4الجاذبية الكونية والوزن

حل التمرين 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$.

2. وزن البعوضة $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — أي $65$ مرة أكبر من تجاذب الراقصَين المتبادل. فالجاذبية بين الناس أضعف من وزن بعوضة.

حل التمرين 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

2. كتلتها لم تتغير: $55\,\mathrm{kg}$ (الكمية نفسها من المادة). أما وزنها فيصير $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — أي أقلّ ست مرات.

حل التمرين 4.3.

1. $g_{\text{المريخ}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

2. على المريخ: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. وعلى الأرض: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — فالمركبة الجوّالة تزن أقلّ نحو $2.6$ مرة على المريخ، بالكتلة نفسها.

حل التمرين 4.4.

ويمارس القمر على الأرض قوة بالشدة نفسها، $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$، في الاتجاه المعاكس: فالجاذبية متبادلة.

حل التمرين 4.5.

1. مضاعفة المسافة: يُضرب $d^2$ في $4$، ومنه $F = F_0/4$.

2. تنصيف المسافة: $F = 4F_0$.

3. مضاعفة الكتلتين كلتيهما: يُضرب $m_1 m_2$ في $4$، ومنه $F = 4F_0$.

4. البسط $\times 3$، والمقام $\times 9$: $F = F_0/3$.

حل التمرين 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$: أي أن السفينتين تتجاذبان بوزن دراجة نارية كبيرة.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. فحتى دون معارض، ستحتاج الناقلتان نحو خمسة أيام لتبلغا سرعة المشي؛ وعمليًّا، تغمر مقاومة الماء والمراسي التجاذبَ غمرًا تامًّا.

حل التمرين 4.7.

1. يشير الميزان ذو الكفتين إلى $3.0\,\mathrm{kg}$ على العالمين معًا: فوزن الكيس ووزن الكتل المعيارية ينقسمان على العامل نفسه، ومن ثم لا تتغير المقارنة. أما الميزان الزنبركي فيقرأ الوزن: $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ على الأرض، و$3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ على القمر.

2. الميزان ذو الكفتين: لأنه يقيس الكتلة، وهي ما يشتريه الزبون. أما ميزان زنبركي معايَر على “الكيلوغرام” في الأرض فسيقرأ $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ للكيس نفسه على القمر — فيهب صاحب المتجر ستة أكياس بثمن كيس واحد.

حل التمرين 4.8.

1. البعد عن المركز: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$. ومنه $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

2. أي $8.69/9.81 \approx 89\%$ من القيمة السطحية.

3. فالجاذبية في كامل قوتها تقريبًا هناك في الأعلى: ويطفو روّاد الفضاء لأن المحطة وكل ما فيها تسقط معًا حول الأرض (سقوطًا حرًّا)، لا لأن الجاذبية تلاشت.

حل التمرين 4.9.

انطلاقًا من $g = GM/R^2$،

أي نحو $0.8$ ضعف كتلة الأرض — فالزهرة تكاد تكون توأم الأرض حجمًا وكتلة.

حل التمرين 4.10.

1. الشمس: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$. القمر: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$.

2. تجذب الشمس أقوى نحو $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ مرة.

3. قطر الأرض جزء من المسافة بين الأرض والقمر ($\approx 3\%$) أكبر بكثير مما هو من المسافة بين الأرض والشمس ($\approx 0.01\%$)، ومن ثم يتغير جذب القمر تغيرًا أكبر بكثير من الجانب القريب إلى الجانب البعيد من الكرة الأرضية. والمدّ والجزر يتغذيان على ذلك الفرق — وهناك يفوز القمر.

حل التمرين 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$: فمضاعفة نصف القطر تغلب مضاعفة الكتلة.

2. نحتاج $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$، ومنه $R'^2 = R^2/2$ و$R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — أي نحو $4500\,\mathrm{km}$.

حل التمرين 4.12.

1. تساوي الجذبين لكل كيلوغرام: $\dfrac{G M_{\text{الأرض}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{القمر}}}{(D-x)^2}$. وبالضرب التبادلي والقسمة على $G$: $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{الأرض}}}{M_{\text{القمر}}}$.

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$، ومنه $x = 9.0\,(D - x)$، أي $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. فتقع نقطة التوازن على $90\%$ من الطريق إلى القمر: أي أن جذب الأرض يهيمن على الرحلة كلها تقريبًا.

حل التمرين 4.13.

1. بالنشر: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$؛ وبما أن $h$ ضئيل أمام $R$، نهمل $h^2$: فيكون $2Rh \approx x^2$، ومنه $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$.

2. في ثانية واحدة يسقط المقذوف $4.9\,\mathrm{m}$ — وهو تقريبًا $5.0\,\mathrm{m}$ بالضبط التي تنخفضها الأرض على مدى $8.0\,\mathrm{km}$. ومن ثم عند $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ لا يلحق السقوط بالأرض أبدًا: فيدور المقذوف في مدار.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — وهو قريب من نحو $90\,\mathrm{min}$ للتوابع الحقيقية المنخفضة المدار، وهي تحلّق أعلى قليلًا.

حل التمرين 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$، مقابل $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ على الأرض: أي أكثر نحو $1.3 \times 10^{11}$ مرة. فلا بنية مصنوعة من ذرات تصمد واقفة هناك.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$. وذلك على الأرض وزن $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — أي حبة رمل تزن وزن قاطرة كتلتها مئة طنّ.

حل التمرين 4.15.

1. المسافة أكبر $60$ مرة، ومن ثم يكون الجذب لكل كيلوغرام أضعف $60^2 = 3600$ مرة.

2. والسقوط في ثانية واحدة يتغير على النحو نفسه: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — أي نحو $1.4\,\mathrm{mm}$.

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$، ومنه $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و$x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ في ثانية واحدة. فيكون السقوط $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$.

4. يتفق العددان: فالقمر يسقط نحو الأرض في كل ثانية بالمقدار الذي تتنبأ به جاذبية مربع المسافة، معايَرةً على تفاحة ساقطة، بالضبط. فاستنتج نيوتن أن القوة التي تمسك القمر هي القوة التي تُسقط التفاحة — أي أن الجاذبية كونية.