الفيزياء · الكتاب 2 · الصفوف 10–12

فيزياء المرحلة الثانوية

فيزياء المرحلة الثانوية · الصفوف 10–12

33الطاقة النووية: الانشطار والاندماج وE=mc2

كُريّة وقود بحجم ممحاة قلم تغطي كهرباء أسرة سنةً كاملة؛ والخدمة نفسها من الفحم تأخذ ثلاثة أطنان. وفي الأعلى، تدفع الشمس ثمن ضوء النهار باختفائها — أي أربعة ملايين طن من نفسها في الثانية. ويفتح هذا الفصل دفتر الحسابات وراء الصفقتين: فالكتلة نفسها طاقة، والأنوية (الفصل 19) هي حيث تُصرف.

33.1 الكتلة طاقة

مبرهنة 33.1 (تكافؤ الكتلة والطاقة)

الجسم ذو الكتلة mm، بمجرد وجوده، يحمل الطاقة

E=mc2,c=3.00×108 m/s.E = m c^2, \qquad c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

وكلما خسرت جملة كتلةً Δm\Delta m، حرّرت الطاقة Δm c2\Delta m\, c^2 — مهما تكن الآلية.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 33.2 (أينشتاين، 1905)

هذه علاقة أينشتاين، وهي مقبولة هنا؛ أما من أين تأتي فشأن فصل النسبية الخاصة الذي يختم هذه السنة (الفصل 35). ولاحِظ السعر: c2=9.00×1016 J/kgc^2 = 9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — فخطأ تدوير في الكتلة ثروة من الطاقة.

تعريف 33.3 (الإلكترون فولط ووحدة الكتلة الذرية)

وحدتان مفصّلتان على قياس النواة. الإلكترون فولط، وهو الطاقة التي يكسبها إلكترون عابرًا 1 V1\,\mathrm{V} (الفصل 12): 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}، 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J} — فالروابط الكيميائية تتبادل بضعة eV\mathrm{eV}، والتفاعلات النووية ميغا إلكترون فولط. ووحدة الكتلة الذرية الموحّدة، وهي جزء من اثني عشر من كتلة ذرة كربون-12: 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}، ومكافئها الطاقي 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} — 1 u=931.5 MeV/c21\,\mathrm{u} = 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2.

مثال 33.4 (الثروة النائمة)

كيلوغرام واحد من أي شيء، محوَّلًا تحويلًا كاملًا، هو 9.00×1016 J9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J} — أي ثلاث سنوات من إنتاج محطة كهرباء كبيرة (1 GW1\,\mathrm{GW}). ولم ينتبه أحد قبل 1905 لأن الفيزياء العادية لا تكاد تمسّ الكتلة: فحرق كيلوغرام من الفحم (3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}) يخفّفه بثلث ميكروغرام. أما الأنوية، كما سنرى، فتحرّك جزءًا من ألف: وهو ما يزال صغيرًا، لكنه مليون ضعف الكيمياء.

33.2 النقص الكتلي

تعريف 33.5 (النقص الكتلي وطاقة الربط)

زِن نواة ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X} (كتلتها mm)، ثم زِن بروتوناتها ZZ ونيوتروناتها A−ZA - Z على حدة: فالأجزاء أثقل من الكل. والفرق

Δm=Z mp+(A−Z) mn−m>0,mp=1.007 28 u,  mn=1.008 66 u,\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m > 0, \qquad m_p = 1.007\,28\,\mathrm{u},\; m_n = 1.008\,66\,\mathrm{u},

هو النقص الكتلي؛ وطاقة الربط Eb=Δm c2E_b = \Delta m\,c^2 هي الطاقة اللازمة لتفكيك النواة إلى نوكليونات حرة — وهي نفسها الطاقة المحرَّرة حين تُجمَّع. فالنواة المرتبطة تجلس دون أجزائها.

سُلّم طاقة: تقع النواة المرتبطة على E_b دون نوكليوناتها المفصولة — فتجميعها يحرّر E_b، وتفكيكها يكلّفها.
سُلّم طاقة: تقع النواة المرتبطة على EbE_b دون نوكليوناتها المفصولة — فتجميعها يحرّر EbE_b، وتفكيكها يكلّفها.

مثال 33.6 (الهيليوم-4)

لنواة 24He{}^{4}_{2}\mathrm{He} المقدار m=4.001 51 um = 4.001\,51\,\mathrm{u}؛ وأجزاؤها: 2×1.00728+2×1.00866=4.031 88 u2 \times 1.00728 + 2 \times 1.00866 = 4.031\,88\,\mathrm{u}. ومنه Δm=0.030 37 u\Delta m = 0.030\,37\,\mathrm{u} وEb=0.03037×931.5≈28.3 MeVE_b = 0.03037 \times 931.5 \approx 28.3\,\mathrm{MeV}: فالنواة أخفّ من أجزائها بمقدار 0.75%0.75\% — أي “الجزء من ألف” في المثال 33.4.

طريقة 33.7 (الميزانية الطاقية لتفاعل نووي)

  1. وازِن المعادلة: فمجموع AA وZZ محفوظ (الفصل 19).
  2. اجمع الكتل قبل، ثم بعد، بوحدة u\mathrm{u} — واحتفظ بالأرقام العشرية الخمسة كلها.
  3. Δm=mقبل−mبعد\Delta m = m_{\text{قبل}} - m_{\text{بعد}}، ثم E=Δm (بوحدة u)×931.5 MeVE = \Delta m\,(\text{بوحدة u}) \times 931.5\,\mathrm{MeV}، محمولةً طاقةً حركية للنواتج؛ والسالب يعني أن التفاعل يجب أن يُدفع ثمنه.

33.3 المنحني الذي يدير الكون

تعريف 33.8 (طاقة الربط لكل نوكليون)

يُقارَن التماسك مقارنة عادلة بمقدار طاقة الربط لكل نوكليون، Eb/AE_b/A، وهي التكلفة المتوسطة لانتزاع نوكليون واحد: 28.3/4≈7.1 MeV28.3/4 \approx 7.1\,\mathrm{MeV} في الهيليوم-4.

قضية 33.9 (ذروة الحديد، وطريقان نازلان)

مرسومةً بدلالة AA، تصعد طاقة الربط لكل نوكليون صعودًا حادًّا عبر الأنوية الخفيفة، وتبلغ ذروتها قرب الحديد، 2656Fe{}^{56}_{26}\mathrm{Fe}، عند نحو 8.8 MeV8.8\,\mathrm{MeV} لكل نوكليون، ثم تنزلق برفق إلى نحو 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} عند اليورانيوم: فالحديد أشدّ الأنوية ارتباطًا في الطبيعة. ويحرّر التفاعل طاقةً بالضبط حين تجلس نواتجه أعلى على المنحني؛ ومن ثم تربح استراتيجيتان متعاكستان كلتاهما، وتمشيان معًا نحو الحديد — أي شطر أثقل الأنوية، ودمج أخفّها.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 33.10 (لماذا ذروة)

إنه شدّ الحبل في الفصل 13: فالغراء القوي يربط الجيران المتلامسين وحدهم، وتنفرد كولوم بالتنافر عبر النواة كلها — فالأنوية الصغيرة سطح في معظمها، والكبيرة تنافر في معظمها، والحديد هو الحلّ الوسط. أما المحاسبة الأمينة فتعيش في مجلدات الجامعة.

طاقة الربط لكل نوكليون: صعود حادّ، وذروة الحديد، وانزلاق طويل — فالاندماج يصعد من اليسار، والانشطار من اليمين، وكلاهما يحرّر طاقة.
طاقة الربط لكل نوكليون: صعود حادّ، وذروة الحديد، وانزلاق طويل — فالاندماج يصعد من اليسار، والانشطار من اليمين، وكلاهما يحرّر طاقة.

33.4 الانشطار والتفاعل المتسلسل

تعريف 33.11 (الانشطار)

الانشطار هو شطر نواة ثقيلة إلى شظيتين متوسطتَي الحجم. واليورانيوم-235 انشطاري: فالنيوترون البطيء، إذا امتُصّ، ترك النواة من الاضطراب بحيث تتمزق إلى اثنتين، باصقةً نيوترونين أو ثلاثة جددًا — 01n+92235U→شظيتان+2–3  01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to \text{شظيتان} + 2\text{--}3\;{}^{1}_{0}\mathrm{n}، ويتغير الزوج من انشطار إلى آخر.

مثال 33.12 (انشطار واحد، موزونًا)

طريق شائع، حسب الطريقة 33.7:

01n+92235U⟶3894Sr+54140Xe+2 01n.{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

قبل: 1.00866+234.99350=236.002 16 u1.00866 + 234.99350 = 236.002\,16\,\mathrm{u}. وبعد: 93.89450+139.89200+2×1.00866=235.803 82 u93.89450 + 139.89200 + 2 \times 1.00866 = 235.803\,82\,\mathrm{u}. ومنه Δm=0.198 34 u\Delta m = 0.198\,34\,\mathrm{u} وE≈185 MeVE \approx 185\,\mathrm{MeV}؛ وبعدّ تفككات الشظايا المشعّة اللاحقة (الفصل 32)، يساوي كل انشطار نحو 200 MeV200\,\mathrm{MeV} — فبضعة eV\mathrm{eV} تشتري ذرة فحم واحدة.

تعريف 33.13 (التفاعل المتسلسل والكتلة الحرجة)

كل انشطار يشعله نيوترون واحد ويحرّر اثنين أو ثلاثة: ففي كتلة كبيرة بما يكفي تصيب أنوية أخرى ويغذّي التفاعل نفسه — أي تفاعل متسلسل. وفي كتلة صغيرة تفلت معظم النيوترونات عبر السطح أولًا؛ وأدنى كمية تديم السلسلة هي الكتلة الحرجة — فدونها تخبو السلسلة، وفوقها يتضاعف كل جيل: وهو مبدأ القنبلة.

تفاعل متسلسل: نيوترون واحد يشطر نواة واحدة، والنيوترونات الثلاثة المحرَّرة تشطر ثلاثًا أخرى — والمفاعل يسمح لواحد بالضبط بالمتابعة.
تفاعل متسلسل: نيوترون واحد يشطر نواة واحدة، والنيوترونات الثلاثة المحرَّرة تشطر ثلاثًا أخرى — والمفاعل يسمح لواحد بالضبط بالمتابعة.

تعريف 33.14 (المفاعل، مروَّضًا)

يمسك مفاعل الطاقة السلسلة عند نيوترون واحد بالضبط لكل انشطار. والوقود: كُريّات يورانيوم مُخصَّبة تخصيبًا متواضعًا باليورانيوم-235. و المهدِّئ (وهو ماء عادي في العادة) يبطّئ نيوترونات الانشطار السريعة بالتصادمات — فالنيوترونات البطيئة أفضل بكثير في إطلاق الانشطار التالي؛ وقضبان التحكم (من البورون أو الكادميوم) تلتهم النيوترونات — فإذا أُدخلت ماتت السلسلة، وإذا سُحبت تسارعت. و اضطراب الشظايا يصير حرارة، ثم بخارًا، ثم كهرباء (الفصل 9).

مثال 33.15 (حبة فلفل في مقابل شاحنة)

غرام واحد من اليورانيوم-235 يحوي N=1.0×10−3/(235×1.660 54×10−27)≈2.56×1021N = 1.0 \times 10^{-3} / (235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27}) \approx 2.56 \times 10^{21} نواة؛ وعند 200 MeV=3.2×10−11 J200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J} لكل واحدة، يعطي شطرها جميعًا نحو 8.2×1010 J8.2 \times 10^{10}\,\mathrm{J} — أي الطاقة الكيميائية لكتلة 8.2×1010/3.0×107≈2.7×103 kg8.2 \times 10^{10} / 3.0 \times 10^{7} \approx 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} من الفحم: أي حبة فلفل في مقابل ثلاثة أطنان.

33.5 الاندماج: نار الشمس نفسها

تعريف 33.16 (الاندماج)

الاندماج هو دمج نواتين خفيفتين في نواة أثقل أشدّ ارتباطًا. والتفاعل الأيسر منالًا يزوّج الديوتيريوم و التريتيوم، وهما نظيرا الهيدروجين الثقيلان (الفصل 19):

12H+13H⟶24He+01n.{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{3}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}.

مثال 33.17 (D–T، موزونًا)

قبل: 2.01355+3.01550=5.029 05 u2.01355 + 3.01550 = 5.029\,05\,\mathrm{u}؛ وبعد: 4.00151+1.00866=5.010 17 u4.00151 + 1.00866 = 5.010\,17\,\mathrm{u}؛ ومنه Δm=0.018 88 u\Delta m = 0.018\,88\,\mathrm{u} و E≈17.6 MeVE \approx 17.6\,\mathrm{MeV}، أربعة أخماسها على النيوترون — أي أقل من انشطار، لكن من خمسة نوكليونات بدلًا من 236236: أي نحو 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} لكل كيلوغرام من الوقود، أي أربعة أضعاف الانشطار. والهيليوم-4 (المثال 33.6) هو الرماد مرة أخرى.

تعريف 33.18 (حاجز كولوم)

النواتان كلتاهما موجبة: فلتتلامسا، عليهما أولًا أن تتسلقا تلّ تنافرهما الكهربائي (الفصل 14) — أي حاجز كولوم. ولا تحمل التصادمات الطاقة اللازمة لعبوره إلا قرب 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K}؛ ويكون الوقود عندئذٍ بلازما من أنوية عارية وإلكترونات. أما الانشطار فلا يدفع مثل هذه الرسوم: إذ إن مُطلِقه، وهو النيوترون، متعادل، ويعمل على البارد.

مثال 33.19 (الشمس تعمل عليه)

قلب الشمس، عند 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}، يدمج الهيدروجين العادي خطوة خطوة — أي سلسلة البروتون–البروتون، ومفعولها الصافي 4 11H→24He+2 +10e+إشعاع4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\mathrm{e} + \text{إشعاع}، أي نحو 26 MeV26\,\mathrm{MeV} لكل هيليوم: فتغادر 0.7%0.7\% من كتلة الهيدروجين طاقةً. وضوء الشمس الذي قرأنا طيفه في الفصل 2 هو هذه الكتلة، واصلةً متأخرة ثماني دقائق؛ وكل نجم يضيء بمشيه على المنحني نحو الحديد.

ملاحظة 33.20 (ITER: تعبئة نجم في قنّينة)

لا يقدر أي صلب أن يمسك بلازما عند 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K}؛ والتوكاماك يحبسها في مجال مغناطيسي (الفصل 15)، أي كعكة من خطوط المجال تلولب الجسيمات المشحونة على امتدادها دون أن تمسّ الجدار؛ وITER، المبني ليحرّر عشرة أضعاف استطاعة تسخينه، هو الخطوة الراهنة. واكسر الحبس، فتبرد البلازما وتتوقف في ثوانٍ: فلا تفاعل متسلسل، ولا كتلة حرجة — فالجزء الصعب ليس إيقاف النار بل إبقاءها مشتعلة.

مثال 33.21 (سُلّم الطاقة، لكل كيلوغرام)

الطاقة لكل كيلوغرام من الوقود: الفحم، 3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}؛ واليورانيوم-235 بالانشطار، 8.2×1013 J8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J}؛ والديوتيريوم–التريتيوم بالاندماج، 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}؛ والتحويل الكامل (E=mc2E = mc^2)، 9.0×1016 J9.0 \times 10^{16}\,\mathrm{J}. فستّ رتب قدر تفصل الكيمياء عن النواة — وهي سبب إعادة تموين المفاعل بالشاحنة ومحطة الفحم بحمولات القطارات.

33.6 تمارين

تمرين 33.1 ★

حوّل: (أ) 1 eV1\,\mathrm{eV} و1 MeV1\,\mathrm{MeV} إلى الجول؛ (ب) 200 MeV200\,\mathrm{MeV} في انشطار واحد إلى الجول؛ (ج) وتحقق من 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} أن مكافئها الطاقي قريب من 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV}.

حل

حل التمرين 33.1.

(أ) 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}؛ 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}. (ب) 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}. (ج) E=1.660 54×10−27×9.00×1016=1.49×10−10 J=1.49×10−10/1.60×10−13≈9.3×102 MeVE = 1.660\,54 \times 10^{-27} \times 9.00 \times 10^{16} = 1.49 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 1.49 \times 10^{-10}/1.60 \times 10^{-13} \approx 9.3 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — أي 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} المعتمدة في الدرس، في حدود تدويرنا للمقدار cc.

تمرين 33.2 ★

مكعب سكر كتلته 6.0 g6.0\,\mathrm{g}: احسب قيمة E=mc2E = mc^2 الكاملة له. و أسرة تسحب 10 kW h=3.6×107 J10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{J} في اليوم — فكم سنة يقدر المكعب، محوَّلًا تحويلًا كاملًا، أن يغذّيها؟

حل

حل التمرين 33.2.

E=6.0×10−3×9.00×1016=5.4×1014 JE = 6.0 \times 10^{-3} \times 9.00 \times 10^{16} = 5.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}؛ 5.4×1014/3.6×107=1.5×1075.4 \times 10^{14}/3.6 \times 10^{7} = 1.5 \times 10^{7} يوم ≈4.1×104\approx 4.1 \times 10^{4} سنة — أي أربعون ألفية على مكعب سكر واحد.

تمرين 33.3 ★

لنواة الكربون-12 الكتلة 11.996 71 u11.996\,71\,\mathrm{u}: احسب نقصها الكتلي، وطاقة ربطها بوحدة MeV\mathrm{MeV}، وطاقة ربطها لكل نوكليون (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}، mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}).

حل

حل التمرين 33.3.

Δm=6×1.00728+6×1.00866−11.99671=0.098 93 u\Delta m = 6 \times 1.00728 + 6 \times 1.00866 - 11.99671 = 0.098\,93\,\mathrm{u}؛ Eb=0.09893×931.5≈92.2 MeVE_b = 0.09893 \times 931.5 \approx 92.2\,\mathrm{MeV}؛ Eb/A≈7.68 MeVE_b/A \approx 7.68\,\mathrm{MeV} لكل نوكليون.

تمرين 33.4 ★

أكمل كل انشطار، معطيًا AA وZZ والعنصر (Z=36Z = 36: الكريبتون، Z=52Z = 52: التيلوريوم): (أ) 01n+92235U→56144Ba+ZAX+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}؛ (ب) 01n+92235U→4097Zr+ZAY+2 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{97}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

حل

حل التمرين 33.4.

(أ) A=236−144−3=89A = 236 - 144 - 3 = 89، Z=92−56=36Z = 92 - 56 = 36: 3689Kr{}^{89}_{36}\mathrm{Kr}، أي الكريبتون. (ب) A=236−97−2=137A = 236 - 97 - 2 = 137، Z=92−40=52Z = 92 - 40 = 52: 52137Te{}^{137}_{52}\mathrm{Te}، أي التيلوريوم.

تمرين 33.5 ★

اقرأ منحني القضية 33.9: قدّر Eb/AE_b/A من أجل الهيليوم-4 والكربون-12 والحديد-56 واليورانيوم-235. فأيّها أشدّ ارتباطًا؟ وأيّها يقدر أن يحرّر طاقة بالانشطار، وأيّها بالاندماج؟

حل

حل التمرين 33.5.

نحو 7.17.1 و7.77.7 و8.88.8 و7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} لكل نوكليون؛ والحديد-56 هو الأشدّ ارتباطًا. واليورانيوم يقدر أن يحرّر طاقة بالانشطار، والهيليوم-4 و الكربون-12 بالاندماج — فكلتا الحركتين تصعد نحو الحديد؛ أما الحديد نفسه فليس له مذهب.

تمرين 33.6 ★★

للديوترون 12H{}^{2}_{1}\mathrm{H} الكتلة 2.013 55 u2.013\,55\,\mathrm{u}: احسب طاقة ربطه بوحدة MeV\mathrm{MeV}. والرابطة الكيميائية تمسك بضعة eV\mathrm{eV} — فبأي عامل تتفوق عليها “الرابطة” النووية؟

حل

حل التمرين 33.6.

Δm=1.00728+1.00866−2.01355=0.002 39 u\Delta m = 1.00728 + 1.00866 - 2.01355 = 0.002\,39\,\mathrm{u}، ومنه Eb≈2.23 MeVE_b \approx 2.23\,\mathrm{MeV} — أي نحو مليون ضعف من بضعة eV\mathrm{eV} في رابطة كيميائية.

تمرين 33.7 ★★

زِن الانشطار 01n+92235U→56144Ba+3689Kr+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{89}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}: والكتل 234.993 50 u234.993\,50\,\mathrm{u} (U)، 143.892 20 u143.892\,20\,\mathrm{u} (Ba)، 88.897 90 u88.897\,90\,\mathrm{u} (Kr)، 1.008 66 u1.008\,66\,\mathrm{u} (n). فما الطاقة المحرَّرة، بوحدة MeV\mathrm{MeV} وبالجول؟

حل

حل التمرين 33.7.

قبل: 236.002 16 u236.002\,16\,\mathrm{u}؛ وبعد: 143.89220+88.89790+3×1.00866=235.816 08 u143.89220 + 88.89790 + 3 \times 1.00866 = 235.816\,08\,\mathrm{u}؛ Δm=0.186 08 u\Delta m = 0.186\,08\,\mathrm{u}، ومنه E≈173 MeV=173×1.60×10−13≈2.8×10−11 JE \approx 173\,\mathrm{MeV} = 173 \times 1.60 \times 10^{-13} \approx 2.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

تمرين 33.8 ★★

اندماج آخر: 12H+12H→23He+01n{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{2}_{1}\mathrm{H} \to {}^{3}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}، مع m(23He)=3.014 93 um({}^{3}_{2}\mathrm{He}) = 3.014\,93\,\mathrm{u}. احسب الطاقة المحرَّرة. ولماذا هي أقل بكثير من D–T؟ (انظر أين يجلس كل ناتج على المنحني.)

حل

حل التمرين 33.8.

Δm=2×2.01355−3.01493−1.00866=0.003 51 u\Delta m = 2 \times 2.01355 - 3.01493 - 1.00866 = 0.003\,51\,\mathrm{u}: E≈3.27 MeVE \approx 3.27\,\mathrm{MeV}. فاندماج D–T يصنع هيليوم-4، وهو مرتبط ارتباطًا شاذًّا (7.1 MeV7.1\,\mathrm{MeV} لكل نوكليون)؛ أما الهيليوم-3 فيجلس أخفض بكثير على المنحني، ومن ثم تحرّر الخطوة أقلّ بكثير.

تمرين 33.9 ★★

فسّر، في بضعة أسطر لكل بند: (أ) لماذا لا يحتاج الانشطار تسخينًا بينما يقتضي الاندماج نحو 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K}؛ (ب) وكيف تتدبر الشمس أمرها عند “مجرد” 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K} (بحجم الحشد، وأسرع أفرادها)؛ (ج) ولماذا لا تقدر محطة اندماج أن تنفلت كتفاعل متسلسل.

حل

حل التمرين 33.9.

(أ) النيوترون متعادل: فلا حاجز كولوم، والانشطار يشتعل على البارد. أما النواتان المندمجتان فموجبتان كلتاهما وعليهما تسلّق الحاجز، ومن ثم لا يعطي تصادمات عنيفة بما يكفي إلا اضطراب قدره ∼1×108 K\sim 1 \times 10^{8}\,\mathrm{K}. (ب) و قلب الشمس يحوي عددًا فلكيًّا من البروتونات؛ وأسرعها في الحشد، وهي نادرة، هي التي تندمج، وأمام الشمس مليارات السنين تنفقها — فالاحتراق البطيء هو بالضبط ما يريده نجم. (ج) ولا وجود لانهيار نيوتروني: فكل اندماج يشتريه تصادمه الخاص، وأي فقدان للحبس يبرّد البلازما ويطفئ النار.

تمرين 33.10 ★★

تفاعل الشمس الصافي يحوّل أربعة بروتونات (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}) إلى نواة هيليوم-4 واحدة (4.001 51 u4.001\,51\,\mathrm{u}): احسب الطاقة لكل هيليوم مصنوع، بوحدة MeV\mathrm{MeV}، والجزء المحوَّل من الكتلة الابتدائية.

حل

حل التمرين 33.10.

Δm=4×1.00728−4.00151=0.027 61 u\Delta m = 4 \times 1.00728 - 4.00151 = 0.027\,61\,\mathrm{u}، ومنه E≈25.7 MeVE \approx 25.7\,\mathrm{MeV}؛ والجزء 0.02761/4.02912≈0.7%0.02761/4.02912 \approx 0.7\% من الكتلة.

تمرين 33.11 ★★

في مفاعل مهدَّأ بالماء: (أ) ماذا يفعل المهدِّئ، ولماذا تحتاجه السلسلة؟ (ب) وقضبان التحكم؟ (ج) وماء التبريد هو نفسه المهدِّئ: فلماذا يميل فقدانه إلى خنق السلسلة بدلًا من تسريعها؟

حل

حل التمرين 33.11.

(أ) يبطّئ نيوترونات الانشطار بالتصادمات؛ والنيوترونات البطيئة أرجح كثيرًا في شطر اليورانيوم-235، ومن ثم تحتاجها السلسلة. (ب) وهي تمتصّ النيوترونات، فتمسك السلسلة عند نيوترون واحد لكل انشطار — فإذا أُدخلت ماتت. (ج) ولا ماء، فلا تهدئة: إذ تبقى النيوترونات سريعة، فتُخطئ، وتختنق السلسلة — فالتصميم يفشل نحو “الإطفاء”.

تمرين 33.12 ★★★

سلسلة غير متحكَّم فيها تتضاعف في كل جيل. فانطلاقًا من انشطار واحد، كم جيلًا تقريبًا حتى تنشطر أنوية 2.56×10212.56 \times 10^{21} في غرام واحد من اليورانيوم-235 (210≈1032^{10} \approx 10^{3})؟ وعند نحو 10 ns10\,\mathrm{ns} لكل جيل، كم يبلغ ذلك زمنًا — ولماذا إذًا تُحرَس الحرجية حراسة شديدة؟

حل

حل التمرين 33.12.

تتضاعف الانشطارات في كل جيل، ومن ثم يكون قد انشطر بعد nn جيلًا نحو 2n2^n؛ ويعطي 2n=2.56×1021≈2×(103)7≈2712^{n} = 2.56 \times 10^{21} \approx 2 \times (10^{3})^{7} \approx 2^{71} المقدارَ n≈71n \approx 71. والزمن: 71×10 ns≈0.7 µs71 \times 10\,\mathrm{ns} \approx 0.7\,\text{µ}\mathrm{s} — أي غرام من الوقود، بما يساوي ثلاثة أطنان من الفحم، في أقل من ميكروثانية: فالحرجية هاوية، لا منحدر.

تمرين 33.13 ★★★

هل نقدر أن نستخرج طاقة بشطر الحديد؟ زِن 2656Fe→2 1428Si{}^{56}_{26}\mathrm{Fe} \to 2\,{}^{28}_{14}\mathrm{Si}، مع m(Fe)=55.920 66 um(\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u}، m(Si)=27.969 24 um(\mathrm{Si}) = 27.969\,24\,\mathrm{u}. احسب Δm\Delta m واستنتج، بلغة المنحني، لماذا الحديد رماد نووي: أي وقود لا شيء.

حل

حل التمرين 33.13.

Δm=55.92066−2×27.96924=−0.017 82 u\Delta m = 55.92066 - 2 \times 27.96924 = -0.017\,82\,\mathrm{u}: E≈−16.6 MeVE \approx -16.6\,\mathrm{MeV} — أي إن الشطر يمتصّ طاقة. فالحديد يجلس عند الذروة: وشطره أو دمجه كلاهما ينزل في الارتباط، وكلاهما يكلّف طاقة. وهو رماد كل نار نووية.

تمرين 33.14 ★★★

من m(2656Fe)=55.920 66 um({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} و m(92235U)=234.993 50 um({}^{235}_{92}\mathrm{U}) = 234.993\,50\,\mathrm{u}، احسب Eb/AE_b/A لكليهما (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}، mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}). وشظايا الانشطار تجلس قرب 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} لكل نوكليون: قدّر من المستويين طاقة انشطار واحد، وقارنها بالقيمة المثال 33.12.

حل

حل التمرين 33.14.

الحديد: Δm=26×1.00728+30×1.00866−55.92066=0.528 42 u\Delta m = 26 \times 1.00728 + 30 \times 1.00866 - 55.92066 = 0.528\,42\,\mathrm{u}، Eb≈492 MeVE_b \approx 492\,\mathrm{MeV}، Eb/A≈8.79 MeVE_b/A \approx 8.79\,\mathrm{MeV}. واليورانيوم: Δm=92×1.00728+143×1.00866−234.99350=1.914 64 u\Delta m = 92 \times 1.00728 + 143 \times 1.00866 - 234.99350 = 1.914\,64\,\mathrm{u}، Eb≈1784 MeVE_b \approx 1784\,\mathrm{MeV}، Eb/A≈7.59 MeVE_b/A \approx 7.59\,\mathrm{MeV}. وإعادة رصّ 235235 نوكليون عند 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} بدلًا من 7.59 MeV7.59\,\mathrm{MeV} تكسب 235×0.9≈2×102 MeV235 \times 0.9 \approx 2 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — أي 185185–200200 في المثال المحلول.

تمرين 33.15 ★★★

يهدف ITER إلى 500 MW500\,\mathrm{MW} من استطاعة الاندماج. وعند 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} لكل تفاعل D–T (و5.029 u5.029\,\mathrm{u} من الوقود المستهلك)، جِد التفاعلات في الثانية، ثم الوقود المحروق في اليوم. وفرن فحم قدره 500 MW500\,\mathrm{MW} يحرق نحو 1.4×106 kg1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} في اليوم: قارن.

حل

حل التمرين 33.15.

5.0×108/2.82×10−12≈1.8×10205.0 \times 10^{8}/2.82 \times 10^{-12} \approx 1.8 \times 10^{20} تفاعل في الثانية؛ ومعدّل الكتلة 1.8×1020×5.029×1.660 54×10−27≈1.5×10−6 kg/s1.8 \times 10^{20} \times 5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} \approx 1.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}، أي نحو 0.13 kg0.13\,\mathrm{kg} في اليوم — في مقابل 1.4×1061.4 \times 10^{6} كيلوغرام من الفحم: أي عشرة ملايين إلى واحد.

33.7 مسألة: تغذية مدينة

مسألة 33.1

مسألة نهاية الأسبوع — تغذية مدينة: غيغاواط واحد مستمر من أجل نصف مليون نسمة، مشترًى بأربع طرائق — كُريّات يورانيوم، وحمولات قطارات من الفحم، وبِركة من ماء البحر، ومادة الشمس نفسها — والكيلوغرام نفسه من الكتلة المتلاشية مختبئ تحت الأربع جميعًا

مدينة عدد سكانها 500 000500\,000 نسمة تسحب استطاعة كهربائية مستمرة P=1.0 GWP = 1.0\,\mathrm{GW}؛ ومحطاتها، مهما يكن الوقود، تحوّل الحرارة إلى كهرباء بمردود 33%33\% (الفصل 9). والمعطيات: انشطار يورانيوم-235 واحد، 200 MeV200\,\mathrm{MeV} إجمالًا؛ والفحم، 3.0×107 J/kg3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}؛ واندماج D–T واحد، 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} من 5.029 u5.029\,\mathrm{u} من الوقود؛ 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}؛ 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}؛ و السنة =3.16×107 s= 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}؛ والشمس: 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}، 2.0×1030 kg2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}؛ والمتر المكعب من ماء البحر يحوي نحو 33 g33\,\mathrm{g} من الديوتيريوم.

الجزء I — محطة الانشطار.

  1. أيّ استطاعة حرارية يجب أن يوصّلها المفاعل؟
  2. عبّر عن طاقة انشطار واحد بالجول.
  3. وكم انشطارًا في الثانية يدير المدينة؟
  4. وما كتلة نواة يورانيوم-235 واحدة (A=235A = 235)، ثم اليورانيوم-235 المستهلك في الثانية؟
  5. استنتج اليورانيوم-235 المستهلك في سنة واحدة، بالكيلوغرامات.
  6. والوقود مُخصَّب إلى 4.0%4.0\% يورانيوم-235: فأيّ كتلة تأخذها سنة، وهل تسع شاحنة واحدة؟

الجزء II — دفتر الفحم.

  1. احسب الطاقة الحرارية التي تستهلكها المدينة في سنة واحدة.
  2. وأيّ كتلة من الفحم توصّلها؟
  3. احسب النسبة (كتلة الفحم)/(كتلة اليورانيوم-235) لسنة واحدة، و تحقق منها في مقابل سُلّم المثال 33.21.
  4. وقطار شحن يجرّ 3.0×106 kg3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}: فكم قطارًا في السنة، وكم في اليوم؟ وفي جملة واحدة: تخيّل خطَّي التموين.

الجزء III — حلم الاندماج.

  1. عبّر عن طاقة اندماج D–T واحد بالجول.
  2. احسب الطاقة المحرَّرة لكل كيلوغرام من وقود D–T؛ وقارنها بالسُّلّم.
  3. وأيّ كتلة من وقود D–T تغطي سنة المدينة؟ وأيّ كتلة من ذلك ديوتيريوم (2.0142.014 من 5.029 u5.029\,\mathrm{u})؟
  4. وأيّ حجم من ماء البحر يحوي ذلك الديوتيريوم؟ قارنه بمسبح أولمبي، أي نحو 2.5×103 m32.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3}. (والتريتيوم يولَّد من الليثيوم.)
  5. ولماذا لا تحمل هذه المحطة كتلة حرجة ولا تفاعلًا متسلسلًا يُخشى؟ فما الجزء الصعب إذًا؟

الجزء IV — النجم الذي يدفع كتلةً.

  1. من E=mc2E = mc^2، أيّ كتلة تحوّل الشمس في كل ثانية؟
  2. وأيّ كتلة في الثانية، وفي السنة، يجب أن يحوّلها أيّ منبع حراري قدره 3.0 GW3.0\,\mathrm{GW}؟ وتحقق من أن الأنواع الثلاثة من الوقود تسلّم هذه الكتلة نفسها.
  3. وأيّ كتلة كلية أشعّتها الشمس في 4.5×1094.5 \times 10^{9} سنة، وأيّ جزء من الشمس ذلك؟
  4. ويقدر الاندماج أن ينهل نحو 0.07%0.07\% من كتلة الشمس (أي الحصة القابلة للاحتراق من قلبها): قدّر عمرها الكلي نجمًا، وما تبقّى منه.
  5. أغلِق التدقيق في ثلاث جمل: سنة واحدة من المدينة بأطنان الفحم، وكيلوغرامات اليورانيوم-235، وكيلوغرامات وقود D–T — و الكيلوغرام من الكتلة الذي صار، في كل سيناريو، ضوء المدينة.
حل

حل المسألة 33.1.

1. Pحر=1.0×109/0.33≈3.0 GWP_{\text{حر}} = 1.0 \times 10^{9}/0.33 \approx 3.0\,\mathrm{GW}.

2. 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

3. 3.0×109/3.2×10−11≈9.4×10193.0 \times 10^{9}/3.2 \times 10^{-11} \approx 9.4 \times 10^{19} انشطار في الثانية.

4. mU=235×1.660 54×10−27=3.90×10−25 kgm_{\mathrm U} = 235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 3.90 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}؛ 9.4×1019×3.90×10−25≈3.7×10−5 kg/s9.4 \times 10^{19} \times 3.90 \times 10^{-25} \approx 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} — أي نحو أربعين ميكروغرامًا في الثانية.

5. 3.7×10−5×3.16×107≈1.2×103 kg3.7 \times 10^{-5} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}: أي نحو 1.21.2 طن من اليورانيوم-235 في السنة.

6. 1.2×103/0.040≈2.9×104 kg1.2 \times 10^{3}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} — أي نحو 2929 طن من الوقود: أي شاحنة ثقيلة واحدة، مرة في السنة.

7. 3.0×109×3.16×107≈9.5×1016 J3.0 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}.

8. 9.5×1016/3.0×107≈3.2×109 kg9.5 \times 10^{16}/3.0 \times 10^{7} \approx 3.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}: أي 3.23.2 مليون طن من الفحم.

9. 3.2×109/1.2×103≈2.7×1063.2 \times 10^{9}/1.2 \times 10^{3} \approx 2.7 \times 10^{6} — أي 8.2×1013/3.0×1078.2 \times 10^{13}/3.0 \times 10^{7} في السُّلّم، كما يجب.

10. 3.2×109/3.0×106≈10603.2 \times 10^{9}/3.0 \times 10^{6} \approx 1060 قطارًا في السنة، أي نحو ثلاثة في اليوم: فقطار فحم عند الفجر والظهر والغسق إلى الأبد، في مقابل شاحنة واحدة كل ربيع.

11. 17.6×1.60×10−13=2.82×10−12 J17.6 \times 1.60 \times 10^{-13} = 2.82 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

12. الزوج الواحد يزن 5.029×1.660 54×10−27=8.35×10−27 kg5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 8.35 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}: 2.82×10−12/8.35×10−27≈3.4×1014 J/kg2.82 \times 10^{-12}/8.35 \times 10^{-27} \approx 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — أي درجة الاندماج في السُّلّم.

13. 9.5×1016/3.4×1014≈2.8×102 kg9.5 \times 10^{16}/3.4 \times 10^{14} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} من وقود D–T؛ وحصة الديوتيريوم 280×2.014/5.029≈1.1×102 kg280 \times 2.014/5.029 \approx 1.1 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}.

14. 1.1×102/3.3×10−2≈3.4×103 m31.1 \times 10^{2}/3.3 \times 10^{-2} \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3} من ماء البحر — أي نحو مسبح ونصف لسنة المدينة كلها.

15. لا شيء يتضاعف: فلا نيوترون يشعل الاندماج التالي، وفقدان الحبس يبرّد البلازما ويوقفها في ثوانٍ. والجزء الصعب هو النقيض — أي إمساك 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} معًا مدةً تكفي للاحتراق.

16. 3.9×1026/9.00×1016≈4.3×109 kg/s3.9 \times 10^{26}/9.00 \times 10^{16} \approx 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}: أي أربعة ملايين طن في الثانية.

17. 3.0×109/9.00×1016≈3.3×10−8 kg/s3.0 \times 10^{9}/9.00 \times 10^{16} \approx 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}، أي 3.3×10−8×3.16×107≈1.0 kg3.3 \times 10^{-8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.0\,\mathrm{kg} في السنة — ونعم: 1.2×103 kg×0.00085≈11.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} \times 0.00085 \approx 1، 3.2×109×3.3×10−10≈13.2 \times 10^{9} \times 3.3 \times 10^{-10} \approx 1، 280×0.00375≈1280 \times 0.00375 \approx 1. فكل وقود يسلّم الكيلوغرام نفسه؛ ولا يختلفون إلا في مقدار الحمولة التي يجب أن تحمله.

18. 4.3×109×3.16×107×4.5×109≈6.1×1026 kg4.3 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \times 4.5 \times 10^{9} \approx 6.1 \times 10^{26}\,\mathrm{kg} — أي 6.1×1026/2.0×1030≈3×10−46.1 \times 10^{26}/2.0 \times 10^{30} \approx 3 \times 10^{-4} لا غير، أي ثلاثة أجزاء في عشرة آلاف.

19. الكتلة القابلة للتحويل 0.0007×2.0×1030=1.4×1027 kg0.0007 \times 2.0 \times 10^{30} = 1.4 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}، وتساوي 1.4×1027×9.00×1016≈1.3×1044 J1.4 \times 10^{27} \times 9.00 \times 10^{16} \approx 1.3 \times 10^{44}\,\mathrm{J}؛ وعند 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W} تدوم 1.3×1044/3.9×1026≈3.2×1017 s≈1.0×10101.3 \times 10^{44}/ 3.9 \times 10^{26} \approx 3.2 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 1.0 \times 10^{10} سنة — أي عشرة مليارات، منها نحو خمسة مليارات باقية.

20. سنة واحدة من المدينة: 3.23.2 مليون طن من الفحم، أو 1.2×1031.2 \times 10^{3} كيلوغرام من اليورانيوم-235، أو 2.8×1022.8 \times 10^{2} كيلوغرام من وقود D–T مسحوبًا من مسبح ونصف من ماء البحر. وتحت كل دفتر القيد نفسه: كيلوغرام واحد من الكتلة، ذهب. وE=mc2E = mc^2 لا يعبأ بأي وقود يحمله — بل بحجم الشاحنة التي يلزمه.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد