فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

17شغل قوة

ادفع خزانة عبر الغرفة تكن قد اشتغلت؛ وادفع جدارًا طوال العصر فلن تحسب الفيزياء، مهما تقل عضلاتك، إلا صفرًا. فالشغل هو ما توصّله قوة على امتداد حركة — أي طاقة في العبور (الفصل 9)، تُدفع بالجول. ويسعّر هذا الفصل قوى الفصل 16 — من سحب بزاوية، ووزن، واحتكاك — ويوقّت معدل الدفع: أي الاستطاعة.

17.1 شغل قوة ثابتة

تعريف 17.1 (شغل قوة ثابتة)

القوة الثابتة $\vect F$ المطبَّقة على جسم يتحرك على قطعة مستقيمة من $A$ إلى $B$ تنجز الشغل

W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

حيث $F$ شدة القوة (بوحدة $\mathrm{N}$ )، و $AB$ طول الانتقال (بوحدة $\mathrm{m}$ )، و $\theta$ الزاوية بين $\vect F$ و $\vect{AB}$ . ووحدة الشغل هي الجول ( $\mathrm{J}$ ): فالجول الواحد شغل قوة قدرها نيوتن واحد على امتداد متر واحد في جهتها هي.

ملاحظة 17.2

المقدار $F \times AB \times \cos\theta$ هو بالضبط الجداء السلّمي $\vect F \cdot \vect{AB}$ في مجلد رياضيات هذه السنة. فلا يكسب شيئًا إلا المركّبة $F\cos\theta$ على امتداد الحركة.

لا يشتغل إلا مسقط القوة F على الانتقال: W_AB( F) = F × AB ×. — لا يشتغل إلا مسقط القوة $F\cos\theta$ على الانتقال: $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$ .

مثال 17.3 (حقيبة على حزام)

يجرّ مسافر حقيبة $300\,\mathrm{m}$ عبر صالة، والحزام مسحوب بقوة $F = 40\,\mathrm{N}$ بزاوية $\theta = 50{}^{\circ}$ مع الأرضية: أي $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$ . ولو سُحبت أفقيًّا ( $\theta = 0$ ) لأوصلت القوة نفسها $12\,\mathrm{kJ}$ : فثلث السحب لا يرفع شيئًا.

تعريف 17.4 (الشغل المحرِّك والمقاوم والمعدوم)

إشارة $\cos\theta$ تصنّف كل قوة في ثلاثة أنظمة:

$\theta < 90{}^{\circ}$ : فيكون $W > 0$ ، والشغل محرِّك — أي أن القوة تغذّي الحركة بالطاقة؛
$\theta = 90{}^{\circ}$ : فيكون $W = 0$ ، ولا تشتغل القوة البتة، مهما كبرت؛
$\theta > 90{}^{\circ}$ : فيكون $W < 0$ ، والشغل مقاوم — أي أن القوة تستنزف الطاقة. والحالة النقية مكبح عند $180{}^{\circ}$ : إذ إنّ $800\,\mathrm{N}$ على $45\,\mathrm{m}$ تسحب $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ من سيارة، إلى أقراص ساخنة.

الأنظمة الثلاثة — محرِّك ومعدوم ومقاوم — بحسب الزاوية بين القوة والانتقال (السهم الأحمر).

17.2 شغل الوزن

قضية 17.5 (شغل الوزن)

حين ينتقل جسم كتلته $m$ من $A$ (على الارتفاع $z_A$ ) إلى $B$ (على الارتفاع $z_B$ ) على أي مسار مؤلَّف من قطع مستقيمة، ينجز وزنه $\vect P$ الشغل

W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

حيث $h = \abs{z_A - z_B}$ هو الهبوط في الارتفاع: أي $+mgh$ عند النزول، و $-mgh$ عند الصعود — فالهبوط وحده يهمّ، لا الطريق.

برهان. على قطعة مستقيمة واحدة $AB$ ، يصنع الوزن (وشدته $mg$ ، وهو شاقولي إلى أسفل) زاوية $\theta$ مع $\vect{AB}$ ، ويكون $AB\cos\theta$ بالضبط مسقط الانتقال على العمودي النازل: أي $z_A - z_B$ . ومنه $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$ . وعلى سلسلة من القطع تتجمع الأشغال وتتداخل الهبوطات: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$ . ∎

قضية 17.6 (أي مسار)

تصحّ الصيغة نفسها على أي مسار منحنٍ من $A$ إلى $B$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 17.7

وهو معقول — فالمنحني قريب كما نشاء من خط مكسور من قطع قصيرة كثيرة — لكن جعل “كما نشاء” أمينًا يقتضي التحليل، ويُجرى في الفصل 29.

سواء أكان مستقيمًا (بالأزرق) أم متعرجًا (بالأخضر)، فكل مسار من A إلى B يهبط h نفسه: فينجز الوزن +mgh على كليهما. — سواء أكان مستقيمًا (بالأزرق) أم متعرجًا (بالأخضر)، فكل مسار من $A$ إلى $B$ يهبط $h$ نفسه: فينجز الوزن $+mgh$ على كليهما.

مثال 17.8 (متنزّه)

متنزّه كتلته $78\,\mathrm{kg}$ (مع الحقيبة) يصعد $450\,\mathrm{m}$ ، بأي درب كان: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}$ ، و $+344\,\mathrm{kJ}$ بالضبط في النزول، مهما تكن الالتفافات.

17.3 شغل الاحتكاك

قضية 17.9 (شغل احتكاك الانزلاق)

قوة احتكاك شدتها ثابتة $f$ ، معاكسة للحركة في كل لحظة، تنجز الشغل $W = -fL$ على مسار طوله الكلي $L$ : فهو مقاوم دائمًا، ومتناسب مع طول المسار المقطوع — لا مع الانتقال.

برهان. كل قطعة مستقيمة قصيرة تكون فيها القوة بزاوية $180{}^{\circ}$ مع الحركة، فتسهم بالمقدار $-f \times (\text{طوله})$ ؛ وتتجمع القطع لتعطي $-fL$ . والمسار المنحني يُقطَّع قطعًا قصيرة كذلك، ويُقبَل النهاية كما في حالة الوزن (الملاحظة 17.7). ∎

ملاحظة 17.10 (الاحتكاك في مقابل الوزن: الفارق الكبير)

شغل الوزن ينسى المسار؛ أما شغل الاحتكاك فرسم على كل متر. وفي رحلة ذهاب وإياب يصفّر الوزن حسابه — فما يأخذه صعودًا يردّه نزولًا — بينما يفرض الاحتكاك $-fL$ في كل مرحلة ولا يردّ شيئًا: فشغل الوزن يمكن تخزينه واسترجاعه (طاقةً كامنة، الفصل 18)، أما شغل الاحتكاك فيضيع حرارةً.

مثال 17.11 (ذهابًا وإيابًا)

ينزلق صندوق $5.0\,\mathrm{m}$ على أرضية ثم $5.0\,\mathrm{m}$ عائدًا، في مواجهة $f = 60\,\mathrm{N}$ : فينجز الاحتكاك $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$ مع أن الصندوق ينتهي حيث بدأ. أما الوزن و رد الفعل الناظمي، وهما عموديان على الحركة، فصفر طول الوقت.

ملاحظة 17.12 (وماذا عن زنبرك؟)

يسحب الزنبرك أقوى كلما ازدادت استطالته: فقوته ليست ثابتة ولا ينطبق التعريف 17.1. وحساب شغله يعني تقطيع الاستطالة خطوات متناهية في الصغر وجمعها — أي التحليل، ويأتي في الفصل 29.

17.4 الاستطاعة

تعريف 17.13 (الاستطاعة)

استطاعة قوةٍ هي المعدل الذي تشتغل به، $P = W/\Delta t$ ، بوحدة الواط ( $\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$ ) — وهو الواط نفسه في الفصل 12. وتبقى وحدة سابقة للنظام الدولي على شارات المحركات: هي الحصان، $1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}$ .

قضية 17.14 (الاستطاعة عند سرعة ثابتة)

إذا تحرك الجسم بسرعة ثابتة $v$ ، فإن قوة ثابتة $\vect F$ بزاوية $\theta$ مع الحركة توصّل الاستطاعة $P = F v \cos\theta$ — وخاصةً $P = Fv$ في حالة قوة على امتداد الحركة.

برهان. في زمن $\Delta t$ يقطع الجسم $d = v\,\Delta t$ ، ومنه $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$ ؛ فاقسم على $\Delta t$ . ∎

مثال 17.15 (رافعة)

ترفع رافعة منصة كتلتها $600\,\mathrm{kg}$ بسرعة ثابتة $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فتساوي قوة الكابل الوزنَ، $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ، ومنه $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp}$ — أي فريق من سبعة أحصنة في صندوق فولاذي.

طريقة 17.16 (الصعود بقوة أقل: التعرّج)

لرفع حمل إلى ارتفاع $h$ بقوة محدودة:

الفاتورة ثابتة: فبحسب القضية 17.5، يكلّف أي طريق إلى القمة الشغلَ $mgh$ .
مدّ المسار: فعلى منحدر طوله $L$ تكون القوة اللازمة (بسرعة ثابتة، وبإهمال الاحتكاك) هي $F = mgh/L$ — فضاعِف الطول ينتصف الجهد.
ادفع الرسم الإضافي: فالاحتكاك يحاسب بالمتر (القضية 17.9)، فيضيف $fL$ .

وتتعرّج الطرق الجبلية من أجل الخطوة 2: الارتفاع نفسه، وقوة أقل، والشغل نفسه.

جرّ 1200\, kg إلى ارتفاع h = 300\, m: الجداء F × L = mgh = 3.53\, MJ ثابت، فتقايض الطريق الطول بالقوة (انظر ). — جرّ $1200\,\mathrm{kg}$ إلى ارتفاع $h = 300\,\mathrm{m}$ : الجداء $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ ثابت، فتقايض الطريق الطول بالقوة (انظر التمرين 17.12).

17.5 تمارين

تمرين 17.1 ★

قوة ثابتة $F = 40\,\mathrm{N}$ تؤثر على امتداد انتقال مستقيم قدره $50\,\mathrm{m}$ : احسب شغلها من أجل $\theta = 0{}^{\circ}$ و $60{}^{\circ}$ و $90{}^{\circ}$ و $120{}^{\circ}$ .

حل

حل التمرين 17.1.

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$ : $+2000\,\mathrm{J}$ ؛ $+1000\,\mathrm{J}$ ؛ $0$ ؛ $-1000\,\mathrm{J}$ .

تمرين 17.2 ★

تُنزَل صندوق عدّة كتلته $12\,\mathrm{kg}$ مسافة $2.5\,\mathrm{m}$ من شاحنة، ثم يُرفع لاحقًا. فما شغل وزنه في كل حالة؟

حل

حل التمرين 17.2.

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$ : عند الإنزال، $+294\,\mathrm{J}$ (فالوزن في جهة الهبوط)؛ وعند الرفع، $-294\,\mathrm{J}$ .

تمرين 17.3 ★

محرِّك أم مقاوم أم معدوم؟ (أ) وزن تفاحة ساقطة؛ (ب) وزن كرة صاعدة؛ (ج) رد الفعل الناظمي على صندوق منزلق؛ (د) الاحتكاك على دراجة تكبح؛ (ه) شدّ الخيط على كرة نوّاس متأرجح.

حل

حل التمرين 17.3.

(أ) محرِّك؛ (ب) مقاوم؛ (ج) معدوم (لأنه عمودي)؛ (د) مقاوم؛ (ه) معدوم — فشدّ الخيط يبقى عموديًّا على حركة الكرة.

تمرين 17.4 ★

ترفع رافعة $600\,\mathrm{kg}$ مسافة $25\,\mathrm{m}$ بسرعة ثابتة. فما شغل قوة الرفع وشغل الوزن؟ وما مجموعهما، ولماذا؟

حل

حل التمرين 17.4.

عند السرعة الثابتة: قوة الرفع $= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ، ومنه $W_{\text{الرفع}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ و $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$ . والمجموع منعدم: فعند السرعة الثابتة تتوازن القوى (الفصل 16)، ومن ثم يتلاشى شغلاهما.

تمرين 17.5 ★

ينجز محرك سلّم متحرك $90\,\mathrm{kJ}$ من الشغل كل دقيقة. فما استطاعته بالواط؟ وبالحصان؟

حل

حل التمرين 17.5.

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$ ؛ $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}$ .

تمرين 17.6 ★★

تُقطر زحّافة $200\,\mathrm{m}$ بحبل شدّه $120\,\mathrm{N}$ بزاوية $30{}^{\circ}$ فوق الثلج؛ والاحتكاك $45\,\mathrm{N}$ . فما شغل كل قوة من القوى الأربع (الحبل، الاحتكاك، الوزن، رد الفعل الناظمي) والمجموع؟

حل

حل التمرين 17.6.

الحبل: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}$ ؛ والاحتكاك: $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$ ؛ والوزن ورد الفعل الناظمي، وهما عموديان: $0$ . والمجموع $+11.8\,\mathrm{kJ}$ : فتكتسب الزحّافة سرعة.

تمرين 17.7 ★★

يركب راكب دراجة بسرعة ثابتة $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ في مواجهة مقاومة كلية قدرها $18\,\mathrm{N}$ . فما الاستطاعة الموصَّلة؟ وما الشغل المنجَز في ساعة واحدة؟

حل

حل التمرين 17.7.

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$ . وفي ساعة واحدة، $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (أو بالمكافئ $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$ ).

تمرين 17.8 ★★

متزلج كتلته $65\,\mathrm{kg}$ ينزل $120\,\mathrm{m}$ من الارتفاع، على منحدر حادّ طوله $800\,\mathrm{m}$ أو درب لطيف طوله $1500\,\mathrm{m}$ ؛ والاحتكاك على الزلاجتين $30\,\mathrm{N}$ على كليهما. فما شغل الوزن وشغل الاحتكاك على كل طريق؟ وأيّ الشغلين يهتمّ بالطريق؟

حل

حل التمرين 17.8.

الوزن، على الطريقين: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (فالهبوط وحده). والاحتكاك: $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ على المنحدر، و $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ على الدرب. فالاحتكاك وحده يهتمّ بالطريق.

تمرين 17.9 ★★

يُدفع صندوق كتلته $20\,\mathrm{kg}$ مسافة $4.0\,\mathrm{m}$ صعودًا على منحدر $25{}^{\circ}$ بسرعة ثابتة، في مواجهة $30\,\mathrm{N}$ من الاحتكاك. احسب شغلي الوزن والاحتكاك، ثم (انطلاقًا من ثبات السرعة) شغل الدفعة وشدتها، وهي موازية للمنحدر.

حل

حل التمرين 17.9.

الصعود $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$ : $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$ ؛ $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$ . وعند السرعة الثابتة يكون الشغل الكلي منعدمًا، ومنه $W_{\text{الدفعة}} = +452\,\mathrm{J}$ و $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$ .

تمرين 17.10 ★★

تنساب سيارة بسرعة $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ومحركها يوصّل $50\,\mathrm{kW}$ إلى العجلات. فأيّ قوة مقاومة كلية تصارعها؟

حل

حل التمرين 17.10.

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وبسرعة ثابتة، ومنه $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$ .

تمرين 17.11 ★★

يجرّ حصان قناة صندلًا بسرعة $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، والحبل ذو الشدّ $800\,\mathrm{N}$ يصنع $20{}^{\circ}$ مع درب الجرّ. احسب استطاعة الحصان، بالواط وبالحصان. علّق.

حل

حل التمرين 17.11.

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}$ ؛ وبالحصان، $752/736 \approx 1.02$ — أي تقريبًا بالضبط ما يحافظ عليه حصان قوي، وهي المقارنة التي بنى واط عليها وحدته.

تمرين 17.12 ★★★

تصعد سيارة كتلتها $1200\,\mathrm{kg}$ مسافة $h = 300\,\mathrm{m}$ إلى ممرّ جبلي، على مسار مستقيم ميله $20\%$ أو طريق متعرّج ميله $6\%$ (والميل $= \sin\alpha$ ). بإهمال الاحتكاك، وبسرعة ثابتة، احسب لكل طريق طوله، والقوة اللازمة على امتداد المنحدر، وشغلها. واستنتج في جملة واحدة.

حل

حل التمرين 17.12.

الأطوال $L = h/\text{الميل}$ : أي $1500\,\mathrm{m}$ و $5000\,\mathrm{m}$ . والقوتان $F = mg \times \text{الميل}$ : أي $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ و $0.71\,\mathrm{kN}$ . والشغلان $FL$ : أي $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ و $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — وكلاهما يساوي $mgh$ : فالطريق تقايض القوة بالطول، لا الشغل أبدًا.

تمرين 17.13 ★★★

يرفع ملفاف $250\,\mathrm{kg}$ من القرميد مسافة $15\,\mathrm{m}$ على سقالة بسرعة ثابتة $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . احسب شغل قوة الكابل، و المدة، والاستطاعة الميكانيكية (مرتين: بالعلاقة $W/\Delta t$ وبالعلاقة $Fv$ )، و الاستطاعة الكهربائية المسحوبة عند مردود محرك قدره $70\%$ .

حل

حل التمرين 17.13.

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ؛ $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$ ؛ $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$ ؛ $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ (ويوافق $Fv$ )؛ والكهربائية: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$ .

تمرين 17.14 ★★★

تُزلق خزانة في مواجهة $f = 140\,\mathrm{N}$ من الاحتكاك من إحدى زوايا غرفة إلى الزاوية المقابلة: إما مستقيمًا على القُطر $6.0\,\mathrm{m}$ ، وإما $3.6\,\mathrm{m}$ ثم $4.8\,\mathrm{m}$ على امتداد الجدارين. فما شغل الاحتكاك على كل طريق، ثم في رحلة ذهاب وإياب قطرية؟ وماذا يفعل الوزن في تلك الرحلة، وأيّ فرق عميق بين القوتين يكشفه ذلك؟

حل

حل التمرين 17.14.

القُطر: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$ ؛ والجداران: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$ ؛ ورحلة الذهاب والإياب: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$ . أما الوزن فينجز صفرًا في رحلة الذهاب والإياب (فلا هبوط محصّل). فشغل الاحتكاك يتوقف على المسار ولا يردّ أبدًا؛ وشغل الوزن لا يتوقف إلا على الطرفين (الملاحظة 17.10).

تمرين 17.15 ★★★

يصعد راكب دراجة (كتلته مع الدراجة $80\,\mathrm{kg}$ ) ممرًّا جبليًّا: $600\,\mathrm{m}$ من الارتفاع على $12\,\mathrm{km}$ من الطريق، بسرعة ثابتة $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ، في مواجهة $14\,\mathrm{N}$ من المقاومة ومقاومة التدحرج. احسب الشغل المبذول ضد الجاذبية، وضد الاحتكاك، وفي المجموع؛ ومدة الصعود؛ والاستطاعة المتوسطة، بالواط وبالحصان.

حل

حل التمرين 17.15.

الجاذبية: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$ ؛ والاحتكاك: $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$ ؛ والمجموع $639\,\mathrm{kJ}$ . و $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، ومنه $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ و $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp}$ — أي هاوٍ قوي، بثلث حصان.

17.6 مسألة: يوم عامل النقل

مسألة 17.1

مسألة نهاية الأسبوع — الفيزياء تدفع بالجول: يوم من الإزلاق والرفع والمنعطفات الحادّة، ينتهي بالاكتشاف المذلّ لما تراه الغلاية في العمل الشريف

يفرّغ طاقم نقل مستودعًا، ويجرّ الحمولة إلى شقة في الطابق الثالث، ثم يقود الشاحنة إلى قرية على قمة تلّ. وكل مهمة مسعَّرة بالجول؛ وستدقّق غلاية المطبخ اليوم. والصناديق: $30\,\mathrm{kg}$ .

الجزء I — عبر أرضية المستودع. يُدفع صندوق بقوة أفقية $F = 110\,\mathrm{N}$ على مدى $d = 8.0\,\mathrm{m}$ ؛ واحتكاك الانزلاق $f = 95\,\mathrm{N}$ .

احسب شغل الدفعة.
احسب شغل الاحتكاك، وشغل الوزن، وشغل رد الفعل الناظمي (وبرّر الأصفار).
ما الشغل الكلي على الصندوق، وما معنى إشارته (وقد بدأ الصندوق ساكنًا)؟ وأيّ دفعة تبقي السرعة ثابتة (الفصل 16)؟
يمكن بلوغ الزاوية البعيدة على القُطر $10.0\,\mathrm{m}$ أو على جدارين ( $6.0\,\mathrm{m}$ ثم $8.0\,\mathrm{m}$ ). فما شغل الاحتكاك على كل طريق؟
وفي رحلة ذهاب وإياب قطرية، احسب شغل الاحتكاك وشغل الوزن. فأيّ القوتين تردّ؟

الجزء II — إلى الطابق الثالث ( $h = 9.0\,\mathrm{m}$ ).

احسب شغل الوزن على صندوق يُرفع إلى الشقة. وأيّ شغل يجب أن يوفّره الطاقم على الأقل؟
وإذا حُمل على الدرج بعامل كتلته $70\,\mathrm{kg}$ ، حاسبت الجاذبية العامل والصندوق: فما الشغل الكلي ضد الجاذبية، وما الجزء المبذول فعلًا على الصندوق؟
ومنحدر عربة طوله $30\,\mathrm{m}$ لصعود $9.0\,\mathrm{m}$ نفسه، فيه $40\,\mathrm{N}$ من احتكاك التدحرج. بسرعة ثابتة، احسب الدفعة اللازمة على امتداد المنحدر وشغلها.
قارن المنحدر برفع عمودي مستقيم: القوة اللازمة، و الشغل المنجَز. فماذا يشتري المنحدر، وبأي ثمن؟
رافعة بحبل وبكرة ترفع الصندوق بسرعة $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . فما المدة والاستطاعة الميكانيكية؟
استخرج تلك الاستطاعة بالعلاقة $P = Fv$ . ومردود محرك الرافعة $60\%$ : فما الاستطاعة الكهربائية المسحوبة؟

الجزء III — الطريق المتعرّج. يجب أن تبلغ الشاحنة المحمَّلة ( $3500\,\mathrm{kg}$ ) قرية على ارتفاع $240\,\mathrm{m}$ فوق الوادي: إما ممرّ مستقيم طوله $1.0\,\mathrm{km}$ بميل $24\%$ ، وإما طريق معبّد طوله $8.0\,\mathrm{km}$ بميل $3.0\%$ (والميل $= \sin\alpha$ ).

تحقّق من أن الطريقين يصعدان $240\,\mathrm{m}$ نفسه.
بسرعة ثابتة وبإهمال الاحتكاك، احسب قوة القيادة اللازمة على كل طريق.
ما شغل قوة القيادة على كل طريق؟ قارنه بالمقدار $mgh$ .
ومقاومة التدحرج $400\,\mathrm{N}$ على كليهما: احسب الشغل الإضافي على كل طريق. فكم تكلّف راحة التعرّج؟
وعند $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ، احسب استطاعة المحرك اللازمة على كل طريق (بوحدة $\mathrm{kW}$ وبوحدة $\mathrm{hp}$ ). ولماذا تتعرّج الطرق؟

الجزء IV — دفتر اليوم.

يُزلق الطاقم $60$ صندوقًا عبر الأرضية (بدفعة السؤال 1) ويرفعها كلها البالغة $60$ إلى $9.0\,\mathrm{m}$ (السؤال 6). فما الشغل الميكانيكي الكلي الموصَّل إلى الصناديق؟
أضِف جسم حامل الدرج نفسه: $20$ رحلة صعود بكتلة $70\,\mathrm{kg}$ (فمردودات النزول تذهب إلى ركبتين ساخنتين، لا إلى الدفتر). فما مجموع اليوم؟
اشتغل الطاقم $8.0$ ساعات: فما الاستطاعة الميكانيكية المتوسطة؟ وكم كانت غلاية $2.0\,\mathrm{kW}$ ستستغرق لتنفق الطاقة نفسها؟
الخاتمة: قل في جملتين ما الذي يدفع الجول ثمنه — وما لا يدفعه (الجدار المدفوع طوال العصر، والصندوق المحمول بلا حركة) — ولماذا يملك عمال النقل ملافيف ومنحدرات وطرقًا متعرّجة بدل عضلات أكبر.

حل

حل المسألة 17.1.

1. $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$ .

2. الاحتكاك: $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$ . أما الوزن و رد الفعل الناظمي فعموديان على الحركة: صفر لكلٍّ.

3. المجموع $+120\,\mathrm{J}$ : أي شغل محرِّك محصّل، فيتسارع الصندوق. ودفعة قدرها $95\,\mathrm{N}$ توازن الاحتكاك — فقوة محصّلة منعدمة، وسرعة ثابتة، وشغل كلي منعدم.

4. القُطر: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$ ؛ والجداران: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$ : فالاحتكاك يحاسب بالمتر.

5. الاحتكاك: $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$ ؛ والوزن: $0$ (فلا هبوط محصّل). والوزن وحده يردّ.

6. $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$ ؛ ويجب أن يوفّر الطاقم $+2.65\,\mathrm{kJ}$ على الأقل.

7. $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$ ؛ وحصة الصندوق $2.65/8.83 \approx 30\%$ — فالحمل نقل ذاتي في معظمه.

8. $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$ : $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$ ؛ $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ( $= 2.65 + 1.2$ ).

9. الرفع العمودي: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$ ، $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$ . فيشتري المنحدر قوة أصغر ( $128$ مقابل $294\,\mathrm{N}$ ) بثمن شغل أكبر: أي رسم الاحتكاك البالغ $1.2\,\mathrm{kJ}$ .

10. $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$ ؛ $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$ .

11. $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — وهي نفسها. والكهربائية: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$ .

12. $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ و $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$ : أي القمة نفسها.

13. $F = mg \times \text{الميل}$ : الممرّ $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$ ؛ والطريق $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$ .

14. $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ و $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — وكلاهما $= mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$ .

15. مقاومة التدحرج: $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ مقابل $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$ : فراحة الطريق اللطيف تكلّف $2.8\,\mathrm{MJ}$ من الاحتكاك الإضافي.

16. $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . الطريق: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}$ ؛ والممرّ: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp}$ — أي فوق طاقة شاحنة محمَّلة. وتتعرّج الطرق حتى تقدر المحركات المتواضعة (والإطارات) على الصعود: الشغل نفسه، موزّعًا رقيقًا.

17. لكل صندوق: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$ ؛ ومن أجل $60$ صندوقًا، $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$ .

18. الدرج: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}$ . ومجموع اليوم $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$ .

19. $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$ . والغلاية: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — أي دون ثلاث دقائق لكدح اليوم كله.

20. يدفع الجول ثمن قوة موصَّلة على امتداد حركة — ولا يدفع شيئًا للجدار المدفوع ولا للصندوق المحمول، مهما يكن ذلك مرهقًا (فالعضلات تحرق طاقة كيميائية حتى وهي تنجز شغلًا ميكانيكيًّا معدومًا). وبما أن استطاعة الإنسان بضع عشرات من الواطات، يدع عمال النقل الآلات تعيد تشكيل القوة — ملفافًا ومنحدرًا وتعرّجًا — بينما لا تتغير الفاتورة $mgh$ أبدًا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد