$ مرة، فتهبط السعة حتى في قشرة بلا ضياع؛ وتضيف القشرة الحقيقية امتصاصًا.

18. أمواج S، وهي قصّ مستعرض، لا تقدر أن تعبر سائلًا: فظلّ أمواج S يبيّن أن النواة (الخارجية) سائلة.

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : أي نحو سبعمئة ألف قطار بكامل سرعتها.

20. وقع الزلزال عند $09{:}13{:}57$ ، في عرض البحر عند تقاطع الدوائر الثلاث، على بعد $210\,\mathrm{km}$ من المحطة A. وانطلق إنذار موجة P في الميناء بعد $100\,\mathrm{s}$ من النشوء، أي نحو $48\,\mathrm{min}$ قبل وصول التسونامي.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد