فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

28المذبذبات الميكانيكية وقياس الزمن

تدقّ ساعة الجدّ: وكل دقّة نوّاس نحاسي يعبر الوضع الشاقولي، مكررًا خمسة عشر مليون مرة منذ رأس السنة. وشظية كوارتز في ساعتك تنثني $32\,768$ مرة في الثانية؛ وذرة سيزيوم تدندن أسرع تسعة مليارات مرة. وكل ما يتأرجح يقدر أن يحفظ الوقت: ويتبع هذا الفصل التأرجح، من هويغنس إلى التوابع.

28.1 التذبذبات الحرة

تعريف 28.1 (المذبذب والدور والتواتر والسعة)

المذبذب الميكانيكي جملة، إذا أُزيحت عن موضع توازن مستقر وأُطلقت، تأرجحت جيئةً وذهابًا حوله: وتلك هي التذبذبات الحرة. وتتكرر الحركة بعد الدور $T_0$ ( $\mathrm{s}$ )؛ و التواتر $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ ، الفصل 20)؛ و السعة هي الإزاحة القصوى.

مثال 28.2 (حديقة حيوان من المذبذبات)

أرجوحة ملعب: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ . ووتر لا في قيثارة: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ . وبلورة كوارتز: $32\,768\,\mathrm{Hz}$ . وتذبذب السيزيوم الذي يعرّف الثانية: نحو $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ . أي عشر رتب من القدر، ووظيفة واحدة: العدّ.

28.2 النوّاس البسيط

تعريف 28.3 (النوّاس البسيط)

النوّاس البسيط: كرة صغيرة كتلتها $m$ على سلك غير قابل للاستطالة طوله $L$ وكتلته مهمَلة، تتأرجح في مستوٍ شاقولي. ومن القوتين المؤثرتين في الكرة (الفصل 25)، يكون الشدّ عموديًّا على الحركة، بينما تتجه مركّبة الوزن على امتداد المسار عائدةً نحو أخفض نقطة: فالوزن هو القوة المرجِعة، وهي تعاكس الإزاحة.

القوى على الكرة: الشدّ T عمودي على الحركة؛ والجزء المماسّي P_t من الوزن يتجه دائمًا عائدًا نحو الوضع الشاقولي — وهو القوة المرجِعة. — القوى على الكرة: الشدّ $\vect T$ عمودي على الحركة؛ والجزء المماسّي $\vect{P_t}$ من الوزن يتجه دائمًا عائدًا نحو الوضع الشاقولي — وهو القوة المرجِعة.

قضية 28.4 (دور النوّاس البسيط)

في السعات الصغيرة (دون نحو $15^\circ$ )، يكون الدور

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

وهو لا يتوقف على كتلة الكرة ولا — ما دامت الزاوية صغيرة — على السعة: فالتأرجحات الصغيرة متساوية الأزمنة، وتستغرق كلها الزمن نفسه.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 28.5 (التحليل البُعدي، وأين يسكن $2\pi$ )

يمكن تخمين الصيغة. فمن $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) و $L$ ( $\mathrm{m}$ ) و $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )، يكون التركيب الوحيد الذي له وحدة زمن هو $\sqrt{L/g}$ — والكتلة لا تقدر أن تدخل، إذ لا معطى آخر يحمل كيلوغرامًا يلغيها. ولا تقدر الأبعاد أن تعطي العدد الخالص في المقدمة: إذ إنّ $2\pi$ تأتي من حلّ معادلة الحركة، وهو ما يُجرى في مجلد السنة الأولى. كما أن شرط الزاوية الصغيرة ليس اختياريًّا: فعند $30^\circ$ يكون الدور الحقيقي أطول بمقدار $2\%$ ، ويخفق تساوي الأزمنة.

مثال 28.6 (نوّاس الثواني)

أيّ طول يدقّ الثانية، $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ، دقةً في كل اتجاه؟ بالحلّ، $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ . أي قرابة المتر: ولذلك تكون ساعات النوّاس طويلة، لأن الثواني طويلة.

28.3 مذبذب الزنبرك والكتلة

تعريف 28.7 (القوة المرجِعة لزنبرك)

منزلقة كتلتها $m$ تنزلق على سكة أفقية بلا احتكاك، مربوطة بزنبرك صلابته $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ). وليكن $x$ إزاحتها عن التوازن. فالزنبرك، ممدودًا كان أو مضغوطًا، يسحب المنزلقة أو يدفعها عائدةً بالقوة $F = -kx$ : متناسبةً مع الإزاحة ومعاكسةً لها — أي قوة مرجِعة مرة أخرى، توفّرها المرونة الآن.

قضية 28.8 (معادلة الحركة وحلّها)

يعطي قانون نيوتن الثاني على امتداد السكة (الفصل 25) العلاقة $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ ، أي $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ . ومهما يكن الثابتان $A$ و $\varphi$ ، فإن

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

يحقق هذه المعادلة: أي تذبذب دوره $T_0$ ، مستقل عن السعة.

برهان. بالاشتقاق، $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ؛ وبالاشتقاق مرة أخرى، $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ ، وهو $-(k/m)\,x$ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ . ∎

ملاحظة 28.9 (كل الحركات الموجودة)

أما كون كل حركة للمنزلقة واحدةً من هذه الدوال فمقبول، ومبرهن عليه في مجلد السنة الأولى. ولا وجود للمقدار $g$ في $2\pi\sqrt{m/k}$ : فالأصلب يتأرجح أسرع، والأثقل أبطأ، والأمر نفسه على القمر.

تعريف 28.10 (السعة والطور)

في $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ يكون الثابت الموجب $A$ هو السعة — فالطرفان $x = \pm A$ — ويكون $2\pi t/T_0 + \varphi$ هو الطور، وينمو بمقدار $2\pi$ في كل دور؛ والطور الابتدائي $\varphi$ يسجّل البداية: فإذا أُطلقت من السكون عند $x = A$ ، كان $\varphi = 0$ . فمثلًا $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ على $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ يعطي $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ ؛ وإذا سُحبت إلى $5.0\,\mathrm{cm}$ ثم أُطلقت، كان $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ بالسنتيمترات.

28.4 الطاقة والتخامد والرنين

قضية 28.11 (طاقة المذبذب)

الزنبرك الممدود بمقدار $x$ يخزّن الطاقة الكامنة المرنة $E_p = \tfrac12 kx^2$ (مبرَّرة في الفصل 29). وأثناء التذبذب بلا احتكاك تكون الطاقة الميكانيكية

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

ثابتة: مرنةً كلها عند الطرفين، وحركيةً كلها عند التوازن. ويعزف النوّاس الثنائية نفسها بين $E_k$ و $E_p$ الثقالية (الفصل 18).

برهان. بأخذ $v = \frac{dx}{dt}$ ، تكون مشتقة $E_m$ هي $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ بحسب معادلة الحركة؛ وتُقرأ القيمة $\tfrac12 kA^2$ عند طرف. ∎

دور واحد، بالإطلاق من x = A: تتموّج الطاقة مرتين من مرنة إلى حركية وبالعكس، والمجموع مثبَّت عند 1/2 kA2. — دور واحد، بالإطلاق من $x = A$ : تتموّج الطاقة مرتين من مرنة إلى حركية وبالعكس، والمجموع مثبَّت عند $\tfrac12 kA^2$ .

تعريف 28.12 (التذبذبات المتخامدة)

يستنزف الاحتكاك الطاقة الميكانيكية من كل مذبذب حقيقي: فتكون تذبذباته الحرة متخامدة. وتحت تخامد خفيف تظل الجملة تتذبذب، بسعة تحتضر لكن بزمن تكرار شبه ثابت، هو شبه الدور، القريب من $T_0$ ؛ وتحت تخامد شديد (كالعسل) تزحف عائدة إلى التوازن دون أن تتجاوزه قط؛ أما الطاقة، وهي تتناسب مع مربع السعة، فتتفكك إلى حرارة.

تذبذبات غير متخامدة وأخرى خفيفة التخامد: بالدور نفسه تقريبًا (2.0\, s هنا)، والسعة المتخامدة تحتضر داخل غلاف أسّي متقلص (بالمتقطع). — تذبذبات غير متخامدة وأخرى خفيفة التخامد: بالدور نفسه تقريبًا ( $2.0\,\mathrm{s}$ هنا)، والسعة المتخامدة تحتضر داخل غلاف أسّي متقلص (بالمتقطع).

تعريف 28.13 (التذبذبات القسرية والرنين)

ادفع مذبذبًا دوريًّا — وهي التذبذبات القسرية — فيتذبذب بعد طور عابر قصير بتواتر الإثارة $f$ ، لا بتواتره هو. وتبلغ سعته ذروتها حين يقترب $f$ من التواتر الذاتي $f_0$ للمذبذب الحرّ: وهذا هو الرنين، إذ تصل كل دفعة على وتيرة الحركة، فتغذّيها بالطاقة في كل دورة؛ وكلما خفّ التخامد ارتفعت الذروة وحدّت.

منحني الرنين: السعة القسرية بدلالة تواتر الإثارة. وقرب f = f_0 تشمخ الاستجابة، وترتفع كلما خفّ التخامد. — منحني الرنين: السعة القسرية بدلالة تواتر الإثارة. وقرب $f = f_0$ تشمخ الاستجابة، وترتفع كلما خفّ التخامد.

مثال 28.14 (الرنين خيرًا وشرًّا)

الوالد الذي يدفع أرجوحة يدفعها بتواترها هي — أي الرنين موضوعًا في العمل. وفي $2000$ تمايل جسر الألفية الجديد في لندن تمايلًا مقلقًا حين تعانقت خطى الحشد مع تواتر ذاتي قرب $1\,\mathrm{Hz}$ ؛ فأُغلق سنتين لتركيب مخمِدات. وكل ساعة كوارتز تُبقي بلورتها تغنّي بإثارتها عند الرنين، $32\,768\,\mathrm{Hz}$ .

28.5 قياس الزمن

طريقة 28.15 (توقيت دور)

لا توقّت تذبذبة واحدة أبدًا: بل شغّل ساعة الإيقاف عند عبور الكرة الوضع الشاقولي (فهي أسرع ما تكون، وأسهل ما يكون الحكم عليها)، وعُدّ $N = 50$ تذبذبة، واقسم على $N$ — فيصير خطأ ردّ فعل قدره $0.2\,\mathrm{s}$ مقدارَ $4\,\mathrm{ms}$ على $T_0$ . ثم كرّر، وقارن التجارب.

مثال 28.16 (ثلاثة قرون من الدقّ)

بنى هويغنس أول ساعة نوّاس سنة $1657$ : فنقل تساوي الأزمنة الساعاتِ من ربع ساعة من الانحراف في اليوم إلى ثوانٍ، ونقلتها النوّاسات المعوَّضة إلى أجزاء من الثانية في اليوم. ثم استبدلت ساعة اليد بالكوارتز ( $1969$ ) بالقضيب بلورةً تنثني عند $32\,768\,\mathrm{Hz}$ : أي أعشار الثانية في الشهر. ومنذ $1967$ صارت الثانية نفسها معرَّفة بتذبذب ذرّي: أي مدة $9\,192\,631\,770$ دور من الإشعاع المكروي لانتقال داخلي في السيزيوم-133 (الفصل 34). وأفضل ساعات السيزيوم تنحرف ثانية واحدة في مئة مليون سنة.

ملاحظة 28.17 (لماذا نطارد النانوثانية)

يجد مستقبِل GPS موضعه بتوقيت إشارات لاسلكية من التوابع؛ والضوء يقطع $30\,\mathrm{cm}$ في النانوثانية، ومن ثم فإن خطأ ساعة قدره ميكروثانية واحدة يخطئ موضعك بمقدار $300\,\mathrm{m}$ . ولذلك تحمل التوابع ساعات ذرّية — وعند تلك الدقة يتوقف معدل الساعة على سرعة حركتها وعلى ارتفاعها، وهو أثر نلقاه في الفصل 35.

28.6 تمارين

تمرين 28.1 ★

(أ) احسب دور نوّاس بسيط طوله $1.00\,\mathrm{m}$ وتواتره. (ب) ويُضرب الطول في أربعة: فماذا يحدث للدور؟

حل

حل التمرين 28.1.

(أ) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ؛ $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ . (ب) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : فيتضاعف الدور.

تمرين 28.2 ★

ينبض قلب مستريح $72$ مرة في الدقيقة؛ ويرفّ جناح يعسوب عند $30\,\mathrm{Hz}$ . أعطِ تواتر القلب ودوره، ودور الجناح؛ وأيّ كلمة من كلمات الفصل تسمّي أقصى ارتفاع للصدر في كل نبضة؟

حل

حل التمرين 28.2.

القلب: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ ، $T = 0.83\,\mathrm{s}$ . والجناح: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ . وارتفاع الصدر هو السعة.

تمرين 28.3 ★

منزلقة كتلتها $0.10\,\mathrm{kg}$ تركب زنبركًا صلابته $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : احسب $T_0$ و $f_0$ . وماذا تفعل مضاعفة الكتلة بالدور؟

حل

حل التمرين 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ ، $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ . ومضاعفة $m$ : $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ .

تمرين 28.4 ★

عظميات متتالية لمذبذب متخامد: $2.0$ ، $1.5$ ، $1.13$ ، $0.85\,\mathrm{cm}$ عند $t = 0$ ، $2.0$ ، $4.0$ ، $6.0\,\mathrm{s}$ . اقرأ شبه الدور؛ وبيّن أن السعة تهبط بعامل ثابت في كل دور؛ وتنبّأ بالعظمى التالية.

حل

حل التمرين 28.4.

شبه الدور $2.0\,\mathrm{s}$ . والنسب $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ في كل دور؛ والعظمى التالية $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ .

تمرين 28.5 ★

يحمل رائد فضاء نوّاسًا ومذبذب زنبرك وكتلة إلى القمر ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). فبأي عامل يتغير كل دور؟ اشرح.

حل

حل التمرين 28.5.

النوّاس: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ ، ومنه $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (أي أبطأ). ومذبذب الزنبرك والكتلة: لا يتغير — إذ لا $g$ في $2\pi\sqrt{m/k}$ .

تمرين 28.6 ★★

(أ) تحقّق من أن $\sqrt{L/g}$ له بُعد زمن. (ب) ولماذا لا تقدر أي صيغة للدور $T_0$ مبنية من $m$ و $L$ و $g$ أن تحوي الكتلة؟ (ج) وهل يقدر هذا الاستدلال أن ينتج $2\pi$ يومًا؟

حل

حل التمرين 28.6.

(أ) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ؛ وجذره التربيعي زمن. (ب) ولا يظهر الكيلوغرام إلا في $m$ : فلا شيء آخر يقدر أن يلغيه، ومن ثم لا تقدر $m$ أن تدخل. (ج) ولا أبدًا: فالأعداد الخالصة مثل $2\pi$ غير مرئية للأبعاد.

تمرين 28.7 ★★

تحقّق بالاشتقاق مرتين من أن $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ يحقق $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ إذا وفقط إذا كان $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

حل

حل التمرين 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ ، ومنه $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ . والمساواة مع $-(k/m)x$ من أجل كل $t$ تصحّ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ ، أي $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

تمرين 28.8 ★★

زنبرك صلابته $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ يحمل منزلقة كتلتها $0.20\,\mathrm{kg}$ بسعة $3.0\,\mathrm{cm}$ . احسب الطاقة الميكانيكية والسرعة القصوى. وأين تكون السرعة أعظمية؟ وأين تنعدم؟

حل

حل التمرين 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ؛ $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — عند $x = 0$ ؛ وتنعدم عند الطرفين $x = \pm A$ .

تمرين 28.9 ★★

(أ) احسب طول نوّاس الثواني ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ). (ب) ويزداد طوله بمقدار $1.0\%$ : بأخذ $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ ، جِد التغير النسبي للدور $T_0$ والخطأ اليومي.

حل

حل التمرين 28.9.

(أ) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ . (ب) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — أي سبع دقائق تأخّرًا في اليوم.

تمرين 28.10 ★★

مذبذب خفيف التخامد يفقد $5.0\%$ من طاقته في كل دور. (أ) فما هبوط السعة في الدور؟ (ب) وكم دورًا لفقدان نصف الطاقة؟ (ج) وهل شبه الدور بعيد عن $T_0$ ؟

حل

حل التمرين 28.10.

(أ) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ ، أي هبوط قدره $2.5\%$ . (ب) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ دورًا. (ج) ولا: ففي التخامد الخفيف يبقى في حدود جزء من المئة من $T_0$ .

تمرين 28.11 ★★

اشرح بمنحني الرنين: (أ) لماذا لا ينفع دفع الأرجوحة إلا بإيقاعها هي؛ (ب) ولماذا يكسر الجنود الخطى على الجسور المعلّقة للمشاة؛ (ج) ولماذا ترتجف غسّالة عند سرعة واحدة أثناء تسارع العصر.

حل

حل التمرين 28.11.

(أ) عند $f_0$ تصل كل دفعة على وتيرة الحركة فتضيف طاقة؛ وبعيدًا عن الذروة تساعد الدفعات وتعوق بالتناوب. (ب) والمشي على الخطى إثارة دورية؛ وقرب $f_0$ الخاص بالجسر كانت ستتسلق ذروة الرنين. (ج) وتمسح الحلّة التواتر الذاتي للهيكل أثناء تسارع الدوران: فرنين لحظي، ثم تجاوز للذروة.

تمرين 28.12 ★★★

ساعة نوّاس مضبوطة عند مستوى البحر تُنقل إلى مرصد حيث $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (أ) فهل تسرع أم تبطئ؟ وبكم ثانية في اليوم؟ (ب) وبكم يجب أن يقصر نوّاسها $0.994\,\mathrm{m}$ ؟

حل

حل التمرين 28.12.

(أ) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : أي بطيئة، بمقدار $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ ، أي $\approx 132\,\mathrm{s}$ في اليوم. (ب) و $L \propto g$ عند $T_0$ ثابتة: فقصّرها بمقدار $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ .

تمرين 28.13 ★★★

منزلقة كتلتها $0.20\,\mathrm{kg}$ تخضع للعلاقة $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ ، مع $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ ، $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ . احسب السرعة القصوى، والتسارع الأقصى، والصلابة $k$ ، والطاقة الميكانيكية.

حل

حل التمرين 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ؛ $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

تمرين 28.14 ★★★

لقياس $g$ : نوّاس طوله $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ يتمّ $20$ تذبذبة في $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ . احسب $g$ وارتيابه النسبي (بجمع ارتيابَي $L$ و $T_0^2$ )؛ فهل توافق النتيجة $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؟

حل

حل التمرين 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ؛ $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . والارتياب $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$ ، أي $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : فالمجال يحوي $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — وهو متسق.

تمرين 28.15 ★★★

قارن حافظات الوقت بالانحراف النسبي (أي الخطأ على الزمن المنقضي): ساعة نوّاس تخسر $10\,\mathrm{s}$ في اليوم، وساعة كوارتز $0.5\,\mathrm{s}$ في الشهر، وساعة سيزيوم $1\,\mathrm{s}$ في مئة مليون سنة: احسب النسب الثلاث. وساعة GPS خاطئة بمقدار $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : فما خطأ الموضع؟ وأيّ عائلة يحتاجها GPS؟

حل

حل التمرين 28.15.

النوّاس $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ؛ والكوارتز $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ؛ والسيزيوم $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ . وخطأ قدره $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ يعطي $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ في الموضع: فنظام GPS يحتاج العائلة الذرّية.

28.7 مسألة: طاولة الساعاتي

مسألة 28.1

مسألة نهاية الأسبوع — طاولة الساعاتي: ساعة جدار تُعاد إلى الوقت — خمسون تأرجحة موقَّتة، وقضيب نحاسي يتمدد في الصيف، ودفعة آلية الإفلات المهموسة، ومنافس من الكوارتز — والحكم يصدر بالثواني في الشهر

تصل ساعة جدار بنوّاس إلى الطاولة “تشتغل خطأً”. عامِل قضيبها النحاسي وكرتها الثقيلة نوّاسًا بسيطًا طوله الفعّال $L$ ، وكتلة كرته $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ؛ ويعدّ التعشيق كل تذبذبة كاملة على أنها $2.000\,\mathrm{s}$ بالضبط.

الجزء I — قياس نبض الساعة.

لماذا نوقّت $50$ تذبذبة بدل واحدة؟ قدّر الخطأ الباقي على $T_0$ إذا كان زمن ردّ فعلك $0.2\,\mathrm{s}$ .
تقرأ ساعة الإيقاف $99.4\,\mathrm{s}$ من أجل $50$ تذبذبة: فما الدور؟
استنتج الطول الفعّال الحالي للنوّاس.
وأيّ طول يعطي $2.000\,\mathrm{s}$ بالضبط؟ وهل يجب أن ترفع صامولة الضبط الكرةَ أم تخفضها، وبكم؟
وإذا لم تُضبط، فهل الساعة سريعة أم بطيئة، وبكم ثانية في اليوم؟
والحساسية للمقدار $g$ : ما الدور على القمر ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )؟ وما الخطأ اليومي في مرصد حيث $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؟

الجزء II — تراخي الصيف. النحاس يتمدد: فتسخين قدره $\Delta\theta$ يمدّ القضيب إلى $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ ، حيث $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ لكل كلفن. وقد ضُبطت الساعة عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

احسب $\Delta L$ لغرفة صيفية عند $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
باستعمال $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ ، بيّن أن $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
احسب $\Delta T_0/T_0$ والخطأ الصيفي اليومي: أسريعة أم بطيئة؟
والسؤالان نفساهما لممرّ شتوي عند $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
استعملت ساعات الدقة القديمة نوّاسات “المشواة” التي تمزج قضبانًا نحاسية بأخرى فولاذية (وهي تتمدد نحو النصف) في اتجاهين متناوبين. اشرح كيف يقدر ذلك على حفظ المعدل.

الجزء III — الدفعة المهموسة. وبفكّ آلية الإفلات، ينتصف تأرجح بدأ بسعة $\theta_m = 2.00^\circ$ في $280\,\mathrm{s}$ ؛ وفي الخدمة تبقي دفعة ضئيلة من آلية الإفلات في كل دور $\theta_m$ ثابتة.

كم دورًا يستغرق التنصيف؟
وعند الطرف تكون الكرة قد صعدت $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (بالراديان): استنتج $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ واحسبها (الفصل 18).
والطاقة تتناسب مع مربع السعة: فأيّ جزء من $E_m$ يضيع في كل دور؟
استنتج طاقة كل دفعة، والاستطاعة المتوسطة اللازمة.
وينزل ثقل الإدارة $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ مسافة $h = 1.0\,\mathrm{m}$ في الأسبوع: فهل تكفي تلك الطاقة، وبأي مردود؟

الجزء IV — منافس الكوارتز. حركة كوارتز تتذبذب عند $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ وتنحرف نحو $0.3\,\mathrm{s}$ في الشهر؛ والنوّاس المرمَّم ما يزال ينحرف $0.5\,\mathrm{s}$ في اليوم.

احسب دور الكوارتز. وبيّن أن $32\,768 = 2^{15}$ : فلماذا تكون قوة من قوى العدد اثنين هي بالضبط ما تريده دارة ساعة؟
احسب الانحرافين النسبيين للكوارتز وللنوّاس المرمَّم، وكلًّا منهما بالثواني في الشهر. فمن يفوز، وبأي عامل؟
ومعيار السيزيوم — إذ يصنع $9\,192\,631\,770$ دور ثانيةً واحدة — ينحرف $1\,\mathrm{s}$ في مئة مليون سنة: فما انحرافه النسبي؟ وبكم رتبة من القدر يقلّ عن الكوارتز، ولماذا يقتضيه GPS؟
الحكم، في جملة واحدة بأرقامها: ما الذي تكسبه الساعة المرمَّمة على الجدار، ومن يملك الثانية الآن؟

حل

حل المسألة 28.1.

1. يُقسم خطأ ردّ الفعل $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ على $50$ : أي نحو $4\,\mathrm{ms}$ على $T_0$ .

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ .

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ .

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (أي نوّاس الثواني): فأخفض الكرة، بإطالة قدرها $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ .

5. قصير أكثر مما ينبغي، ومن ثم سريع أكثر مما ينبغي: فهي سريعة، بمقدار $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ دقيقة في اليوم.

6. القمر: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — أي غير صالحة للاستعمال. والمرصد: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : فتخسر $\approx 44\,\mathrm{s}$ في اليوم.

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ .

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ .

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : أي $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ في اليوم، متأخرةً (فالقضيب أطول، والدور أطول).

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ ، فتكسب $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ في اليوم.

11. يتمدد الفولاذ والنحاس تمددين مختلفين؛ وإذا عُلّقا في اتجاهين متناوبين، خفضت القضبان النحاسية الكرةَ بينما ترفعها الفولاذية. وإذا قُدّرت الأبعاد بحيث تتلاشى الإزاحتان، بقي الطول الفعّال — ومعه المعدل — سالمًا من الفصول.

12. $280/2.000 = 140$ دورًا.

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ .

14. في كل دور تتقلص السعة بمقدار $2^{-1/140} \approx 0.9951$ ، والطاقة بمقدار $0.9951^2 \approx 0.990$ : أي نحو $1.0\%$ من $E_m$ في الدور.

15. الدفعة $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ؛ والاستطاعة $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — أي عشرات الميكروواطات.

16. الأسبوع $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ دور، ويحتاج $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ ؛ ويوفّر الثقل $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : أي ما يكفي، بمردود $21/24.5 \approx 88\%$ .

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ . و $32\,768 = 2^{15}$ : فخمس عشرة مرحلة قسمة على اثنين تحوّل إشارة البلورة إلى دقّة $1\,\mathrm{Hz}$ بالضبط.

18. الكوارتز: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ . والنوّاس: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ ، أي $\approx 15\,\mathrm{s}$ في الشهر. فيفوز الكوارتز بعامل $\approx 50$ .

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : أي تسع رتب من القدر دون الكوارتز. وGPS يوقّت الإشارات إلى النانوثانية — و $30\,\mathrm{cm}$ من انتقال الضوء لكلٍّ — فلا تفي إلا الساعات الذرّية.

20. تحفظ ساعة الجدار، مرمَّمةً، $\pm15\,\mathrm{s}$ في الشهر في مقابل $\pm0.3\,\mathrm{s}$ للكوارتز: فاحتفظ بها من أجل الرنّة، وثِق بالكوارتز من أجل القطار — أما الثانية نفسها فتخصّ الآن ذرة السيزيوم.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد