5الحركة النسبية

حل التمرين 5.1.

بالنسبة إلى العربة: ساكن. وبالنسبة إلى الأرض وإلى الشجرة: متحرك بسرعة $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وبالنسبة إلى القطار القادم: تتجمع السرعتان المتعاكستان، $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وفي مرجع قطار المسافر، تتحرك الشجرة إلى الوراء بسرعة $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ على مستقيم.

حل التمرين 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وفي كل زوج يكون رقم $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ هو الأكبر، كما تقتضي قاعدة السلامة.

حل التمرين 5.3.

راكب الدراجة: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. والعدّاء: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. فالعدّاء أسرع بمقدار النصف — لكن لعشر ثوانٍ لا غير، بينما يحافظ راكب الدراجة على وتيرته ساعة ونصف ساعة. ولا تُقارَن السرعات المتوسطة مقارنة عادلة إلا على مدد متقاربة.

حل التمرين 5.4.

في الجهة نفسها: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وعكس السير: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبالوقوف ساكنًا على السير: سرعة السير نفسها $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

حل التمرين 5.5.

القلم الساقط: المرجع الأرضي يفي بالغرض، لكن مرجع القطار أفضل بعدُ — فالقلم فيه يسقط ببساطة شاقوليًّا. ومحطة الفضاء: المرجع المركزي الأرضي (فهي تدور حول الأرض كلها، متجاهلة دورانها). والسنة المريخية: المرجع المركزي الشمسي (فالمريخ يقطع شبه دائرة حول الشمس). وسباق العدو: المرجع الأرضي (فخط البداية وخط النهاية وساعة الإيقاف كلها مثبَّتة على الأرض).

حل التمرين 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. نحو المقدمة: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ونحو المؤخرة: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

2. بالنسبة إلى القطار يقطع المسافر $60\,\mathrm{m}$ بسرعة $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: أي $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. وبالنسبة إلى الأرض يقطع المسافر $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — أي $1200\,\mathrm{m}$ التي حمله إياها القطار زائدًا $60\,\mathrm{m}$ التي مشاها، كما تتنبأ قاعدة التركيب.

حل التمرين 5.7.

1. مع الجريان: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ومنه $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. وعكس الجريان: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، ومنه $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

2. السرعة المتوسطة: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. فمساعدة التيار وعرقلته متساويتان في السرعة لا في الزمن: إذ يقضي القارب $140\,\mathrm{s}$ مبطَّأً ولا يقضي إلا $60\,\mathrm{s}$ مساعَدًا، فتهيمن المرحلة البطيئة على المتوسط.

حل التمرين 5.8.

1. في جهتين متعاكستين: في مرجع A يقترب B بسرعة $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ويكتمل التجاوز حين ينزلق B على الطول المجموع $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

2. في الجهة نفسها: السرعة النسبية $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و$t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — أي أطول تسع مرات، ولهذا يبدو تجاوز شاحنة بلا نهاية.

حل التمرين 5.9.

في مرجع راكب الدراجة: دائرة (دائرة الإطار، مركزها المحور). وفي المرجع الأرضي: دويرية — سلسلة أقواس، واحد لكل دورة للعجلة. وفي مرجع الصمام نفسه: الصمام ساكن، أي نقطة واحدة. أما المحور في المرجع الأرضي: فمستقيم أفقي على ارتفاع نصف قطر عجلة واحد.

حل التمرين 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي أسرع من الصوت.

2. لا نحسّها لأن كل ما حولنا — الأرض والهواء والمباني — يشارك في الحركة نفسها بالضبط، فلا شيء يتحرك بالنسبة إلينا (وسيشرح مبدأ العطالة، الفصل 6، لماذا تكون الحركة المنتظمة المشتركة غير قابلة للكشف من الداخل). و“تشرق الشمس” تبليغ في المرجع الأرضي و“تدور الأرض” تبليغ في المرجع المركزي الأرضي، لرصدٍ واحد بعينه.

حل التمرين 5.11.

ليكن $L$ طول السلّم المتحرك. فسرعة السلّم $L/60$؛ وسرعة المشي $L/90$. وبالمشي على السلّم المتحرك، تتجمع السرعتان:

فيستغرق الصعود $36\,\mathrm{s}$. (لا متوسط $60$ و$90$: فالسرعات تتجمع، أما الأزمنة فلا.)

حل التمرين 5.12.

1. على مسافة $d$ في كل اتجاه: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$، ومنه $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

2. الجواب الساذج $75$ يتوسّط السرعتين كأن السائق قضى زمنين متساويين عند كل منهما؛ والحال أن المسافتين متساويتان، فتدوم المرحلة الأبطأ أطول ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) فتجرّ المتوسط نحو $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. فالسرعة المتوسطة هي المسافة الكلية على الزمن الكلي — لا غير.

حل التمرين 5.13.

1. في مرجع راكب الدراجة الأول، يقترب الثاني في مستقيم بسرعة $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ من مسافة $35\,\mathrm{km}$: فيلتقيان بعد $1.0\,\mathrm{h}$ بالضبط.

2. قطع الأول $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$، وقطع الثاني $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — أي $35\,\mathrm{km}$ في المجموع، كما يجب.

3. في الجهة نفسها: سرعة الاقتراب $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$، ومنه تدوم المطاردة $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

حل التمرين 5.14.

1. يدفع التيار السابح على طول النهر لا عبره: فالحركتان تتركّبان مستقلتين، ويتم التقدم نحو الضفة البعيدة بسرعة $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ مهما يكن الانجراف. وزمن العبور: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

2. الانجراف: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ مع الجريان.

3. سرعة المرجع الأرضي هي وتر مثلث قائم ضلعاه $1.2$ و$0.9$: $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (أي مثلث $3$–$4$–$5$ مضروب في $0.3$). وطول المسار: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — أو مباشرة $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

حل التمرين 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

2. $30 / 0.46 \approx 65$: أي أن الأرض تحملنا حول الشمس أسرع نحو خمس وستين مرة مما تدير بنا حول محورها.

3. في المرجع المركزي الأرضي، يجمع مسار المريخ الظاهري بين حركته المدارية وحركة الأرض، وحين تتجاوز الأرض الأسرع المريخَ يسير الجمع إلى الوراء بضعة أسابيع. أما في المرجع المركزي الشمسي فيدور الكوكبان حول الشمس ببساطة بمعدلات ثابتة — أما “الحلقة الخلفية” فليست حركة للمريخ بل أثر مرجعي.