Physics · الكتاب 2 · Grades 10–12

فيزياء المرحلة الثانوية

فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

35النسبية الخاصة: تمدد الزمن

يحمل كل تابع GPS ساعة ذرّية مضبوطة إلى ثانية واحدة في ثلاثة ملايين سنة — وقبل الإطلاق يزيح المهندسون ضبطها عمدًا: فلو تُركت أمينة لكسبت ثمانية وثلاثين جزءًا من مليون من الثانية في اليوم، ولوضعك هاتفك مساءَ الغد على بعد أحد عشر كيلومترًا من حيث تقف. والساعة ليست المخطئة — بل الزمن نفسه يدقّ دقًّا مختلفًا للمتحرك و الساكن: ويتبع هذا الفصل أينشتاين من واقعة عنيدة واحدة إلى تلك النتيجة.

35.1 سرعة واحدة ترفض أن تُجمع

تتوقف السرعات على المرجع وتتركب بالجمع (الفصل 5): فالراكب الماشي بسرعة 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} نحو مقدمة قطار يسير بسرعة 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} يمرّ بالمراقب على جانب السكة بسرعة 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

تعريف 35.1 (المرجع العُطالي)

المرجع العُطالي هو مرجع (الفصل 5) يحفظ فيه جسمٌ خالٍ من القوى سرعةً ثابتة: أي الأرض، بتقريب كافٍ، وكل مرجع في حركة مستقيمة منتظمة بالنسبة إليها.

ادفع القاعدة إلى الأقصى: فينبغي أن تمرّ حزمة مصباح القطار الأمامي بالمراقب على الأرض بسرعة c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. وفي 1887 قارن مايكلسون ومورلي سرعة الضوء على امتداد اندفاع الأرض المداري وعبره، وهو 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}، بحثًا عن مثل هذه الفروق؛ فلم يجدا شيئًا بدقة بالغة — أي cc نفسها في كل اتجاه، وفي كل فصل. وفي 1905 صدّق أينشتاين التجربة وأعاد بناء الزمان والمكان حولها، على مسلَّمتين يُحكم عليهما بنتائجهما — وقد اختُبرت منذ قرن دون فشل واحد.

مبرهنة 35.2 (مسلَّمتا النسبية الخاصة)

  1. مبدأ النسبية: تأخذ قوانين الفيزياء الصورة نفسها في كل مرجع عُطالي؛ ولا أحد منها “ساكن حقًّا”.
  2. ثبات cc: يسافر الضوء في الخلاء بسرعة c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} في كل مرجع عُطالي، مهما تكن حركة المنبع أو المراقب.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

35.2 وداعًا لعبارة “اللحظة نفسها”

قضية 35.3 (نسبية التزامن)

الحدثان المتزامنان في مرجع عُطالي ليسا، في العموم، متزامنين في مرجع آخر: فعبارة “الآن، في كل مكان” تتوقف على المرجع.

برهان. قطار أينشتاين. صاعقتان تضربان طرفَي قطار متحرك، فتحرقان السكة. والمراقب MM على الرصيف، وهو في منتصف المسافة بين الأثرين، يستقبل الوميضين معًا؛ وقد قطع كلٌّ منهما المسافة نفسها بالسرعة نفسها cc، ومن ثم كانت الضربتان متزامنتين. أما الراكب M′M'، وهو في منتصف القطار، فيركب نحو الوميض الأمامي، الذي يبلغه أولًا؛ لكن في مرجعه أيضًا قطع الوميضان مسافتين متساويتين (نصف قطار) بالسرعة نفسها cc — أي بالمسلَّمة الثانية! — ومن ثم وقعت الضربة الأمامية أولًا. وكل حكم صحيح في مرجعه؛ و الخلاف، وهو نانوثوانٍ في حالة قطار، هو سبب عدم انتباه أحد له. ∎

قطار أينشتاين: يبلغ الوميضان من A وB النقطةَ M معًا؛ وM' يركب نحو وميض B، فيلاقيه أولًا — ويستنتج أنه ضرب أولًا.
قطار أينشتاين: يبلغ الوميضان من AA وBB النقطةَ MM معًا؛ وM′M' يركب نحو وميض BB، فيلاقيه أولًا — ويستنتج أنه ضرب أولًا.

35.3 ساعة الضوء وعامل γ\gamma

تعريف 35.4 (الحدث والزمن الذاتي)

الحدث هو وقوع في مكان واحد ولحظة واحدة — أي دقّة، أو وميض، أو تفكك. ومتى حضرت ساعة واحدة عند حدثين، كانت الفترة التي تقرؤها بينهما هي الزمن الذاتي Δt0\Delta t_0. أما المرجع الذي تتحرك فيه تلك الساعة فيقيس فترة مختلفة في العموم Δt\Delta t.

مبرهنة 35.5 (تمدد الزمن)

الساعة المتحركة بسرعة ثابتة vv عبر مرجع عُطالي يُقاس فيه أنها تتأخر: فبين حدثين عند الساعة،

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

برهان. ابنِ أبسط ساعة يمكن تصورها: مرآتان متقابلتان تفصل بينهما مسافة LL، وفوتون يرتدّ بينهما؛ فالرحلة الكاملة الواحدة دقّة واحدة، وفي السكون تدوم الدقّة Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c. والآن ثبّت الساعة في سفينة تعبر بسرعة vv، والمرآتان عموديتان على الحركة، وقِس دقّة واحدة من الأرض: ففي أثناء صعود الفوتون تنزلق المرآتان جانبًا، فيطير الفوتون على مسار مائل — أي حركتين في وقت واحد، كمقذوف الفصل 24. وإذا دامت الدقّة Δt\Delta t، تقدّم كل نصف دقّة v Δt/2v\,\Delta t/2 أفقيًّا وLL شاقوليًّا؛ ثم — وهي الخطوة الحاسمة — تثبّت المسلَّمة الثانية سرعة الفوتون على الأرض عند cc، ومن ثم يقيس نصف المسار المائل c Δt/2c\,\Delta t/2. وبفيثاغورس:

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

وأي ساعة تركب إلى جانبها — ساعة يد، أو نبض قلب، أو نواة متفككة — يجب أن تبقى على الخطى، وإلا فضحت المقارنةُ حركةَ السفينة وخالفت المسلَّمة الأولى. ∎

ساعة الضوء. في السكون يصعد الفوتون L؛ ومن الأرض يطير على الوتر بالسرعة c نفسها — ومن ثم يجب أن تأخذ الدقّة زمنًا أطول. ساعة الضوء. في السكون يصعد الفوتون L؛ ومن الأرض يطير على الوتر بالسرعة c نفسها — ومن ثم يجب أن تأخذ الدقّة زمنًا أطول.
ساعة الضوء. في السكون يصعد الفوتون LL؛ ومن الأرض يطير على الوتر بالسرعة cc نفسها — ومن ثم يجب أن تأخذ الدقّة زمنًا أطول.

مثال 35.6 (غاما بالأرقام)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

لا يحدث شيء صفحاتٍ، ثم يحدث كل شيء: فالعامل γ\gamma يلتصق بالقيمة 11 حتى ثلث سرعة الضوء، ويتجاوز 22 قرب 0.9c0.9c، وينفجر عند v→cv \to c.

= 1/√1 - v2/c2: لا يُميَّز من 1 عند سرعات كل يوم، ويتباعد عند المقارب v = c — أي السرعة التي لا يبلغها أي جسم ذي كتلة.
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}: لا يُميَّز من 11 عند سرعات كل يوم، ويتباعد عند المقارب v=cv = c — أي السرعة التي لا يبلغها أي جسم ذي كتلة.

ملاحظة 35.7 (لماذا لم تنتبه الحياة اليومية قط)

من أجل v≪cv \ll c، اكتب x=v2/c2x = v^2/c^2: فبما أن (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 و (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x، نحصل على γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2). والسيارة عند 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} لها γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} (أي ثانية واحدة تُفقد في كل أربعة ملايين سنة من القيادة)؛ والطائرة النفّاثة تبلغ 3.5×10−133.5 \times 10^{-13}، أي ثانية واحدة في كل تسعين ألف سنة في الجو. فساعاتنا كانت ببساطة أخشن من اللازم.

35.4 حكم التجربة

مثال 35.8 (الميونات تبلغ الأرض)

الأشعة الكونية التي تضرب الجو العلوي تخلق ميونات — وهي جسيمات قصيرة العمر عمرها الذاتي Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — على ارتفاع نحو 15 km15\,\mathrm{km}، متحركةً بسرعة تقارب cc. وبلا نسبية يقطع الميون c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} في كل عمر: فيأخذ النزول نحو 2323 عمرًا، والجزء الناجي e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} ينبغي أن يجعل ميونات مستوى البحر نادرة إلى حدّ التلاشي. ومع ذلك تعدّ الكواشف نحو واحد في السنتيمتر المربع في الدقيقة. ويحلّ تمدد الزمن الأمر: فالميونات، إذ تصل بعامل γ≈30\gamma \approx 30، تعيش 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} على ساعاتنا — أي مدى ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}، وهو الجو كله.

رحلة الميون: يموت عمر كلاسيكي واحد على بعد 660\, m دون ارتفاع الولادة؛ أما العمر الممدَّد فيمسح الجو كله.
رحلة الميون: يموت عمر كلاسيكي واحد على بعد 660 m660\,\mathrm{m} دون ارتفاع الولادة؛ أما العمر الممدَّد فيمسح الجو كله.

وتتراكم التأكيدات. ففي 1971 طار هافيل وكيتنغ بساعات سيزيوم ذرّية (الفصل 28) حول العالم على متن طائرات ركاب؛ وعند الهبوط اختلفت عن ساعات الأرض بأجزاء من الميكروثانية كما تنبّأ الحساب. والمسرّعات تعوّل على التمدد يوميًّا، إذ تُدفع جسيماتها إلى γ\gamma فتنجو آلاف اللفّات التي لم تكن لتكملها كلاسيكيًّا أبدًا. أما GPS فتجربة جارية لها ثمن.

ملاحظة 35.9 (فاتورة النسبية في GPS)

يدور تابع GPS بسرعة نحو 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}، ومن ثم تبطّئ النسبية الخاصة ساعته بنحو 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم. أما الجاذبية، وهي أضعف على الارتفاع، فتعمل في الاتجاه الآخر وتغلب: فالنسبية العامة (نظرية أينشتاين في الجاذبية، المرويّة في مجلدات الجامعة) تسرّعها بنحو 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم؛ والصافي، 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم تقدّمًا. وتحديد الموضع يحوّل قراءات الساعة إلى مسافات بالسرعة cc: فيوم بلا تصحيح يلطّخ المواضع بمقدار c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} — ومن هنا الساعات المزاح ضبطها في الفقرة الافتتاحية.

قضية 35.10 (تقلص الأطوال)

الجسم ذو الطول L0L_0 في مرجع سكونه يُقاس أقصر على امتداد اتجاه حركته في مرجع يتحرك فيه بسرعة vv: L=L0/γL = L_0/\gamma.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 35.11 (حكاية الميون كما يرويها هو)

تقلص الأطوال هو الوجه الآخر لتمدد الزمن (وهو مستنتَج استنتاجًا أمينًا في مجلدات الجامعة): فساعة الميون تدقّ دقًّا عاديًّا في مرجعه، لكن الجو المندفع صاعدًا متقلص إلى 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}، ويُقطع في أقل من 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} بمريح — فالمرجعان يتفقان على أن الميون يبلغ الأرض.

35.5 الكتلة والطاقة والعالم الكلاسيكي مستعادًا

مبرهنة 35.12 (تكافؤ الكتلة والطاقة)

الجسم ذو الكتلة mm يملك، بكتلته وحدها، الطاقة

E=mc2.E = m c^2 .

فالكتلة صورة مركَّزة من الطاقة؛ والطاقة، على العكس، لها كتلة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 35.13 (أين لاقيتها)

هذا هو الدفتر وراء الطاقة النووية (الفصل 33): فالنقص الكتلي في تفاعل، مضروبًا في c2c^2، هو الطاقة المحرَّرة. وغرام واحد من الكتلة هو 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — أي إنتاج يوم كامل من محطة كهرباء كبيرة. أما الاستنتاج الأمين فيخصّ مجلدات الجامعة؛ و المفاعلات والنجوم تعمل عليه على أي حال.

ملاحظة 35.14 (نيوتن لم يكن مخطئًا)

ضَعْ v≪cv \ll c: فيكون γ→1\gamma \to 1، وتتفق الأزمنة، وتتوقف الأطوال عن التقلص، ويصير التزامن مطلقًا — فتعود ميكانيكا السنوات الثلاث الماضية تامّة، بوصفها نهاية السرعات المنخفضة. فالنسبية لم تهدم نيوتن؛ بل رسمت حدود إمبراطوريته. وهكذا تنمو الفيزياء: أي بتنقيح النظريات، وكل جديدة تعيد القديمة حالةً حدّيّة.

35.6 تمارين

تمرين 35.1 ★

احسب γ\gamma، إلى ثلاثة أرقام معنوية، من أجل v=0.1cv = 0.1c، 0.6c0.6c، 0.8c0.8c، 0.995c0.995c.

حل

حل التمرين 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}: 1.011.01 (0.1c0.1c)؛ 1.251.25 (0.6c0.6c)؛ 1.671.67 (0.8c0.8c)؛ 10.010.0 (0.995c0.995c).

تمرين 35.2 ★

سفينة تبحر بسرعة 0.6c0.6c؛ وميقاتيتها تنبض كل 10.0 s10.0\,\mathrm{s} بساعة السفينة. فأيّ مجال تقيس الأرض؟ وأيّهما الزمن الذاتي، ولماذا؟

حل

حل التمرين 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25، ومن ثم تقيس الأرض 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}. والمقدار 10.0 s10.0\,\mathrm{s} في السفينة هو الزمن الذاتي: فالميقاتية (وهي ساعة واحدة) حاضرة عند النبضتين.

تمرين 35.3 ★

عند أي سرعة (كجزء من cc) يكون γ=2\gamma = 2؟ وγ=10\gamma = 10؟

حل

حل التمرين 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}: يعطي γ=2\gamma = 2 المقدارَ v=0.866cv = 0.866c؛ ويعطي γ=10\gamma = 10 المقدارَ v=0.995cv = 0.995c.

تمرين 35.4 ★

سيارة تسير بسرعة 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. احسب v/cv/c، ثم γ−1\gamma - 1 (الملاحظة 35.7)؛ وكم يجب أن تسير حتى تتأخر ساعتها 1 s1\,\mathrm{s}؟

حل

حل التمرين 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7}؛ γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}. وتُفقد ثانية واحدة بعد 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} — أي نحو أربعة ملايين سنة من القيادة.

تمرين 35.5 ★

في تجربة قطار أينشتاين، فسّر — مستشهدًا بالمسلَّمة المستعملة — لماذا يستنتج الراكب أن الضربة الأمامية جاءت أولًا، ولماذا لا يكون أيّ من المراقبَين مخطئًا.

حل

حل التمرين 35.5.

يركب الراكب نحو الوميض الأمامي، ومن ثم يبلغه أولًا؛ وبالمسلَّمة الثانية يسافر الوميضان بالسرعة cc نفسها على مسافتَي نصف القطار المتساويتين في مرجعه، ومن ثم يعني الوصول الأبكر ضربةً أبكر. فالتزامن يتوقف على المرجع: وكل حكم صحيح في مرجعه.

تمرين 35.6 ★★

تعيش البيونات المشحونة Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. وتغادر حزمة مسرّعًا بسرعة 0.99c0.99c. احسب γ\gamma، والعمر في المختبر، و المدى الكلاسيكي v Δt0v\,\Delta t_0، والمدى المتوسط الفعلي.

حل

حل التمرين 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09؛ والعمر في المختبر 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}. والمدى الكلاسيكي 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}؛ والفعلي 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}.

تمرين 35.7 ★★

من منحني γ\gamma، اقرأ السرعتين اللتين تعطيان γ=1.5\gamma = 1.5 و γ=3\gamma = 3 (وتحقق بالحساب). وماذا يقول المقارب الشاقولي عند v=cv = c عن تسريع جسم ذي كتلة؟

حل

حل التمرين 35.7.

γ=1.5\gamma = 1.5 عند v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c؛ γ=3\gamma = 3 عند ≈0.94c\approx 0.94c. أما المقارب: فالعامل γ\gamma (ومعه كلفة الطاقة لمزيد من السرعة) يتباعد عند v→cv \to c — فلا يبلغ أي جهد منتهٍ بجسم ذي كتلة سرعةَ الضوء.

تمرين 35.8 ★★

لساعة ضوء مرآتان تفصل بينهما L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}. احسب دقّتها في السكون، ثم دقّتها مقيسةً من الأرض حين تبحر بسرعة 0.8c0.8c.

حل

حل التمرين 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}؛ وعند 0.8c0.8c، γ=5/3\gamma = 5/3، ومنه Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

تمرين 35.9 ★★

مَن يقيس الزمن الذاتي بين: (أ) دقّتين من ساعة يد — لابسها، أم مارّ بها؟ (ب) ولادة ميون وتفككه — الميون، أم المختبر؟ (ج) مغادرة الأرض وبلوغ المريخ — الطيار، أم مركز التحكم بالمهمة؟

حل

حل التمرين 35.9.

الزمن الذاتي يخصّ الساعة الحاضرة عند الحدثين: (أ) اللابس؛ (ب) الميون؛ (ج) الطيار — فالسفينة وحدها حاضرة عند المغادرة وعند الوصول.

تمرين 35.10 ★★

تدور المحطة الفضائية بسرعة 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}. احسب γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2، ثم بكم تتأخر ساعة رائدة فضاء عن ساعة أرضية بعد ستة أشهر (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}).

حل

حل التمرين 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}؛ وعلى مدى 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} تتأخر رائدة الفضاء 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} — أي أصغر بنحو خمس ميلي ثوانٍ.

تمرين 35.11 ★★

احسب محتوى الطاقة E=mc2E = mc^2 في 1.0 g1.0\,\mathrm{g} من المادة. وقارنه بالإنتاج اليومي لمحطة كهرباء قدرها 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW}، وبالطاقة الحركية 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} لسيارة عند 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

حل

حل التمرين 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}. و محطة قدرها 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} توصّل 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} في اليوم — فالغرام الواحد هو إنتاج يوم واحد منها، و 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}: أي مئة مليون سيارة مسرعة.

تمرين 35.12 ★★★

بيّن من γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} أن v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}؛ واستنتج سرعة ميونات γ=30\gamma = 30، إلى خمسة أرقام معنوية بوحدة cc.

حل

حل التمرين 35.12.

ربّع واقلب: γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1، ومنه v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2، ومن ثم v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}. ومن أجل γ=30\gamma = 30: v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

تمرين 35.13 ★★★

أعِد رواية رحلة الميون من مرجعه هو: فكم يبلغ سُمك الجو عند γ=30\gamma = 30، وكم يستغرق مروره عند 0.99944c0.99944c، وهل يسع ذلك في عمر ذاتي واحد؟

حل

حل التمرين 35.13.

السُّمك المتقلص L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}؛ وزمن المرور 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. فالمرجعان يتفقان على أن الميون يبلغ الأرض — هذا يلوم عمرًا ممطوطًا، وذاك جوًّا متقلصًا.

تمرين 35.14 ★★★

مسرّع خطي يدفع إلكترونات إلى γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} على امتداد أنبوب طوله 3.2 km3.2\,\mathrm{km}. فكم تستغرق الرحلة في المختبر؟ وكم في مرجع الإلكترون، وكم يبلغ “طول” الأنبوب هناك؟

حل

حل التمرين 35.14.

في المختبر: 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (والسرعة ≈c\approx c). وفي مرجع الإلكترون: الأنبوب متقلص إلى 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}، ويُقطع في 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}.

تمرين 35.15 ★★★

تقع بروكسيما قنطورس على بعد 4.24.2 سنة ضوئية (والسنة الضوئية هي المسافة التي يقطعها الضوء في سنة). ومسبار يبحر إليها بسرعة 0.9c0.9c: فكم تستغرق الرحلة على تقويم الأرض، وعلى ساعة المسبار؟

حل

حل التمرين 35.15.

على الأرض: 4.2/0.9≈4.7 years4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{years}. ومع γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29، تسجّل ساعة المسبار 4.7/2.29≈2.0 years4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{years}.

35.7 مسألة: الميون والتوأم

مسألة 35.1

مسألة نهاية الأسبوع — رحلة الميون وتوأم رائدة الفضاء: جسيم يعمّر أطول من ساعته، وساعة ضوء معاد بناؤها، ومسافرة أصغر سنًّا من توأمها، والمحاسبة التي تُبقي GPS أمينًا

المعطيات: العمر الذاتي للميون Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}؛ والميونات تولد على ارتفاع نحو 15 km15\,\mathrm{km} بسرعة تقارب cc؛ وتدفق مستوى البحر نحو ميون واحد في cm2\mathrm{cm}^{2} في الدقيقة؛ c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

الجزء I — وصول الميون المستحيل.

  1. بلا نسبية، كم يسافر الميون في عمر واحد؟
  2. وكم عمرًا يأخذ النزول من 15 km15\,\mathrm{km} عندئذٍ؟
  3. وبعد nn عمر ينجو الجزء e−n\mathrm{e}^{-n}: قدّره، وواجه به التدفق المقيس، وأصدر حكمًا على الفيزياء الكلاسيكية في جملة واحدة.
  4. وهذه الميونات تصل في الواقع بعامل γ≈30\gamma \approx 30. احسب عمرها مقيسًا من الأرض والمدى الناتج.
  5. احسب سرعتها، مستعملًا v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}، إلى خمسة أرقام معنوية بوحدة cc.

الجزء II — ساعة الضوء، معاد بناؤها. ساعة ضوء (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) تركب سفينة بسرعة v=0.6cv = 0.6c.

  1. احسب الدقّة Δt0\Delta t_0 المقروءة على المتن.
  2. ومن الأرض، تدوم الدقّة Δt\Delta t: أعطِ التقدّم الأفقي في كل نصف دقّة، وصعود الفوتون الشاقولي، و— مع تسمية المسلَّمة التي تثبّته — طول نصف المسار المائل.
  3. طبّق فيثاغورس على مثلث نصف الدقّة وحُلّ لإيجاد Δt\Delta t، مبيّنًا أن Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
  4. احسب γ\gamma وΔt\Delta t عدديًّا.
  5. وأيّ مراقب يقيس الزمن الذاتي بين دقّتين؟ برّر انطلاقًا من التعريف.

الجزء III — المسافرة وتوأمها. تترك رائدة فضاء توأمها على الأرض في رحلة ذهاب وإياب بسرعة 0.8c0.8c؛ وتوقّت ساعات الأرض الرحلة كلها بالمدة 10.0 years10.0\,\mathrm{years}.

  1. احسب γ\gamma عند 0.8c0.8c (كسرًا مضبوطًا، ثم عشريًّا).
  2. وكم من الزمن ينقضي على ساعة رائدة الفضاء؟
  3. وعلى أي بعد (في مرجع الأرض، بالسنوات الضوئية) وقعت نقطة الاستدارة؟
  4. وما فرق العمر عند اللقاء، وأيّ التوأمين أصغر؟
  5. “لكن الحركة نسبية — فتقدر رائدة الفضاء أن تدّعي أن الأرض هي التي سافرت!” حُلّ الاعتراض في جملة واحدة.

الجزء IV — فاتورة GPS. تابع GPS يدور بنصف قطر r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}، ودوره T=12 hT = 12\,\mathrm{h}.

  1. احسب سرعته المدارية v=2πr/Tv = 2\pi r/T.
  2. احسب γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2.
  3. استنتج، بالميكروثانية، بكم تتأخر ساعة التابع عن ساعات الأرض في كل يوم (86 400 s86\,400\,\mathrm{s}).
  4. ولو تُرك هذا الانحراف وحده بلا تصحيح، لأخطأت المواضع بمقدار c×c \times (الانحراف): احسب الخطأ بعد يوم واحد.
  5. والجاذبية، وهي أضعف على الارتفاع، تشغّل الساعة متقدمة بمقدار 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم (بالنسبية العامة): احسب الانحراف الصافي وخطأ الموضع اليومي بالكيلومترات — أي الرقم الذي يُلزم المهندسين بإزاحة ضبط كل ساعة GPS.
حل

حل المسألة 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}.

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 عمرًا.

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}: أي إنه ينبغي أن يصل أقل من ميون واحد في كل عشرة مليارات، ومع ذلك يبلغ التدفق واحدًا في cm2\mathrm{cm}^{2} في الدقيقة — فالسماء تناقض الفيزياء الكلاسيكية مناقضة صريحة.

4. العمر على الأرض 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}؛ والمدى ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}: فالوصول مفسَّر.

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

7. الأفقي v Δt/2v\,\Delta t/2؛ والشاقولي LL؛ ويقيس نصف المسار المائل c Δt/2c\,\Delta t/2 لأن المسلَّمة الثانية تثبّت سرعة الفوتون عند cc في مرجع الأرض أيضًا.

8. يعطي (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 المقدارَ Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2، ومنه Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0.

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25؛ Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

10. ساعة السفينة: فساعتها الواحدة حاضرة عند الدقّتين، ومن ثم تقرأ الزمن الذاتي؛ أما الأرض فتحتاج ساعتين متزامنتين.

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67.

12. 10.0/(5/3)=6.0 years10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{years}.

13. الذهاب 5.0 years5.0\,\mathrm{years} عند 0.8c0.8c: أي 4.04.0 سنة ضوئية.

14. 10.0−6.0=4.0 years10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{years}: فرائدة الفضاء أصغر من توأمها بأربع سنوات.

15. الوضع ليس متناظرًا: فرائدة الفضاء وحدها هي التي تستدير — إذ تتسارع وتغيّر مرجعها العُطالي، بينما يبقى التوأم على الأرض في مرجع واحد — ومن ثم لا تسجّل الزمن الأقصر إلا ساعتها.

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}.

18. 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم تأخّرًا.

19. c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} من خطأ الموضع في اليوم.

20. الانحراف الصافي 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} في اليوم تقدّمًا؛ والخطأ c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} في اليوم — أي فاتورة النسبية التي تدفعها كل ساعة GPS مقدَّمًا، بإزاحة ضبطها على الأرض لتدقّ صادقةً في المدار.

هنا تنتهي فيزياء المدرسة — لا الفيزياء. ففي مجلدات الجامعة، تعود الميكانيكا مسلَّحة بالتفاضل والتكامل؛ وتكشف الكهرباء والمغناطيسية عن نفسيهما بنيةً واحدة كان الضوء، والنسبية نفسها، مختبئين فيها منذ البداية؛ ويصير العالم الكمومي، الذي لُمح في الفصل السابق، نظريةً عاملة للمادة. وستُلزَم كل نظرية، كالنسبية، بأن تعيد ما تعرفه الآن حالةً حدّيّة. فاحملْه معك: فهو الجزء الذي لن يتغير.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد