23مفعول دوبلر

حل التمرين 23.1.

(أ) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$. (ب) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$. (ج) $700\,\mathrm{Hz}$: فالسائق والصفّارة يتحركان معًا، ولا تتغير المسافة بينهما أبدًا.

حل التمرين 23.2.

العلوّ يخبو لأن الموجة تنتشر — فهو يتوقف على المسافة. والحدّة تهبط من الاقتراب إلى الابتعاد — وذلك مفعول دوبلر، وهو يتوقف على سرعة تغيّر المسافة. أي أثران مستقلان.

حل التمرين 23.3.

راصد متحرك: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$؛ وبالركوب مبتعدًا، $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$. فالصفّارة ساكنة في الهواء، ومن ثم لا يضطرب نمط الموجة؛ إنما يركض الراصد خلاله.

حل التمرين 23.4.

أمامه: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$؛ وخلفه: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$؛ وفي حالة السكون: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$. فطول الموجة القصير يبلغ من يقترب منه القطار، والطويل من يتركه.

حل التمرين 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$: $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$، أي نحو $446\,\mathrm{Hz}$ — أي ربع نصف نغمة. وسيلاحظه موسيقي بالكاد.

حل التمرين 23.6.

يستقبل الجدار $f\,v/(v - v_b)$ (بوصف المنبع متحركًا)؛ ويسمع الخفاش، وهو راصد متحرك يقترب من الصدى، $(1 + v_b/v)$ ضعف ذلك: أي $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$، بانزياح قدره $+1.8\,\mathrm{kHz}$. وهي صيغة الانزياح المزدوج في مسدس الرادار مع تبادل دورَي المُصدِر والعاكس: فلا تهمّ إلا سرعة الاقتراب.

حل التمرين 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. وعند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$.

حل التمرين 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما الجريان العمودي فسرعته الشعاعية معدومة، ومن ثم لا انزياح البتة.

حل التمرين 23.9.

(أ) المنبع: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$. (ب) الراصد: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$. وتتنبأ الحركة البطيئة بالقيمة $1100\,\mathrm{Hz}$: وهي دقيقة في حالة الراصد، وأقلّ بمقدار $11\,\mathrm{Hz}$ في حالة المنبع — أي تصحيح الرتبة $x^2$، وهو $1\%$ من $f$ من أجل $x = 0.1$.

حل التمرين 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$؛ $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. والتواتر الحقيقي $f$ هو المتوسط التوافقي: فالاقتراب يرفع التواتر أكثر مما يخفضه الابتعاد، ومن ثم يقع $f$ دون المتوسط الحسابي ($440\,\mathrm{Hz}$).

حل التمرين 23.11.

طول موجة أطول: أي انزياح نحو الأحمر، فالنجم يبتعد. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

حل التمرين 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$؛ $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$. فالإشارة كلها جزآن من عشرة ملايين: ومطياف ينزاح بأكثر من $10^{-7}$ يدفنها.

حل التمرين 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وسرعات تتناسب مع المسافة، وهي نفسها في كل اتجاه: أي أن كل المسافات تتمدد تمددًا منتظمًا — فكون متمدد بلا مركز مميّز. وعند $2.4\%$ تكون التصحيحات من رتبة $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$: فهي ما تزال جديرة بالثقة.

حل التمرين 23.14.

تنزاح الحافتان في جهتين متعاكستين، ومن ثم يكون الخط الوسطي للقرص معرَّضًا لا منزاحًا: بعرض كامل قدره $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (نحو $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$).

حل التمرين 23.15.

(أ) أمام السيارة تتباعد القمم $(v - v_s)T$؛ وتفرّ الشاحنة بسرعة $v_o$ و تلاقيها بالسرعة النسبية $v - v_o$: ومنه $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$. (ب) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$. (ج) يعطي $v_o = v_s$ النتيجة $f' = f$: فالتباعد ثابت، وانعدام تغيّر المسافة يعني انعدام انزياح دوبلر، بالتعريف.