21الصوت والصوتيات

حل التمرين 21.1.

$\lambda = v/f$: (أ) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$؛ (ب) $0.34\,\mathrm{m}$؛ (ج) $2.3\,\mathrm{cm}$. والنسبة $15000/55 \approx 270$.

حل التمرين 21.2.

تحت صوتي: $8\,\mathrm{Hz}$. ومسموع: $100\,\mathrm{Hz}$ و$15\,\mathrm{kHz}$. وفوق صوتي: $40\,\mathrm{kHz}$ و$3\,\mathrm{MHz}$. والأخفض حدّةً: $100\,\mathrm{Hz}$ (لأن تواتره أدنى).

حل التمرين 21.3.

الفولاذ: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$؛ والهواء: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$. أي طقتان، بينهما $2.7\,\mathrm{s}$ — والسكة أولًا.

حل التمرين 21.4.

(أ) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$. (ب) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (ج) $70\,\mathrm{dB}$: مكنسة كهربائية؛ و$60\,\mathrm{dB}$: محادثة.

حل التمرين 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$. وتوافقياته العليا ($n \ge 2$) تبدأ عند $24\,\mathrm{kHz}$، فوق سقف السمع: فلا يُسمع إلا الأساسي $12\,\mathrm{kHz}$.

حل التمرين 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$.

حل التمرين 21.7.

اثنان: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$؛ وأربعة: $74\,\mathrm{dB}$. ويقتضي $+10\,\mathrm{dB}$ ما مقداره $\times 10$ في الشدة: أي $10$ كمانًا.

حل التمرين 21.8.

$r \times 4$: $I \div 16$، ومنه $-12\,\mathrm{dB}$: أي $83\,\mathrm{dB}$. نعم — أي دون علامة $85\,\mathrm{dB}$ بقليل.

حل التمرين 21.9.

الهواء: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$؛ والماء: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$. فالمنبع يثبّت التواتر؛ وطول الموجة $\lambda = v/f$ يتكيّف مع الوسط.

حل التمرين 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (أي تباعد القمم). والمشترك: مواضع الأعمدة $nf_1$ (فالحدّة نفسها) والشدة الكلية؛ والمختلف: ارتفاعات الأعمدة — أي المزيج الذي يصنع الجرس.

حل التمرين 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. والأوكتاف: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$؛ والخامسة: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

حل التمرين 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$. والعمق $= vt/2$: $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ و $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$؛ والسُّمك $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$.

حل التمرين 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ يعني $I \div 10^{2.5} \approx 316$، ومنه $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$: أي $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$. وتختلف القاعات الحقيقية: فالانعكاسات عن الأرض و الجدران تضيف شدة، بينما يمتصّها الهواء والجمهور (كما أن المسرح ليس منبعًا نقطيًّا متماثل المناحي).

حل التمرين 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$. وطبلة الأذن $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$: فالاستطاعة المتلقّاة $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ عند العتبة، و$5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ عند الألم — أي أن الأذن تكشف عشرات الأتوواطات وتظل تعمل عند تريليون ضعف ذلك: كاشف بمدى ديناميكي من اثني عشر عقدًا.

حل التمرين 21.15.

$2$: $83\,\mathrm{dB}$؛ و$10$: $90\,\mathrm{dB}$؛ و$100$: $100\,\mathrm{dB}$. وكل $10\,\mathrm{dB}$ إضافي يكلّف عشرة أضعاف في مكبّرات الصوت: فسباقات العلوّ غالية غلاءً أسّيًّا (وخطرة قبل أن تُربح بكثير).