فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

24التحريكيات في بعدين

راقب سيارة تدور في دوّار بسرعة ثابتة $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : فلا تتحرك الإبرة قط، ومع ذلك يحسّ كل راكب بجذب جانبي — فالحركة تتغير، وليست السرعة هي المتغيرة. ولم يعد عدد واحد لكل لحظة يكفي: فالحركة في المستوي تحتاج سهامًا. ويزوّد هذا الفصل نقطةً متحركة بثلاثة — الموضع والسرعة والتسارع — مسلسَلةً بالاشتقاق، ويقرأ عائلات كاملة من الحركات من هندستها.

24.1 متجهة الموضع

لا وجود للحركة إلا بالنسبة إلى مرجع مذكور — أي جسم صلب مع ساعة (الفصل 5). والجديد هذه السنة هو الدقة: أرفِق بالمرجع مبدأً $O$ ومحورين متعامدين مدرّجين $Ox$ و $Oy$ ، وسجّل أين تقع النقطة في كل لحظة، زوجَ دالّتين.

تعريف 24.1 (متجهة الموضع)

في مرجع مزوَّد بمبدأ $O$ ومحورين $Ox$ و $Oy$ ، تكون متجهة الموضع لنقطة متحركة $M$ عند اللحظة $t$ هي $\vect{OM}(t)$ ، وإحداثياها $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : أي دالّتان للزمن، واحدة لكل محور. والمنحني الذي يرسمه $M$ بتغير $t$ هو مسارها.

24.2 متجهة السرعة

تعريف 24.2 (متجهة السرعة)

على مدى فترة قصيرة تنتقل النقطة بمقدار $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ؛ فاقسم على $\Delta t$ ودع الفترة تتقلص: وهذا هو الاشتقاق من درس الرياضيات، مطبَّقًا على كل إحداثي. ومتجهة سرعة النقطة $M$ هي مشتقة متجهة موضعها، $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ ، بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . وناظمها $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ هو السرعة — أي العدد الوحيد الذي يعرضه عدّاد السرعة.

مثال 24.3 (طائرة مسيّرة في طيران أفقي)

تطير مسيّرة بحيث $x(t) = 4.0\,t$ و $y(t) = 3.0\,t$ (بالمتر و الثانية): فمسارها المستقيم $y = \tfrac34 x$ ، وسرعتها $\vect v = (4.0, 3.0)$ في كل حين، وقيمة السرعة $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وهي ثابتة.

قضية 24.4 (مماسّة للمسار)

في كل لحظة، تكون $\vect v(t)$ مماسّة للمسار عند الموضع الحالي للنقطة $M$ ، وتتجه في جهة السير.

برهان. الانتقال وتر من أوتار المسار؛ وكلما تقلص $\Delta t$ ، صار اتجاه الوتر اتجاه المماسّ. ∎

24.3 متجهة التسارع

تعريف 24.5 (متجهة التسارع)

متجهة تسارع النقطة $M$ هي مشتقة متجهة سرعتها، $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ ، بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي كم، وفي أي اتجاه، تتغير متجهة السرعة في اللحظة الحالية.

ملاحظة 24.6 (تسارع بلا ازدياد في السرعة)

يكون $\vect a \neq \vect 0$ كلما تغيرت متجهة السرعة — في الطول أو في الاتجاه: فالسيارة الكابحة تتسارع (إلى الوراء)؛ والسيارة المنعطفة بسرعة ثابتة تتسارع (جانبيًّا). وهذا هو المقدار الذي تتحكم فيه القوى (الفصول 16 و25).

طريقة 24.7 (قراءة تصوير متعاقب)

التصوير المتعاقب يسجّل مواضع $M_0, M_1, M_2, \dots$ نقطةٍ متحركة على فترات زمنية متساوية $\Delta t$ .

تباعد النقاط يقرأ السرعة: فالتباعدات المتساوية تعني سرعة ثابتة؛ والمتسعة تعني تسارعًا؛ والمتضايقة تعني تباطؤًا.
والسرعة عند $M_i$ هي الوتر المتناظر، $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ ، مرسومًا عند $M_i$ ، مماسًّا للمسار المنقَّط.
وللتسارع عند $M_i$ : انسخ $\vect v_{i-1}$ و $\vect v_{i+1}$ إلى $M_i$ ، وارسم $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ رأسًا إلى رأس؛ ومنه $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

تصوير متعاقب لكرة مقذوفة: تُنسخ v_2 وv_4، المبنيتان من الأوتار، إلى M_3؛ ويسلّم فرقهما v المتجهةَ a — عمودية إلى أسفل. — تصوير متعاقب لكرة مقذوفة: تُنسخ $\vect v_2$ و $\vect v_4$ ، المبنيتان من الأوتار، إلى $M_3$ ؛ ويسلّم فرقهما $\Delta\vect v$ المتجهةَ $\vect a$ — عمودية إلى أسفل.

24.4 الحركات المستقيمة

على مستقيم يكفي محور واحد: $x(t)$ و $v(t) = x'(t)$ و $a(t) = v'(t)$ ، وكلها أعداد ذات إشارة.

تعريف 24.8 (الحركة المستقيمة المنتظمة)

تكون الحركة مستقيمة منتظمة إذا كانت $\vect v$ متجهةً ثابتة: فالمسار مستقيم، والسرعة ثابتة، و $\vect a = \vect 0$ . ومنه $x(t) = v\,t + x_0$ .

قضية 24.9 (الحركة المستقيمة المتسارعة بانتظام)

إذا تحركت نقطة على $Ox$ بتسارع ثابت $a$ ، منطلقةً عند $t = 0$ من الموضع $x_0$ بسرعة $v_0$ ، فإن

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

برهان. $v$ دالة أصلية للثابت $a$ : أي $v(t) = a t + C$ ، ويفرض $t = 0$ أن $C = v_0$ . وبدوره $x$ دالة أصلية للسرعة $a t + v_0$ : أي $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ ، مع $C' = x_0$ . ∎

حركة متسارعة بانتظام (a = 2.0\, m/ s2، v_0 = 1.0\, m/ s، x_0 = 0): كل مخطط مشتقة الذي فوقه — قطع مكافئ، ثم ميله، ثم ميل ميله. — حركة متسارعة بانتظام ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، $x_0 = 0$ ): كل مخطط مشتقة الذي فوقه — قطع مكافئ، ثم ميله، ثم ميل ميله.

مثال 24.10 (مسافة التوقف)

سيارة بسرعة $v_0$ تكبح بتباطؤ ثابت $a$ (أي بتسارع $-a$ ). فتتوقف حين $v(t) = -a t + v_0 = 0$ ، عند $t_s = v_0/a$ ، وقد قطعت $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ . والتربيع هو عنوان السلامة على الطرق: فمضاعفة السرعة تربّع مسافة التوقف — فبأخذ $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، تكون $16\,\mathrm{m}$ من $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ، و $64\,\mathrm{m}$ من $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 الحركة الدائرية المنتظمة ومعلم فريني

تعريف 24.11 (الحركة الدائرية المنتظمة)

تكون الحركة دائرية منتظمة إذا كان المسار دائرة نصف قطرها $R$ والسرعة $v$ ثابتة. والدور $T$ هو مدة دورة واحدة، والتواتر $f = 1/T$ (بوحدة $\mathrm{Hz}$ ) هو عدد الدورات في الثانية: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

سرعة ثابتة — ومع ذلك تدور متجهة السرعة: أي أن ثمة تسارعًا فعلًا. فإلى أي جهة، وبأي مقدار؟

مبرهنة 24.12 (التسارع المركزي)

في حركة دائرية منتظمة نصف قطرها $R$ وسرعتها $v$ ، يتجه التسارع — ويسمّى مركزيًّا — من النقطة المتحركة نحو مركز الدائرة، وناظمه ثابت

a = \frac{v^2}{R}.

برهان. ضع مبدأ المحاور في مركز الدائرة واجعل $\omega = v/R$ ، بحيث يقابل القوس $v t$ الزاوية $\omega t$ : فيكون الموضع $x(t) = R\cos(\omega t)$ ، $y(t) = R\sin(\omega t)$ . وبالاشتقاق، $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ ، وناظمها ثابت $R\omega = v$ ؛ وبالاشتقاق مرة أخرى، $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : أي معاكسة لمتجهة الموضع — نحو المركز — وناظمها $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

حركة دائرية منتظمة: v مماسّة وطولها ثابت؛ وa مصوَّبة نحو المركز وطولها ثابت v2/R — فتدير السرعة أبدًا دون أن تمدّها قط. — حركة دائرية منتظمة: $\vect v$ مماسّة وطولها ثابت؛ و $\vect a$ مصوَّبة نحو المركز وطولها ثابت $v^2/R$ — فتدير السرعة أبدًا دون أن تمدّها قط.

تعريف 24.13 (معلم فريني)

معلم فريني عند الموضع الحالي لنقطة على مسار منحنٍ هو زوج المتجهتين الواحديتين المتعامدتين $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : فالمتجهة $\vect{u_t}$ مماسّة، في جهة الحركة؛ و $\vect{u_n}$ ناظمية، نحو مركز الدائرة ذات نصف القطر $R$ التي تلائم المنحني هناك أفضل ملاءمة.

قضية 24.14 (التسارع في معلم فريني)

على أي مسار مستوٍ نصف قطره المحلي $R$ ، يُقطع بسرعة $v(t)$ ، يكون

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

والتسارع المماسّي $a_t$ يغيّر السرعة؛ والتسارع الناظمي $a_n$ يدير متجهة السرعة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 24.15 (أين يقيم البرهان)

لقد برهنّا على الطرفين: $a_t$ خالصًا على مستقيم (القضية 24.9)، و $a_n$ خالصًا على دائرة (المبرهنة 24.12)؛ أما التفكيك العام فيُشتقّ في مجلد السنة الأولى.

مثال 24.16 (الكبح داخل منعطف)

تدخل سيارة منعطفًا نصف قطره $R = 50\,\mathrm{m}$ بسرعة $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وهي تكبح بمقدار $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : فيكون $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، ومنه $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، متجهًا إلى الوراء وإلى داخل المنعطف. ويجب أن توفّر الإطارات الاثنين معًا — ولذلك يكبح سائقو السباقات قبل المنعطف.

24.6 تمارين

تمرين 24.1 ★

من أجل $x(t) = 3.0\,t$ ، $y(t) = 4.0\,t$ (بالمتر والثانية)، أعطِ $\vect v$ ، وقيمة السرعة، والمسار، وصنف الحركة.

حل

حل التمرين 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ ، وهي ثابتة؛ وقيمة السرعة $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والمسار: المستقيم $y = \tfrac43 x$ . ومتجهة سرعة ثابتة: أي حركة مستقيمة منتظمة.

تمرين 24.2 ★

على تصوير متعاقب يُلتقط كل $0.10\,\mathrm{s}$ ، تقع النقاط على مستقيم، ومتباعدة بانتظام بمقدار $0.35\,\mathrm{m}$ . عيّن الحركة و احسب السرعة. وعلامَ كانت تدلّ تباعدات متسعة؟

حل

حل التمرين 24.2.

مستقيم، وتباعدات متساوية: أي حركة مستقيمة منتظمة؛ و $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . أما التباعدات المتسعة فكانت ستعني أن السرعة تتزايد.

تمرين 24.3 ★

من أجل $x(t) = 2.0\,t^2$ على $Ox$ (بالمتر والثانية)، اشتقّ $v(t)$ و $a(t)$ ، وسمِّ صنف الحركة، واحسب السرعة عند $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

حل

حل التمرين 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ ، $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي تسارع ثابت، فحركة مستقيمة متسارعة بانتظام. و $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 24.4 ★

يركب حصان دوّامة دائرةً نصف قطرها $4.5\,\mathrm{m}$ ، ودورة كل $8.0\,\mathrm{s}$ : احسب التواتر والسرعة والتسارع (ناظمًا واتجاهًا).

حل

حل التمرين 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ؛ $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، متجهًا نحو محور الدوّامة.

تمرين 24.5 ★

يصعد مخطط $v(t)$ مستقيمًا من $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $t = 0$ إلى $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . اقرأ التسارع، ثم المسافة المقطوعة (وهي المساحة تحت المخطط).

حل

حل التمرين 24.5.

الميل: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . والمساحة (شبه منحرف): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

تمرين 24.6 ★★

يأخذ قطار سريع منعطفًا نصف قطره $6.0\,\mathrm{km}$ بسرعة $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . احسب $a_n$ وقارنه بالمقدار $g$ ؛ ولماذا يجب أن تتجنب الخطوط السريعة المنعطفات الضيقة، ولو كانت مائلة ميلًا تامًّا؟

حل

حل التمرين 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . وبما أن $a_n = v^2/R$ ، فإن $v$ العالية تقتضي $R$ هائلًا لإبقاء التسارع الجانبي (والقوة على السكة و الركاب) مقبولًا — والميل يغيّر من يوفّره، لا مقداره.

تمرين 24.7 ★★

لعربة على سكة مستقيمة $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (بالمتر والثانية). جِد $v(t)$ و $a$ ، ولحظة الانعكاس وموضعه، وصِف الحركة قبله وبعده.

حل

حل التمرين 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ؛ $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، وهو ثابت. والانعكاس عند $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ، عند $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . وقبله: إلى الأمام متباطئًا؛ وبعده: إلى الوراء متسارعًا — وهي متسارعة بانتظام طول الوقت.

تمرين 24.8 ★★

تصوير متعاقب على مستقيم، كل $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ ، يعطي $x = 0$ ، $0.10$ ، $0.28$ ، $0.54$ ، $0.88\,\mathrm{m}$ . قدّر السرعة عند النقاط الداخلية الثلاث (الطريقة 24.7)، ثم التسارع؛ واستنتج.

حل

حل التمرين 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . فتكسب السرعة $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ كل $0.20\,\mathrm{s}$ : أي $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، وهو ثابت — فحركة مستقيمة متسارعة بانتظام.

تمرين 24.9 ★★

يدور القمر حول الأرض على شبه دائرة نصف قطرها $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ في $27.3\,\mathrm{d}$ . احسب سرعته وتسارعه المركزي؛ وقارن الأخير بالمقدار $g$ ، علمًا أن القمر يبعد نحو $60$ نصف قطر أرضي (الفصل 4).

حل

حل التمرين 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . والنسبة: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — فالجاذبية، مخفَّفةً كمقلوب مربع المسافة (الفصل 4)، تفسّر دوران القمر بالضبط.

تمرين 24.10 ★★

حلّة غسّالة نصف قطرها $25\,\mathrm{cm}$ تدور بسرعة $1200$ دورة في الدقيقة. احسب $f$ و $T$ ، وسرعة الحافة وتسارع الحافة بمضاعفات $g$ . ولماذا يبقى الغسيل ملتصقًا بينما يغادر الماء؟

حل

حل التمرين 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ ، $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ؛ $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . فجدار الحلّة يوفّر $a_n$ للغسيل؛ أما عبر الثقوب فلا شيء يدفع الماء إلى الداخل، فيطير على المماسّ.

تمرين 24.11 ★★

سيارة بسرعة $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ تكبح بمقدار ثابت $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : احسب زمن التوقف ومسافة التوقف، وارسم $v(t)$ .

حل

حل التمرين 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ؛ $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . والمخطط: قطعة مستقيمة من $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ نزولًا إلى $0$ عند $t_s$ .

تمرين 24.12 ★★★

من أجل $x(t) = R\cos(\omega t)$ ، $y(t) = R\sin(\omega t)$ : احسب $\vect v$ ؛ وتحقّق من أن السرعة هي الثابت $R\omega$ ومن أن $\vect v \perp \vect{OM}$ ؛ واحسب $\vect a$ ، وبيّن أنها $-\omega^2\,\vect{OM}$ ، واستخرج $a = v^2/R$ .

حل

حل التمرين 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ ، وناظمها ثابت $R\omega$ ؛ وجداؤها السلّمي مع $\vect{OM}$ ينعدم، ومن ثم فهي عمودية على نصف القطر، أي مماسّة. وبالاشتقاق مرة أخرى، $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : أي نحو $O$ ، وناظمها $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

تمرين 24.13 ★★★

تدخل دراجة نارية منعطفًا نصف قطره $80\,\mathrm{m}$ بسرعة $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وهي تكبح بمقدار $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . احسب $a_t$ و $a_n$ ، وناظم $\vect a$ وزاويتها مع جهة الحركة. وتتماسك الإطارات حتى $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ في المجموع: فهل السائق ضمن الحدّ؟

حل

حل التمرين 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (إلى الوراء)، $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ والزاوية مع جهة الحركة: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (أي $63^\circ$ عن الاتجاه الخلفي المستقيم). و $5.6 < 7.0$ : أي ضمن التماسك، ولا يفيض إلا القليل.

تمرين 24.14 ★★★

يتسارع مترو من السكون بمقدار $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ حتى $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، ثم ينساب $40\,\mathrm{s}$ ، ثم يكبح بمقدار $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ إلى التوقف. احسب مدة كل طور وطوله، والمسافة الكلية و السرعة المتوسطة. وارسم $v(t)$ وتحقّق من المسافة مساحةً.

حل

حل التمرين 24.14.

الانطلاق: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ ، $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . والانسياب: $40\,\mathrm{s}$ ، $800\,\mathrm{m}$ . والكبح: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ ، $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . والمجموع: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ في $70\,\mathrm{s}$ ؛ والمتوسط $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). و $v(t)$ شبه منحرف مساحته، $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ ، تتحقق من المجموع.

تمرين 24.15 ★★★

تابع ثابت بالنسبة إلى الأرض يدور على نصف قطر $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ من مركز الأرض بدور $86\,164\,\mathrm{s}$ . احسب سرعته وتسارعه المركزي. وما الذي يوفّره، ولماذا يتعلّق التابع فوق نقطة استوائية ثابتة واحدة (الفصل 27)؟

حل

حل التمرين 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . وتوفّره جاذبية الأرض على تلك المسافة؛ والدور يساوي دور دوران الأرض، ومن ثم يدور التابع والأرض معًا فيتعلّق فوق نقطة استوائية واحدة (الفصل 27).

24.7 مسألة: تقرير الحادث

مسألة 24.1

مسألة نهاية الأسبوع — تقرير الحادث: فيلم كاميرا لوحة قيادة يُقرأ صورةً صورة، وقانون كبح يُعاد بناؤه من آثار الانزلاق، و دوّار يشهد على التماسك، وحكم بالكيلومترات في الساعة

تصطدم سيارة بشاحنة صغيرة خرجت من شارع جانبي؛ ولا مصاب، لكن شركات التأمين تختلف. ولدى المحقق تسجيل كاميرا علوية (صورة كل $0.50\,\mathrm{s}$ )، وآثار انزلاق مقيسة، و كاميرا لوحة قيادة السيارة. وحدّ السرعة $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

الجزء I — قراءة الفيلم. تعطي الصور السابقة لأي ردّ فعل، على امتداد الطريق المستقيم:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

لماذا يجب أن يسمّي التقرير أولًا مرجعًا ومحاور؟ وأيّها مستعمل هنا؟
احسب السرعة المتوسطة على كل من الفترات الأربع.
وأيّ صنف من الحركات هذا؟ برّر من الجدول.
أعطِ سرعة السيارة $v_0$ بوحدة $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وبوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
وما التسارع خلال هاتين الثانيتين؟

الجزء II — آثار الانزلاق. تعطي اختبارات الإطارات على هذا الإسفلت الجافّ تباطؤ كبح ثابتًا $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ وطول آثار الانزلاق $d_b = 27\,\mathrm{m}$ . خذ $t = 0$ ، و $x = 0$ عند بدء الكبح، والسرعة المجهولة $v_B$ .

بالدوال الأصلية، اكتب $v(t)$ و $x(t)$ أثناء الكبح.
عبّر عن زمن التوقف $t_s$ ؛ وبيّن أن $d_b = v_B^2/(2a)$ .
استنتج $v_B$ من آثار الانزلاق. أمتسق مع الجزء I؟
وزمن ردّ الفعل $1.0\,\mathrm{s}$ : احسب مسافة ردّ الفعل ومسافة التوقف الكلية.
اشرح، انطلاقًا من السؤال 7، لماذا تربّع مضاعفةُ السرعة مسافةَ الكبح؛ واحسب $d_b$ عند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ بالضبط.

الجزء III — الدوّار يشهد. قبل ذلك، تُظهر كاميرا لوحة القيادة السيارة تدور في مسرب دوّار نصف قطره $R = 12.5\,\mathrm{m}$ بسرعة ثابتة، وربع دورة في $2.5\,\mathrm{s}$ . ويقدر الطريق أن يوفّر $a_n = \mu g$ على الأكثر، بأخذ $\mu = 0.70$ .

السرعة ثابتة هناك — فهل متجهة السرعة ثابتة؟ وهل السيارة متسارعة؟ اشرح.
احسب سرعة السيارة في الدوّار.
احسب تسارعها المركزي (ناظمًا واتجاهًا).
احسب أقصى سرعة بلا انزلاق. فهل كانت السيارة ضمنها؟
أعطِ دور دورة كاملة وتواترها عند تلك السرعة.

الجزء IV — الحكم. ظهرت الشاحنة على بعد $D = 41\,\mathrm{m}$ أمام السيارة في اللحظة التي بدأ فيها السائق ردّ فعله.

بكم، بوحدة $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ وبالنسبة المئوية، تجاوزت السرعة قبل الكبح الحدَّ؟
احسب سرعة السيارة عند الاصطدام.
أعِد حساب التوقف عند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ بالضبط (بردّ الفعل نفسه، والكبح نفسه): فهل تتوقف السيارة، وبأي هامش؟
أعطِ الصيغة العامة لمسافة التوقف $d(v)$ ؛ ولماذا تدخل السرعة مرتين — مرةً خطيًّا ومرةً مربَّعة؟
الحكم، في جملة واحدة بأرقامها: أيّ سرعة كان السائق يقود بها، وهل كان الحادث سيقع عند الحدّ؟

حل

حل المسألة 24.1.

1. الحركة نسبية (الفصل 5): فكل موضع وكل سرعة يجب أن يسمّي مرجعه. وهنا: المرجع الأرضي (الطريق)، و $x$ على امتداد الطريق من موضع الصورة الأولى.

2. في كل فترة: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي أربع قيم متساوية.

3. طريق مستقيم، وانتقالات متساوية في أزمنة متساوية: أي حركة مستقيمة منتظمة.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ؛ $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. يعطي $v(t_s) = 0$ النتيجة $t_s = v_B/a$ ؛ ثم $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي السرعة المصوَّرة بالضبط: فالسائق لم يبطّئ قط قبل الكبح.

9. ردّ الفعل: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ؛ والمجموع $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : فمضاعفة $v_B$ تضرب $d_b$ في $4$ . وعند $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. السرعة ثابتة لكن اتجاه متجهة السرعة يدور: فالمتجهة $\vect v$ ليست ثابتة، ومن ثم فالسيارة متسارعة.

12. ربع دورة: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ؛ $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ، نحو مركز الدوّار.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). و $7.9 < 9.3$ : أي ضمن التماسك — وهو متسق مع المسرب النظيف الخالي من الانزلاق.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}; f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ زيادةً — أي نحو $30\%$ فوق الحدّ.

17. يؤثر الكبح على مدى $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ ، ومنه $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ عند الاصطدام.

18. عند $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — فتتوقف السيارة على بعد $11\,\mathrm{m}$ قبل الشاحنة.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : مرةً خطيًّا (فردّ الفعل يقطع $v t_r$ قبل أن تعمل المكابح)، ومرةً مربَّعة (فالجزء الحركي $v^2/(2a)$ ) — ولهذا تكلّف التجاوزات المعتدلة كلفةً غير متناسبة.

20. تتفق كاميرا لوحة القيادة وآثار الانزلاق: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ في منطقة $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ؛ وعند الحدّ القانوني كانت السيارة ستتوقف على بعد $11\,\mathrm{m}$ قبل الشاحنة — فالحادث هو $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ الزائدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد