22الضوء موجةً: الحيود والتداخل

حل التمرين 22.1.

$f = c/\lambda$: الأحمر $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$؛ والبنفسجي $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — فالبنفسجي أعلى (لأن طول موجته أقصر، والسرعة $c$ نفسها).

حل التمرين 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$؛ $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$.

حل التمرين 22.3.

الصوت: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$، ومنه $\lambda/a = 1.0$ — أي حيود أقصى، فيغمر الصوت الممرّ. والضوء: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — أي انتشار مهمَل: فيبقى الضوء مستقيمًا، وتخفيه الزاوية.

حل التمرين 22.4.

عند $M$: $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$، فتداخل بنّاء — أي صوت عالٍ. وعند $N$: $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$، فتداخل هدّام — أي صمت (شبه تامّ).

حل التمرين 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$. وضمن $\pm1.0\,\mathrm{cm}$: $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$، ومنه $k = -2, \dots, 2$: أي خمسة أهداب ساطعة.

حل التمرين 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$.

حل التمرين 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$، ومنه $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$: أي أحمر. وقياس عشرة أبعاد هدبية يقسم خطأ قراءة المسطرة على عشرة.

حل التمرين 22.8.

للمصباحين تواتران متوافقان (على وجه العموم) لكنهما ليسا على وتيرة واحدة: فكلٌّ يصدر قطارات موجية قصيرة يقفز طورها عشوائيًّا، ومن ثم يكون المنبعان غير مترابطين وتنزاح الأهداب اللحظية مليارات المرات في الثانية — فترى العين المتوسط، وهو منتظم. أما يونغ فيضيء الشقّين من موجة واحدة: فترث النسختان كل قفزة طور معًا وتبقيان على وتيرة واحدة.

حل التمرين 22.9.

من الأول إلى السابع $= 6i = 18.0\,\mathrm{mm}$، ومنه $i = 3.0\,\mathrm{mm}$؛ و$\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$.

حل التمرين 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$: $k = 1$، $\theta = 23^\circ$؛ $k = 2$، $\sin\theta = 0.79$، $\theta = 52^\circ$؛ أما $k = 3$ فكان سيقتضي $\sin\theta = 1.19 > 1$: وهذا مستحيل. فأعلى رتبة $k = 2$.

حل التمرين 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$. ويقابل مصباحا السيارة زاوية $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$، أي نحو ثلاثة أضعاف التشويش: فيمكن فصلهما، بالكاد.

حل التمرين 22.12.

يتداخل انعكاسا الوجهين الأمامي والخلفي؛ وفي الضوء الأبيض يعزّز كل سُمك بعض أطوال الموجة ويلغي غيرها، ومن هنا اللون. وسُمك الغشاء لا يتوقف إلا على الارتفاع، ومن ثم تشكّل النقاط ذات اللون الواحد أشرطة أفقية. والنزّ يرقّق الغشاء، فيقع السُّمك الذي رسم لونًا معينًا أخفض فأخفض: فتزحف الأشرطة إلى أسفل.

حل التمرين 22.13.

$i = \lambda D/a$: البنفسجي $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$؛ والأحمر $5.6\,\mathrm{mm}$. وعند المركز: كل الألوان ساطعة — أي هدب أبيض واحد. وعلى بعد بضعة مِلّيمترات تكون أنماط الألوان قد تباعدت: فأهداب متقزّحة. وأبعد، تتراكب عظميات كل الألوان في كل موضع: فتشوّش أبيض منتظم.

حل التمرين 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$؛ وعند $250\,\mathrm{km}$ يكون ذلك $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$. فيقدر أن يعدّ السيارات ويلتقط شخصًا، أما حروف الصحف (وهي مِلّيمترية) فأدنى عشرين مرة من حدّ الحيود: فالادّعاء أسطورة.

حل التمرين 22.15.

التواتر يثبّته المنبع: فلا يتغير. أما السرعة فتهبط إلى $c/n$، ومنه $\lambda' = \lambda/n$ و $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$: فتتضايق الأهداب.