فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

30دارتا RC وRL

اضغط مصراع آلة تصوير إلى منتصفه: فيرتفع أزيز رفيع ثانيتين، ويضيء ضوء أخضر — وعندئذٍ فقط ينطلق الوماض، فيفرغ في ميلي ثانية واحدة ما أمضى ثانيتين في جمعه. ويلاقي هذا الفصل المركّبتين اللتين تمنحان الدارات ذاكرة وساعة — أي المكثّفة والوشيعة — و أول المعادلات التفاضلية في الفيزياء، وهي قابلة للتحقق بمشتقات هذه السنة.

30.1 المكثّفة

تعريف 30.1 (المكثّفة والسعة الكهربائية)

المكثّفة صفيحتان معدنيتان متقابلتان يفصل بينهما عازل رقيق. وإذا وُصلت بمنبع، حملت الصفيحتان شحنتين متعاكستين $+q$ و $-q$ — فيملأ مجال كهربائي الفجوة (الفصل 14) — ويتناسب التوتر $u$ بين الصفيحتين مع الشحنة المخزونة:

q = C\,u .

والثابت $C$ هو السعة الكهربائية، وتقاس بوحدة الفاراد ( $\mathrm{F}$ ): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ .

مثال 30.2 (رتب القدر)

الفاراد الواحد هائل — أي كولوم واحد مركون لكل فولط. فالمكثّفات الخزفية في دارات الراديو: من $\mathrm{pF}$ إلى $\mathrm{nF}$ ؛ والإلكتروليتية في مغذّيات التيار وفي الأجهزة الوامضة: من $\text{µ}\mathrm{F}$ إلى $\mathrm{mF}$ ؛ والمكثّفات الفائقة: آلاف الفارادات.

قضية 30.3 (التيار الداخل إلى مكثّفة)

التيار الواصل إلى صفيحة مكثّفة هو الوتيرة التي تنمو بها شحنتها:

i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

وتشير الحروف الصغيرة إلى المقادير المتغيرة مع الزمن ( $U$ ، $I$ يبقيان ثابتين، الفصل 12).

برهان. التيار شحنة موصَّلة في كل ثانية (التعريف 12.1): وعلى فترة متقلصة، يكون $i$ مشتقةَ $q$ ؛ ويعطي $q = Cu$ مع ثبات $C$ العلاقةَ $C\,du/dt$ . ∎

ملاحظة 30.4 (نتيجتان)

إذا كان $u$ ثابتًا، فإن $i = 0$ : أي إن المكثّفة المشحونة لا تمرّر تيارًا مستمرًّا. ولا يمكن أبدًا أن يقفز $u$ — إذ ستقتضي القفزة تيارًا لا نهائيًّا: فتوتر المكثّفة هو ذاكرة الدارة.

30.2 شحن مكثّفة: الدارة RC

حلقة واحدة — منبع $\mathcal{E}$ (التعريف 12.18)، وقاطعة، ومقاومة، ومكثّفة فارغة: أغلِق $K$ عند $t = 0$ .

دارة الشحن RC: إغلاق K يتيح للمنبع أن يدفع الشحنة عبر R إلى صفيحتَي C. — دارة الشحن RC: إغلاق $K$ يتيح للمنبع أن يدفع الشحنة عبر $R$ إلى صفيحتَي $C$ .

مبرهنة 30.5 (قانون الشحن في الدارة RC)

بعد إغلاق القاطعة، يخضع توتر المكثّفة للمعادلة الآتية، ثم يتبع من $u(0) = 0$ :

RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

برهان. تتجمع التوترات على امتداد الحلقة (القضية 12.4): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ في كل لحظة؛ فعوّض $i = C\,du/dt$ (القضية 30.3). والآن تحقّق من المرشّح: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ ، ومنه $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$ ، وهي صحيحة من أجل كل $t$ ؛ و $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$ . أما أنه لا يوجد منحنٍ آخر يوافق المعادلة والانطلاقة فمبرهَن عليه في درس الرياضيات هذه السنة في المعادلات التفاضلية. ∎

تعريف 30.6 (ثابت الزمن)

ثابت الزمن في الدارة RC هو $\tau = RC$ . والوحدات: $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — أي وتيرة الدارة الخاصة.

طريقة 30.7 (قراءة $\tau$ على المنحني)

ثلاث قراءات متكافئة، مأخوذة مباشرة من مخطط:

المماسّ في المبدأ: $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ ، ومن ثم يبلغ المماسّ الابتدائي المقاربَ عند $t = \tau$ ؛
63%: $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ؛
95%: $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — أي مشحونة، عمليًّا ( $5\tau$ : $99\%$ ).

قضية 30.8 (التفريغ)

المكثّفة المشحونة إلى $U_0$ والمغلقة على مقاومة $R$ وحدها تخضع للعلاقة $RC\,du/dt + u = 0$ وتتبع

u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— أي $37\%$ متبقية عند $\tau$ ، و $5\%$ عند $3\tau$ .

برهان. قانون الحلقة نفسه، بلا منبع؛ وبالتعويض مرة أخرى: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$ ، مع $u(0) = U_0$ . ∎

الشحن (بالأزرق، من u = 0 نحو E) والتفريغ (بالأحمر، من U_0 = E). ويلاقي المماسّان الابتدائيان كلاهما مقاربهما عند t =؛ و63\% منجَز عند ، و95\% عند 3. — الشحن (بالأزرق، من $u = 0$ نحو $\mathcal{E}$ ) والتفريغ (بالأحمر، من $U_0 = \mathcal{E}$ ). ويلاقي المماسّان الابتدائيان كلاهما مقاربهما عند $t = \tau$ ؛ و $63\%$ منجَز عند $\tau$ ، و $95\%$ عند $3\tau$ .

مثال 30.9 (أرقام وحدة وماضة)

وماض تصوير يشحن $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ عبر $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : فيكون $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ ، ومن ثم ينتظر ضوء “الجهوزية” — المضبوط ليعمل عند $95\%$ — مدةَ $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : وهو أزيز الخطّاف. وإذا أُطلق عبر $0.50\,\Omega$ لا غير في أنبوب الوماض، فرغت المكثّفة نفسها بثابت زمن قدره $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : أي أسرع خروجًا بألفي مرة منها دخولًا.

30.3 الوشيعة: المحاثّة والدارة RL

تعريف 30.10 (الوشيعة والمحاثّة)

الوشيعة ملفّ من السلك: فتيارها يخترق لفّاتها بمجال مغناطيسي (الفصل 15)؛ وكلما تغيّر، ظهر توتر بين طرفي الوشيعة:

u = L\,\frac{di}{dt} .

والثابت $L$ هو المحاثّة، وتقاس بوحدة الهنري ( $\mathrm{H}$ ): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 30.11 (الوشيعة تقاوم التغيّر)

أما لماذا يولّد التيار المتغير توترًا — أي التحريض — فمستنتَج في مجلدات الجامعة؛ وهنا نأخذ القانون وطبعه: فالوشيعة تعاكس تغيّرات تيارها. وهما توأمان متقابلان: فالمقدار $u$ في المكثّفة لا يقدر أن يقفز، والمقدار $i$ في الوشيعة لا يقدر أن يقفز.

الدارة RL: بعد إغلاق K، لا تدع الوشيعة التيار يصعد إلا بوتيرتها الخاصة = L/R. — الدارة RL: بعد إغلاق $K$ ، لا تدع الوشيعة التيار يصعد إلا بوتيرتها الخاصة $\tau = L/R$ .

قضية 30.12 (نمو التيار في الدارة RL)

إغلاق القاطعة على منبع $\mathcal{E}$ ، ومقاومة $R$ ، ووشيعة $L$ على التسلسل يعطي $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ ، أي

\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{يحلّها}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

برهان. قانون الحلقة مرة أخرى؛ وهي المعادلة نفسها الواردة في المبرهنة 30.5 مع $u \to i$ ، $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ ، $RC \to L/R$ — والتعويض نفسه يتحقق من الحلّ، وتنتقل كل قراءة من قراءات الطريقة 30.7. ∎

مثال 30.13 (مغناطيس كهربائي يستيقظ)

وشيعة مرحّل، $L = 0.30\,\mathrm{H}$ و $R = 6.0\,\Omega$ ، على مغذٍّ قدره $12\,\mathrm{V}$ : فالتيار النهائي $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ، على الوتيرة $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — أي مستيقظة في $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$ .

ملاحظة 30.14 (الشرارة عند الفتح)

افتح قاطعة على وشيعة عاملة، فيضطر $i$ إلى الانهيار حتى الصفر في جزء من ميلي ثانية: فيصير $di/dt$ ضخمًا ويبلغ $u = L\,di/dt$ مئات الفولطات أو آلافها — فتقفز شرارة عبر التماس. ووشيعة الإشعال في السيارة تفعل ذلك عمدًا، آلاف المرات في الدقيقة.

30.4 الطاقة المخزونة

قضية 30.15 (الطاقة في مكثّفة، والطاقة في وشيعة)

المكثّفة $C$ المشحونة إلى التوتر $u$ ، والوشيعة $L$ التي تحمل التيار $i$ ، تخزنان

E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2 .

برهان. إنزال شحنة صغيرة $dq$ على صفيحتين هما أصلًا عند التوتر $u$ يكلّف $u\,dq$ (التعريف 12.3)؛ وبتكديس التكاليف، يكون المجموع هو المساحة تحت المستقيم $u = q/C$ — أي المثلث الآتي — ومن ثم $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$ . والمثلث نفسه في حالة الوشيعة (فرفع $i$ بمقدار $di$ يكلّف $Li\,di$ ) يعطي $E_L = \tfrac12 Li^2$ . ∎

كل شريحة dq تكلّف u\,dq؛ والشحنة كلها تكلّف مساحة المثلث E_C = 1/2 q_0 u_0 — فالكولومات الأولى تركب عند توتر منخفض. — كل شريحة $dq$ تكلّف $u\,dq$ ؛ والشحنة كلها تكلّف مساحة المثلث $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — فالكولومات الأولى تركب عند توتر منخفض.

مثال 30.16 (رتب قدر الطاقة)

مكثّفة الوماض ذات المثال 30.9: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ . ومكثّفة فائقة قدرها $3000\,\mathrm{F}$ عند $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — أي ما يعادل بطارية AA. ووشيعة قدرها $10\,\mathrm{mH}$ عند $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$ . وهي أقل مما تحمله البطاريات — لكنها قابلة للتحرير في ميلي ثانية واحدة.

ملاحظة 30.17 (فيمَ يصلح حافظا الزمن هذان)

البطء دخولًا والسرعة خروجًا يغذّيان وماض آلة التصوير ومزيل الرجفان. و التأخير $\tau = RC$ يشغّل دارات التوقيت: أي الماسحات المتقطعة، والمنارات الوامضة، وإنارة بيت الدرج. والمكثّفة الموضوعة على مغذٍّ تنعّم التوتر (إذ إنّ $u$ لا يقدر أن يقفز)؛ والوشيعة على التسلسل تنعّم التيار (إذ إنّ $i$ لا يقدر أن يقفز). أما الوشيعة مع المكثّفة معًا فتصنعان مذبذبًا (الفصل 31).

30.5 تمارين

تمرين 30.1 ★

مكثّفة قدرها $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $12\,\mathrm{V}$ : فأيّ شحنة تحمل؟ وأيّ توتر يضع $2.0\,\mathrm{mC}$ على $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ؟

حل

حل التمرين 30.1.

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ؛ $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$ .

تمرين 30.2 ★

وزّع $47\,\mathrm{pF}$ و $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ و $10\,\mathrm{F}$ على منعّم مغذٍّ، وموالف راديو، ومكثّفة فائقة؛ واحسب طاقة الأخيرة عند $2.7\,\mathrm{V}$ .

حل

حل التمرين 30.2.

$47\,\mathrm{pF}$ : موالف الراديو؛ $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : المنعّم؛ $10\,\mathrm{F}$ : المكثّفة الفائقة. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$ .

تمرين 30.3 ★

يرتفع التوتر بين طرفي مكثّفة قدرها $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ بانتظام من $0$ إلى $5.0\,\mathrm{V}$ في $10\,\mathrm{ms}$ : فأيّ تيار يدخل؟ وأيّ تيار متى ثبت التوتر، ولماذا؟

حل

حل التمرين 30.3.

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}$ . ثم $i = C\,du/dt = 0$ : فالمكثّفة المشحونة دارة مفتوحة — ولا تيار مستمرّ فيها.

تمرين 30.4 ★

احسب $\tau$ من أجل $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ ، $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ، ثم من أجل $L = 0.10\,\mathrm{H}$ ، $R = 50\,\Omega$ . وتحقق، وحدةً وحدة، من أن كلا التركيبين بالثواني.

حل

حل التمرين 30.4.

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ؛ $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ؛ $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$ .

تمرين 30.5 ★

مكثّفة تشحن نحو $6.0\,\mathrm{V}$ ، فتعبر $3.8\,\mathrm{V}$ عند $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . اقرأ ثابت الزمن؛ ومتى يكتمل $95\%$ من الشحن؟

حل

حل التمرين 30.5.

$3.8/6.0 = 0.63$ ، ومنه $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ؛ و $95\%$ عند $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$ .

تمرين 30.6 ★★

دارة RC: $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ ، $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ ، $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$ . احسب $\tau$ ، $u(\tau)$ ، $u(3\tau)$ ، و التيار في لحظة إغلاق القاطعة.

حل

حل التمرين 30.6.

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ؛ $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ؛ $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ؛ $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (فالمكثّفة فارغة: ويقع $\mathcal{E}$ كله على طرفي $R$ ).

تمرين 30.7 ★★

تحقق بالتعويض من أن $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ تحقق $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ ؛ وماذا ترمّز فيزيائيًّا قيمتُها عند $t = 0$ ونهايتها عند $t$ الكبيرة؟

حل

حل التمرين 30.7.

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ ، ومنه $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ . $u(0) = 0$ : فالمكثّفة تبدأ فارغة؛ و $u \to \mathcal{E}$ : أي مشحونة تمامًا، وقد توقف التيار.

تمرين 30.8 ★★

مكثّفة قدرها $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ مشحونة إلى $12\,\mathrm{V}$ تفرغ عبر $47\,\mathrm{k}\Omega$ : احسب $\tau$ ، $u(\tau)$ ، والزمن اللازم لينزل $u$ دون $0.60\,\mathrm{V}$ .

حل

حل التمرين 30.8.

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ؛ $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ؛ و $0.60\,\mathrm{V}$ هو $5\%$ ، مبلوغًا عند $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ .

تمرين 30.9 ★★

يصعد التيار في وشيعة قدرها $0.50\,\mathrm{H}$ بانتظام من $0$ إلى $2.0\,\mathrm{A}$ في $40\,\mathrm{ms}$ : فأيّ توتر يظهر بين طرفيها؟ وبالنظر إلى $u = L\,di/dt$ ، لماذا يشرِّر فتح قاطعة على وشيعة، لا إغلاقها؟

حل

حل التمرين 30.9.

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$ . وعند الإغلاق، يصعد $i$ بوتيرة الدارة الخاصة، ويكون $di/dt$ متواضعًا؛ أما الفتح فإنه يُرغم $i$ على الصفر في الحال تقريبًا، فيصير $di/dt$ ضخمًا ويبلغ $u$ قيمًا مشرِّرة.

تمرين 30.10 ★★

مرحّل المثال 30.13: تحقق بالتعويض من أن $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ تحقق $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ ، ثم احسب $i(\tau)$ و $i(3\tau)$ .

حل

حل التمرين 30.10.

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$ ، ومنه $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$ . $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ؛ $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$ .

تمرين 30.11 ★★

بيّن أن $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ ، واستنتج أن المماسّ في المبدأ يلاقي المقارب عند $t = \tau$ . وعلى منحنٍ مسجَّل يعطي $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ ، مع $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : جِد $C$ .

حل

حل التمرين 30.11.

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ ، ومنه $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : فالمماسّ $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ يبلغ $\mathcal{E}$ عند $t = \tau$ . $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

تمرين 30.12 ★★★

رتّب بحسب الطاقة المخزونة، بحساب كلٍّ منها: مكثّفة فائقة قدرها $3000\,\mathrm{F}$ عند $2.7\,\mathrm{V}$ ؛ ومكثّفة وماض، $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ عند $300\,\mathrm{V}$ ؛ ووشيعة قدرها $10\,\mathrm{mH}$ عند $10\,\mathrm{A}$ ؛ وبطارية AA ( $E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ). وما الذي تقدّمه الثلاثة الأولى ولا تقدر البطارية عليه؟

حل

حل التمرين 30.12.

المكثّفة الفائقة $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ؛ والوماض $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ ؛ والوشيعة $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$ . فالبطارية ( $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) $>$ المكثّفة الفائقة $\gg$ الوماض $\gg$ الوشيعة — لكن الثلاثة جميعًا تقدر أن تفرغ طاقتها في ميلي ثوانٍ: أي الاستطاعة، لا الطاقة.

تمرين 30.13 ★★★

مؤقّت بيت درج يضيء ما دام $u < 0.63\,\mathcal{E}$ بين طرفي مكثّفته الشاحنة، وينطفئ عند $t = \tau$ . صمّم الإنارة لتدوم $5.0\,\mathrm{s}$ باستعمال $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : فأيّ $R$ ؟ ومن أجل عتبة $0.50\,\mathcal{E}$ ، بيّن أن التأخير هو $\tau \ln 2$ واحسبه.

حل

حل التمرين 30.13.

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$ ، ومنه $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$ . ويعطي $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ المقدارَ $e^{-t/\tau} = 0.50$ ، $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$ .

تمرين 30.14 ★★★

مكثّفة قدرها $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ تنعّم مغذّيًا: فبين شحنتين، تغذّي وحدها حِملًا يسحب $0.50\,\mathrm{A}$ مدةَ $10\,\mathrm{ms}$ . ومن $i = C\,du/dt$ ، احسب هبوط التوتر، ثم السعة الكهربائية التي تبقيه دون $0.50\,\mathrm{V}$ .

حل

حل التمرين 30.14.

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}$ . ويلزم $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$ .

تمرين 30.15 ★★★

وشيعة إشعال، $L = 0.80\,\mathrm{H}$ ، تحمل $2.0\,\mathrm{A}$ حين يقطعها القاطع في نحو $1.0\,\mathrm{ms}$ . قدّر توتر الوشيعة أثناء القطع وطاقة الشرارة؛ ولماذا لا يعطي القطع البطيء شرارة؟

حل

حل التمرين 30.15.

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$ ؛ $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$ . وإذا قطعت ببطء، بقي $di/dt$ صغيرًا وبقي $u$ بضعة فولطات: فلا شرارة.

30.6 مسألة: وماض آلة التصوير

مسألة 30.1

مسألة نهاية الأسبوع — وماض آلة التصوير: أزيز يدوم ثانيتين، وميلي ثانية من المجد، وابن العمّ المعلَّق على الجدار الذي يعيد تشغيل القلوب — وأُسّي واحد يديرها جميعًا

وحدة وماض مدمجة تخزن الطاقة في مكثّفة $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ ، مشحونة عبر $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ من مغيّر مُنمذَج بمنبع مثالي $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ ؛ ويعمل ضوء “الجهوزية” عند $95\%$ من التوتر الكامل. وإذا أُطلقت، لم تر المكثّفة إلا أنبوب الوماض، $R_f = 0.50\,\Omega$ . والمعطيات: خلية AA توصّل $1.5\,\mathrm{V}$ و $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ؛ $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

الجزء I — الخزّان.

احسب الشحنة على المكثّفة عند $300\,\mathrm{V}$ .
وكم شحنة أولية يعادل ذلك؟
احسب الطاقة المخزونة $E_C$ .
وتحمل خلية AA مقدار $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ ، أي نحو $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . فكم ضعفًا من طاقة المكثّفة يعادل ذلك؟
فلمَ العناء بالمكثّفة إذًا؟ جملة واحدة، تستعمل “الاستطاعة”.

الجزء II — انتظار الضوء الأخضر.

اكتب قانون الحلقة وحوّله إلى المعادلة التفاضلية من أجل $u(t)$ .
تحقق بالتعويض من أن $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ تحلّها، انطلاقًا من $u(0) = 0$ .
احسب ثابت الزمن $\tau$ .
وبعد أي زمن يصير ضوء الجهوزية أخضر، وعند أي توتر؟ وتعرّف على أزيز الثانيتين.
احسب تيار الشحن الابتدائي؛ ولماذا يخبو بعد ذلك؟

الجزء III — ميلي ثانية المجد.

اكتب قانون التفريغ $u(t)$ عبر الأنبوب واحسب ثابت الزمن الجديد $\tau'$ .
احسب التيار الأعظمي عبر الأنبوب.
احسب الاستطاعة العظمى؛ وقارنها بغلاية قدرها $2.2\,\mathrm{kW}$ .
وبأخذ الوماض منتهيًا عند $3\tau'$ ، أعطِ مدته و استطاعته المتوسطة.
شكّل نسبة زمن الشحن إلى زمن الوماض: فالمكثّفة نفسها، والشحنة نفسها — فما الذي تغيّر، وما الذي يجعل من المكثّفة: خزّان طاقة أم رافعة استطاعة؟

الجزء IV — ابن العمّ على الجدار. يجب أن يوصّل مزيل الرجفان $E_C = 200\,\mathrm{J}$ عند $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ؛ ويقدّم الصدر والصفيحتان نحو $50\,\Omega$ .

احسب السعة الكهربائية المطلوبة.
احسب الشحنة المخزونة.
احسب ثابت الزمن ومدة الصدمة ( $3\tau$ )؛ وقارنهما بالوماض.
احسب التيار الأعظمي والاستطاعة العظمى في المريض.
ويجب أن تجعل دارة إعادة الشحن الجهاز جاهزًا ( $95\%$ ) في $6.0\,\mathrm{s}$ : جِد مقاومة الشحن المطلوبة و تيار الشحن الابتدائي — أي الأرقام التي سيطلبها مصمّم.

حل

حل المسألة 30.1.

1. $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$ .

2. $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$ .

3. $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ .

4. $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ مرة.

5. تخزن الخلية وفرة لكنها توصّل ببطء؛ أما المكثّفة فتحوّل طاقة متواضعة إلى استطاعة هائلة.

6. $\mathcal{E} = Ri + u$ مع $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ .

7. $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ من أجل كل $t$ ، و $u(0) = 0$ .

8. $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ .

9. عند $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ ، $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — أي أزيز الثانيتين.

10. $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ؛ وكلما صعد $u$ ، تقلّصت البقية $\mathcal{E} - u$ على طرفي $R$ ، ومن ثم يخبو $i = (\mathcal{E}-u)/R$ .

11. $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ مع $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ .

12. $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$ .

13. $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — أي نحو $80$ غلاية دفعةً واحدة.

14. المدة $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ؛ والاستطاعة المتوسطة $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$ .

15. $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$ . ولم تتغير إلا المقاومة ( $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ دخولًا، و $0.50\,\Omega$ خروجًا): أي رافعة استطاعة.

16. $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

17. $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}$ .

18. $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$ ، والمدة $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — أي نحو عشرين ضعفًا من الوماض.

19. $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ؛ $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$ .

20. يعطي $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ المقدارَ $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ ، ومنه $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ و $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — أي جاهز في ست ثوانٍ، بعُشر أمبير.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد