31التذبذبات الكهربائية الحرة: RLC

حل التمرين 31.1.

(أ) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$، $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (ب) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$، $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — أي بعامل $\sqrt{10^5} \approx 316$.

حل التمرين 31.2.

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$، ومن ثم يكون $\sqrt{LC}$ بالثواني. و$2\pi$ عدد خالص — فلا بُعد له ليغيّره.

حل التمرين 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. تتذبذب الشحنة عند $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$، والتيار خارج الطور بربع دور، والطاقة تتقاذف بين الصفيحتين والوشيعة، والمجموع ثابت.

حل التمرين 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$؛ $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$؛ $i(0) = 0$ (فجيب التمام مسطّح عند $t=0$)؛ $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$.

حل التمرين 31.5.

كلها في المكثّفة حين $q = \pm Q_0$، $i = 0$ ($t = 0$، $T_0/2$، $T_0$، …): أي طرفا النوّاس. وكلها في الوشيعة حين $q = 0$، $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$، $3T_0/4$، …): أي أخفض نقاط النوّاس وأسرعها.

حل التمرين 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$، ومن ثم $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ من أجل كل $t$ بالضبط حين $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$، أي $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

حل التمرين 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

حل التمرين 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$؛ ويعطي $\tfrac12 LI_0^2 = E$ المقدارَ $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$، ويُبلَغ أول مرة عند $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$.

حل التمرين 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$، و$\cos^2$ يتكرر في كل نصف دورة: أي امتلاءان للمكثّفة في كل دور، ومنه $2f_0$. وعند $t = T_0/8$ يكون الطور $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$، ومنه $E_C = E_L = E/2$.

حل التمرين 31.10.

النسبة $3.0/4.0 = 0.75$ في كل شبه دور: فالعظمى السادسة $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. والطاقة $\propto$ مربع السعة: ومن ثم ينجو $0.75^2 \approx 56\%$ في كل دور. أما شبه الدور فيبقى $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: إذ يقلّص التخامد الخفيف السعةَ، ولا يكاد يمسّ الوتيرة.

حل التمرين 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$. وبالقاموس: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$؛ وبالتحقق $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — أي $20\,\mathrm{ms}$ نفسه.

حل التمرين 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$؛ $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. وعند ثبات $L$، يكون $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: فعامل عشرة في $C$ لا يعطي إلا $\sqrt{10} \approx 3.2$ في $f_0$ — كما وُجد.

حل التمرين 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$، أي نحو $14$ دور. والسعة $\propto \sqrt{E}$: أي نازلة إلى $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ من البداية. وعند $1.0\,\mathrm{MHz}$، $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: أي نحو $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

حل التمرين 31.14.

الخسارة في كل دور $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$، عند $32\,768$ دور في الثانية: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — أي دون الميكروواط، فسنوات على خلية قرصية. وعلى الخطى، لأن الدفعة عند الطور الصحيح وحدها تضيف طاقة (أي الرنين)؛ أما خارج الخطى فستكبح التأرجح.

حل التمرين 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. و ينبغي أن تدفع المقاومة الحلقةَ إلى النظام اللادوري: فتستقر الشحنة عندئذٍ دون تجاوز — فلا تذبذب ولا رنّة.