29الشغل والطاقة الميكانيكية

حل التمرين 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$. ومضاعفة الاستطالة: $\times 4$، أي $1.0\,\mathrm{J}$. أما $5.0\,\mathrm{cm}$ الثانية وحدها فتكلّف $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — إذ تكون القوة هناك أكبر.

حل التمرين 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$، مهما يكن الطريق — وهو نفسه على الصعود المستقيم. وفي رحلة الذهاب والإياب: $0\,\mathrm{J}$ (فالقوة محافظة).

حل التمرين 29.3.

(أ) و(ب) محافظتان: فالشغل تثبّته الطرفان (هبوط الارتفاع؛ والاستطالة). و(ج) و(ه) غير محافظتين: إذ يفرض $-fL$ وتفرض المقاومة رسمًا على كل متر مقطوع. و(د) عديمة الشغل: فهي عمودية دائمًا على الحركة.

حل التمرين 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$؛ $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما الشدّ فعمودي على الحركة في كل لحظة: فلا استطاعة له، ولا شغل.

حل التمرين 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$. وعند $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (وهي في معظمها مركّبة الثقل على المنحدر).

حل التمرين 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$؛ $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$.

حل التمرين 29.7.

أشباه المنحرفات ($2.0\,\mathrm{cm}$ خطوات): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$. والنموذج المستقيم: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$، $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$. فالمنحني المقيس يترهّل تحت المستقيم عند $x$ الصغيرة، ومن ثم تكون المساحة الحقيقية أصغر.

حل التمرين 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$؛ $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$. فالوزن محافظ، والقوة الناظمية عديمة الشغل: ولا يدخل إلا الهبوط وطول المسار، لا شكله.

حل التمرين 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$. ومن $60\,\mathrm{cm}$: $v_{\text{القمة}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و$v_{\text{القمة}}^2/(gR) = 2.0$ — أي ضعف الحدّ الأدنى. والاحتكاك يقشط الطاقة على طول الطريق، ومن ثم تحتاج المضامير الحقيقية ارتفاعًا إضافيًّا.

حل التمرين 29.10.

نقطتا الارتداد: $8.0\,x^2 = 2.0$، $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$. والسرعة القصوى عند $x = 0$: $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وهي تذبذب ذهابًا وإيابًا في وادٍ مكافئ — و$E_p$ الخاصة بمذبذب الزنبرك والكتلة من هذه الصورة بالضبط.

حل التمرين 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$: $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$. وعند $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $18\,\mathrm{cm}$ — أي الضعف، لا أربعة أضعاف: فالطاقة تتربّع، لكن $E_p$ ينمو مثل $x^2$، ومن ثم لا يتضاعف $x$ إلا مرة واحدة.

حل التمرين 29.12.

(أ) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$: فلا تقدر أن تعبر؛ بل تقف على الجانب حيث $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ وتتدحرج عائدة. (ب) وعند قمة التلّ: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$، $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وفي الوادي: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$، $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) و$x = 0$: غير مستقر (عظمى)؛ و$x = 1.5\,\mathrm{m}$: مستقر (صغرى).

حل التمرين 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$: $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. وكل حدّ يتناسب مع $m$: فالمسبار والحصاة سواء. ودون ذلك بقليل، ما يزال الإطلاق يصعد بعيدًا جدًّا، ويلاقي نقطة ارتداد، ويسقط عائدًا: أي مقيَّدًا.

حل التمرين 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$؛ $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $E_k = E_p$ حيث $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$: $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$.

حل التمرين 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$؛ والعارضة $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$. والرقم القياسي أعلى: إذ يضيف القافزون شغلًا بالذراعين والساقين على الزانة المنحنية. لكن تقدير الطاقة يضبط الرتبة — فلن تبلغ قفزة عدّاء $10\,\mathrm{m}$ أبدًا.