فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

25قوانين نيوتن

هرّب ميزان حمّام إلى مصعد. فحين تشدّ المقصورة إلى أعلى تقرأ الإبرة زيادة ثلاثة كيلوغرامات؛ وقرب القمة تقرأ نقصانًا؛ وبين الحالتين، الحقيقة العارية — إذ لم يتغير شيء على المتن إلا الحركة. ويذكر هذا الفصل القوانين الثلاثة وراء تلك الإبرة ويصوغها في الطريقة التي تدير الميكانيك كله: اختر جملة، وارسم قواها، وأسقِط $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 كمية الحركة، والقانون الأول مضبوطًا

تعريف 25.1 (كمية الحركة)

كمية الحركة لجسم كتلته $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) يتحرك بسرعة $\vect v$ هي المتجهة

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

أي السرعة موزونةً بالكتلة؛ وفي جملة، هي المجموع المتجهي على أجزائها.

تعريف 25.2 (المرجع العُطالي)

المرجع العُطالي مرجع يتحرك فيه كل جسم معزول — لا قوى عليه، أو قوى تتعادل — في خط مستقيم بسرعة ثابتة (الفصل 6). والأرض مرجع كهذا بدقة ممتازة، وكذلك أي مقصورة في حركة مستقيمة منتظمة عليها؛ أما قطار يكبح أو دوّامة تدور فلا: إذ تتسارع فيهما الأمتعة السائبة دون أن يدفعها شيء.

مبرهنة 25.3 (قانون نيوتن الأول)

في مرجع عُطالي، لا تتغير كمية حركة جملة معزولة: أي أن $\vect p$ ثابتة، أي $d\vect p/dt = \vect 0$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 25.4 (العطالة، مشحوذة مرتين)

مبدأ العطالة في الفصل 6، مرقًّى مرتين: فهو يقول أين يصحّ — إذ يعرّف المراجع العُطالية بأنها التي يصحّ فيها — ويحرس متجهةً، هي $m\vect v$ ، تؤتي محاسبتها ثمارها في آخر الفصل.

25.2 قانون نيوتن الثاني

مبرهنة 25.5 (قانون نيوتن الثاني)

في مرجع عُطالي، تساوي القوة المحصّلة على جسم معدلَ تغير كمية حركته؛ وفي حالة كتلة ثابتة، وبما أن $\vect p = m\vect v$ ، فإن

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 25.6 (قانون طبيعة، ووحدته)

لا برهان: فهذا قانون طبيعة، وُزن في مواجهة التجربة ثلاثة قرون. وقد أعطى الفصل 16 في السنة الماضية ظلَّه، $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ؛ أما الاشتقاق (الفصل 24) فيجعله مضبوطًا في كل لحظة — وتنتظر تفاصيله الدقيقة في مجلد السنة الأولى. وتنال القوة وحدة، $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ ويخضع جسم تحت وزنه وحده للعلاقة $m\vect a = m\vect g$ : فكل كتلة تسقط بتسارع $\vect a = \vect g$ ، و $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — فالقراءتان واحدة.

مثال 25.7 (القوة المتوسطة، بلا حاجة إلى التفاصيل)

سيارة كتلتها $1300\,\mathrm{kg}$ تنتقل من السكون إلى $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) في $8.0\,\mathrm{s}$ : فمهما تكن القصة لحظةً بلحظة، تكون القوة المحصّلة المتوسطة $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — فكمية الحركة تحوّل سؤالًا عن قوة إلى محاسبة قبل وبعد.

25.3 قانون نيوتن الثالث

مبرهنة 25.8 (قانون نيوتن الثالث)

إذا مارس جسم $A$ قوةً $\vect F_{A \to B}$ على جسم $B$ ، مارس $B$ على $A$ القوة $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : بمستقيم التأثير نفسه، وبالشدة نفسها، وباتجاهين متعاكسين — في كل لحظة، ومهما تكن الحركة، تماسًّا كان أو تأثيرًا عن بعد.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 25.9 (الكتاب والطاولة والأرض)

كتاب يستقر على طاولة: تفاعلان، وزوجان. فالثقالي: الأرض تجذب الكتاب إلى أسفل ( $\vect P$ )، والكتاب يجذب الأرض إلى أعلى. والتماسّي: الطاولة تدفع الكتاب إلى أعلى ( $\vect N$ )، والكتاب يضغط الطاولة إلى أسفل. والمشي الصفقة نفسها: ادفع الأرض إلى الوراء؛ فرد فعلها هو القوة الوحيدة التي تدفعك إلى الأمام.

كتاب واحد، وتفاعلان، وأربعة سهام: الزوج الثقالي (الأرض تجذب الكتاب، والكتاب يجذب الأرض) والزوج التماسّي (الطاولة تدفع الكتاب، والكتاب يضغط الطاولة). وP وN ليستا شريكتين: فهما تؤثران في الكتاب نفسه — ولا تتلاشيان إلا لأن تسارعه معدوم. — كتاب واحد، وتفاعلان، وأربعة سهام: الزوج الثقالي (الأرض تجذب الكتاب، والكتاب يجذب الأرض) والزوج التماسّي (الطاولة تدفع الكتاب، والكتاب يضغط الطاولة). و $\vect P$ و $\vect N$ *ليستا* شريكتين: فهما تؤثران في الكتاب نفسه — ولا تتلاشيان إلا لأن تسارعه معدوم.

25.4 الطريقة: اختر وارسم وأسقِط

طريقة 25.10 (حلّ مسألة في الديناميك)

الجملة: سمِّ الجسم (أو مجموعة الأجسام) المدروس.
المرجع: اختر مرجعًا عُطاليًّا ومحاور ملائمة للحركة — محاور المنحدر، أو معلم فريني في منحنٍ (الفصل 24).
الجرد: أحصِ كل قوة — الوزن، ثم قوة واحدة لكل تماس، ولا شيء غير ذلك — وارسم مخطط القوى المعزول: نقطة واحدة، وسهم واحد لكل قوة.
الإسقاط: اكتب $\sum \vect F = m\vect a$ ، وأسقِطها على كل محور.
حُلّ وتحقّق: من الوحدات والإشارات والحالات الحدية ( $\mu \to 0$ ، $\alpha \to 0$ ، …).

تعريف 25.11 (القوة الناظمية والاحتكاك)

يؤثر السطح في جسم بمركّبتين: القوة الناظمية $\vect N$ ، وهي عمودية على السطح، والاحتكاك $\vect f$ ، وهو مماسّي. وتعطي التجربة قوانين الاحتكاك: فما دام الجسم لا ينزلق، يضبط الاحتكاك السكوني نفسه حتى سقف قدره $f_s \leq \mu_s N$ ؛ ومتى انزلق، صار الاحتكاك الحركي $f_k = \mu_k N$ ، ضد الانزلاق. ومعاملا الاحتكاك $\mu_s$ و $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) لا يتوقفان إلا على المادتين.

مثال 25.12 (المنحدر، مرتين)

تنزلق كتلة على منحدر زاويته $\alpha$ ؛ والمحاور: $x$ نازلًا على المنحدر، و $y$ عموديًّا عليه. فعلى $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . وعلى $x$ ، بلا احتكاك: $ma = mg\sin\alpha$ ، ومنه $a = g\sin\alpha$ — بلا كتلة؛ وعند $\alpha = 30^\circ$ ، $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ومع احتكاك حركي: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ؛ ومن أجل $\mu_k = 0.20$ ، $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . أما بقاؤها في مكانها أصلًا فلم يكن إلا ما دام الاحتكاك السكوني اللازم يسع تحت سقفه: $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

مخطط القوى المعزول على المنحدر: الوزن P، والقوة الناظمية N، والاحتكاك f صاعدًا على المنحدر لكتلة تنزلق نازلة. وتقسم المحاور الموازية و العمودية للمنحدر المتجهةَ P إلى mg وmg (بالمتقطع). — مخطط القوى المعزول على المنحدر: الوزن $\vect P$ ، والقوة الناظمية $\vect N$ ، والاحتكاك $\vect f$ صاعدًا على المنحدر لكتلة تنزلق نازلة. وتقسم المحاور الموازية و العمودية للمنحدر المتجهةَ $\vect P$ إلى $mg\sin\alpha$ و $mg\cos\alpha$ (بالمتقطع).

تعريف 25.13 (الوزن الظاهري)

الوزن الظاهري لجسم هو القوة الناظمية بينه وبين سنده — أي ما يقرؤه ميزان تحته.

مثال 25.14 (المصعد)

مسافر كتلته $70\,\mathrm{kg}$ يقف على ميزان في مصعد تسارعه العمودي $a_z$ (وإلى أعلى موجب): فيكون $N - mg = ma_z$ ، ومنه $N = m(g + a_z)$ . وعند الشدّ إلى أعلى بمقدار $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ ، فيثقل؛ وعند الكبح قرب القمة: $582\,\mathrm{N}$ ، فيخفّ؛ وفي الانسياب الثابت: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — أي القانون الأول؛ وفي السقوط الحر، $a_z = -g$ : $N = 0$ ، أي انعدام وزن على ميزان.

مثال 25.15 (كتلتان وبكرة)

كتلة $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة بلا احتكاك مربوطة بحبل خفيف، فوق بكرة مثالية، بكتلة معلّقة $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . وينقل الحبل الشدّ $T$ نفسه عند الطرفين؛ وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة $a$ . وقانون ثانٍ لكلٍّ، على امتداد حركتها: $m_1 a = T$ و $m_2 a = m_2 g - T$ ، ومنه $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ و $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — وهو أصغر من $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ ، كما يجب لتتسارع $m_2$ إلى أسفل.

كتلتان، وحبل خفيف واحد، وبكرة مثالية واحدة: الشدّ T نفسه يسحب الطرفين، وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة — فقانون ثانٍ لكلٍّ، ومعادلتان ومجهولان. — كتلتان، وحبل خفيف واحد، وبكرة مثالية واحدة: الشدّ $T$ نفسه يسحب الطرفين، وتتقاسم الكتلتان قيمة تسارع واحدة — فقانون ثانٍ لكلٍّ، ومعادلتان ومجهولان.

مثال 25.16 (المنعطف المستوي)

سيارة كتلتها $m$ تدور في منعطف مستوٍ نصف قطره $R$ بسرعة ثابتة $v$ . وفي معلم فريني (الفصل 24) يكون التسارع ناظميًّا خالصًا، $a_N = v^2/R$ ، مصوَّبًا نحو المركز. وعموديًّا، $N = mg$ ؛ وأفقيًّا، القوة المركزية الوحيدة المعروضة هي الاحتكاك السكوني بين الطريق والإطارات: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ ، ومنه $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ ، مهما تكن الكتلة. ومن أجل $R = 90\,\mathrm{m}$ ، وطريق جافّ ( $\mu_s = 0.70$ ): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )؛ وعلى الجليد ينهار السقف — والعلاقة التمرين 25.13 تميل الطريق؛ والتمرين 25.10 يؤرجح الإسقاط نفسه على سلك.

سيارة في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة: من أعلى (يمينًا) تكون السرعة مماسّة والقوة المحصّلة مصوَّبة نحو المركز؛ ومن الخلف (يسارًا) توازن N المقدارَ P، ويكون الاحتكاك السكوني الجانبي للطريق هو القوة المركزية كلها. — سيارة في منعطف مستوٍ بسرعة ثابتة: من أعلى (يمينًا) تكون السرعة مماسّة والقوة المحصّلة مصوَّبة نحو المركز؛ ومن الخلف (يسارًا) توازن $\vect N$ المقدارَ $\vect P$ ، ويكون الاحتكاك السكوني الجانبي للطريق هو القوة المركزية كلها.

25.5 الجمل المعزولة: كمية الحركة محفوظة

قضية 25.17 (انحفاظ كمية الحركة)

في جسمين تنعدم القوى الخارجية عليهما أو تتعادل، تكون كمية الحركة الكلية $\vect p_1 + \vect p_2$ ثابتة، مهما تكن القوى التي يمارسها أحدهما على الآخر.

برهان. اجمع القانونين الثانيين: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{الخارجية}}$ : فيتلاشى الزوج الداخلي بالقانون الثالث، و $\vect F_{\text{الخارجية}} = \vect 0$ بالفرض. ∎

مثال 25.18 (الارتداد)

متزلجة كتلتها $60\,\mathrm{kg}$ ساكنة على جليد أملس تقذف كرة طبية كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ أفقيًّا بسرعة $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . فقبل: $\vect p = \vect 0$ ؛ وبعد: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ ، ومنه $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فتنجرف إلى الوراء. ولم يدفعها شيء خارجي: بل دفعتها الكرة (بالقانون الثالث)، وتبقى الدفاتر عند الصفر.

ملاحظة 25.19 (كيف يدفع صاروخ لا شيء)

الصاروخ آلة لرمي الكتلة. ففي كل ثانية تقذف محركاته دفعة من الغاز إلى الوراء؛ ويحمل الغاز كمية حركة خلفية، فيكسب الصاروخ القدر نفسه إلى الأمام — أي قوة دفع ثابتة، تساوي تقريبًا الكتلة المقذوفة في الثانية مضروبةً في سرعة القذف. فالصاروخ يدفع عادمه هو، لا الهواء: ولذلك يعمل أفضل ما يعمل في الفضاء الخالي.

25.6 تمارين

تمرين 25.1 ★

احسب كمية حركة (أ) عدّاء كتلته $70\,\mathrm{kg}$ بسرعة $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ (ب) سيارة كتلتها $1300\,\mathrm{kg}$ بسرعة $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ (ج) رصاصة كتلتها $8.0\,\mathrm{g}$ بسرعة $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ورتّبها. ولماذا يأتي الأسرع في المرتبة الأخيرة؟

حل

حل التمرين 25.1.

(أ) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . فالسيارة $>$ العدّاء $>$ الرصاصة: فخمس رتب من القدر في الكتلة أكثر مما تقدر السرعة على شرائه.

تمرين 25.2 ★

مسافر كتلته $70\,\mathrm{kg}$ يقف على ميزان في مصعد. فماذا يقرأ الميزان حين تتسارع المقصورة (أ) إلى أعلى بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ (ب) تصعد بسرعة ثابتة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ (ج) تتسارع إلى أسفل بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؟ وأيّ قانون يحسم (ب)؟

حل

حل التمرين 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (أ) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ؛ (ب) $a_z = 0$ ، ومنه $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — أي القانون الأول: فالسرعة ثابتة والقوى تتعادل؛ (ج) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

تمرين 25.3 ★

تُطلق كتلة على منحدر بلا احتكاك زاويته $30^\circ$ . احسب تسارعها، ثم سرعتها بعد انزلاق $3.0\,\mathrm{m}$ . وأين ذهبت الكتلة؟

حل

حل التمرين 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وتتلاشى الكتلة بين $ma$ و $mg\sin\alpha$ .

تمرين 25.4 ★

تصل كرة تنس كتلتها $58\,\mathrm{g}$ بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وتُردّ على المستقيم نفسه بسرعة $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ويدوم التماس $5.0\,\mathrm{ms}$ . احسب تغير كمية الحركة والقوة المتوسطة للأوتار؛ وقارن تلك القوة بوزن الكرة.

حل

حل التمرين 25.4.

الانعكاس: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — أي نحو $800$ ضعف الوزن $0.57\,\mathrm{N}$ ، ولهذا تُهمل الجاذبية أثناء التماس.

تمرين 25.5 ★

كتاب يستقر على طاولة. سمِّ القوتين المؤثرتين في الكتاب، ولكلٍّ منهما شريكها في زوج الفعل ورد الفعل (أيّ جسم؟ وأيّ اتجاه؟). ولماذا لا يكون وزن الكتاب ودفع الطاولة شريكين أحدهما للآخر؟

حل

حل التمرين 25.5.

الوزن (الأرض على الكتاب، إلى أسفل): شريكه = الكتاب يجذب الأرض، إلى أعلى. والقوة الناظمية (الطاولة على الكتاب، إلى أعلى): شريكها = الكتاب يضغط الطاولة، إلى أسفل. أما الوزن والقوة الناظمية فيؤثران في الجسم نفسه وينتميان إلى تفاعلين مختلفين — ولا يتساويان هنا إلا لأن $\vect a = \vect 0$ .

تمرين 25.6 ★★

صندوق كتلته $50\,\mathrm{kg}$ يستقر على أرضية أفقية، و $\mu_s = 0.45$ ، و $\mu_k = 0.35$ . (أ) فأيّ دفعة أفقية تكفي لتحريكه؟ (ب) وإذا حُفظت تلك الدفعة، فما تسارعه؟ (ج) وأيّ دفعة تبقيه متحركًا بسرعة ثابتة؟

حل

حل التمرين 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (أ) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (ب) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (ج) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

تمرين 25.7 ★★

يُوضع الصندوق نفسه على منحدر قابل للضبط ( $\mu_s = 0.45$ ، $\mu_k = 0.35$ ). (أ) فعند أي زاوية يبدأ بالانزلاق؟ (ب) وعند $30^\circ$ ، احسب تسارعه. (ج) ومتى انطلق عند زاوية (أ)، فهل يظل متسارعًا؟ ولماذا؟

حل

حل التمرين 25.7.

(أ) تنزلق حين $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (ب) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (ج) نعم: فمتى انزلقت، هبط الاحتكاك إلى $\mu_k < \mu_s$ ، ومنه $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

تمرين 25.8 ★★

كتلة $3.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة بلا احتكاك مربوطة فوق بكرة مثالية بكتلة معلّقة $2.0\,\mathrm{kg}$ . احسب التسارع والشدّ. ولماذا وجب أن يخرج الشدّ أصغر من وزن الكتلة المعلّقة؟

حل

حل التمرين 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . فالكتلة المعلّقة تتسارع إلى أسفل، ومن ثم تتجه القوة المحصّلة عليها إلى أسفل: فيجب أن يقلّ $T$ عن $m_2 g$ .

تمرين 25.9 ★★

منعطف نصف قطره $50\,\mathrm{m}$ مستوٍ. احسب أقصى سرعة لسيارة من أجل $\mu_s = 0.70$ (جافّ) و $0.40$ (مبتلّ)، بوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . ولماذا يصحّ الجواب لدراجة نارية صغيرة ولشاحنة سواءً؟

حل

حل التمرين 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : الجافّ $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ والمبتلّ $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . فكلٌّ من $mv^2/R$ و $\mu_s mg$ يحمل $m$ : فتتلاشى.

تمرين 25.10 ★★

كرة كتلتها $0.30\,\mathrm{kg}$ على سلك طوله $1.2\,\mathrm{m}$ ترسم دائرة أفقية، والسلك يحفظ زاوية ثابتة $25^\circ$ مع العمودي (وهو نوّاس مخروطي). أسقِط القانون الثاني عموديًّا، ثم على امتداد نصف القطر: واحسب الشدّ والسرعة.

حل

حل التمرين 25.10.

عموديًّا: $T\cos\theta = mg$ ، ومنه $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . ونصف القطر $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ؛ وشعاعيًّا: $T\sin\theta = mv^2/R$ ، ومنه $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 25.11 ★★

طرد كتلته $5.0\,\mathrm{kg}$ يركب ميزانًا في مصعد شحن؛ والقراءات:

الطور	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
الميزان ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

احسب التسارع في كل طور وصِف رحلة ممكنة. وهل كان يمكن أن يكون المصعد متحركًا إلى أسفل طول الوقت؟

حل

حل التمرين 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ مع $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، $0$ ، $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . فرحلة صاعدة مثلًا : تسارع، ثم انسياب، ثم كبح. ونعم: فلو دخل نازلًا أصلًا، لعنت القراءات نفسها كبحًا، ثم انسيابًا، ثم تسارعًا مجددًا نازلًا — فالميزان يقرأ التسارع لا السرعة.

تمرين 25.12 ★★★

متزلجة كتلتها $60\,\mathrm{kg}$ ساكنة على جليد أملس تقذف كرة كتلتها $4.0\,\mathrm{kg}$ أفقيًّا. (أ) تغادر الكرة بسرعة $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى الأرض: فما سرعة ارتدادها؟ (ب) ثم تُقاس $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إليها: أعِد حساب السرعتين. (ج) وأيّ قوة دفعتها إلى الوراء؟

حل

حل التمرين 25.12.

(أ) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) الكرة عند $8.0 + V$ بالنسبة إلى الأرض: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ ، ومنه $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وتطير الكرة بسرعة $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) دفع الكرة على يديها — أي شريك رميتها في القانون الثالث.

تمرين 25.13 ★★★

منعطف طريق سريع نصف قطره $80\,\mathrm{m}$ مصمَّم لسرعة $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بلا مساعدة من الاحتكاك. بيّن أنه يجب إمالة سطح الطريق بالزاوية $\theta$ المعطاة بالعلاقة $\tan\theta = v^2/(gR)$ واحسبها. وماذا يجب أن يفعل الاحتكاك في حالة سيارة تأخذ المنعطف أبطأ — أو أسرع؟

حل

حل التمرين 25.13.

بلا احتكاك: $N\cos\theta = mg$ (عموديًّا) و $N\sin\theta = mv^2/R$ (شعاعيًّا)؛ وبالقسمة، $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ . وإذا كانت أبطأ: مالت السيارة إلى الانزلاق نازلةً على الميل، فوجب أن يتجه الاحتكاك صاعدًا على المنحدر؛ وإذا كانت أسرع: فالعكس.

تمرين 25.14 ★★★

تقذف محركات صاروخ $250\,\mathrm{kg}$ من الغاز في الثانية بسرعة $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (أ) فكم كمية حركة تغادر في الثانية — وأيّ قوة دفع تردّها الغازات؟ (ب) وكتلة الصاروخ $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ عند الإشعال: فما وزنه؟ وما تسارعه عند الإقلاع؟ (ج) ولماذا يعمل المحرك بالكفاءة نفسها في الفضاء الخالي؟

حل

حل التمرين 25.14.

(أ) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في كل ثانية: فقوة الدفع $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (ب) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ؛ $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (ج) لأنه يدفع عادمه هو (بالقانون الثالث)، لا الهواء.

تمرين 25.15 ★★★

كتلة $4.0\,\mathrm{kg}$ على طاولة ( $\mu_s = 0.35$ ، $\mu_k = 0.25$ ) مربوطة فوق بكرة مثالية بكتلة معلّقة $m_2$ . (أ) فأيّ $m_2$ دنيا تُبدئ الحركة؟ (ب) ومن أجل $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ ، احسب التسارع والشدّ. (ج) وتحقّق من أن $\mu_k = 0$ يستعيد صيغة انعدام الاحتكاك في التمرين 25.8.

حل

حل التمرين 25.15.

(أ) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (ب) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (ج) يعطي $\mu_k = 0$ النتيجة $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : أي صيغة التمرين 25.8.

25.7 مسألة: العربة المعلّقة

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — اعتماد العربة المعلّقة: الشدّ الذي يقتضيه المنحدر في السكون، والزيادة عند الانطلاق، والراحة فوق البرج، وثمن التوقف الطارئ — والعدد الوحيد الذي تجوز للافتة في المقصورة أن تَعِد به

عربة جبلية معلّقة — مقصورة مع عربة، وكتلتها فارغة $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — تسير على كابل حمل مائل بزاوية $\alpha = 30^\circ$ ، يجرّها كابل جرّ موازٍ للمنحدر بشدّ $\vect T$ . واحتكاك التدحرج مهمَل؛ و تبقى أرضية المقصورة أفقية طول الوقت. وتسع المقصورة $25$ مسافرًا متوسط كتلتهم $80\,\mathrm{kg}$ ؛ وأنت مهندس الاعتماد. وما لم يُذكر خلاف ذلك، تكون المقصورة ممتلئة: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

الجزء I — في السكون على المنحدر.

اختر الجملة؛ وقل لماذا يفي المرجع الجبلي بأن يكون مرجعًا عُطاليًّا؛ واجرد القوى الثلاث باتجاهاتها.
وأيّ قانون يحكم الانتظار؟ أسقِطه على امتداد المنحدر وعموديًّا عليه للتعبير عن $T$ وعن القوة الناظمية لكابل الحمل $N$ .
احسب $T$ و $N$ .
أعِد حساب $T$ للمقصورة الفارغة. ولماذا تتناسب $T$ مع الكتلة الكلية؟
ينقطع كابل الجرّ والمكابح مطفأة: بيّن أن تسارع الانفلات $g \sin\alpha$ ، محمَّلةً كانت أو فارغة، واحسبه.

الجزء II — الانطلاق. يسرّع الملفاف المقصورة الممتلئة بمقدار $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ صاعدةً على المنحدر حتى تنساب بسرعة $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

عبّر عن الشدّ $T'$ خلال هذا الطور واحسبه.
وبأي كسر يرفع الانطلاق الشدَّ فوق قيمته في السكون؟
وكم يدوم الطور، وعلى أي مسافة؟
وتقف مسافرة كتلتها $80\,\mathrm{kg}$ على الأرضية الأفقية. أسقِط القانون الثاني عموديًّا للتعبير عن وزنها الظاهري وحسابه؛ وقارنه بالمقدار $mg$ .
وأيّ قوة تسرّعها أفقيًّا، وكم مقدارها؟ ولماذا يميل المسافرون؟

الجزء III — فوق البرج. عند سرعة ثابتة $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، ينحني كابل الحمل فوق برج سند على قوس دائري عمودي نصف قطره $R = 40\,\mathrm{m}$ ؛ وعند القمة تكون السرعة أفقية.

في معلم فريني عند القمة (الفصل 24)، أعطِ مركّبتَي التسارع كلتيهما بقيمتيهما.
أسقِط القانون الثاني على الناظم للتعبير عن القوة الناظمية $N'$ للكابل على العربة وحسابها.
والسؤال نفسه للوزن الظاهري للمسافرة عند القمة: بأي كسر تخفّ؟
وعند أي سرعة تنعدم $N'$ ؟ قارنها بسرعة الانسياب وعلّق.
وأيّ قوة تمارسها العربة على الكابل فوق البرج — وأيّ قانون يقول ذلك، وبأي شدة واتجاه؟

الجزء IV — الكبح، وقفزة، واللافتة.

على مقطع الوصول الأفقي، يأخذ توقف طارئ المقصورة الممتلئة من $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى السكون في $1.5\,\mathrm{s}$ : اقرأ $\sum \vect F = d\vect p/dt$ متوسطًا على مدى التوقف لحساب قوة الكبح.
وأيّ قوة أفقية يجب أن توقف مسافرة كتلتها $80\,\mathrm{kg}$ ، وهل يقدر الاحتكاك السكوني بين الحذاء والأرضية ( $\mu_s = 0.40$ ) على توفيرها؟ استنتج.
وعند الرصيف، والمكابح مطفأة، تتدلى المقصورة الفارغة حرةً ساكنة؛ ويقفز آخر مسافر ( $80\,\mathrm{kg}$ ) أفقيًّا بسرعة $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى المقصورة. احسب سرعة ارتداد المقصورة و سرعة المسافر بالنسبة إلى الأرض.
وفي جملة واحدة: أيّ جهاز دفع يعيش على مبدأ الارتداد هذا، وما الذي يثبّت قوة دفعه؟
الاعتماد. ينقطع كابل الجرّ عند $100\,\mathrm{kN}$ ؛ وتحدّ الأنظمة شدّ التشغيل بخُمس ذلك. بيّن أن أسوأ حالة لقيتها أعلاه هي الانطلاق، واستنتج الكتلة الكلية القصوى، واطبع اللافتة: كم مسافرًا كتلة كلٍّ $80\,\mathrm{kg}$ يجوز أن يركبوا؟ وتحقّق من عامل الأمان.

حل

حل المسألة 25.1.

1. الجملة: المقصورة $+$ العربة (مع $+$ مسافرًا). والجبل مثبَّت على الأرض، وهو عُطالي بدقة ممتازة. والقوى: الوزن $M\vect g$ (إلى أسفل)، والقوة الناظمية $\vect N$ لكابل الحمل (عمودية عليه)، وشدّ الجرّ $\vect T$ (صاعدًا على المنحدر).

2. في السكون، القانون الأول: $\sum \vect F = \vect 0$ . وعلى امتداد المنحدر: $T = Mg\sin\alpha$ ؛ وعموديًّا: $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ؛ $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. فارغة: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . وكل قوة في التوازن تتناسب مع $M$ ، ومن ثم يتناسب $T$ معها أيضًا.

5. على امتداد المنحدر، $Ma = Mg\sin\alpha$ : فتتلاشى $M$ ، و $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ نازلًا على المنحدر.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ؛ $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. المركّبة العمودية للقوة $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، ومنه $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ في مقابل $mg = 785\,\mathrm{N}$ : أي أثقل بمقدار $3\%$ .

10. الاحتكاك السكوني للأرضية، وهو أفقي: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . والميل يجعل دفع الأرضية المجموع يمرّ بمركز كتلتها، فلا يقلبها.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (لأن السرعة ثابتة)؛ و $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، مصوَّبًا نحو المركز — أي إلى أسفل مباشرة عند القمة.

12. المحور الناظمي (وإلى أسفل موجب): $Mg - N' = Mv^2/R$ ، ومنه $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : أي أخفّ بمقدار $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ .

14. $N' = 0$ عند $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — أي أكثر من ثلاثة أضعاف الانسياب: فتركب العربة الكابل بهامش واسع.

15. قانون نيوتن الثالث: $35.6\,\mathrm{kN}$ ، ضاغطةً إلى أسفل على الكابل (ومن ثم على البرج) — وهي أقلّ قليلًا من الوزن في السكون، مخفَّفةً بالطيران المنحني.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ ، عكس الحركة ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ؛ والسقف $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : فالقدمان وحدهما تنزلقان — فأمسِك المقبض.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{النسبية}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ ويتحرك المسافر بسرعة $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى الأرض.

19. الصاروخ: فقوة دفعه تثبّتها الكتلة المقذوفة في الثانية مضروبةً في سرعة القذف بالنسبة إليه.

20. أكبر شدّ لقيناه هو شدّ الانطلاق $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (فالسكون يعطي $Mg\sin\alpha$ ، والقمة أقلّ بعدُ). والحدّ: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ ، ومنه $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : فالحمولة $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ، أي $20$ مسافرًا كتلة كلٍّ $80\,\mathrm{kg}$ (لا $25$ ). واللافتة: 20 شخصًا؛ ومنه $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ، و $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ ، وعامل الأمان $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد