27التوابع وحركة الكواكب

حل التمرين 27.1.

على المنصة: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. وعلى $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — أي ما يزال $89\%$ من القيمة الأرضية. ويطفو من على المتن لأنهم يسقطون مع المحطة، لا لأن الجاذبية زالت.

حل التمرين 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$. وهي بالضبط $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ لكرة المدفع: فالمدار الملامس هو رمية نيوتن.

حل التمرين 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$: أي مقسومة على $\sqrt 2 \approx 1.41$. و$T \propto r^{3/2}$: أي مضروب في $2^{3/2} \approx 2.8$. ولا يحوي أيّ منهما $m$: فلا.

حل التمرين 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$؛ و$86\,400/5546 \approx 15.6$ مدارًا في اليوم.

حل التمرين 27.5.

إهليلجات والشمس في إحدى البؤرتين؛ ومساحات متساوية في أزمنة متساوية؛ و$T^2/a^3$ متطابقة لكل الكواكب. وأسرع ما يكون عند الحضيض، بالقانون الثاني (فقطعة الكنس القصيرة يجب أن تكنس سريعًا). ولا: فكتلة التابع تتلاشى — ولا تدخل إلا الكتلة المركزية.

حل التمرين 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — أي في حدود $1\%$ من $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

حل التمرين 27.7.

تتجه الجاذبية نحو مركز الأرض، وفي الحركة الدائرية تتجه القوة المحصّلة نحو مركز الدائرة: فينطبق المركزان. أما دائرة فوق دائرة عرض باريس فمركزها على المحور، لا مركز الأرض — وذلك مستحيل. ولا يفلح التعلّق إلا حيث تكون دائرة العرض دائرة عظمى مركزها المركز: أي فوق خط الاستواء.

حل التمرين 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — أي مريخ بطاقة المعطيات.

حل التمرين 27.9.

الأرض: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$. والمريخ: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — وهما متساويان، كما يقتضي القانون الثالث. ومنه $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$.

حل التمرين 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. فالقمر يقع على بعد $60$ نصف قطر أرضي، وسقوطه أضعف $60^2$ مرة من سقوط التفاحة: أي بمربع المسافة في المقام بالضبط — فقانون واحد لكليهما.

حل التمرين 27.11.

سيريس: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{yr}$. وهالي: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{yr}$، ومنه يكون الحضيض التالي نحو $1986 + 75 \approx 2061$.

حل التمرين 27.12.

عند $400\,\mathrm{km}$: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وعند $350\,\mathrm{km}$ ($r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. والاحتكاك يستنزف الطاقة الميكانيكية فعلًا — فيتقلص المدار؛ لكن في طريق النزول يردّ شغل الجاذبية أكثر مما تخسره السرعة بالمقاومة: فيهبط $E_m$ بينما ترتفع $E_k$.

حل التمرين 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: أي $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ شمسًا. أما كتلة الكوكب فبعيدة المنال: إذ تلاشت من معادلات المدار.

حل التمرين 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$، $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$: $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$، ومنه $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ و$h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ فوق سطح المريخ.

حل التمرين 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبما أن $r_a/r_p \approx 60$، يكون المذنّب أبعد $60$ مرة وأبطأ $60$ مرة: فيقضي عقودًا يتباطأ في الظلام وأسابيع ينطلق أمام الشمس.