فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

32التفكك الإشعاعي

في قبو متحف، يطقطق عدّاد غايغر فوق شظية خشب من تابوت فرعون. وكل طقطقة بلا قانون: فلا شيء أعلن عنها، ولا شيء يتنبأ بالتالية. ومع ذلك سيطبع المختبر يوم الجمعة تاريخًا مضبوطًا إلى قرن. ويحلّ هذا الفصل المفارقة — أي كيف تتجمع أحداث عشوائية تمامًا واحدًا واحدًا، بالتريليونات، لتصير أثبت الساعات التي نملك.

32.1 بلا قانون فرادى، وكآلة الساعة بالمول

في السنة الماضية (الفصل 19) لاقينا الأنوية غير المستقرة، ووازنّا معادلات $\alpha$ و $\beta$ ، ورأينا نصف أي عيّنة كبيرة يختفي في كل عمر نصف $T_{1/2}$ . أما ما لم نستطع قوله فهو متى بين الدرجات — ولا لماذا تحفظ عملية عشوائية جدولًا أصلًا. وللسؤالين معًا جواب واحد.

تعريف 32.1 (ثابت التفكك)

لكل نوكليد غير مستقر ثابت $\lambda$ ، هو ثابت التفكك الخاص به (ووحدته $\mathrm{s}^{-1}$ )، بحيث يكون لكل نواة، خلال أي فترة قصيرة $\dd t$ ، احتمال $p = \lambda\,\dd t$ أن تتفكك — وهو نفسه لكل نواة من النوع، مهما يكن عمرها، ولا تمسّه الحرارة ولا الضغط ولا الكيمياء.

ملاحظة 32.2 (بلا قانون فرادى، مضبوط في الحشود)

النواة التي انتظرت عشرة آلاف سنة يتساوى احتمال تفككها في هذه الثانية مع نواة صُنعت هذا الصباح: فلا بِلى، ولا إنذار — وأيّهما تذهب تاليًا أمر غير قابل للتنبؤ حقًّا. أما الحشود فشأن آخر. ارمِ $100$ قطعة نقد: فتوقّع $50$ صورة، ولا تُدهش من $43$ — أي تقلبات من رتبة $\sqrt n$ ، وهنا $10\%$ . وارمِ $10^{20}$ : فيكون التقلّب النسبي $1/\sqrt n$ مساويًا $10^{-10}$ ، والنتيجة يقينية إلى عشرة أرقام عشرية. وغرام واحد من المادة يحوي نحو $10^{22}$ نواة: فينحلّ انعدام القانون بالتوسيط إلى آلة ساعة، أي قانونًا مضبوطًا من أجل $N(t)$ ، عدد الأنوية التي ما تزال سليمة عند الزمن $t$ .

عيّنتان حقيقيتان من 20 نواة تترنّحان نازلتين على غير تنبؤ حول المنحني المنتظَر؛ أما مول من الأنوية فسيلتصق به إلى عشرة أرقام عشرية. — عيّنتان حقيقيتان من $20$ نواة تترنّحان نازلتين على غير تنبؤ حول المنحني المنتظَر؛ أما مول من الأنوية فسيلتصق به إلى عشرة أرقام عشرية.

32.2 قانون التفكك

قضية 32.3 (معادلة التطور)

في عيّنة كبيرة من $N$ نواة، يتغير العدد خلال $\dd t$ بالمقدار

\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{أي}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :

فيتقلص العدد بوتيرة تتناسب معه هو نفسه.

برهان. كل نواة من الأنوية $N$ تتفكك خلال $\dd t$ باحتمال $\lambda\,\dd t$ : فالتفككات المنتظَرة $N\lambda\,\dd t$ ، ومن أجل $N$ الكبيرة يلتصق العدد الفعلي بالعدد المنتظَر (الملاحظة 32.2)؛ وكل تفكك يزيل نواة واحدة. ∎

مبرهنة 32.4 (قانون التفكك الإشعاعي)

العيّنة التي تحوي $N_0$ نواة عند $t = 0$ تحوي، عند الزمن $t$ ،

N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.

برهان. تحقّق بالتعويض: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ ، و $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ : فالمعادلة والانطلاقة كلتاهما صحيحتان. (أما أنه لا توافق دالة أخرى فمبرهَن عليه، بالتكاملات، في مجلد الجامعة.) ∎

تعريف 32.5 (التناقص الأُسّي)

المقدار الذي يتبع $N_0\,e^{-\lambda t}$ يخضع لتناقص أُسّي: أي إنه يخسر في أزمنة متساوية أجزاءً متساوية. وهو بالضبط المكثّفة المفرِّغة في الفصل 30، مع $\lambda$ مكان $1/(RC)$ : فمعادلة تفاضلية واحدة، تُتعلَّم مرة واحدة، تدير الدارات والأنوية سواء بسواء.

قضية 32.6 (عمر النصف)

عمر النصف (التعريف 19.14) في نوكليد يضبطه ثابت تفككه: $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ ، وبعد $n$ عمر نصف يكون $N = N_0/2^{\,n}$ ، صحيحًا كان $n$ أم لا.

برهان. يقتضي $N(T_{1/2}) = N_0/2$ أن يكون $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ ، أي $\lambda T_{1/2} = \ln 2$ ؛ و $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ من أجل أي $n$ : فالأُسّي يخيط الدرَج ويملأ ما بين الدرجات. ∎

يمرّ N(t) = N_0\,e- t بكل درجة من درجات الدرَج — وهو يقول الآن ما يحدث بينها. — يمرّ $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ بكل درجة من درجات الدرَج — وهو يقول الآن ما يحدث بينها.

مثال 32.7 (عشرون قوة من عشر)

مع $1$ سنة $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ :

النوكليد	$T_{1/2}$	$\lambda$ ( $\mathrm{s}^{-1}$ )
البولونيوم-214	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	$4.2 \times 10^{3}$	حلقة في سلسلة اليورانيوم
التكنيسيوم-99m	$6.0$ ساعة	$3.2 \times 10^{-5}$	التصوير الطبي
اليود-131	$8.0$ يومًا	$1.0 \times 10^{-6}$	طب الغدة الدرقية
السيزيوم-137	$30$ سنة	$7.3 \times 10^{-10}$	تساقط المفاعلات
الكربون-14	$5730$ سنة	$3.8 \times 10^{-12}$	علم الآثار
البوتاسيوم-40	$1.25 \times 10^{9}$ سنة	$1.8 \times 10^{-17}$	تأريخ الصخور
اليورانيوم-238	$4.5 \times 10^{9}$ سنة	$4.9 \times 10^{-18}$	حرارة الأرض الداخلية

قانون واحد، وعشرون قوة من عشر في $\lambda$ .

32.3 النشاط: عدّ الطقطقات

قضية 32.8 (النشاط)

نشاط العيّنة — أي تفككاتها في كل ثانية، بالبيكريل (التعريف 19.18) — هو

\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{ومنه}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:

فيتناسب مع العدد الباقي، ويكون أُسّيًّا بالقدر نفسه.

برهان. $N$ نواة، لكل منها احتمال $\lambda$ في الثانية: أي $\lambda N$ تفككًا في الثانية؛ وضرب المبرهنة 32.4 في $\lambda$ يعطي $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ . ∎

مثال 32.9 ( $N$ ضخم، $\lambda$ ضئيل)

تطقطق موزة عند نحو $15\,\mathrm{Bq}$ ، ويطقطق جسم إنسان عند نحو $8000\,\mathrm{Bq}$ ، ويطقطق متر مكعب من الغرانيت عند نحو $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (الفصل 19). وخلف الطقطقات المتواضعة تجلس أعداد فلكية: فبوتاسيوم-40 في الجسم يسهم بالمقدار $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ مع $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ : أي $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ نواة، لا يطلق منها في كل ثانية إلا بضعة آلاف بالكاد.

طريقة 32.10 (قياس عمر نصف)

عُدّ التفككات بعدّاد غايغر على فترات متساوية متتالية: فهذا يعاين $\mathcal A$ عند أزمنة متتالية.
ارسم $\ln \mathcal A$ بدلالة $t$ : فبما أن $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ ، يظهر التناقص الأُسّي مستقيمًا — والمعطيات المعوجّة تعني قانونًا آخر، أو خليطًا من النوكليدات.
اقرأ $\lambda$ بوصفه سالب الميل؛ $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

عدّات غايغر لنوكليد قصير العمر: على محاور نصف لوغاريتمية يصير الأُسّي مستقيمًا؛ وهنا يعطي الميل 9.6 × 10-3\, s-1، ومنه T_1/2 72\, s. — عدّات غايغر لنوكليد قصير العمر: على محاور نصف لوغاريتمية يصير الأُسّي مستقيمًا؛ وهنا يعطي الميل $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، ومنه $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

ملاحظة 32.11 (البيكريلات ليست ضررًا)

البيكريل يعدّ التفككات، لا الضرر. أما الضرر فتتعقبه الجرعة بوحدة السيفرت (الفصل 19)، وهي تزن الطاقة المودعة في كل كيلوغرام من النسيج بمقدار تخريب كل إشعاع: فمسح تكنيسيومي قدره $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ أمر روتيني، وأقل منه بكثير من بيكريلات مُصدر $\alpha$ مستنشَق ليس كذلك؛ وتحويل $\mathrm{Bq}$ إلى $\mathrm{Sv}$ مادةٌ جامعية.

32.4 التأريخ: قراءة الزمن من نسبة

قانون التفكك مُدارًا إلى الوراء ساعة: فقِس الجزء الباقي، يسمِّ لك الأُسّي الزمن المنقضي.

طريقة 32.12 (التأريخ بالكربون المشعّ)

حيًّا: يتبادل النسيج الحي الكربون مع الجو فيحمل نسبته من الكربون-14 — أي ذرة واحدة في كل $10^{12}$ ، فتعطي $\mathcal A_0 = 13.6$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام من الكربون.
والموت يشغّل الساعة: فيتوقف الأخذ، وتتناقص النسبة بعمر نصف $T_{1/2} = 5730$ سنة.
قِس نشاط العيّنة $\mathcal A$ لكل غرام من الكربون؛ فينقلب $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ إلى $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A) = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

مثال 32.13 (موقد في كهف)

فحم نباتي من موقد مطمور يعطي $5.0$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$ ، ومنه $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ سنة. فقد انطفأت النار قبل ثمانية آلاف سنة — والخشب نفسه هو الأرشيف.

منحني التأريخ: ادخل عند النسبة المقيسة، واقرأ نازلًا إلى العمر. والنقطة هي موقد : النسبة 0.37، والعمر 8.3 × 103 سنة. — منحني التأريخ: ادخل عند النسبة المقيسة، واقرأ نازلًا إلى العمر. والنقطة هي موقد المثال 32.13: النسبة $0.37$ ، والعمر $8.3 \times 10^{3}$ سنة.

مثال 32.14 (ساعات للصخور)

يصمت الكربون-14 بعد نحو $50\,000$ سنة؛ والجيولوجيا تحفظ ساعات أبطأ. البوتاسيوم–الأرغون: فالبوتاسيوم-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ سنة) يتفكك إلى أرغون، وهو غاز يفلت من الحمم المنصهرة لكنه يُحبس متى تبلور الصخر — فالتصلب يصفّر الساعة. واليورانيوم–الرصاص: فاليورانيوم-238 يترأس سلسلة تفككات تنتهي عند الرصاص-206 المستقر (الفصل 19)، ونسبة الرصاص إلى اليورانيوم في بلورة تؤرّخها. والساعتان تتفقان على أقدم المعادن ( $\approx 4.4 \times 10^{9}$ سنة)، وتتفقان، عبر النيازك، على عمر المجموعة الشمسية.

ملاحظة 32.15 (السلاسل، والغاز في القبو)

بين اليورانيوم والرصاص تمرّ السلسلة بالراديوم، ثم بالرادون-222، وهو غاز مشعّ ( $T_{1/2} = 3.8$ يومًا). ويولد في الغرانيت و التربة، فيتسرّب إلى الأقبية ويتراكم؛ وتتفكك بناته المُصدِرة للجسيمات $\alpha$ في الرئتين — وهي أكبر جرعة طبيعية يتلقاها معظم الناس، و أرخصها خفضًا: فافتح نافذة القبو.

32.5 تمارين

تمرين 32.1 ★

لليود-131 المقدار $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ . احسب عمر نصفه بالثواني، ثم بالأيام.

حل

حل التمرين 32.1.

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx 8.0$ يومًا — أي ساعة اليود-131.

تمرين 32.2 ★

للرادون-222 المقدار $T_{1/2} = 3.8$ يومًا. احسب $\lambda$ بوحدة $\mathrm{s}^{-1}$ ، ثم نشاط عيّنة من $1.0 \times 10^{10}$ نواة.

حل

حل التمرين 32.2.

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ ؛ $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ .

تمرين 32.3 ★

تحقق بالتعويض من أن $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ تحقق $\dd N/\dd t = -\lambda N$ و $N(0) = N_0$ ؛ ثم احسب $N(T_{1/2})/N_0$ .

حل

حل التمرين 32.3.

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — فالمعادلة تصحّ؛ $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ ؛ $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$ .

تمرين 32.4 ★

منبع سيزيوم-137 ( $T_{1/2} = 30$ سنة) نشاطه $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ اليوم. احسب نشاطه بعد $90$ سنة، ثم بعد $300$ سنة.

حل

حل التمرين 32.4.

$90$ سنة $= 3\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ . و $300$ سنة $= 10\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$ .

تمرين 32.5 ★

مخطط نصف لوغاريتمي للمقدار $\ln \mathcal A$ بدلالة $t$ في عيّنة تكنيسيوم مستقيم يمرّ بالنقطتين $(0, 20.00)$ و $(10\,\mathrm{hours}, 18.85)$ . جِد $\lambda$ (بوحدة $\mathrm{h}^{-1}$ و $\mathrm{s}^{-1}$ ) و $T_{1/2}$ .

حل

حل التمرين 32.5.

الميل $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$ ، ومنه $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ ساعة — أي التكنيسيوم-99m.

تمرين 32.6 ★★

غرام واحد من الراديوم-226 ( $T_{1/2} = 1600$ سنة؛ والكتلة المولية $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ؛ $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ): احسب عدد الأنوية، ثم $\lambda$ ، ثم النشاط — أي أول وحدة نشاط في التاريخ، وهي الكوري.

حل

حل التمرين 32.6.

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$ ؛ $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$ ، ومنه $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — أي كوري واحد، وهو نشاط غرام الراديوم عند ماري كوري.

تمرين 32.7 ★★

يختم طالبان عيّنتين من $20$ و $2.0 \times 10^{20}$ نواة من نوكليد واحد نفسه. فماذا يتوقع كلٌّ منهما بعد عمر نصف واحد؟ وتنبّؤ من هو الموثوق؟ (قدّر التقلّب النسبي $1/\sqrt n$ لكلٍّ منهما.)

حل

حل التمرين 32.7.

كلاهما يتوقع بقاء النصف: $10$ ، و $1.0 \times 10^{20}$ . والتقلبات $\sim 1/\sqrt{n}$ من العدّة: فمع $10$ تفككًا، نحو $30\%$ — فلا يفاجئ $7$ ولا $13$ ؛ ومع $1.0 \times 10^{20}$ ، نحو $10^{-10}$ . ولا تطيع القانونَ بدقة قابلة للقياس إلا العيّنة الكبيرة.

تمرين 32.8 ★★

يحمل جسم نحو $140\,\mathrm{g}$ من البوتاسيوم، منها $0.012\%$ بوتاسيوم-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ سنة، والكتلة المولية $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). احسب عدد أنوية البوتاسيوم-40، ثم نشاطها؛ وقارنه بالنشاط $8000\,\mathrm{Bq}$ الكلي للجسم.

حل

حل التمرين 32.8.

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$ ؛ $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$ . $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) = 1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — أي نحو نصف مجموع الجسم (ومعظم الباقي كربون-14).

تمرين 32.9 ★★

يتلقى مريض $500\,\mathrm{MBq}$ من التكنيسيوم-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ ساعة). احسب النشاط بعد $15$ ساعة، ثم الزمن اللازم لينزل دون $1\,\mathrm{MBq}$ .

حل

حل التمرين 32.9.

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$ . وعند $15$ ساعة: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx 88\,\mathrm{MBq}$ . ودون $1\,\mathrm{MBq}$ : $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{hours}$ — أي نحو $9$ عمر نصف.

تمرين 32.10 ★★

فحم نباتي من حفرة يظهر $3.4$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام من الكربون؛ وعظم من أخرى يظهر $30\%$ من معدّل الأحياء ( $\mathcal A_0 = 13.6$ في الدقيقة لكل غرام، $T_{1/2} = 5730$ سنة). أرّخ العيّنتين.

حل

حل التمرين 32.10.

الفحم النباتي: $3.4/13.6 = \tfrac14$ ، أي $2$ عمر نصف بالضبط: $t = 1.15 \times 10^{4}$ سنة. والعظم: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74 \approx 1.0 \times 10^{4}$ سنة.

تمرين 32.11 ★★

قبو مختوم وفيه دفعة من الرادون-222 ( $T_{1/2} = 3.8$ يومًا). فبعد كم من الزمن ينزل نشاط الدفعة إلى $1\%$ ؟ والأقبية الحقيقية تبقى مشعّة عقودًا: فمن أين يأتي الرادون الجديد، ولماذا يجب أن تكون التهوية دائمة لا مرة واحدة؟

حل

حل التمرين 32.11.

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$ ؛ $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ يومًا (أي نحو $6.6$ عمر نصف). لكن سلسلة اليورانيوم في الغرانيت والتربة المحيطين تولّد الرادون باستمرار: فتهوية مرة واحدة يُبطلها مرور أسابيع، ومن ثم يجب أن تكون التهوية دائمة.

تمرين 32.12 ★★★

بيّن من $N = N_0 e^{-\lambda t}$ أن $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . و عظم يحتفظ بنسبة $5.0\%$ من كربونه-14 الحيّ: أرّخه.

حل

حل التمرين 32.12.

يعطي $N/N_0 = e^{-\lambda t}$ المقدارَ $\lambda t = \ln(N_0/N)$ ، و يعطي $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ المقدارَ $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . وهنا $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx 2.5 \times 10^{4}$ سنة.

تمرين 32.13 ★★★

في بلورة لم تحبس أرغونًا عند التصلب، تترك كل نواة بوتاسيوم-40 متفككة ذرة أرغون واحدة في مكانها. بيّن أن $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ؛ وصخر يظهر نسبة قدرها $3.0$ : جِد عمره ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ سنة).

حل

حل التمرين 32.13.

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ و $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ ، ومنه $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ . والنسبة $3.0$ : $e^{\lambda t} = 4$ ، ومنه $\lambda t = 2\ln 2$ و $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ سنة.

تمرين 32.14 ★★★

يعطي عدّاد غايغر، عند $t = 0$ ، $60$ ، $120$ ، $180$ ، $240$ ثانية، معدّلات $400$ ، $225$ ، $127$ ، $71$ ، $40$ عدّة في الثانية. احسب $\ln \mathcal A$ عند كل زمن، وتحقق من الاصطفاف، واستنتج $\lambda$ و $T_{1/2}$ .

حل

حل التمرين 32.14.

$\ln \mathcal A = 5.99$ ، $5.42$ ، $4.84$ ، $4.26$ ، $3.69$ : أي هبوط قدره $0.57$ – $0.58$ في كل $60\,\mathrm{s}$ — فهي مصطفّة. والميل: $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ؛ $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

تمرين 32.15 ★★★

من أجل نواة واحدة، يكون احتمال النجاة $n$ عمر نصف هو $1/2^{\,n}$ . احسب احتمال أن (أ) تنجو نواة معطاة واحدة $10$ عمر نصف؛ (ب) تنجو كل الأنوية المراقَبة $8$ عمر نصف واحدًا. (ج) ومن $1000$ نواة، كم يُنتظر بعد $3$ عمر نصف — وهل يقدر القانون أن يقول أيّها؟ استنتج ماذا يتنبأ به القانون.

حل

حل التمرين 32.15.

(أ) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$ . (ب) $(1/2)^8 = 1/256 \approx 0.4\%$ . (ج) $1000/8 = 125$ منتظَرة — لكن القانون صامت عن أيّها: فهو يتنبأ بالأعداد تنبؤًا مضبوطًا، وبالأفراد لا يتنبأ البتة.

32.6 مسألة: عمر الأشياء

مسألة 32.1

مسألة نهاية الأسبوع — عمر الأشياء: مختبر متحف يعاير ساعة الكربون، ويؤرّخ تمثالًا وبردية، ويتعلم لماذا لا تقرأ أي ساعة ما وراء قرصها، ويدفع صخرة بركانية إلى الوراء مليار سنة

أسبوع في مختبر التأريخ في متحف. والمعطيات: النسيج الحي يظهر $\mathcal A_0 = 13.6$ تفكك كربون-14 في الدقيقة لكل غرام من الكربون؛ $T_{1/2} = 5730$ سنة (للكربون-14)، $1.25 \times 10^{9}$ سنة (للبوتاسيوم-40)؛ $1$ سنة $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ؛ $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ؛ والكتلة المولية للكربون $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ؛ والعدّادات تحلّ نحو $0.2$ تفكك في الدقيقة لكل غرام.

الجزء I — الاثنين: معايرة الساعة.

لماذا تكون نسبة الكربون-14 ثابتة في النسيج الحي، و ما الذي يتغير عند الموت؟
احسب $\lambda$ للكربون-14 بوحدة $\mathrm{s}^{-1}$ .
تحقق بالتعويض من أن $N_0 e^{-\lambda t}$ تحلّ $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
من $\mathcal A_0$ ، احسب عدد ذرات الكربون-14 في كل غرام من الكربون في النسيج الحي.
وكم ذرة كربون يحوي غرام واحد؟ استنتج نسبة الكربون-14 — وقارنها بعبارة “واحد في كل $10^{12}$ ”.
بيّن أن نشاطًا مقيسًا $\mathcal A$ يؤرّخ عيّنة بالعمر $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

الجزء II — الثلاثاء: التمثال والبردية.

تمثال خشبي يعطي $9.1$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام. أرّخ الخشب.
وأيّ حدث بالضبط يؤرّخه ذلك — النحت أم شيء آخر؟ وأيّ حذر يتبع ذلك؟
بردية مصرية تعطي $10.4$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام. أرّخها. فهل ناسخ من قبل اثنين وعشرين قرنًا أمر معقول؟
والنشاط مقيس إلى $\pm 0.2$ تفكك في الدقيقة. قدّر ارتياب عمر البردية، مستعملًا $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
ورقّ “قديم” عند تاجر يعطي $13.4$ تفككًا في الدقيقة لكل غرام. فما الحكم؟

الجزء III — الخميس: حدود الساعة.

بعد كم عمر نصف ينزل نشاط عيّنة دون $0.2$ تفكك في الدقيقة لكل غرام عند العدّادات؟ وأيّ عمر ذلك؟
وأفضل المختبرات تبلغ نحو عشرة أعمار نصف. فما الأفق العملي للتأريخ بالكربون المشعّ، بالسنوات؟
عظم ديناصور عمره نحو $6.6 \times 10^{7}$ سنة: فكم عمر نصف للكربون-14 ذلك؟ وباستعمال السؤال 4، بعد كم عمر نصف لا تبقى ذرة واحدة من كربون-14 الغرام؟ واستنتج بشأن “تأريخ الديناصورات بالكربون”.
وأيّ نوع من النوكليدات يقدر أن يؤرّخ صخر الديناصور بدلًا من ذلك؟

الجزء IV — الجمعة: الصخرة البركانية.

الأرغون غاز، والبوتاسيوم مقيم وفيّ في الصلب: فسّر لماذا يصفّر تصلب الحمم ساعة البوتاسيوم–الأرغون.
وبفرض أن كل نواة بوتاسيوم-40 متفككة تترك ذرة أرغون واحدة محبوسة، بيّن أن $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
والصخر تحت أحفورة المتحف يظهر $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . أرّخ الصخر.
فهل كان الكربون-14 يقدر أن يؤرّخ هذا الصخر، أو البوتاسيوم–الأرغون أن يؤرّخ التمثال؟ أعطِ نافذة كل ساعة المفيدة بأعمار النصف.
تقرير الجمعة، في جملة واحدة: الأعمار الثلاثة الموجودة هذا الأسبوع، و القانون الواحد الذي قرأها جميعًا.

حل

حل المسألة 32.1.

1. التبادل مع الجو (بالأكل والتنفس) يبقي النسبة مملوءة عند القيمة الجوّية؛ والموت يوقف الأخذ فيتولّى التفكك.

2. $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} = 1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ ، ومنه $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

3. $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$ ، و $N(0) = N_0$ .

4. $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ لكل غرام؛ $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ ذرة لكل غرام.

5. $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ ذرة كربون؛ والنسبة $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — أي واحدة في كل $10^{12}$ ، كما وُعد.

6. يعطي $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ المقدارَ $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$ ، ويحوّله $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ إلى $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

7. $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 = 5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ سنة.

8. موت الخشب — أي قطع الشجرة، لا النحت؛ فالتمثال المنحوت من خشب قديم (أو المزوَّر المنحوت من خشب عتيق) يسبق تاريخ مادته أو يتأخر عنه.

9. $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 = 5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ سنة — وهي متسقة تمامًا مع ناسخ من قبل اثنين وعشرين قرنًا.

10. $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ مع $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ في السنة: $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ سنة — أي تاريخ مضبوط إلى قرن أو قرنين.

11. $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ سنة — أي لا تُميَّز من الحديث ضمن ارتياب قدره $\pm 160$ سنة: فالرقّ حديث، و“الأثري” مزوَّر.

12. يقتضي $13.6/2^n < 0.2$ أن $2^n > 68$ : أي $n = 7$ عمر نصف (بما أن $2^7 = 128$ )، أي نحو $4.0 \times 10^{4}$ سنة.

13. عشرة أعمار نصف: أي نحو $5.7 \times 10^{4}$ سنة — وهو الأفق العملي، أي نحو ستين ألف سنة.

14. $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ عمر نصف. وذرات الغرام $5.9 \times 10^{10}$ تنفد بعد $2^n > 5.9 \times 10^{10}$ ، أي $n \approx 36$ عمر نصف ( $\approx 2 \times 10^{5}$ سنة): فقبل عمر الديناصورات بزمن طويل، لا تبقى ذرة كربون-14 واحدة — فلا شيء يُعدّ.

15. ساعة أبطأ بكثير: أي البوتاسيوم-40 أو اليورانيوم-238، بأعمار نصف تبلغ مليارات السنين.

16. الحمم المنصهرة تدع الأرغون يتفقّع خارجًا، ومن ثم تحمل البلورة المتصلبة حديثًا بوتاسيومًا وصفرًا من الأرغون: فتبدأ النسبة عند $0$ عند التصلب — أي إن الساعة مصفَّرة.

17. كما في التمرين: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ ، $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ ، ومنه $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .

18. $e^{\lambda t} = 1.60$ : $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678 \approx 8.5 \times 10^{8}$ سنة.

19. لا، مرتين: فعند $8.5 \times 10^{8}$ سنة يكون الكربون-14 قد قطع $10^5$ عمر نصف — أي الصمت؛ وعند $3.3 \times 10^{3}$ سنة يكون البوتاسيوم-40 قد قطع $2.6 \times 10^{-6}$ من عمر نصف — ونسبة الأرغون $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ صغيرة لا تُقاس. ولا تقرأ كل ساعة إلا من نحو عُشر عمر نصف إلى نحو عشرة أعمار.

20. التمثال $\approx 3.3 \times 10^{3}$ سنة، والبردية $\approx 2.2 \times 10^{3}$ سنة، والصخر $\approx 8.5 \times 10^{8}$ سنة — أي ثلاث ساعات، وقانون واحد: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ ، مقروءًا إلى الوراء.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد